Chapitre 2. Langage et raisonnement en mathématiques. 2.1 Les règles du jeux

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1 Chapitre 2 Langage et raisonnement en mathématiques 2.1 Les règles du jeux En mathématique, il y a deux processus fondamentaux : 1. construire des objets mathématiques (nombres, fonctions, figures géométriques,...) ; 2. établir des relations entre ces objets ; les relations sont soit supposées vraies (axiomes), soit déduites des axiomes et de relations établies précédemment au moyen d un raisonnement logique (théorèmes). Les deux principales règles du jeu sont : 1. La précision du langage Les mathématiques, comme toutes les autres sciences, sont formulées en langage courant. Mais il est important d expliciter, pour chaque mot correspondant à une notion mathématique, le sens précis qui lui a été donné et qui peut ḙtre différent de celui du langage courant. Exemple Le mot ou est utilisé dans le langage courant dans le sens strict ou exclusif ( Voulez-vous faire mathématique ou informatique? ) mais aussi dans le sens large ( Avez-vous eu la moyenne en mathématiques ou en physique au Bac? ). Nous Le ou mathématique est toujours employé au sens large, le sens strict étant toujours précisé à l aide de la conjonction ou bien. Exemple Dans le langage courant, faire une hypothèse c est énoncer quelque chose dont on n est pas sûr. En mathématique, une hypothèse est une affirmation supposée vraie, c est le point de départ d une démonstration, sur lequel on construit le raisonnement. 2. La rigueur des raisonnements Chaque étape du chemin qui nous mène d affirmations considérées comme vraies (hypothèses) à la conclusion doit ḙtre justifiée par un théorème précédent, une définition, un axiome ou une règle de calcul. 17

2 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES Un peu de vocabulaire Voici quelques mots et expressions qu on utilise très souvent dans un texte mathématique : Une définition est un énoncé qui introduit un nouvel objet ou notion mathématique. Un théorème est un énoncé mathématique établi par une démonstration. Le mot proposition est employé à la place du mot théorème lorsque l énoncé à prouver n est pas très difficile ou trop fondamental. Remarque En logique mathématique, le mot proposition a le même sens que que le mot assertion. Un corollaire est un énoncé qui se déduit facilement d un théorème ou d une proposition. Un lemme est un énoncé préliminaire à la preuve d un théorème ou d une proposition. Remarquons aussi que, pour la correction du langage, toues les lettres utilisées dans un texte mathématique pour désigner des objets mathématiques doivent ḙtre explicitement introduites. Les énoncés qui définissent ou nomment un objet mathématique son en général de la forme suivante : Soit x un nombre réel. Notons ε un nombre réel strictement positif. Considérons une fonction f définie sur R et à valeure réelles. Soient a et b deux nombres complexes, posons c a b. 2.3 Les méthodes de raisonnement L objectif d un premier cours d algèbre à l université n est pas seulement de donner à l étudiant un certaine quantité de connaissances mais aussi (et peut- ḙtre surtout) de le familiariser avec le raisonnement mathématique, la construction et la rédaction de démonstrations correctes. Vous devrez donc prḙter une grande attention a l écriture très précise des hypothèses et des conclusions. Le plus grand problème peut-ḙtre quelques fois : quel est le sens de la question, qu est-ce qu il y a à chercher? Comment faire une Démonstration? En général, on a des objets donnés dans l énoncé, des hypothèses c est-à-dire des propriétés de ces objets qui sont supposées vraies, et il s agit de démontrer un but, qui est une propriété que l on doit établir et qui concerne ces mḙmes objets, à laide des hypothèses et des propriétés déjà connues. La question est comment s y prendre pour aboutir au but

3 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES 19 à partir des hypothèses? Toutes les démonstrations ne se réduisent pas à des automatismes, il n y a pas de méthode systématique, pour chaque problème on essaye de trouver et d appliquer la méthode de démonstration qui convient. Nous allons exposer dans la suite r : le raisonnement direct, par contraposée, par l absurde, par contre-exemple, par disjonction des cas et par récurrence Le raisonnement direct Le raisonnement direct consiste à montrer une implication. C est la méthode de raisonnement la plus fréquente et on la préfère, chaque fois que possible. Pour démontrer l implication (P Q), on suppose que P est vraie et on démontre Q (que Q est vraie). Autrement dit, on ajoute P aux hypothèses et on remplace le but par Q. Exemple Soit x un nombre réel, considérons les assertions suivantes : P (x) : x < 0, 1 Q(x) : 2x 2 x < 0, 12 Montrons l implication P (x) Q(x) P (x) : x < 0, 1 0 x 2 < 0, 01 2x 2 x 2x 2 + x < 2 0, 01+0, 1 0, 12 On a donc démontré le résultat suivant : pour que 2x 2 x < 0, 12, il suffit que x < 0, Le raisonnement par contraposée Si on doit démontrer une assertion et si on connaˆıt une deuxième assertion qui lui est équivalente et qui est plus facile à démontrer, alors il suffit de démontrer cette deuxième assertion. Or on sait qu une implication est équivalente à sa contraposée. On peut donc remplacer une implication (P Q) par sa contraposée (nonq nonp ) si celle-ci est plus facile à démontrer. On dit alors qu on raisonne par contraposée. Exemple Soient donc x 1 et x 2 dans [1, 2], et la fonction x f(x) x 2. Nous voulons démontrer l implication suivante : x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). Supposons f(x 1 ) f(x 2 ) (non Q) c est à dire x 2 1 x 2 2 et comme x 1 > 0 et x 2 > 0 alors x 1 x 2 (nonp ). Par conséquent on a : non Q nonp, soit P Q.

4 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES Le raisonnement par l absurde C est une méthode de démonstration qu on utilise très souvent. Le principe de cette méthode est le suivant : On veut démontrer qu une assertion P est vraie. On suppose que P est fausse. Si on arrive alors à en déduire une assertion fausse (on trouve une contradiction), on doit conclure que P est vraie. Exemple Montrons que Le nombre 2 n est pas rationnel. Nous voulons prouver l assertion P : 2 n est pas un nombre rationnel. Supposons que 2 est un nombre rationnel (non P ). Alors il existe deux entiers naturels a et b premiers entre eux tels que 2 a b. On a donc l équation 2b2 a 2, donc le nombre a 2 est pair. Il en découle que a est pair, donc il existe k N tel que b 2 2k, le nombre b 2 est pair, ainsi que b. Or, l assertion a est pair et b est pair est fausse, car a et b sont premiers entre eux. On conclut que P est vraie Utiliser un contre-exemple Un contre-exemple permet de montrer qu une assertion est fausse. Exemple Soient a, b, c et d des nombres réels tels que a b et c d, a-t-on toujours ac bd? C est faut, pour le prouver il suffit de donner un contre-exemple : si a 3, b 3, c et d 1 on a a b et c d mais ac 18 > 3 bd La disjonction des cas (ou raisonnement cas par cas) Ce type de preuve apparaˆıt par exemple dans les problèmes dépendant d un paramètre. Exemple Le raisonnement par récurrence Soit P (n) une propriété qui dépend de l entier naturel n, définie pour n 0 ou pour n n 0, où n 0 est un entier donné. Par exemple : P(n) : 2 n + 3 n 2, P(n) : n! > 3 n La méthode de raisonnement qui convient ici est le raisonnement par récurrence dont voici le principe : Soit P (n) une propriété dépendant d un entier naturel n. Soit n 0 N, supposons que : 1. P (n 0 ) est vraie. 2. Pour chaque entier k n 0 on a l implication : P (k) P (k + 1)

5 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES 21 Alors pour tout entier naturel n n 0, la propriété P (n) est vraie. Remarque Pour démontrer certaines propriétés, il est nécessaire d utiliser une variante du principe de récurrence (dans la condition 2, on suppose que la propriété est vraie de l étape initiale jusqu à l étape k ; l énoncé complet et un exemple se trouvent dans les compléments de cours à la fin du chapitre). Exemple Pour quels entiers naturels n n a-t-on 2 n n!? Pour tout n N, notons P(n) la propriété : 2 n n!. On a !, donc P(0) est vraie ; > 1! 1, donc P(1) est fausse ; on vérifie facilement que P(2) et P(3) sont fausses et que P(4) est vraie ( !). Montrons que pour chaque entier k 4 on a : P(k) P(k + 1). Soit k 4 et supposons P(k) vraie ; alors 2 k k (k + 1) k! (k + 1)!, ou n 4.

6 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES 22 Exercices Exercice 2.1. Tout nombre entier naturel divisible par 21 est-il divisible par 7? Exercice Soit p 1, p 2,..., p n n nombres premiers. Montrer que l entier N p 1 p 2... p n + 1 n est divisible par aucun des entiers p i. 2. Utiliser la question précédente pour montrer par l absurde qu il existe une infinité de nombres premiers. Exercice 2.3. Montrer que ε > 0 N N tel que (n N 2 ε < 2n+1 n+2 < 2 + ε). Exercice 2.4. Montrer : n n(n + 1) 1. k n N. 2 n 2. k 2 n(n + 1)(2n + 1) n N. Exercice 2.5. Soit la suite (x n ) n N définie par x 0 4 et x n+1 2x2 n 3 x n Montrer que : n N x n > Montrer que : n N x n+1 3 > 3 2 (x n 3). 3. Montrer que : n N x n ( 3 2) n + 3.

7 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES Solutions Solution 2.1. Rappelons tout d abord les définitions utiles pour répondre à cette question. L ensemble N des ensembles naturels est constitué des nombres 0,1,2,3,4,... Si a et b sont des entiers naturels, a est divisible par b s il existe q dans N tel que a bq Soit n un entier naturel divisible par 21, alors il existe q dans N vérifiant n 21q. Puisque , on a n (7 3)q 7(3q) et n est divisible par 7. La réponse est donc oui tout nombre divisible par 21 est divisible par 7. Solution Montrons la contraposée. S il existe i tel que p i divise N p 1 p 2... p n + 1 (i est fixé) alors il existe k Z tel que N kp i donc p i (k p 1 p 2... p i 1 p i+1... p n ) 1 soit p i q 1 (avec q k p 1 p 2... p i 1 p i+1... p n un nombre entier) Donc p i Z et 1/p i q Z, alors p i vaut 1 ou 1. Et donc p i n est pas un nombre premier. 2. Raisonnons par l absurde : s il n existe qu un nombre fini n de nombres premiers p 1,..., p n alors N p 1 p 2... p n + 1 est un nombre premier car divisible par aucun nombre premier autre que lui même (c est le 1.). Mais N est strictement supérieur à tous les p i. Conclusion on a construit un nombre premier N différent des p i, il y a donc au moins n + 1 nombres premiers, ce qui est absurde. Solution 2.3. Remarquons d abord que pour n N, 2n+1 n+2 Étant donné ε > 0, nous avons donc n N 2n + 1 n + 2 < 2 + ε Maintenant nous cherchons une condition sur n pour que l inégalité soit vraie. 2 ε < 2n + 1 n ε < 2n + 1 n + 2 (2 ε)(n + 2) < 2n < ε(n + 2) n > 3 ε 2 2 car 2n + 1 2(n + 2).

8 CHAPITRE 2. LANGAGE ET RAISONNEMENT EN MATHÉMATIQUES 24 Ici ε nous est donné, nous prenons un N N tel que N > 3 2, alors pour tout n N ε nous avons n N > 3 2n+1 2 et par conséquent : 2 ε <. Conclusion : étant donné ε n+2 ε > 0, nous avons trouvé un N N tel que pour tout n N on ait 2 ε < 2n+1 et n+2 2n+1 < 2 + ε. n+2 Nous venons de démonter que la limite de la suite de terme (2n + 1)/(n + 2) tend vers 2 quand n tend vers +. Solution 2.4. Considérons la deuxième égalité. Soit A n, n N l assertion suivante : (A n ) n n(n + 1)(2n + 1). A 0 est vraie (1 1). Étant donné n N supposons que A n soit vraie. Alors n+1 k 2 n k 2 + (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) + (n + 1)2 (n + 1)(n(2n + 1) + (n + 1)) (n + 1)(n + 2)(2(n + 1) + 1) Ce qui prouve A n+1. Par le principe de récurrence nous venons de montrer que A n est vraie pour tout n N.