Les variables quantitatives

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1 Chapitre 2 Les variables quantitatives Rappel : Les variables quantitatives portent sur des quantités, des choses dénombrables. Le traitement des variables quantitatives n est pas différent de celui des variables qualitatives. En effet, on commence toujours par tracer un tableau de traitement que l on remplit au fur et à mesure des calculs effectués. A ceci près que les variables quantitatives permettent un plus grand nombre d opération. Elles apparaissent donc plus complexes. Nous commencerons par les variables quantitatives discrètes et terminerons par les variables quantitatives continues. 2.1 Les variables quantitatives discrètes Les exemples qui vont suivre s appuie sur la variable» absence «sont tirés du tableau de donnée brut vu plus haut. Traitement d une variable quantitative discrètes Le tableau de traitement d une variable quantitative discrète commence, comme les variables qualitatives, par trois colonnes : la première pour les modalités (ou valeurs), la deuxième pour les effectifs absolus et la troisième pour les fréquences relatives (Je ne reviens pas sur leur calcul). Pour la variable» absence «on aura donc le tableau suivant : Nb absences x i n i f i (%) , , Total En plus des effectifs absolus et des fréquences relatives, le tableau de traitement d une variable quantitative discrète est complété par les effectifs cumulés 1

2 2. Les variables quantitatives croissants et décroissants ainsi que les fréquences cumulées croissantes et décroissantes. Qu est-ce que c est? Un effectif cumulé croissant est la somme des effectifs absolus inférieurs ou égal à la modalité x i. On note N i les effectifs cumulés croissants. N 1 = n 1 N 2 = n 1 + n 2... N k = n 1 + n 2 + n k = n Un effectif cumulé décroissant est la différence entre l effectif total et l effectif cumulé croissant de la modalité x i correspondante. On note N i les effectifs cumulés décroissants. N i = n N i (2.1) Une fréquence cumulée croissante est la même chose qu un effectif cumulé croissant mais appliqué aux fréquences relatives. On note F i les fréquences cumulées croissantes. F 1 = f 1 F 2 = f 1 + f 2... F k = f 1 + f 2 + f k = f Une fréquence cumulée décroissante est la différence entre la somme des fréquences (soit 1 ou 100) et la fréquence cumulée croissante F i correspondant à la modalité x i. On note F i les fréquences cumulées décroissantes. F i = 1 F i (2.2) Ou : F i = 100 F i(%) (2.3) Illustration avec la variable «Nombre d absences» : 2

3 2.1. Les variables quantitatives discrètes 1. Effectifs cumulés croissants : N 1 = n 1 = 1 N 2 = n 1 + n 2 = N 1 + n 2 = = 3 N 3 = N 2 + n 3 = = 6 2. Effectifs cumulés décroissants : N 1 = 6 N 1 = 6 1 = 5 (2.4) N 2 = 6 N 2 = 6 3 = 3 (2.5) N 3 = 6 N 3 = 6 6 = 0 (2.6) 3. Fréquences cumulées croissantes : F 1 = f 1 = 16,7 (2.7) F 2 = f 1 + f 2 = F 1 + f 2 = 16,7 + 33,3 = 50 (2.8) F 3 = F 2 + f 3 = = 100 (2.9) 4. Fréquences cumulées décroissantes : F 1 = 100 F 1 = ,7 = 83,3 (2.10) F 2 = 100 F 2 = = 50 (2.11) F 3 = 100 F 3 = = 0 (2.12) Une fois les effectifs et les fréquences cumulés calculés, on les reporte dans le tableau de traitement comme ci-après : Représentation d une variable quantitative discrètes Une variable quantitative discrète est représentée graphiquement par un diagramme en bâton. Ce type de diagramme n est pas très différent d un diagramme à bande. En effet la hauteur des «bâtons» est proportionnelle aux effectifs absolus (ou fréquences relatives) de chaque modalité. On reporte en abscisses, les valeurs x i de la variables et sur l axe des ordonnées les effectifs absolus (ou fréquences relatives). Exemple à partir du tableau ci-dessus (on s occupe ici uniquement des trois premières co- 3

4 2. Les variables quantitatives Tableau 2.1 Nombre d absences. Nb absences x i n i f i (%) N i N i F i F i , ,7 83, , Total lonnes). 4

5 2.1. Les variables quantitatives discrètes fréquences relatives (%) ,3(%) 50(%) 16,7(%) Nombre d absences Figure 2.1 Diagramme en bâtons. Une représentation graphique est également utilisé dans le cadre des effectifs et fréquences cumulés : il s agit d un diagramme cumulatif. Ici, le diagramme est construit à partir des fréquences cumulées mais le mode opératoire est le même pour les effectifs cumulés. Pour construire un diagramme cumulatif, on place les valeurs x i sur l axe des abscisses et les fréquences cumulées sur l axe des ordonnées. Ensuite on trace un segment entre chacun de ces points et la valeur x i inférieure. Exemple : 5

6 2. Les variables quantitatives (%) fréquences relatives (%) (%) 16,7(%) Nombre d absences Figure 2.2 diagramme cumulatif. 2.2 Variable quantitative continue Les variables quantitatives continues constituent les variables sur lesquelles nous travaillerons principalement mais ce sont aussi les plus complexes car elles demandent un grand nombre d opération pour être traiter convenablement. Traiter et organiser une variable quantitative continue En plus des effectifs absolus, des fréquences relatives, des effectifs et des fréquences cumulés, le traitement d une variable quantitative continue nécessite souvent le regroupement des valeurs en classes, la définition de l amplitude de ces classes et leur centre. Une «classe statistique» est composée de plusieurs valeurs qui se suivent. On utilise les classes pour augmenter la lisibilité des données. Par exemple, à 6

7 2.2. Variable quantitative continue l issue d une enquête statistique, on peut regrouper les âges en classes de façon à ce que les individus âgés de 18 à ans se retrouvent dans une même classe, ceux âgés de 21 à 29 ans dans une autre classe, etc. On note une classe entre crochets de la façon suivante : [x ;y[. Le crochet ouvert (celui après le y) signifie que tous les individus qui ont la valeur y sont exclus de la classe. Par exemple, la classe 18 à ans donnera [18 ;21[ où tous les individus âgés de 21 ans et plus seront exclus. L amplitude correspond à l écart entre la valeur supérieure (on parle aussi de borne) et la valeur inférieure. Pour continuer sur l exemple de l âge, l amplitude de la classe [18 ;21[ est de 3. Il suffit de faire = 3. le centre d une classe correspond à la valeur «centrale» de cette classe. Pour le calculer on utilise l opération suivante : x+y 2 ; où x est la valeur inférieure et y la valeur supérieure. Le centre de la classe d âges [18 ;21[ est de 19,5 : = 19,5. Le tableau de traitement d une variable quantitative continue comportera 4 colonnes supplémentaires dans lesquelles on reportera les classes, leur amplitude et leur centre. Extrémités Amplitude centre de classe Classes x 1 a1 c1 [x1;x2[ x 2 a2 c2 [x2;x3[ x 3 a3 c3 [x3;x4[ x 4 a4 c4 [x4;x5[ x 5 Total 7

8 2. Les variables quantitatives Pour encore simplifier, il arrive souvent que les amplitudes des classes d une même variable x i n aient pas la même amplitude, c est-à-dire que l écart entre la valeur inférieure et la valeur supérieure est différent d une classe à l autre. Cette particularité implique alors un traitement différent pour les variables quantitative continue dont les classes ont une amplitude égale et celles dont les classes ont une amplitude inégale. Nous nous intéresserons d abord au premier cas, puis nous finirons par le second. Je garderai la variable «nombre de notes» comme exemple. Nous verrons ainsi qu une même variable peut être composée de classes d amplitude égale ou inégale. Je redonne ci-dessous le tableau des données brutes. Individus Notes ω 1 15 ω 2 10 ω 2 5 ω 3 10 ω 4 15 ω 5 10 Classes d amplitude égale Dans le cas d une variable quanti. continue dont l amplitude des classes 1 est la même, il suffit de rajouter les 4 colonnes que nous venons de voir (extrémités, a i, centre de classe et classes) aux 6 autres colonnes (n i,f i,n i,n i,f i,f i ). On obtient alors le tableau suivant : Dans ce tableau, nous trouvons plusieurs informations. les extrémités (1ère colonne) ce sont les valeurs qui servent de «bornes» pour délimiter les différentes classes. Les classes(4ème colonne) On voit ainsi des nombres entre crochets : [0 ;5[, [5 ;10[, [10 ;15[ et [15 ;[. Cela signifie que dans la classe [0 ;5[ on a regroupé tous les individus ayant obtenu une note strictement inférieur à 5. Ceux qui ont obtenu 5 sont exclus de cette première classe et se retrouvent dans la classe supérieur [5 ;10[, etc. 1. A partir de maintenant, je désignerai l amplitude par a i. 8

9 2.2. Variable quantitative continue Tableau 2.2 Traitement d une variable avec a i identique(«nombre de notes»). Extrémités Amplitude centre Classes n i f i N i N i F i F i de classe ,5 [0-5[ ,5 [5-10[ 1 16, , , ,7 83,3 5 12,5 [10-15[ , ,7 33,3 5 17,5 [15-[ 2 33, , Total L amplitude (2ème colonne) c est le cœur du sujet. On sait que pour déterminer une amplitude de classe, on soustrait la valeur (ou borne) supérieure par la valeur (ou la borne) inférieure. Dans le cas de la classe [0 ;5[, on fait 5 0 = 5. Dans le tableau, on remarquera que toutes les amplitudes sont identiques (a i = 5). L amplitude de classe est une donnée essentielle pour tracer un histogramme, mode de représentation graphique d une variable quantitative continue. Centre de classe (3ème colonne) le centre de classe se calcul en faisant x (i 1)+x i 2. C est en quelque sorte la moyenne de la classe correspondante. Dans notre exemple, en prenant la classe [0 ;5[, cela donne ( Nous ne l utiliserons pas tout de suite. Effectifs et fréquences (5ème et 6ème colonnes Nous ne revenons pas sur ce qui est déjà connu. Effectifs et fréquences cumulées (4 dernières colonnes). La manière de les calculer est la même que dans le cas des variables quantitatives discrètes. Ici, j ai mis les effectifs et les fréquences cumulées pour les besoins du cours. 9

10 2. Les variables quantitatives Les effectifs cumulés croissants, les effectifs cumulés décroissants, les fréquences cumulées croissantes et les fréquences cumulées décroissantes sont des informations redondantes, il va donc de soi, en temps normal, qu il est suffisant de calculer uniquement les fréquence cumulées ou les effectifs cumulés. En situation d examen, ou d exercice, lisez bien toutes les consignes avant de commencer. Vous connaitrez ainsi les informations que l on vous demande et éviterez de perdre du temps en faisant des calculs inutiles. Ce tableau de traitement est (presque) parfait. Il est (presque) parfait car il permet de conserver un maximum de lisibilité et diminue ainsi la probabilité de faire des erreurs. Bien entendu, l ordre dans lequel les colonnes sont placées n est pas important en soi. L essentiel est de retrouver toutes ces 10 colonnes. Sont même obligatoires, les colonnes suivantes : les extrémités, les amplitudes, les centres de classe, les classes, les effectifs absolus et les fréquences relatives (en pourcentage ou non). A partir de ce tableau, il devient possible de construire l histogramme, représentation graphique d une variable quantitative continue. Un histogramme est un graphique proche du diagramme en bâton, à la différence que la largeur des rectangle dans le cas d un histogramme a un sens : elle représente la largeur des classes, autrement-dit leur amplitude. L amplitude est reportée sur l axe des abscisses (axe horizontal). La hauteur des rectangle, quant à elle, correspond aux fréquences relatives (effectifs absolus). L aire du rectangle obtenu est alors proportionnelle aux effectifs. Dans notre exemple, pour dessiner le rectangle d aire proportionnelle à la fréquence relative de la classe [5 ;10[, on procède de la façon suivante : 1. Base du rectangle Sur l axe des abscisse, on trace la base du rectangle. Cette base est proportionnelle à l amplitude. L amplitude de la classe [5 ;10[ est de 5. Si nous prenons une échelle de 1 cm pour l axe des abscisses, cela signifie que la base du rectangle devra mesurer 5 cm. Il suffit ensuite de se placer sur le repère d abscisse 5 et on trace un segment horizontale de 5 cm de longueur jusqu au repère d abscisse Hauteur du rectangle Sur l axe des ordonnées cette fois, on trace la hauteur du rectangle. Celle-ci est proportionnelle à la fréquence relative (ou effectif absolu) de la classe [5 ;10[. Dans notre exemple, la fréquence relative est de 16,7 (c est-à-dire que 16,7% des individus ont obtenu une note supérieure 10

11 2.2. Variable quantitative continue ou égale à 5 et strictement inférieure à 10). Si nous prenons une échelle de 1 cm pour l axe des ordonnées, la hauteur du rectangle devra mesurer 16,7 cm. Il suffit de se placer sur le point d abscisse 5 et de tracer un segment vertical de 16,7 cm jusqu au point d ordonnée 16,7. On finit ensuite le rectangle. 3. Poursuivre la construction de l histogramme. On répète ces opérations pour chaque classe. A noter que dans notre exemple, l effectif de la classe [0 ;5[ est de 0, le rectangle sera donc remplacé par un unique segment de 5 cm de largeur allant de 0 à 5. Voir la figure 2.3 pour la forme finale de l histogramme. N.B. Lorsque l on dessine un histogramme, mais aussi un diagramme en bande, en bâton, il est souvent plus facile d utiliser les fréquences relatives car : 1. La mise à l échelle est plus rapide. Il est plus facile de placer la fréquence 10% que l effectif correspondant (par exemple : 23 million) sur une échelle de 10 cm. 2. Les fréquences relatives demanderont une échelle moins importante pour obtenir un histogramme facilement lisible. 11

12 2. Les variables quantitatives Classes d amplitudes inégales Qu est-ce qu une variable quantitative continue avec des classes d amplitudes inégales? Pour expliquer cette notion, reprenons l exemple de la variable «notes». On se souvient, tout à l heure, nous avions regroupés individus en classes de 5 unités : [0 ;5[,[5 ;10[, [10 ;15[, [15 ;[. Dans chacune de ces classe, il y a bien 5 unités : (0,1,2,3,4),(5,6,7,8,9), (10,11,12,13,14), (15,16,17,18,19,). Maintenant, nous allons faire un nouveau regroupement avec des classes dont l amplitude est inégale : [0 ;6[, [6 ;10[, [10 ;14[, [14 ;16[,[16 ;[. On le voit ces classes ne possèdent pas toutes la même amplitude. L amplitude de chaque classe est respectivement 6, 4, 4, 2, 4. Ci-dessous tableau récapitulatif. Classes Amplitude unité [0 ;6[ 6 (0,1,2,3,4,5) [6-10[ 4 (6,7,8,9) [10-14[ 4 (10,11,12,13) [14-16[ 2 (14,15) [16 ;[ 4 (16,17,18,19) Quand on réalise un tableau pour traiter une variable avec des classes d amplitude inégale, on doit simplement ajouter une nouvelle colonne qui correspond à la densité d effectif (d i ) ou la densité de fréquence (d i ). Pour les calculer, on fait : Densité d effectif : Densité de fréquence : d i d i = effectif absolu de la classe amplitude de la classe = fréquence relative de la classe amplitude de la classe = n i a i (2.13) = f i a i (2.14) Une fois les densités définies, on les reporte dans le tableau de traitement comme dans l illustration ci-dessous : La densité d effectif (ou de fréquence) sert surtout pour tracer l histogramme. En effet, on se rappel que l histogramme est composé de rectangles juxtaposés 12

13 2.2. Variable quantitative continue Tableau 2.3 Tableau de traitement variables quanti. continue avec a i inégale. Extrémités Amplitude centre de classe Classes n i f i d i F i F i [0 ;6[ 1 16, , , ,7 83,3 4 8 [6 ;10[ , ,7 83, [10 ;14[ , , ,7 33, [14 ;16[ 2 33,3 16,5 +33, [0 ;[ Total dont les aires sont proportionnelles aux fréquences des différentes classes statistiques. Dans le cas de classes d amplitude inégale, les aires des rectangles sont proportionnelles à la densité des classes, c est-a-dire au nombre d individus existant par unité. Comparons la classe [10-14[ 2 et la classe [14 ;16[ 3. Si nous nous référons aux fréquences relatives (colonne f i ), nous pouvons dire qu il y a plus d individus dans la classe [10 ;14[ (50%) que dans la classe [14 ;16[ (33,3%). Par contre, si on se déplace d une colonne vers la droite, on remarque que la densité de la classe [10 ;14[ est de 0,75 par unité d amplitude alors que celle de la classe [14 ;16[ (est de 1 par unité d amplitude. Ce qui signifie que dans la classe [10 ;14[ il y a 0,75 individu qui ont obtenu 10,0,75 individus qui ont eu 11, etc. tandis que dans la classe [14 ;16[ il y a 1 individu qui a eu 14 et 1 individu qui a eu 15. Il y a donc plus d individu par unité dans la classe [14 ;16[ que dans la classe [10 ;14[. Ce qui est important ce n est pas tant le nombre d individus en soi mais 2. individus ayant obtenu une note supérieure ou égale à 10 et strictement inférieure à individus ayant obtenu une note supérieure ou égale à 14 et strictement inférieure à

14 2. Les variables quantitatives le nombre d individus par rapport à l «espace» qu ils se «partagent». Nous allons maintenant passer à la construction d un histogramme. Je ne reviendrais pas longuement dessus car le mode opératoire est quasiment identique qu un histogramme pour représenter la distribution d une variable avec des classes d amplitude égale. Il faut juste remplacer les effectifs ou les fréquences relatives par les densités d effectifs ou les densités de fréquences respectives (cf. fig. 2.5). Encore une fois, on remarquera (fig. 2.5 et 2.6) la présence d un polygone des fréquences (ou plutôt des densités). Cette fois-ci, pour le tracer, il faut déterminer le Plus Grand Dénominateur Commun (PGCD) des amplitudes. Dans notre cas, le PGCD est de 2 (toutes les amplitudes sont divisibles par 2). Une fois le PGCD, on subdivise chaque classe en unité d amplitude 2 (si l échelle est de 1 cm, on fait des bandes de 2 cm de largeur pour chaque rectangle. Ensuite on relie la première et la dernière unité de chaque rectangle pour faire un polygone (segment en pointillés sur la fig. 1.8). Enfin pour «fermer» on créé deux classes fictives supplémentaires de même largeur. Sur le graphique 1.9, ces deux classes supplémentaires font 2 cm de largeur. Le polygone commence donc en 2 et en 18 sur l axe des abscisses. Enfin, il est intéressant de noter que la modification des classes transforme aussi l allure de la distribution des valeurs (ici les notes). Alors que la classe modale «modale» était [10 ;15[ (fig. 2.3) dans le cas du premier regroupement, celleci est devenue la classe [14 ;16[ dans le cas du second regroupement (fig. 2.5). Cet exemple montre que les opérations de «codage», de regroupement ont des conséquences sur la physionomie des résultats. La définition des catégories utilisées par les pouvoirs publics font ainsi l objet de conflits récurrents : par exemple, changer la définition du chômage et vous réduirez, artificiellement, le taux de chômage d un pays. Il est alors important de se rappeler qu une enquête statistique et les données qu elle produit n ont de valeur qu à l intérieur du cadre des hypothèses formulées par les producteurs de l enquête, de la population étudiée et des notions utilisées. L une des difficulté des statistiques, au-delà des aspects purement mathématique, réside dans le renouvellement constant des interprétations avec le risque de biais que cela implique, de la conception de l enquête et des questions jusqu à l interprétation des données et l écriture d un rapport, d un mémoire, d un article ou d une thèse. 14

15 2.3. Ce qu il faut retenir sur les variables quantitatives Polygones des fréquences cumulées Pour conclure ce chapitre sur l organisation, le traitement et la représentation graphique des données, nous allons voir comment construire le polygone (ou la courbe) des fréquences cumulées (on peut le faire avec les effectifs cumulés aussi). Pour cela, nous nous intéresserons uniquement au deux dernières colonnes du tableau de traitement : F i et F i. Dans la mesure où le mode de construction est le même, que les amplitudes de classes soient égales ou non, je prendrais le dernier exemple utilisé : la variable «notes» regroupée en classes d amplitudes inégales. Le tableau a été simplifié pour ne retenir que l essentiel (pour le tableau complet voir table 2.3). Extrémités Classes F i F i 6 [0 ;6[ 16,7 83,3 10 [6 ;10[ 16,7 83,3 14 [10 ;14[ 66,7 33,3 16 [14 ;16[ [0 ;[ Total Pour construire le polygone des fréquences cumulés on ne s intéresse qu aux colonnes extrémités, classes, fréquences cumulées croissantes et fréquences cumulées décroissantes. On place alors les extrémités en abscisses et les fréquences cumulées en ordonnées. Une fois les points définis, on les relie par des segments. A savoir que la courbe des fréquences cumulées croissantes et celle des fréquences cumulées décroissantes peuvent être dessinées sur le même repère (cf. fig. 2.7). 2.3 Ce qu il faut retenir sur les variables quantitatives 1. Une variable quantitative porte sur des quantités mesurables. 2. Le tableau de traitement d une variable quantitative doit comporter autant de colonne que d opérations effectuées. 3. Les notions d effectifs et de fréquences cumulés. 15

16 2. Les variables quantitatives 4. La représentation graphique d une variable quantitative discrète est un diagramme en bâtons dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs absolus ou fréquences relatives de chaque valeur. 5. La représentation graphique des fréquences cumulées, dans le cadre d une variable quantitative discrète, prend la forme d un escalier, ascendant pour les fréquences cumulées croissantes, descendant pour les fréquences cumulées décroissantes. On parle de diagramme cumulatif. 6. Dans le cas d une variable quantitative continue regrouper en classes statistiques on n oublie pas l amplitude (a i ), le centre de classe et les extrémités (e i ). On les mets dans le tableau de traitement. 7. Une variable quantitative continue peut être regrouper en classe d amplitudes (i.e. la largeur entre l extrémité inférieure et l extrémité supérieure) égales ou inégales. 8. Si les classes ont des amplitudes inégales, il faut calculer la densité d effectifs par unité d amplitude (d i ) avec l opération suivante : d i = n i a i. On peut utiliser la densité de fréquence par unité d amplitude (d i), auquel cas on fait :d i = f i a i. 9. La représentation graphique d une variable quantitative continue est un histogramme. Il est constitué de rectangles juxtaposés dont l aire est proportionnelle aux effectifs. 10. Dans le cas où les amplitudes des classes sont identiques, on utilise l amplitude pour déterminer la largeur du rectangle et les fréquences relatives (ou effectifs absolus) pour définir sa hauteur. 11. Dans le cas où les amplitudes des classes sont inégales, la hauteur est déterminée par la densité d effectif ou de fréquence. 12. On trace aussi le polygone des fréquences (ou des effectifs,. Cela permet d afficher l allure de la distribution des valeurs. 13. La représentation graphique des fréquences cumulées, dans le cadre d une variable quantitative continue, prend la forme d une courbe ascendante pour les fréquences cumulées croissantes, descendante pour les fréquences cumulées décroissantes. 14. Les classes ainsi que toutes les autres opérations de codage sont le fruit du chercheur et de ses interprétations. 16

17 2.3. Ce qu il faut retenir sur les variables quantitatives Tableau 2.4 Synthèse des notations utilisées pour le traitement des variables. Effectif absolu Effectif total Fréquence relative Fréquence relative (en %) f i (%) Effectifs cumulés croissants n i n f i N i Effectifs cumulés décroissants N i Fréquences cumulées croissantes Fréquences cumulées décroissantes Amplitude Centre de classe Extrémités Densité d effectif Densité de fréquence F i F i a i c i e i d i d i 17

18 2. Les variables quantitatives Densité % 16.7% 50% 33.3% notes Figure 2.3 Histogramme et polygone des fréquences (a i identiques).

19 2.3. Ce qu il faut retenir sur les variables quantitatives Densité notes Figure 2.4 Allure de la distribution des notes (a i identiques). 19

20 2. Les variables quantitatives Densité de fréquence (d i ) notes 19 Figure 2.5 histogramme avec classes d amplitudes inégales et polygone des densités.

21 2.3. Ce qu il faut retenir sur les variables quantitatives Densité de fréquence (d i ) notes Figure 2.6 Allure de la distribution des notes (a i inégales). 21

22 2. Les variables quantitatives fréquences cumulées (d i ) notes Figure 2.7 polygone des fréquences cumulées croissantes et décroissantes.

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