La trigonométrie. I Le cercle trigonométrique 1 1 Associer un point à un réel Valeurs particulières... 2

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1 Table des matières I Le cercle trigonométrique Associer un point à un réel Valeurs particulières II Angles orientés Mesures des angles orientés Conversion degré-radians III Cosinus et sinus d un réel Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules IV Équations trigonométriques 5 V Fonctions trigonométriques Représentations graphiques a) Fonction cosinus b) Fonction sinus c) Fonctions cosinus et sinus Dérivation

2 I Le cercle trigonométrique Associer un point à un réel Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon, centré sur l origine et parcouru dans le sens positif (c est à dire dans le sens inverse des aiguilles d une montre). Pour tout réel x repéré sur la droite, tangente au cercle en I, on associe un point M sur le cercle trigonométrique que l on obtient par «enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M est l image du réel x. J M x 0 I Exemples Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à, le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, la moitié d un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens trigonométrique, le tiers d un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en parcourant, dans le sens inverse du sens trigonométrique le quart d un demi-cercle à partir de I. Cours Page /7

3 Valeurs particulières II Angles orientés Mesures des angles orientés Si M est le point image du réel x sur ( le cercle trigonométrique de centre O alors le réel x est une OI; mesure en radian de l angle orienté OM ), les autres mesures sont de la forme α= x+k(k Z). J M α 0 I Conversion degré-radians Mesures en degré Mesures en radians 0 Cours Page /7

4 Deux vecteurs non nuls u et ( u ) v détermine un angle orienté noté ; v. Sur un cercle trigonométrique, on définit une mesure x en radians de l angle angle orienté ( u ; v ). x v u La mesure principale d un angle orienté est la seule de ses mesures qui se trouve dans ] ]. III Cosinus et sinus d un réel Dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct, si M est le point du cercle trigonométrique image du réel x alors : l abscisse de M est appelée cosinus de x, elle est notée cos(x) ; l ordonnée de M est appelée sinus de x, elle est notée sin(x). J M sin(x) x 0 cos(x) I Cours Page /7

5 Les premières propriétés Pour tout réel x, on a : cos(x) sin(x) cos (x)+sin (x)= Pour tout entier relatif k, on a : cos(x+ k)=cos(x) sin(x+ k)=sin(x) Les valeurs particulières Mesures en degré Mesures en radians 0 cosinus 0 sinus Cours Page /7

6 Angles associés + x x cos(x) cos( x) = cos(x) sin( x)= sin(x) x sin(x) x cos( x)= cos(x) sin( x)=sin(x) + x cos(x) cos(x) sin(x) sin(x) y = x sin(x) x cos(+ x)= cos(x) sin(+ x)= sin(x) cos ( + x) = sin(x) sin ( + x) = cos(x) cos ( x) = sin(x) sin ( x) = cos(x) 5 Formules a et b sont deux réels quelconques. Formules d addition cos(a+ b)=cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) sin(a+ b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) sin(a b)=sin(a)cos(b) cos(a)sin(b) Formules de duplication cos(a)=cos (a) sin (a)=cos (a) = sin (a) sin(a)=sin(a)cos(a) IV Équations trigonométriques a cos(a) cos(x)=cos(a) x = a+ k ou x = a+ k (k Z) a Cours Page 5/7

7 a a sin(a) sin(x)=sin(a) x = a+ k ou x = a+ k (k Z) V Fonctions trigonométriques On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R par x cos(x). On appelle fonction sinus la fonction définie sur R par x sin(x). Pour tout réel x, on a : cos(x + ) = cos(x) et sin(x + ) = sin(x). On dit que les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période. Pour tout réel x, on a : cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x). On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Représentations graphiques a) Fonction cosinus u La courbe représentative de la fonction cosinus s appelle une sinusoïde. Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u ( ; 0). Cours Page /7

8 b) Fonction sinus u La courbe représentative de la fonction sinus s appelle une sinusoïde. Elle est globalement invariante par la translation de vecteur u ( ; 0). c) Fonctions cosinus et sinus v On passe d une courbe de la fonction cosinus à la courbe de la fonction cosinus par la translation de vecteur ( ) v ; 0. Dérivation La fonction cosinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction sinus. La fonction sinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction cosinus. La fonction x cos(a x+ b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x a sin(a x+ b). La fonction x sin(a x+ b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x a cos(a x+ b). Cours Page 7/7