ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS. (x i x i 1 ) f(y i ).

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1 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS. Sommes de Riem Défiitio.. Soiet et deux réels tels que <. O ppelle sudivisio poitée, s, de [, ] tout couple ((x i ) 0 i ), (y i ) i ) tel que = x 0 < x < < x =, i {,..., } x i y i x i. O défiit le ps de l sudivisio poitée, s, comme le ps de l sudivisio (x i ) 0 i, i.e. ps(s) = ps ((x i ) 0 i ) = mx 0 i (x i+ x i ). Défiitio.2. Si s = ((x i ) 0 i ), (y i ) i ) est ue sudivisio poitée de l itervlle [, ] ( < ) et si f [, ] R, o ppelle somme de Riem de f pour cette sudivisio l vleur S( f, s) = i= (x i x i ) f(y i ). Théorème.3. Ue foctio f [, ] R est Riem itégrle si et seulemet si il existe l R tel que pour tout ε > 0, il existe α > 0 tel que si s est ue sudivisio poitée de [, ] () De plus l = f(t) dt. ps(s) < α S( f, s) l < ε. Démostrtio. Supposos que f est Riem itégrle sur [, ] et motros l covergece des sommes de Riem. Posos M = sup x [,] f(x). Soit ε > 0 et soit, d près l défiitio du cours, (φ,ψ) deux foctios e esclier telles que Remrquos que x [, ] f(x) φ(x) ψ(x), ψ(t) dt < ε. (2) f(t) dt φ(t) dt < ε, (3) x [, ] φ(x) ψ(x) f(x) φ(x) + ψ(x). Soit s ue sudivisio dptée à φ + ψ et otos s = (x i ) 0 i p. Soit s = ((x i ) 0 i ), (y i ) i ) ue sudivisio poitée de [, ]. Le choix du ps de l sudivisio poitée dépedr de s et doc de ε. L idée est d ssocier à S( f, s) ue foctio étgée, g s, dot l itégrle vut S( f, s) et de comprer g s, φ ψ et φ + ψ sur l itervlle [, ] et d e déduire u ecdremet de S( f, s). Soit g s l foctio e esclier sur [, ] defiie pr f(y i ) si x [x i, x i [ (i ), g s (x) = f() sio. Cliremet S( f, s) = g s(t) dt. Il fut mitet comprer fiemet g s et φ+ψ. E effet comme o peut le costter sur le grphique ci-dessous l propriété g s φ+ψ est fusse e géérl! Pour i {0,..., } deux cs peuvet se préseter :

2 2 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS cs fvorle il existe j {0,..., p } tel que [x i, x i+ ] ]x j, x j+ [. L propriété (3) et le fit que φ + ψ soit costte sur ]x j, x j+ [ etrîet que g s φ + ψ sur l itervlle ]x i, x i+ [ ; cs défvorle il existe j {0,..., p} tel que x j [x i, x i+ ] et ds ce cs o e peut ps comprer g s et φ + ψ mis cliremet g s (x) M sur ]x i, x i+ [ (c est l mjortio dite rutle). φ + ψ g s ]x i,x i+ [ Cs fvorle γ s φ + ψ sur [x i, x i+ ] Cs défvorle γ s φ + ψ sur [x i, x i+ ] x x i y i x i+ x x i 2 y i x i+ x 2 Comme les poits (x i ) 0 i et (x j ) 0 j p sot ordoés il y u plus p cs défvorles (ce omre e dépedt ps de g s mis de φ + ψ i.e. de ε). O otiet doc les deux iéglités (4) (5) cs fvorle (x i+ x i ) f(y i ) cs fvorle (x i+ x i ) f(y i ) cs défvorle Si M ε = sup x [,] ( φ(x) + ψ(x) ) lors (6) φ(t)+ψ(t) dt pm ε ps(s) Les iéglités (4) (6) etrîet que S( f, s) = De l même fço o démotre que cs fvorle g s (t) dt cs défvorle x i x i+ x i x i+ x φ(t) + ψ(t) dt M(x i+ x i ) pm ps(s) φ(t)+ψ(t) dt φ(t) ψ(t) dt pps(s)(m ε + M) (φ(t) + ψ(t) dt + pps(s)(m ε + M). φ(t)+ψ(t) dt+ pm ε ps(s). g(t) dt = S( f, s).

3 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS 3 Les deux iéglités précédetes impliquet que S( f, s) φ(t) dt ψ(t) dt + pps(s)(m ε + M). Défiissos α > 0 tel que αp(m ε + M) < ε (l costte α e déped que de p, M ε et M mis e déped ps de g s ). Si l sudivisio poitée s est telle que ps(s) < α lors et vec (2) S( f, s) S( f, s) φ(t) dt < 2ε f(t) dt < 3ε. Aisi si f est Riem itégrle lors les sommes de Riem coverget vers f(t) dt qud le ps de l sudivisio ted vers 0. Réciproque. Supposos que les sommes de Riem coverget et motros que pour tout ε > 0 il existe φ, ψ foctios e esclier sur [, ] telles que (7) ψ f φ sur [, ], et (φ ψ)(t) dt < ε, ce qui équivut d près u lemme du cours à f Riem itégrle sur [, ]. L qutité M = sup x [,] f(x) est écessiremet fii, cr sio S( f, s) serit ussi grd que l o veut pour ue sudivisio de ps ritriremet petit ce qui cotredirit l covergece des sommes de Riem vers u réel fii. Soiet ε > 0 et α > 0 tels que les coditios () sur les sommes de Riem soit vérifiées. Soit s = (x i ) 0 i ue sudivisio de ps strictemet iférieur à α. Soit β > 0 (qui ser précisé ultérieuremet). Pour tout i {,..., } soit y i tel que x i y i x i, sup f(x) β f(y i ) sup f(x). x [x i,x i ] x [x i,x i ] Les y i existet (pr défiitio de l ore supérieure) et dépedet de β. Soit l sudivisio poitée t = ((x i ) 0 i, (y i ) i ) qui vérifie ps(t) < α et doc (8) S( f, t) l < ε. Défiissos l foctio φ e esclier sur [, ] pr sup f(y) si x i x < x i ( i ), φ(x) = y [x i,x i ] f() sio. Il est clir que f φ sur [, ] et que d où φ(t) dt β( ) S( f, t) S( f, t) L iéglité trigulire et (8) ous doet (9) l φ(t) dt β( ). φ(t) dt < ε + β( ). φ(t) dt, Pour l miortio, recommeços! Pour tout i {,..., } soit y i tel que x i y i x i, if f(x) x [x i,x i ] f(y i) if f(x) + β. x [x i,x i ]

4 4 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS Les y i existet et dépedet de β. De l même fço o défiit l sudivisio poitée t = ((x i ) 0 i, (y i ) i ) qui vérifie ps(t) < α et doc S( f, t ) l < ε. Défiissos l foctio ψ e esclier sur [, ] pr if ψ(x) = f(y) si x i x < x i ( i ), y [x i,x i ] f() sio. Il est clir que ψ f sur [, ] et que ce qui doe e utilist (8) (0) l ψ(t) dt S( f, t) ψ(t) dt + β( ), ψ(t) dt < ε + β( ). Pour coclure utilisos les iéglités (9) et (0) et l iéglité trigulire : o otiet φ(t) ψ(t) dt < 2ε + 2β( ). Il suffit doc de choisir β > 0 tel que β( ) < ε pour coclure que ous vos costruit deux foctios e esclier sur [, ], φ et ψ, telles que ψ f φ sur [, ] et φ(t) ψ(t) dt < 4ε. À ue oe rédctio près, l foctio f est Riem itégrle sur [, ]... Applictios.... Clcul d ue itégrle. Pour α R {±}, clculos l itégrle J α = 0 π l ( 2α cos(t) + α 2 ) dt. L étude de l foctio t ( 2α cos(t) + α 2 ) et l coditio α ± permet de coclure que l foctio t l ( 2α cos(t) + α 2 ) est cotiue sur [0, π], doc Riem itégrle. D près le théorème.3, si s désige l sudivisio poitée x i = iπ (0 i ), y i = iπ ( i ), lors S( f, s ) ted vers J α qud ted vers l ifii (ps(s ) = π/ 0 qud + ). Si ω = exp(iπ/), ω désige ue rcie 2-ème de l uité, lors les propriétés du logrithme et u peu de clcul doet π k=0 l ( 2α cos(kπ/) + α2 ) = π l ( ( 2α cos(kπ/) + α 2 )) = π l ( (α ω k )(α ω k )) = π l ((α2 ) α + α ), scht que pour oteir l derière lige, les églités x 2 = 2 (x ωk ) et ω k = ω 2 k doet x 2 = (x ω k ) i= (x ω k ). Aisi pr simple pssge à l limite qud ted vers l ifii o otiet que J α = 0 si α < et J α = 2π l α si α >.

5 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS Étude de suite. Soit p N 0 et défiissos le terme géérl de l suite (u ) pr u = p + k. Les sommes de Riem permettet de doer l limite de l suite (u ) très fcilemet. L idée est de trsformer l somme e ue somme de Riem, i.e. trouver l foctio f et l susidivisio poitée s telles que u = S( f, s ). Il fut doc u peu de prtique, de l ituitio et les idées clires! Très souvet l sudivisio s est ue sudivisio équidistte et y i = x i ou y i = x i. Ds otre cs, si est fixé, p p + k = p p + kp p = p (x k x k ) f(x k ) = S( f, s ), où p f(x) = + px, x k = k ( k p), p y k = x k ( k ). Comme l foctio f est cotiue sur [0, ], doc itégrle u ses de Riem, o otiet que u ted vers 0 f(t) dt = l ((p+ )/p). Exercice. k () Trouver l limite de qud +. 3 () A l ide d u D.L. de l( + x), x ds u voisige de 0, clculer l limite de k + 3 qud. [à défut d u D.L. l ecdremet x x 2 /2 l( + x) x suffir] Exercice 2. Soiet f et g deux foctios cotiues sur l itervlle [0, ]. Motrer que lim + f( i )g( i + ) = 0 f(t)g(t) dt. Idictio : remrquer tout d ord que l somme ci-dessus est ps ue somme de Riem! Esuite utiliser l uiforme cotiuité pour se rmeer à ue somme de Riem. 2. Sommes de Droux Soiet f ue foctio de [, ] ( < ) ds R et s ue sudvisio de [, ]. O ote s = (x i ) 0 i. Défiitio 2.. O ppelle sommes de Droux iférieure et supérieure les qutités d(s, f) = D(s, f) = Remrque 2.2. Cliremet d(s, f) D(s, f). (x i+ x i ) if{ f(x), x [x i, x i+ ]}, (x i+ x i ) sup{ f(x), x [x i, x i+ ]}. Théorème 2.3. Pour toutes sudivisio s et t de l itervlle [, ] o () d(s, f) D(t, f). E prticulier si o défiit les qutités d( f) = sup{d(s, f), s sudivisio de [, ]}, D( f) = if{d(s, f), s sudivisio de [, ]}

6 6 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS Alors d( f) D( f). Propositio 2.4. Si s et t sot deux sudivisios telles que s t lors d(s, f) d(t, f) et D(s, f) D(t, f). Preuve de l propositio. Posos t = (x i ) 0 i et s = (y i ) 0 i p. Comme s t o sit que {x 0,..., x } {y 0,..., y p } et comme les suites sot strictemet ordoées soiet p 0 = 0 < p < < p < p = p tels que y pi = x i pour i {0,..., }. Cliremet p i+ p i (x i+ x i ) sup [x i,x i+ ] ( f(x)) = j=0 p i+ p i j=0 (y pi +j+ y pi +j) sup [x i,x i+ ] ( f(x)) (y pi +j+ y pi +j) sup [y pi + j,y pi + j+] ( f(x)), d où, pr sommtio sur i, D(t, f) D(s, f). De l même fço, les propriétés de l ore iférieure et le même découpge ous doet d(t, f) d(s, f). Preuve du théorème 2.3. Il suffit, e utilist l propositio précédete, de remrquer que d(s, f) d(s t, f) D(s t, f) D(t, f). O peut ussi crctériser les foctios Riem itégrles à l ide des sommes de Droux. Théorème 2.5. Ue foctio f [, ] R est Riem itégrle si et seulemet si d( f) = D( f). Ds ce cs f(t) dt = d( f) = D( f). Démostrtio. Supposos f Riem itégrle sur [, ]. Soit ε > 0 et soiet φ, ψ e esclier sur [, ] telles que ψ f φ sur [, ] et φ(t) ψ(t) dt < ε. Soit s ue sudvisio dptée à φ et ψ, s = (x i ) 0 i. L difficulté techique est que l propriété f φ sur [, ] etrîe ps écessiremet (x i+ x i ) sup{ f(x) ; x [x i, x i+ ]} (x i+ x i )φ ]xi,x i+ [ (cr sup{ f(x) ; x [x i, x i+ ]} peut être différet de sup{ f(x) ; x ]x i, x i+ [} Ceci ous cotrit à fire du découpge! Posos M ε = sup [,] φ et M = sup [,] f. Pour N ssez grd (/N < ps(s)/2), posos y 0 = x 0 =, y = x /N, y 2 = x + /N,..., y 2 = x /N, y 2 = x + /N, y 2+ = x = (formule géérle y 2i+ = x i /N et y 2i+2 = x i + /N pour i ), ce qui ous doe ue ouvelle sudivisio t. Qud N deviet très grd, y 2i et y 2i+ ecdret x i et isi (2) (3) (4) (5) (y 2i+ y 2i ) sup{ f(x) ; x [y 2i, y 2i+ ]} (y 2i+ y 2i )φ ]y2i,y 2i+ [ = (y 2i+ y 2i )φ ]xi,x i+ [, (y 2+2 y 2i+ ) sup{ f(x) ; x [y 2i+, y 2i+2 ]} 2M N, 2 φ(t) dt = (y i+ y i )φ ]yi,y i+ [ = (y 2i+ y 2i )φ ]y2i,y 2i+ [ + (y 2+2 y 2i+ )φ ]y2i+,y 2i+2 [ 2M ε N. (y 2+2 y 2i+ )φ ]y2i+,y 2i+2 [,

7 ÉQUIVALENCES DES DÉFINITIONS 7 Aisi (2) (5) ous doet D(t, f) = = 2 2 (y i+ y i ) sup{ f(x) ; x [y i, y i+ ]} (y 2i+ y 2i ) sup{ f(x) ; x [y 2i, y 2i+ ]} + (y 2i+ y 2i )φ ]y2i,y 2i+ [ + (y i+ y i )φ ]yi,y i+ [ φ(t) dt + 2 M ε + M N. 2M N (y 2+2 y 2i+ )φ ] y2i+,y 2i+2 [ + 2M N Ajoutos que φ(t) dt < f(t) dt + ε et ous oteos D(t, f) < f(t) dt + ε + 2 M ε + M N. Choisissos N suffismmet grd tel que 2 Mε+M (y 2+2 y 2i+ ) sup{ f(x) ; x [y 2i+, y 2i+2 ]} N < ε et isi il existe ue sudivisio t telle que D(t, f) < f(t) dt + 2ε, ce qui implique (ε étt u réel ritrire strictemet positif) que D( f) f(t) dt. De l même fço (découpge compris) o démotre que d( f) f(t) dt. Le théorème 2.3 propriété d( f) D( f) permet de coclure que d( f) = D( f) = f(t) dt. Réciproque. Ce ser plus simple. E effet supposos que d( f) = D( f). Soiet ε > 0, s et t deux sudivisios de [, ] telles que D(s, f) ε D( f) = d( f) d(t, f) + ε. Si s = (x i ) 0 i lors l foctio e esclier φ défiie pr sup φ(x) = y [xi,x i+ ] f(y) si x [x i, x i+ [ (0 i ), f() sio. est telle que f φ sur [, ] et D(s, f) = φ(t) dt. O costruit ψ de l même fço e remplçt sup pr if et o otiet ψ e esclier telle que ψ f sur [, ] et d(t, f) = ψ(t) dt. Pr hypothèse o D(s, f) d(t, f) 2ε, ce qui doe φ(t) ψ(t) dt 2ε. Aisi f est Riem itégrle. Le fit que d( f) = D( f) = f(t) dt découle de ce qui précède.