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1 EXEMPLE : FAILLITE D ENTREPRISES Cet exemple a pour objectif d étudier la faillite d entreprises. Les données proviennent de l ouvrage de R.A.Johnson et D.W Wichern : Applied Multivariate Statistical Analysis», Prentice-Hall, 1982 Ces données financières annuelles ont été recueillies sur des entreprises approximativement deux ans avant leur faillite, et à peu prés à la même époque, sur des sociétés financièrement solides. On dispose de quatre ratios pour décrire la situation financière de 46 entreprises. X1 = Cash flow/ Dette totale X2 = Revenu net / Total des actifs au bilan X3 = Actif réalisable et disponible / Passif courant X4 = Actif réalisable et disponible / Ventes nettes Y= 1 si faillite, 2 sinon Dans ce document nous présentons les résultats obtenus avec la procédure LOGISTIC du logiciel SAS. Page 1 sur 30

2 Tableau 1 : les données Obs. X1 X2 X3 X4 Y num Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite OK OK OK 24+ Page 2 sur 30

3 Obs. X1 X2 X3 X4 Y num OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK 46+ Page 3 sur 30

4 QUESTION 1 : CONSTRUCTION D UN MODELE DE REGRESSION LOGISTIQUE RELIANT Y AUX VARIABLES X1, X2, X3, X4. Procédure LOGISTIC Model Information Table Variable de réponse WORK.DONNEES Y Nombre de niveaux de réponse 2 Modèle Technique d'optimisation logit binaire Score de Fisher Nombre d'observations lues 46 Nombre d'observations utili 46 Response Profile Ordered Value Y Total Frequency 1 Faillite 21 2 OK 25 La probabilité modélisée est Y='Faillite'. Page 4 sur 30

5 Le tableau 2 (obtenu à l aide de l instruction simple) permet de comparer le groupe 1 et le groupe 2 sur l ensemble des variables explicatives. On remarque que pour le groupe 2 les moyennes des variables X1, X2, X3 sont plus élevées. En revanche les moyennes de X4 sont très voisines pour les deux groupes. TABLEAU 2 : Descriptive Statistics for Continuous Variables Variable Y Mean Standard Deviation Minimum Maximum X1 Faillite OK Total X2 Faillite OK Total X3 Faillite OK Total X4 Faillite OK Total Page 5 sur 30

6 TABLEAU 3 : Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score Wald TABLEAU 4: Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X X X X Les tests du rapport des vraisemblances, du score ou de Wald présentés dans le tableau 3 conduisent tous au rejet de l hypothèse H0 de nullité de l ensemble des coefficients. H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0. Néanmoins (TABLEAU 4) seule la variable X3 a un apport marginal significatif dans le modèle complet. Page 6 sur 30

7 Odds Ratio Estimates Effect Point Estimate 95% Wald Confidence Limits X1 <0.001 < X <0.001 > X X > TABLEAU 5: Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Pourcentage concordant 94.1 D de Somers Pourcentage discordant 5.7 Gamma Pourcentage lié 0.2 Tau-a Paires 525 c Page 7 sur 30

8 QUESTION 2 : Sélection ascendante des variables Etape 0. Intercept saisi : -2 Log L = Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept Residual Chi-Square Test Chi-Square DDL Pr > Khi Analysis of Effects Eligible for Entry Effect DDL Score Chi-Square Pr > Khi-2 X <.0001 X X <.0001 X Page 8 sur 30

9 Etape 1. Effet X3 saisi : Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log L Test Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score <.0001 Wald Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X Page 9 sur 30

10 Analysis of Effects Eligible for Entry Effect DDL Score Chi-Square Pr > Khi-2 X X X Etape 2. Effet X1 saisi : Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log L Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score <.0001 Wald Page 10 sur 30

11 Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X X Analysis of Effects Eligible for Entry Effect DDL Score Chi-Square Pr > Khi-2 X X Note: No (additional) effects met the 0.05 significance level for entry into the model. Step Effect Entered Summary of Forward Selection DDL Number In Score Chi-Square Pr > Khi-2 1 X < X Page 11 sur 30

12 Sélection descendante des variables Etape 0. Les effets suivants ont été saisis : Intercept X1 X2 X3 X4 Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score Wald Page 12 sur 30

13 Etape 1. Effet X2 supprimé : Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score <.0001 Wald Residual Chi-Square Test Chi-Square DDL Pr > Khi Page 13 sur 30

14 Etape 2. Effet X4 supprimé : Model Convergence Status Critère de convergence (GCONV=1E-8) respecté. Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Test Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score <.0001 Wald Residual Chi-Square Test Chi-Square DDL Pr > Khi Note: No (additional) effects met the 0.05 significance level for removal from the model. Page 14 sur 30

15 Step Effect Removed Summary of Backward Elimination DDL Number In Wald Chi-Square Pr > Khi-2 1 X X Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X X Odds Ratio Estimates Effect Point Estimate 95% Wald Confidence Limits X < X Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Pourcentage concordant 93.5 D de Somers Pourcentage discordant 6.3 Gamma Pourcentage lié 0.2 Tau-a Paires 525 c Page 15 sur 30

16 Regression Models Selected by Score Criterion Number of Variables Score Chi-Square X X X X X2 X X1 X X3 X X1 X X1 X X2 X X2 X3 X X1 X2 X X1 X3 X X1 X2 X X1 X2 X3 X4 Variables Included in Model Page 16 sur 30

17 QUESTION 3 : TEST 2 = 4 =0 Linear Hypotheses Testing Results Label Wald Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Test Page 17 sur 30

18 QUESTION 4: TEST LACK OF FIT DE HOSMER ET LEMESHOW Ce test basé sur la comparaison des effectifs observés et des effectifs prévus dans chaque groupe constitué en fonction du risque de faillite, permet de tester si le modèle construit est correct. Le niveau de probabilité associé à la statistique calculée confirme l intérêt du modèle construit à l aide des variables X1 et X3. Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X X Page 18 sur 30

19 Partition for the Hosmer and Lemeshow Test Group Total Y = Faillite Y = OK Observed Expected Observed Expected Hosmer and Lemeshow Goodness-of-Fit Test Chi-Square DDL Pr > Khi Page 19 sur 30

20 QUESTION 5 : REPRESENTATION DES DONNEES DANS LE PLAN X1 X3 Commentaires : Le graphique présenté dans le graphique qui suit visualise dans le plan défini par les variables X1 et X3 la droite correspondant à la probabilité 0,5 de faire faillite. En notant g la fonction définie par g(x) = 5,9674-6,5887 X1-3,0322 X3 il suffit d écrire qu une probabilité de faire faillite égale à 0,5 correspond à g(x) = 0. Ceci justifie la définition de la variable X5 définie dans le programme SAS et représentée en fonction de X1 dans le graphique proposé au sein du tableau 7. On remarque sur ce graphique qu en prenant un seuil de décision égal à 0,5 quatre individus sont mal reclassés. Il s agit des entreprises 13, 15, 16 et 34. Pour les entreprises 13, 15, 16 la probabilité de faillite prévue par le modèle construit est inférieure à 0,5. En réalité elles ont fait faillite. L entreprise 34 pour laquelle la probabilité prévue de faillite est égale à 0,9746 n a elle pas fait faillite. (cf tableau 8) Page 20 sur 30

21 VISUALISATION DE LA DROITE CORRESPONDANT A UNE PROBABILITE 0,5 DE FAIRE FAILLITE X3 6 ˆ 5 ˆ > 46+ > 27+ > 26+ > ˆ > 24+ * 3 ˆ * > 40+ > 44+ * 35+ ** > < ^ 45+ * ^ > 22+ ** 36+ < ^ ^ > 30+ > 39+ * *** > 13- > ˆ 29+ < * > 23+ > 43+ > 16- ** *** 15- < > 31+ > > 18- * *** > 2-5- < ^ > 7- ** ** > <> 8- > 9- * > 21- > 19- > 12- * ** > 41+ > 1- > 14- > 20- ** 1 ˆ > 3- * * * * > 6- * * > 34+ > 11-0 ˆ Šƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒƒˆƒ Page 21 sur 30

22 QUESTION 6 Note: 1 observation was deleted due to missing values for the response or explanatory variables. Model Convergence Status Critère de convergence (GCONV=1E-8) respecté. Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Pourcentage concordant 93.5 D de Somers Pourcentage discordant 6.3 Gamma Pourcentage lié 0.2 Tau-a Paires 525 c Page 22 sur 30

23 Prob Level Table de classement Correct Incorrect Percentages Event Non- Event Event Non- Event Correct Sensitivity Specificity False POS False NEG Page 23 sur 30

24 Prob Level Table de classement Correct Incorrect Percentages Event Non- Event Event Non- Event Correct Sensitivity Specificity False POS False NEG Page 24 sur 30

25 TABLEAU 8 : Prévisions Obs. X1 X2 X3 X4 Y num xbeta stdxbeta predicted lower upper reschi resdev Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite Faillite OK OK Page 25 sur 30

26 Obs. X1 X2 X3 X4 Y num xbeta stdxbeta predicted lower upper reschi resdev OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK OK Page 26 sur 30

27 QUESTION 7 : MODELE A UNE VARIABLE X3 - REPRESENTATION GRAPHIQUE Model Fit Statistics Criterion Intercept Only Constante et Covariables AIC SC Log Test Testing Global Null Hypothesis: BETA=0 Chi-Square DDL Pr > Khi-2 Rapport de vrais <.0001 Score <.0001 Wald Analysis of Maximum Likelihood Estimates Parameter DDL Estimate Standard Error Wald Chi-Square Pr > Khi-2 Intercept X Page 27 sur 30

28 Association of Predicted Probabilities and Observed Responses Pourcentage concordant 91.4 D de Somers Pourcentage discordant 8.4 Gamma Pourcentage lié 0.2 Tau-a Paires 525 c Page 28 sur 30

29 Page 29 sur 30

30 Page 30 sur 30

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