RN-codes : algorithmes d addition, de multiplication et d élévation au carré

Transcription

1 Laboratore de l Informatque du Parallélsme École Normale Supéreure de Lyon Unté Mxte de Recherche CNRS-INRIA-ENS LYON-UCBL n o 5668 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller Décembre 4 Research Report N o 4 6 École Normale Supéreure de Lyon 46 Allée d Itale, 6964 Lyon Cedex 7, France Téléphone : +() Télécopeur : +() Adresse électronque : lp@ens-lyon.fr

2 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller Décembre 4 Abstract A property of the orgnal Booth recodng s that the frst non-zero dgt followng a 1 s necessarly 1 and vce versa. Ths allows to prove that truncatng the Booth recodng of a number x s equvalent to roundng x to the nearest. P. Kornerup and J.-M. Muller nvestgated the postonal, radx β, number systems sharng ths roundng property and called them RN-codngs. Ths research report s devoted to the study of addton, multplcaton, and squarng algorthms for radx RN-codngs (.e. Booth recodngs). We show that nteger arthmetc and logc unts operatons allow to add or multply Booth recodngs. We also descrbe algorthms takng advantage of the propertes of the orgnal Booth recodng to generate optmzed hardware operators. Keywords: Computer arthmetc, RN-codngs, Booth recodng, roundng to the nearest Résumé Une proprété du recodage de Booth dans sa forme orgnale est que le premer chffre non nul qu sut un 1 est forcément 1 et récproquement. Il est facle de montrer que, dans un tel recodage, tronquer est équvalent à arrondr au plus près. P. Kornerup et J.-M. Muller ont récemment étudé dvers systèmes de numératon à chffres sgnés partageant cette proprété et les ont appelés RN-codes. Dans cet artcle, nous nous ntéressons à des algorthmes d addton et de multplcaton pour des RN-codes en base (c est-à-dre des recodages de Booth). Nous montrons qu l est possble d utlser les untés arthmétques des processeurs pour addtonner ou multpler les RN-codes consdérés. Nous proposons également des algorthmes trant part des spécfctés des RN-codes pour générer des opérateurs matérels. Mots-clés: Arthmétque des ordnateurs, RN-codes, recodage de Booth, arrond au plus près

3 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 1 1 Introducton Nous nous ntéressons à des cas partculers de représentatons à chffres sgnés des nombres. Formalsées par Avzens en 1961 [1], ces représentatons apparassaent déjà mplctement dans le recodage de Booth [] ou dans les résultats fourns par les algorthmes de dvson SRT [8, 9]. Notons encore que les premères dées dans cette drecton remontent à Cauchy [4]. Le recodage de Booth dans sa forme orgnale (à ne pas confondre avec des dées dfférentes, souvent regroupées sous le nom de recodage de Booth modfé, qu sont les seules utlsées de nos jours pour réalser des multpleurs) consste à remplacer dans l écrture bnare d un nombre les sous-chaînes de la forme par , où 1 désgne le chffre 1. L dée de Booth état d essayer de fare apparaître le plus possble de zéros dans l écrture d un multplcateur afn d effectuer des multplcatons plus rapdement et/ou avec mons de matérel. Une proprété des recodages de Booth est que le premer chffre non nul qu sut un 1 est forcément 1 et récproquement. Il est relatvement facle d en dédure que le nombre obtenu en tronquant à partr de n mporte quelle poston, dsons celle de pods p, les bts de pods fables d un tel recodage est à une dstance du nombre ntal nféreure à p 1 : dans un tel recodage, tronquer est équvalent à arrondr au plus près. Cette proprété est très ntéressante : elle évte tous les problèmes dts de double arrond. P. Kornerup et J.-M. Muller [6] ont récemment étudé les dvers systèmes à chffres sgnés qu partagent cette proprété, et les ont appelés RN-codes (où RN vent de Round to Nearest). Il ont proposé des algorthmes de converson de nombres écrts dans ces systèmes vers et depus les systèmes usuels. Ils ont entre autres obtenu le résultat suvant : Théorème (Kornerup & Muller, 4). Sot β la base de numératon utlsée. S β est mpar, alors D = d n d d n d n... d.d 1 d... est un RN-code s et seulement s, β + 1 d β 1. S β =, alors D = d n d d n d n... d.d 1 d... (avec d = 1,, 1) est un RN-code s et seulement s les chffres non nuls sont de sgnes alternés. S β est par et supéreur ou égal à 4, alors D = d n d d n d n... d.d 1 d... est un RN-code s et seulement s 1. tous les chffres sont de valeur absolue nféreure ou égale à β/ ;. s d = β/, alors le premer chffre non nul qu sut à drote de d est de sgne opposé à celu de d. Par exemple, en base, est un RN-code, tands que 1 1 1, qu représente le même nombre ne l est pas. En base, toutes les écrtures ne comportant que les chffres 1, et 1 sont des RN-codes (et on peut représenter ans tous les nombres). En base 1, consttue le début de la représentaton de π par un RN-code. Dans la sute, nous ne consdérons que des RN-codes en base (c est-à-dre des recodages de Booth). Notre but des de montrer qu l est asé de manpuler des nombres représentés dans ce système. Remarquons tout d abord que la proprété des sgnes alternés des chffres d un RN-code bnare permet de les mémorser de manère compacte (l sufft de mémorser le sgne du premer chffre non-nul, pus ensute de représenter les ±1 par le bt 1, et les zéros par le bt ). Cette représentaton compacte est ntéressante à utlser pour un stockage en mémore secondare. Pour manpuler ces codes lorsque nous effectuons des opératons arthmétques, nous représentons un nombre X de n chffres à l ade de deux vecteurs de n bts X + et X tels que X = X + X. Contrarement à la représentaton borrow-save [], nous mposons une représentaton unque du chffre, à savor x + = x =. Cette contrante garantt que X + et X ne contennent aucune chaîne de 1 de longueur supéreure à un. Exemple 1. Sot n = 8. Les nombres et s écrvent respectvement = 11 }{{} 11 }{{} et = 1111 }{{} 1111 }{{} X + X X + X

4 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller Dans la sute de cet artcle, nous présentons des algorthmes d addton (sectons et ) et de multplcaton (secton 4). Nous proposons fnalement quelques optmsatons pour mplanter l élévaton au carré (secton 5). Addton avec converson en borrow-save Le calcul d un nombre T de (n + 1) chffres en borrow-save résultant de l addton de deux RN-codes de n chffres consttue un cas partculer de l algorthme d addton en temps constant en borrow-save et permet une smplfcaton de l opérateur proposé dans []. Afn de détermner les bts postfs de T, nous addtonnons X + et Y +. Le codage adopté nous garantt que s x + = 1 (respectvement y + = 1), alors x + +1 = (respectvement y+ +1 = ). Par conséquent, s l addton de x + et de y + génère une retenue (c.-à.-d. s x + y+ = 1), cette dernère ne sera propagée que d une poston. Nous obtenons ans t + = y+ t + n = x + y+ t + +1 = (x + +1 y+ +1 ) x+ y+ {,..., n 1} Le même prncpe s applque évdemment au calcul de T. L addton avec converson en borrowsave s effectue à l ade de n cellules half-adder (ou ) et de (n 1) portes logques OR 1 (algorthme 1). Le chemn crtque de l opérateur content ans une porte logque XOR et une porte logque OR (fgure 1) et le calcul s effectue, d un pont de vue théorque, en temps constant. Algorthm 1 Addton avec converson en borrow-save. Entrées: Deux RN-codes X et Y de n chffres Sorte: Somme T de X et Y codée en borrow-save avec (n + 1) chffres 1: Calculer en parallèle U + X + Y +, U X Y, V + X + Y + et V X Y à l ade de n cellules half-adder ; : Calculer en parallèle T + v + n + (V n : + U :1 + ) + u+ et T v n + (Vn : U:1 ) + u à l ade de (n 1) portes logques OU ; Addton de deux RN-codes L algorthme étudé au paragraphe précédent consttue la premère étape de l addton de deux RN-codes de n chffres X et Y. Nous convertssons ensute la représentaton borrow-save T de X + Y en complément à deux à l ade d une soustracton, pus construsons le RN-code assocé à ce résultat. T étant un mot de (n + 1) bts, (n + ) bts sont nécessares à l écrture de ( T ) en complément à deux. Par conséquent, D = T + T est également un nombre de (n + ) bts. S nous applquons le recodage de Booth à ce résultat, nous obtenons un RN-code comportant, dans certans cas, (n + ) chffres. Exemple. Soent X = 1 et Y = 1 deux RN-codes de 4 chffres. L algorthme 1 retourne T + = et T = 1. Une fos T + et ( T ) codés en complément à deux, nous obtenons U = T + + ( T ) = Le recodage de Booth de U est un nombre S = 1 de 5 chffres. Toutefos, lorsque X = Y = 1, nous obtenons U = 1 + et S = 1 1. Remarquons que ce résultat admet également une écrture sur 5 chffres S = 1. Montrons qu l est toujours possble de coder S = X + Y à l ade de (n + 1) chffres. Nous utlsons une proprété découlant mmédatement de la défnton du RN-code consdéré dans cet artcle. 1 Nous consdérerons toujours des portes logques à deux entrées.

5 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré y + y + x+ x+ y+ 1 x+ 1 x+ y y y x x y 1 x 1 x t + 4 = v + u + t = 4 v u t + t + t + t t t t 1 t Addtonneur en base deux tradtonnelle 1 d 5 d 4 d d d 1 d Recodage de Booth Soustracton Addton et converson en borrow save s + 4 s + s + s + 1 s + s 4 s s s 1 s Fg. 1 Addton de deux RN-codes de quatre chffres. Proprété 1. S X est un RN-code de n chffres, alors X X max =. Le terme de (n + ) bts D = T + T appartent ans à { n,..., n }. Lorsque D est strctement négatf, nous dédusons de la défnton du complément à deux que d n+1 = d n = 1. Par conséquent, une fos le recodage de Booth effectué, s n+1 = et tous les nombres de l ensemble { n,..., 1} se représentent par un RN-code de (n + 1) chffres. Supposons mantenant que D {,..., n 1}. Comme d n+1 = d n =, le recodage de Booth de D produt à nouveau un RN-code de (n + 1) chffres. Le seul cas problématque survent par conséquent lorsque D = n : applqué à 1 }. {{.. } le recodage de Booth génère le nombre de (n + ) chffres 1 1 }. {{.. }. Une n n modfcaton des cellules de recodage de s + n et s n permet toutefos de représenter n à l ade du RN-code de (n + 1) chffres 1 }. {{.. } n s n = : 1 s d n+1 = et d n = 1 (c.-à.-d. D = n ) s + n = d s d n+1 = d n = (c.-à.-d. D {,..., n 1}) snon = d n+1 (d n d ) { d n d s d n+1 = 1 (c.-à.-d. D { n,..., 1}) snon = d n+1 d n d Le recodage de Booth nécesste ans deux étages de portes logques et s effectue également, d un pont de vue théorque, en temps constant. Cet étage de calcul est consttué de (n + 1) portes logques AND, d une porte logque OR et de n nverseurs. L algorthme résume les dfférentes étapes de l addton de deux RN-codes et la fgure 1 llustre l archtecture de l opérateur correspondant. Il est consttué d un addtonneur tradtonnel (addtonneur à retenue propagée, addtonneur préfxe,... ) et de logque supplémentare pour effectuer la converson en borrow-save, détermner le complément à deux de T et recoder le résultat. Dans le pre des cas, notre algorthme ajoute une porte XOR, une porte OR, deux portes AND et deux nverseurs au chemn crtque de l addtonneur.

6 4 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller D un pont de vue logcel, cet algorthme s avère plus coûteux. La premère étape de l algorthme 1 nécesste à elle seule quatre nstructons. Il est probablement plus judceux de calculer (X + X ) + (Y + Y ) à l ade de deux soustractons et d une addton, pus de recoder le résultat. Une autre soluton serat d étuder l ntégraton des deux étages de logque addtonnels dans un processeur commercal et de compléter son jeu d nstructons. Algorthm Addton de deux RN-codes de quatre chffres. Entrées: Deux RN-codes X et Y de n chffres Sorte: Un RN-code S = X + Y de (n + 1) chffres 1: Calcul de X + Y en borrow-save (algorthme 1) T X + Y ; : Calcul de D en complément à deux (n + ) bts) D T + T ; : s + ; s d ; 4: for = 1 à n 1 do 5: s + d d 1 ; s d d 1 ; 6: end for 7: s + n d n+1 (d n d ) ; s n d n+1 d n d ; Exemple. Consdérons des RN-codes de deux chffres afn d llustrer le fonctonnement de l algorthme d addton proposé. La proprété 1 ndque que D appartent à { 4,..., 4} (fgure a). Tous les nombres de cet ensemble se représentent à l ade d un RN-code de chffres D négatf D postf ou nul S négatf S postf ou nul (a) Représentaton de D en complément à deux (b) RN code représentant S Fg. Exemple d addton de deux RN-codes de deux chffres. 4 Multplcaton de deux RN-codes Afn de multpler deux RN-codes X et Y, nous pouvons par exemple calculer XY = (X + X )(Y + Y ) = X + Y + X + Y X Y + + X Y (1) en complément à deux et convertr le résultat en un RN-code. La proprété 1 garantt que le produt appartent à { n,..., n } et nous utlsons la même astuce que c-dessus afn de le coder sur (n 1) chffres. Les produts X ± Y ± et X ± Y peuvent évdemment se calculer à l ade de multpleurs non sgnés. Pluseurs proprétés des RN-codes permettent toutefos des smplfcatons notables.

7 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré Calcul de X ± Y ± et de X ± Y Nous décrvons unquement le calcul de X ± Y ±. Les proprétés et algorthmes proposés s applquent également à X ± Y. Proprété. Sot X un RN-code. S x ± = 1, alors x ± +1 = x± 1 = et x =. Cette proprété se dédut mmédatement de la défnton d un RN-code. Applquée au calcul de X ± Y ±, elle ndque que s x ± y± j = 1, tous les termes de la forme x ± 1 y k, x ± +1 y k, x ± k y± j 1 et x ± k y± j+1 sont nuls, k {,..., n 1} (fgure a). Elle permet également de rédure de moté le nombre de produts partels à addtonner (fgure c). En effet, +j (x ± y± j + x± +1 y± j 1 ) = +j (x ± y± j x± +1 y± j 1 ) Nous souhatons addtonner les produts partels en carry-save à l ade de compresseur (m, ). Rappelons que ces opérateurs génèrent un chffre de somme (c j, s j ) et (m ) bts de retenue sortante c (j) à partr de m bts de même pods λ (j) ( ) c j + m 4 = c (j) + s j = et de (m ) bts de retenue entrante c (j 1) [1] m 1 = m 4 λ (j) + = c (j 1) Il est donc ntéressant de regrouper tous les termes de même pods des produts partels dans des vecteurs de bts Λ (j) = λ (j) k 1... λ(j) qu consttueront les entrées des compresseurs (algorthme et fgure c). Nous obtenons ans (n 1) mots de comportant de 1 à n/ bts. + y = 1 x + y + 5 x + y + x x x + y = 1 x + y + j 5 x + y + x x + 4 (a) + x + y j = (7) λ = Λ (7) () λ = () λ 1 = () λ = + x + y j = (7) λ = (c) (b) Fg. Applcaton de la proprété. (a) S y+ = 1, tous les termes de la forme y k, y k, x + k y+ 1 et x+ k y+ sont nuls. (b) Multplcaton de Y + = (111) par X + = (111). (c) Regroupement des termes x + y+ j et x + +1 y+ j 1. Dans la sute, nous dénotons le chffre de pods de la somme des produts partels par (c, s ). Les proprétés des RN-codes permettent pluseurs smplfcatons de l addtonneur carrysave ntervenant dans le calcul de X ± Y ± (fgure 4) : Le chffre de pods 1 du produt est égal à Λ (1) = λ (1). La proprété garantt que s Λ () = (11), alors Λ () = (). Une retenue générée dans la colonne de pods est ans propagée d une seule poston et le bt de somme s est défn par Nous montrons de même que s = (λ () λ () 1 ) λ() λ() 1 s 4 = (λ (4) λ (4) 1 λ (4) ) λ() λ() 1

8 6 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller Algorthm Génératon des produts partels pour le calcul de X ± Y ±. Entrées: Deux RN-codes X et Y de n chffres Sorte: (n 1) termes Λ (j) = λ (j) k 1... λ(j) 1: λ () x ± y± ; λ(n ) x ± y± ; : for = à n 1 do : for j = à do 4: λ (+1) j x ± j y± +1 j x± j+1 y± j ; 5: end for 6: end for 7: for = 1 à n 1 do 8: for j = à 1 do 9: λ () j x ± j y± j x± j+1 y± j 1 ; 1: end for 11: λ () x ± y± ; 1: end for 1: for = n+1 à n do 14: for j = à n do 15: λ () j x ± +j n+1 y± n j 1 x± +j n+ y± n j ; 16: end for 17: λ () n 1 x± y± n+1 ; 18: end for 19: for = à n do : for j = à n do 1: λ (+1) j x ± +j n+ y± n j 1 x± +j n+ y± n j ; : end for : end for Par conséquent, c =, {,..., 4}. Le calcul du chffre de pods fort de X ± Y ± est plus subtl et explote la proprété suvante : Proprété. S X est un RN-code de n chffres, alors ( n 1) s n est par X ± X max ± = ( n 1) + 1 snon Cette proprété nous permet de montrer qu aucune propagaton de retenue ne provent de la colonne de pods n. De plus, s n = λ (n ) = x ± y± et c n =. S x ± = y± =, nous consdérons X ± et Y ± comme des nombres de (n 1) bts et obtenons ( ( ) 1) = n n+ + 4 < n s n est par X ± Y ± 9 ( ( ) 1) + 1 = n n < n snon 9 Le produt X ± Y ± est ans un nombre de (n ) bts et aucune retenue ne peut être générée ou propagée dans la colonne de pods n. S x ± y± = 1, nous consdérons un opérande comme un nombre de n bts et l autre comme un nombre de (n 1) bts. Ans, ( n 1) ( 1) = n+1 n+ n < n s n est par X ± Y ± 9 ( n 1) + 1 ( 1) + 1 = n+1 n+1 n + 1 < n snon 9

9 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 7 x y (8) λ (7) λ (6) (6) λ (5) (5) λ (4) λ FA (4) (4) λ () () λ () () λ (1) λ () λ (6) c (5) c (4) c s 8 s 7 s 6 s 5 s 4 s s s 1 s (a) n = 5 (6) (6) (6) λ λ λ 1 (6) c (4, ) Compresseur (6) λ (5) λ (5) c FA (5) (5) λ Compresseur (4,) (4) c (4) λ FA (4) (4) λ () () λ () () λ (1) λ () λ c 6 s 6 c 5 s 5 s 4 s s s 1 s (1) λ (11) λ (1) (1) λ (9) (9) λ (8) λ FA (8) (8) λ (7) λ FA (7) (7) λ (1) c (8) FA c Compresseur (4,) s 1 s 11 s 1 c 9 s 9 c 8 s 8 c 7 s 7 (b) n = 7 Fg. 4 Calcul de X + Y + lorsque (a) n = 5 et (b) n = 7. Le produt X ± Y ± étant un nombre de (n ) bts, aucune retenue ne peut être générée ou propagée dans la colonne de pods n. Fnalement, s x ± = y± = 1, nous dédusons de la proprété que X± Y ± <. Le produt est ans un nombre de (n 1) bts. Comme λ (n ) = x ± y± = 1, aucune propagaton de retenue ne peut provenr de la colonne de pods n. Lorsque n = 5 (fgure 4a), la proprété nous garantt qu aucune retenue n est propagée de plus d une poston. Nous obtenons ans s 5 = (λ (5) λ (5) 1 ) (λ(4) λ(4) 1 λ (4) λ(4) λ (4) 1 λ(4) ) s 7 = λ (7) λ (6) λ(6) 1 s 6 = (λ (6) λ (6) 1 ) λ(5) λ(5) 1 s 8 = λ (8) et c =, {,..., 8}. Dès que n 6, des retenues peuvent par contre se propager de pluseurs postons et nous effectuons les calculs en carry-save. La dffculté consste à dmensonner correctement les compresseurs (m, ). Exemple 4. Soent n = 6, X + = (111) et Y + = (111) (fgure b). L addton de y+ et de y+ provoque une retenue qu est propagée jusqu à la colonne de pods 8 car y+ 5 = y+ = x+ y+ 5 = 1. Lorsque n 6, le calcul de s 5 et de c 5 requert les tros termes λ (5), λ(5) 1 et λ (5), ans que la retenue c () 4 générée dans la colonne de pods 4. Nous utlsons ans un compresseur (4, ) dont l une des entrées est toujours égale à zéro (fgure 4b). Chacun des mots Λ (), 6 n 1 comportant m = +1 bts, nous calculons les couples (s, c ) à l ade de compresseurs (m, ). La seule dffculté consste à détermner le nombre de bts de retenue propagée de la colonne de pods 1 : Ce résultat reste évdemment vra pour n < 5.

10 8 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller S = 6, nous recevons un unque bt de retenue c (5). Dans tous les autres cas, nous savons que la colonne de pods 1 comporte un compresseur ( /, ) qu génère ( / ) bts c ( 1) j. Ans, lorsque est par, un bt de retenue entrante de la colonne de pods est égal à zéro. Supposons par exemple = 8. La colonne de pods 7 nécesste un compresseur (4, ) générant un seul bt de retenue c (7). La colonne de pods 8 comporte un compresseur (5, ) addtonnant cnq bts de pods 8 et deux bts de retenue entrante. L un deux est nécessarement égal à zéro, permettant ans une pette smplfcaton du compresseur (5, ) (remplacement d une cellule FA par une cellule ). S n est par, Λ (n) est un mot de n/ bts. Comme la colonne de pods content un compresseur (n/, ) et génère (n/ ) bts de retenue, nous plaçons également un compresseur (n/, ) dans la colonne de pods n. Les vecteurs Λ (n+1) et Λ (n+) comportant chacun (n/ 1) bts, l faut encore placer des compresseurs (n/, ) (dont l une des entrées est fxée à zéro) dans les colonnes de pods n+1 et n+. Remarquons mantenant que Λ (n++1) et Λ (n++) sont des mots de (n/ 1) bts. Il est facle de montrer que la somme des λ (n++1) j s effectue à l ade d un compresseur (n/, ). Consdérons la colonne de pods (n++1). Celle-c reçot (n/ ) bts de retenue et content (n/ 1) bts λ (n++1) j. Rappelons qu un compresseur (n/, ) comporte (n ) entrées. Il permet donc le tratement des (n/ )+(n/ 1) = (n/ ) bts de pods (n++1). Par conséquent, la somme des λ (n++) j se calcule également avec un compresseur (n/, ). Nous générons ans des groupes de deux compresseurs (m, ), où m = n/, et arrêtons le processus lorsque m = 4, c est-à-dre = n/ 4. La colonne de pods n 6 content donc un compresseurs (4, ) générant un bt de retenue c (n 6) que nous addtonnons à λ (n 5) et λ (n 5) 1 à l ade d une cellule FA c 5 + s 5 = λ (n 5) + λ (n 5) 1 + c (n 6) Ans, aucune retenue n est propagée à la colonne de pods n 4. Un rasonnement analogue permet l allocaton des compresseurs lorsque n est mpar. L algorthme 4 résume ces consdératons sur l addton des produts partels. Au terme de la premère boucle générant des compresseurs, nous stockons dans la varable k le nombre de bts de retenue c () générés dans la colonne de pods. Dans le cas général, ce nombre est smplement égal à n/. Toutefos, cette formule est ncorrecte lorsque n = 6. Nous avons en effet calculé un bt de retenue sortante c (5) dans la colonne de pods 5. C est pourquo nous défnssons k = max( n, 1). A chaque tératon de la seconde boucle, l est nécessare de dmensonner le compresseur (m, ). Notons que le compteur est ntalsé à n, pus décrémenté. Etant donné un ndce, l alors est facle de montrer que ( n ) + 1 m = mn, = { n/ s n est par et = n +1 snon () L expresson c-dessus est toutefos erronée s n = 6. Lors de l unque passage dans la boucle, l faut en effet nstancer un compresseur (4, ). En ntégrant cette nformaton dans l équaton (), nous obtenons fnalement ( ( n )) + 1 m = max 4, mn, 4. Premer algorthme de multplcaton Une fos les quatre produts X + Y +, X Y, X + Y et X Y + calculés, le résultat s obtent conformément à l équaton (1). Nous addtonnons en carry-save X + Y + et X Y ans que et X + Y et X Y + (fgure 5a) en tenant compte du fat que y+ + x y = x+ y+ x y x + y+ + x y = x+ y+ x y y + x y+ = x+ y x y+ x + y + x y+ = x+ y x y+ Par hypothèse, la colonne de pods (n + ) comporte un compresseur (n/ + 1, ).

11 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 9 Algorthm 4 Calcul de X ± Y ± lorsque n 6. Entrées: Deux RN-codes X et Y de n chffres avec n 7 Sorte: Produt X ± Y ± de (n 1) chffres représenté en carry-save 1: Calculer les termes Λ () à l ade l algorthme ; : Calculer en parallèle c, {, 1,,, 4, n 4, n, n }; c (4) λ (4) λ(4) 1 λ (4) λ(4) λ (4) 1 λ(4) ; c(5) λ (5) λ(5) 1 λ (5) λ(5) λ (5) 1 λ(5) ; : Calculer en parallèle s λ () ; s 5 λ (5) λ (5) 1 λ (5) c (4) ; s 1 λ (1) λ (1) 1 ; c 5 (λ (5) λ (5) 1 λ (5) )c(4) ; s (λ () λ () 1 ) λ() ; s n 4 λ (n 4) λ (n 4) 1 ; s (λ () λ () 1 ) λ() λ() 1 ; s n λ (n ) λ (n 4) λ (n 4) 1 ; s 4 (λ (4) λ (4) 1 λ (4) ) λ() λ() 1 ; s n λ (n ) ; 4: for = 6 à n 1 do 5: Calculer à l ade d un compresseur ( +1, ) c + + s = j= c () j j= 6: end for 7: k max( n, 1) ; r n ; 8: for = n à 6 do 9: m max(4, mn( n +1, )) ; 1: Calculer à l ade d un compresseur (m, ) c r + m 4 j= c (r) j λ () j + + s r = k j= 1 j= c ( 1) j, où k = max (, / 4) k 1 j + c (r 1) j j= 11: k m ; r r + 1 ; 1: end for 1: s n 5 λ (n 5) λ (n 5) 1 c (n 6) ; c n 5 λ (n 5) λ (n 5) 1 λ (n 5) c (n 6) λ (n 5) 1 c (n 6) ; λ (r)

12 1 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller Nous obtenons ans quatre vecteurs de (n 1) bts U (s), U (c), V (s) et V (c) tels que U (c) + U (s) = X + Y + + X Y et V (c) + V (s) = X + Y + X Y + où u (c) = v (c) = u (c) n = v(c) n =. Nous effectuons ensute une soustracton afn de calculer P (c) + P (s) = XY en carry-save. Les représentatons complément à deux de V (s) et de V (c) sont respectvement défnes par et Par conséquent, V (s) = 1 + V (c) = 1 + n = 1 + = ( n = 1 v (s) P (c) + P (s) = U (c) + U (s) V (c) V (s) = 4 + n = ) n = 1 + = v (s) ( ) n 1 v (c) 1 = 4 + ( ) + u (c) 1 + v(s) + v (c) = 1 = v (c) 1 ( ) + v (s) () La premère somme de l équaton () se calcule avec (n ) compresseurs (4, ) (fgure 5b). En fxant la retenue entrante du premer compresseur à 1, nous addtonnons automatquement la constante 4. Une cellule et une cellule FA calculent respectvement p (c) 1 + p (s) 1 = 1 + v (s) 1 et p (c) + p (s) = + v (s) + 1. Fnalement, nous convertssons ce résultat en complément à deux à l ade d un addtonneur tradtonnel et effectuons le recodage de Booth selon la méthode décrte dans la secton (fgure 5c). s 1 s 1 s 11 s 11 Bts provenant du calcul de s 1 c 9 s c 1 9 X + Y + Bts provenant du calcul de... X Y s 6 c 5 s 6 c 5 s 5 s 5 s 4 s 4 s s s s s 1 s 1 s s (4, ) (4, ) 1 u (c) u (c) 1 1 (a) u (c) 6 6 u (c) 5 5 u (c) 4 4 u (c) u (c) u (c) 1 1 u (c) v (s) v (c) u (c) v (s) v (c) u (c) v (s) v (c) v (s) v (s) p (s) p (s) p (s) p (s) 1 p (c) 1... p (c) p (c) 1 (4, ) (4, ) (4, ) 1 FA 1 Addtonneur en base deux tradtonnelle... p (s) 1 p (s) p (c) p (s) p (c) p (s) p (c) (b) p (s) p (c) p (s) 1 p (c) n = 14 bts Recodage chffres XY (c) Fg. 5 Produt de deux RN-codes de sept chffres. (a) Calcul de X + Y + + X Y. (b) Calcul de P = (X + Y + + X Y ) (X + Y + X Y + ) en carry-save. (c) Converson de P en complément à deux et recodage du résultat. 4. Second algorthme de multplcaton Une proprété évdente des RN-codes permet de remplacer les deux multpleurs partculers calculant X + Y + et X Y par un multpleur non sgné tradtonnel :

13 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 11 Proprété 4. S X un RN-code, alors X ± + X = X ± X Nous calculons ans XY en complément à deux à l ade de tros multplcatons et de deux soustractons : XY = (X + X )(Y + Y ) = (X + + X )(Y + + Y ) X + Y X Y + = (X + X )(Y + Y ) X + Y X Y + Notons que cet algorthme est analogue à la méthode proposée par Karatsuba pour multpler de grands enters (vor par exemple [5]). 4.4 Trosème algorthme de multplcaton Les algorthmes étudés c-dessus mnmsent les ressources nécessares à la réalsaton matérelle d un multpleur pour RN-codes. Toutefos, dans le cas d une mplantaton logcelle ou sur un crcut FPGA (Feld Programmable Gate Array) dsposant de multpleurs câblés, l semble plus ntéressant de calculer X = X + X et Y = Y + Y en complément à deux à l ade de deux soustracteurs, d effectuer une multplcaton sgnée et de recoder le résultat. 5 Quelques consdératons relatves à l élévaton au carré Ben que l élévaton au carré s effectue asément à l ade des multpleurs étudés c-dessus, la concepton d un algorthme spécfque à cette opératon permet la réalsaton d un crcut nécesstant mons de ressources matérelles. Nous nous proposons de calculer ou en trant part de la proprété suvante : X = (X + X ) = (X + ) X + X + (X ) X = (X + X ) 4X + X Proprété 5. Sot X un RN-code de n chffres. les produts X ± X ± et X + X sont respectvement des nombres de (n 1) et (n ) bts ; x ± x± +1 =, x± x = et x ± x j + x± j x = x ± x j x± j x. Les astuces ntervenant dans l élévaton au carré classque (vor par exemple [7]) s applquent également au calcul de (X ± ) : x ± x± = x ± et x ± x± j + x± j x± = x ± x± j. La fgure 6 llustre le mécansme de calcul de produts partels pour X + X + et X + X lorsque n = 6. Nous n avons toutefos pas encore formalsé les algorthmes de génératon des vecteurs de bts Λ () pour l élévaton au carré. Exemple 5. Afn d llustrer les smplfcatons ntervenant lors d une élévaton au carré, consdérons le cas où n = 5. Nous pouvons calculer (X ± ) à l ade du crcut de la fgure 4a. La proprété 5 ndque qu aucune génératon de retenue ne survent lorsque n = 5 et nous supprmons les cellules et FA (fgure 7a). Il est également possble de smplfer, dans une mondre mesure, le calcul de X + X (fgure 7b). 6 Concluson Les RN-codes sont tels que tronquer un tel code est équvalent à l arrondr au plus près. Nous avons montré qu l n est pas trop dffcle d mplanter des opératons arthmétques dont les opérandes sont représentés par ces codes. Nous avons proposé des algorthmes permettant de

14 1 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller x + 5 x + 4 x 1 = 1 x 5 x + x 5 x x x x 5 x + x 4 x x 5 x x x x + x x x x x x x x + x j = x 5 x 5 x 5 x 5 x x x x x x x x x x x x x x x (a) (b) Fg. 6 Applcaton de la proprété 5 pour n = 6. (a) Calcul de (X + ). (b) Calcul de X + X. S x 1 = 1 alors tous les termes de la forme x+ x k, x+ 5 x k, x+ k x 4, x+ k x, x+ k x et x+ 1 x k sont nuls. s 8 s 7 s 6 s 5 s 4 s s s 1 s (a) x + x + x 4 x x x x x x x x x x x s 8 s 7 s 6 s 5 s 4 s s s 1 s (b) Fg. 7 Calcul de (a) (X + ) et de (b) X + X lorsque n = 5. construre des addtonneurs et des multpleurs, pus llustré des smplfcatons ntervenant lors de l élévaton au carré. Nous devons toutefos encore formalser cette dernère opératon. Nous envsageons également de développer un autre algorthme de multplcaton basé sur la proprété suvante : au plus un des termes x + y+ j, x y j, x+ y j et x y+ j est égal à 1. Nous mplanterons ensute nos algorthmes en VHDL afn de les comparer. References [1] A. Avzens. Sgned-dgt number representatons for fast parallel arthmetc. IRE Transactons on Electronc Computers, 1:89 4, [] J.-C. Bajard, J. Duprat, S. Kla, and J.-M. Muller. Some operators for on-lne radx- computatons. Journal of Parallel and Dstrbuted Computng, :6 45, [] A. D. Booth. A sgned bnary multplcaton technque. Quarterly Journal of Mechancs and Appled Mathematcs, 4():6 4, 1951.

15 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 1 [4] A. Cauchy. Sur les moyens d évter les erreurs dans les calculs numérques. Comptes Rendus de l Académe des Scences, Pars, 11: , 184. Republshed n Augustn Cauchy, oeuvres complètes, 1ère sére, Tome V, pp 41-44, avalable at [5] D. E. Knuth. The Art of Computer Programmng, volume. Addson Wesley, nd edton, [6] P. Kornerup and J.-M. Muller. RN-codng of numbers: defnton and some propertes. Techncal Report 4-4, Laboratore de l Informatque du Parallélsme, Ecole Normale Supéreure de Lyon, 46 Allée d Itale, 6964 Lyon Cedex 7, October 4. [7] B. Parham. Computer Arthmetc. Oxford Unversty Press,. [8] J. E. Robertson. A new class of dgtal dvson methods. IRE Transactons on Electronc Computers, EC-7:18, Reprnted n E. E. Swartzlander, Computer Arthmetc, Vol. 1, IEEE Computer Socety Press Tutoral, Los Alamtos, CA, 199. [9] K. D. Tocher. Technques of multplcaton and dvson for automatc bnary dvder. Quarterly journal of mechancs and appled mathematcs, 11():64 84, [1] R. Zmmermann. Bnary Adder Archtectures for Cell-Based VLSI and ther Synthess. PhD thess, Swss Federal Insttute of Technology Zurch, Hartung Gorre Verlag, A Preuves de quelques algorthmes et proprétés Preuve de l algorthme. Remarquons tout d abord que X ± Y ± = = j= n x ± j y± j + =n La premère double somme de l équaton (4) peut se réécrre n 1 x ± j y± j = x ± y± + = j= =1 n 1 = x ± y± + =1 j= x ± y± j= n+1 n 1 x ± j y± j j= = x ± j y± j + x ± j y± j (4) j= x ± j y± +1 j n 1 = j= x ± j y± +1 j (5) Les deux sommes ndcées par j comportent un nombre par de termes que nous pouvons apparer grâce à la proprété et 1 j= +1 j= 1 x ± j y± j = 1 (x ± j y± j + x± j+1 y± j 1 ) = (x ± j y± j x± j+1 y± j 1 ) x ± j y± +1 j = j= L équaton (5) s écrt ans = j= j= (x ± j y± +1 j + x± j+1 y± j ) = (x ± j y± +1 j x± j+1 y± j ) j= x ± j y± j = λ() + n 1 =1 1 λ () + j= j= λ () j + n 1 = +1 j= λ (+1) j

16 14 Jean-Luc Beuchat et Jean-Mchel Muller où λ () = x ± y± λ (+1) j = x ± j y± +1 j x± j+1 y± j { λ () x ± j j = y± j x± j+1 y± j 1 x ± y± s j snon Ces équatons justfent les 1 premères lgnes de l algorthme. En applquant le même prncpe à la seconde double somme de l équaton (4), nous obtenons n =n j= n+1 n x ± j y± j = n x ± y± + n = +1 j= n+ = n+1 n = n x ± y± + n = +1 j= n+ x ± j y± j+1 = n+1 j= n+1 x ± j y± j+1 x ± j y± j + x ± y± n+1 + n j= n+1 x ± j y± j Les deux sommes ndcées par j comportent à nouveau un nombre par de termes. Il est toutefos utle de modfer l ndçage avant d applquer la proprété + n j= n+1 x ± j y± j = = n j= n j= x ± +j n+1 y± n j 1 (x ± +j n+1 y± n j 1 x± +j n+ y± n j ) et j= n+ x ± j y± j+1 = = n j= n j= x ± +j n+ y± n j 1 (x ± +j n+ y± n j 1 x± +j n+ y± n j ) Il est facle de montrer que ces équatons correspondent aux lgnes 1 à de l algorthme. Preuve de la proprété. S n est par, nous dédusons de la défnton du RN-code que X ± max = (n/) 1 = +1 = }{{} n chffres (6) S n =, l est facle de montrer que la proprété est correcte : X ± max = (1) = = ( 1)/. Supposons mantenant que la proprété sot vrae pour n et montrons qu elle l est également pour

17 RN-codes : algorthmes d addton, de multplcaton et d élévaton au carré 15 n +. Nous dédusons de l équaton (6) que (n/) 1 X max ± = n+1 + = +1 = n+1 + (n 1) = (n+ 1) = n+ + n+1 + n+1 La preuve est analogue dans le cas où n est mpar. Par défnton, X ± max = ()/ = = }{{} n chffres Lorsque n = 1, nous vérfons asément que (( 1 1) + 1)/ = 1. En supposant la proprété vrae pour n, nous montrons à nouveau qu elle l est pour n + ()/ X max ± = n+1 + = = n+1 + (n 1) + 1 = (n+ 1) + 1 = n+ + n+1 + n Preuve de la proprété 5. Nous dédusons de la proprété que ( ( n ) 1) = n+ n+ + 4 < s n est par X ± X ± 9 ( ( n ) 1) + 1 = n+ n+ + 1 < snon 9 Supposons mantenant que X ± = X max. Par défnton, X n 1 X max et X ± X n X max X max Xmax n+1 n+ + < n s n est par = n+1 n+ n + < n snon 9 La deuxème parte de la proprété découle mmédatement de la défnton du RN-code étudé dans cet artcle.