Mécanique : Cinématique

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1 TD de synthèse : Cinématique des chaines de solides Exercice : Système bielle manivelle z r S y r A x r S2 S 3 B S uuur r B = λ t x, A = R, AB = d, R=4mm, d=mm n donne : ( ). Déterminer les vitesses angulaires suivantes : Ω/, Ω2/, Ω2/ et Ω3/ 2. Déterminer les vecteurs vitesses suivants : / / / 3. Déduire, par calcul direct (dérivation) et/ou par composition de mouvement et/ou par champ de vecteurs vitesses, deux expressions différentes pour /. 4. Déduire deux équations scalaires à partir de la question précédente. 5. Ecrire les équations qui découlent de la fermeture géométrique de la chaine des solides S-S-S2-S3. 6. Exprimer la vitesse angulaire en fonction de, et les paramètres géométriques. 7. n admet que la vitesse de rotation de la manivelle est constante est égale à =2rad/s. la courbe suivante représente l allure de la vitesse angulaire en fonction de. Interpréter vis-à-vis le signe de et le sens de Ω2/. Page

2 3 beta_point(rad/s) 2 - alfa(t) Exercice 2 : Eolienne n s'intéresse à une éolienne de petite puissance (8 KW) représentée sous forme de schéma cinématique ci-dessous : Ce système est constitué de trois solides : Le mât, de repère associé,,, ), fixe par rapport au sol tel que l axe (, ) soit dirigé suivant la verticale ascendante. Le corps, de repère associé (,,, ), en mouvement de rotation d axe (, ) par rapport au mât tel que = et (, ) = α. Les pâles 2, de repère associé 2(,,, ), en mouvement de rotation d axe (B, ) par rapport au corps tel que =. (b constant), = et (, ) = θ. Page2

3 Si un corps étranger percute une pale au point de l'endommager et de créer un «balourd» (centre de gravité G2 des pâles qui n est plus sur l axe de rotation des pâles), des effets dynamiques (vibrations) peuvent apparaitre et être à l origine d efforts qui vont user anormalement certaine pièces du système. Dans ce cas, la position du centre de gravité " des pâles 2 est défini par : " = #. (c constant).. Dessiner les deux figures de changement de bases. 2. Déterminer les torseurs cinématiques suivants : $%(/)& ' $%(2/)& ( Déterminer (" 2/) par dérivation, par composition de mouvement et par champ de vitesse Déterminer Γ(" 2/) Exercice 3 : Mécanisme d ouverture automatique L exercice porte sur l étude d un mécanisme de désenfumage d une trappe. Ce mécanisme est composé de : Un bâti () lié au repère (,,, ) Un bras (), en liaison pivot d axe (, ) avec le bâti (), lié au repère (,,, ) tel que () = (, ) = (, ) Une roulette (2), assimilée à un disque de rayon R et de centre A, en liaison picot d axe (, ) avec le bras () et lié au repère (,,, ) tel que () = (, ) = (, ) Un plateau (3), en liaison glissière d axe (*, ) avec le bat () et en liaison ponctuelle de normale (+, ) au point de contact I avec la roulette (2). Le contact au point I est maintenu avec un ressort non représenté. n donne : =,, * =,, + = -(),* =.() et + = (2) A () I B (3) C () (). Déterminer Ω(/), Ω(2/), Ω(3/) Page3

4 2. Déterminer Ω(2/3). Déduire le vecteur vitesse de roulement (2/3) Ω et le vecteur vitesse de pivotement (2/3). Ω 3. Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I de la roulette 2 par rapport au plateau Déterminer la condition de roulement sans glissement au point I. Exercice 4 : Mécanisme élévateur La figure suivante représente le schéma cinématique minimal d un mécanisme élévateur. Le solide () est en liaison glissière de direction avec le bâti (). Toutes les autres liaisons sont des liaisons pivot d axe. n donne : AB=CE=2L, AC=BE=a, CD=DF=DE=L, =.() + G B (5) E (2) (3) D (4) 4 A C F () () (). Déterminer le torseur cinématique du mouvement de () par rapport au bâti (), au point. 2. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de (2) par rapport à (), au point A. 3. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de (5) par rapport à (2), au point B. 4. Déterminer le torseur cinématique du mouvement de (5) par rapport au bâti (), au point B. 5. Déterminer la norme du vecteur vitesse (,5/) en fonction de. et 4 6. Quelle est la nature de mouvement de (5) par rapport au bâti (). Exercice 5 : Centre d usinage 5 axes (extrait du concours ATS GM 26) L usinage est une opération de transformation d un produit par enlèvement de matière. Cette opération est à la base de la fabrication de produits dans les industries mécaniques. n appelle le moyen de production associé à une opération d usinage une machine outil ou un centre d usinage. La génération d une surface par enlèvement de matière est obtenue grâce à un outil muni d au moins une arête coupante. Les différentes formes de pièces sont obtenues par des translations et des rotations de l'outil par rapport à la pièce. Page4

5 La figure 3 est un exemple de machine possédant 3 translations (X, Y et Z) et deux rotations (B et C).Une telle machine est appelée machine 5 axes (un axe est un ensemble qui gère un des mouvements élémentaire, translation ou rotation). Sur cette machine, 2 axes sont utilisés pour mettre en mouvement l'outil par rapport au bâti (ce sont les translations Y et Z) et 3 axes sont utilisés pour mettre en mouvement la pièce par rapport au bâti (ce sont la translation X et les deux rotations B et C). L objectif de cette partie est d exprimer la vitesse de l extrémité de l outil par rapport à la pièce en fonction du paramétrage proposé. Page5

6 Performances des axes «X», «Y» et «Z» du centre d usinage. Mécanique : Cinématique Variables Course Vitesse maximale Couple moteur Axe «X» (longitudinal) x(t) 8 mm 4 m/min 42 Nm Axe «Y» (transversal) y(t) 6 mm 4 m/min Non communiqué Axe «Z» (vertical) z(t) 5 mm 4 m/min Non communiqué Performances des axes «B» et «C» du centre d usinage. Variables Course Vitesse maximale Accélération angulaire Couple moteur Axe «B» θ (t) + 3 / - 5 tours/min 5 rd/s 2 68 Nm Axe «C» θ (t) tours/min rd/s 2 34 Nm La chaîne cinématique pour déplacer l'outil par rapport au bâti est fournie sur la figure suivante. 3 4 = x( t) x3 + l3 z3 A2 = l2 z3 4 D = l4 y3 3A= y(t) y 3 2 = l x3 Page6

7 D 5 = z( t) z3 = l z ù l, l, l 2, l 3 et l 4 sont des constantes liées à l architecture de la machine. z z 3 y y θ y θ x y 3 x x = x 3 z = z. Exprimer 5 6 dans la base du référentiel R3. 2. Définir et caractériser le lieu géométrique du point 5 (extrémité de l outil) dans son mouvement par rapport au repère R3, lorsque l on commande les axes «X» et «Z». 3. Donner l expression, dans la base du référentiel R3, de la vitesse du point 5 lié au solide 5, dans son mouvement par rapport à R3, en fonction de et. Cette vitesse sera notée : (5 5/3) 4. Calculer la valeur maximale de la norme du vecteur vitesse du point 5, lié au solide 5, dans son mouvement par rapport à R3. 5. Exprimer 5 dans la base du référentiel R3. 6. Donner l expression, dans la base du référentiel R3, de la vitesse du point, lié à S, dans son mouvement par rapport à R3. Cette vitesse sera notée : ( /3) 7. Exprimer le vecteur rotation de S par rapport à S3, noté Ω (S/R3), dans la base du référentiel R en fonction de θ & et de θ &. La surface usinée est définie comme un ensemble de points M de coordonnées (xm, ym, zm) dans le repère R. n notera VM S/R3 le vecteur vitesse du point M lié à S, dans son mouvement par rapport à R3. 8. Donner la relation entre les vecteurs VM S/R3, V S / 3 et Ω (S/R3). R 9. Etablir la relation vectorielle donnant la vitesse de 5 appartenant à S5 dans son mouvement V par rapport à S, notée S 5/ 5 R, en fonction notamment des vecteurs précédemment déterminés : V S 5 / 3, VM S / R3 et Ω (S/R3). 5 R. Le point 5 doit se déplacer sur la surface usinée définie comme le lieu des points M. Que devient alors cette relation? Page7

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