L image et le relief Reconstituer le relief

Transcription

1 L imag t l rlif Rconstitur l rlif Quand un individu pourvu d du yu n bon état rgard un paysag, il st capabl d évalur ls distancs qui l séparnt ds différnts élémnts d c paysag. On amin nsuit un photographi d la mêm scèn. En considérant ls taills sur l imag ds différnts élémnts, lurs mplacmnts, il st crts possibl d savoir, qualitativmnt, s ils sont plus ou moins éloignés d l objctif d l apparil d pris d vus, mais il dvint impossibl d évalur ds distancs. On put crts n avoir un idé pour crtains élémnts, car l crvau compar lur taill sur l imag avc la taill réll tll qu la mémoir l a nrgistré, mais pour d nombru usags cla st insuffisant. La photographi d un scèn, d un paysag st plus pauvr qu la vision, car ll rnd très mal compt du rlif. Or, pour ds bsoins sthétiqus (montrr un vu n rlif) ou profssionnls, on a chrché à rconstitur l rlif à l aid d la photographi. La photographi n rlif, comm un plus par rapport à l imag dit à plat, a u un momnt d vogu, ll ist ncor mais st marginal actullmnt. Par contr, ls usags profssionnls sont variés t divrs. Citonsn qulqus-uns : L institut géographiqu national (IGN) publi ds carts où l rlif st figuré à l aid d courbs d nivau t on utilis ds photographis aérinns pour ls confctionnr, il faut donc rconstitur l rlif. Un chirurgin pliqu à ss élèvs ls difficultés d un opération. Il lui faut un imag n rlif pour montrr clairmnt où ls instrumnts doivnt passr, qulls sont ls rrurs à n pas commttr. En infographi, il faut qu l ordinatur puiss calculr ls distancs ntr ls différnts élémnts d un paysag qui st photographié. On put, sur un imag classiqu, calculr du coordonnés d un élémnt ; pour la troisièm il st nécssair d rconstitur l rlif. Pour réalisr l fac-similé d la grott d Lascau t d autrs monumnts, on utilis ds photographis. Ells prmttnt d rconstitur l décor pint, mais, pour rproduir l modlé d la paroi rochus, il faut avoir un rprésntation d son rlif.

2 La formation ds imags En prmièr approimation, un apparil photographiqu st un instrumnt srvant à obtnir ds imags rélls par l intrmédiair d un objctif assimilabl à un lntill convrgnt parfait. Considérons un tll lntill d cntr S, d a prpndiculair à son plan t d foyrs F t F. Tout rayon luminu parallèl à st dévié par la lntill t, à la sorti d la lntill, pass par F ; tout rayon luminu frappant la lntill n son cntr S n st pas dévié. Soit un point d l spac n appartnant pas à, H sa projction orthogonal sur, t H lurs imags rspctivs par la lntill. Ls du règls précédnts prmttnt d construir un rprésntation géométriqu (figur cidssus). Si on considèr ls longuurs SF SF f ; SH p t SH S H p on put facilmnt démontrr qu + f p p' On rmarqu qu si p st grand dvant f, alors p st proch d f ; t à la limit, si p st infini, alors p f. Tous ls rayons luminu issus d sont supposés, après travrsé d la lntill, convrgr n, c qui fait qu st imag d. Pour rcuillir ctt imag, on plac un captur qui put êtr rprésnté comm un portion d un plan ( π) parallèl au plan d la lntill t passant par. L plan d la lntill divis l spac n du dmi-spacs, un point N situé dans l mêm dmi-spac qu aura un imag n N qui n sra pas dans ( π) mais proch d lui dès lors qu il appartint à un crtain portion du dmi-spac. Sur l captur, au liu d un point, on aura un tach dont l diamètr sra infériur au suil d détction t qui sra assimilé à un point. Pour étudir la transformation géométriqu qui fait passr d un paysag à un imag, on considèr l symétriqu d l imag par rapport au cntr S d la lntill, donc pour la figur ci-dssus c qui fait passr d à.

3 La prspctiv 3. Définition Soint un plan (P) qui sépar l spac n du dmi-spacs t un point S situé dans l un ds du dmi-spacs. Pour tout point situé dans l autr dmi-spac, on considèr la droit (S) qui rncontr l plan (P) n. st applé imag d par la prspctiv d cntr S t d plan (P). Figur st la droit passant par S t prpndiculair à (P), H t H ls projctions orthogonals d t sur. L symétriqu d l imag photographiqu par rapport au cntr S d l objctif réalis un prspctiv du paysag situé dvant, ctt transformation prmt d étudir l imag. L langag adéquat pour la décrir st clui d la géométri projctiv. Dans un spac projctif, du droits coplanairs ont toujours un intrsction, il n y a pas d parallèls. Dans l spac uclidin on munira un droit (D) qulconqu d un point à l infini noté D, ls droits parallèls à (D) sront supposés concourir n D. L nsmbl ds points à l infini form l plan infini.. Propriétés La vision par un œil st analogu à un imag photographiqu t réalis donc un prspctiv du paysag obsrvé. Bin avant l invntion d la photographi, ds pintrs ont voulu, sur lurs tablau, rstitur la vision t ont réalisé ds prspctivs. Pour rndr compt ds propriétés d ctt transformation ils ont utilisé, par mpl, ds plaqus d vrr (cf.crtains planchs d l ncyclopédi d Didrot t d Almbrt). L célèbr tablau d Léonard d Vinci, La Cèn, prmt d obsrvr ls propriétés d la prspctiv.

4 4 Encyclopédi d Didrot t d Almbrt. Fig. : Un triangl ABC dssiné sur l sol s projtt n abc sur un vitr transparnt vrtical coupant l côn visul du spctatur qui rgard l triangl. Fig. : La construction d l imag h (sur la vitr) du point H (au sol) rgardé par l spctatur. Propriété Tout faiscau d droits concourants (ou parallèls) st transformé n un faiscau d droits concourants (ou parallèls). Propriété La prspctiv consrv l birapport. Pour la démonstration cf. l articl sur l birapport Application : Soint (D) un droit d l spac t trois points A, B t tls qu st l miliu d [AB]. a, b t m sont ls transformés ds points A, B t t d st l transformé du point à l infini d (D). Alors, la division (a, b, m, d ) st harmoniqu : (a, b, m, d ) Propriété 3 Tout coniqu st transformé n un coniqu. Application : Un crcl dans un plan d l spac sra transformé n un llips.

5 5 Du prspctivs pour rconstitur l rlif Un prspctiv transform l spac à trois dimnsions n un plan. Pour rstitur un rlif, calculr ds distancs, il faut comparr du prspctivs. La photographi n rlif ou stéréoscopi, l télémètr ds géomètrs, l crvau ploitant la vision binoculair utilis l procédé. Considérons un plan (H) faisant parti du paysag t du prspctivs d sommts S t S t d plan (V). Ls plans (H) t (V) s coupnt suivant un droit (D), la droit ( S S ) st supposé êtr parallèl à (D) t inclus dans (H). La droit (D) st l imag d (H) dans ls du prspctivs. Soit un point d (H) t m t m ss imags dans ls du prspctivs, s t s ls projctions orthogonals d S t S sur (D). Figur L plan (H) st muni d un rpèr orthogonal ( S, On pos : S s Ss f S S s s, y ) sont ls coordonnés d. ( m m S S, s S ). s st l absciss d m dans l imag induit par la prmièr prspctiv. s st l absciss d m dans l imag induit par la duièm prspctiv. t puvnt êtr msurés sur ls du photographis. Un calcul simpl montr qu

6 6 f y ) ( y f y f Il suffit pour cla d primr d du façons différnts tan θ t tan θ. L angl θ θ α sous lqul l point voit l sgmnt [ S S ] st applé paralla. On a tan α f f + y y +. Ls quantités f t caractérisnt ls du prspctivs, la comparaison ds positions ds du points imags d un point d l spac prmt d rconstitur sa position dans l spac.

7 7 La vision binoculair La vision binoculair prmt à un obsrvatur d rconstitur l rlif, au moins jusqu à un crtain distanc, d évalur la distanc séparant du objts du paysag. En prmièr approimation l œil droit fabriqu un imag sur sa rétin qui st un prspctiv, il n st d mêm pour l œil gauch. L crvau intrprèt ls différncs ntr cs du prspctivs, c qui prmt un prcption du rlif. Dans la suit ls angls sront primés n radians. L œil st évidmmnt soumis à ds limitations, on n put pas tout prcvoir. On va distingur du typs d acuité visull. Acuité visull monoculair A un distanc donné d l obsrvatur il n st pas possibl d distingur du objts trop prochs l un d l autr. Considérons du objts t N situés à un distanc D d l obsrvatur situé n O. Ils sront distinguabls si ÔN 000 rad st l acuité visull monoculair. 000 Acuité visull stéréoscopiqu On rgard du objts ponctuls t N avc ls du yu distinguabls situés rspctivmnt à la distanc D t D d l obsrvatur. Jusqu où put-on prcvoir t donc évalur la quantité N D D supposé positiv? N Figur 3 Og t O d rprésntnt rspctivmnt ls cntrs ds cristallins ds yu gauch t droit, st l intrvall intr pupillair,

8 φ t ig t d On a : φ N sont ls parallas ds points t N i sont ls angls sous lsquls on prçoit ls points t N ds yu gauch t droit. φ φ φ N i g i d Ls périncs faits montrnt qu un obsrvatur st surtout snsibl à la différnc ll st prçu quand φ φ 8 φ N ; rad st l acuité visull stéréoscopiqu, ll st baucoup plus faibl qu l acuité visull 0000 monoculair. Posons la distanc intr pupillair séparant ls du yu. En moynn 0,064 mètrs. On distingura l objt d l infini, quand st dans l a ds yu, si soit D 0000 D 640 mètrs. Approimativmnt, on a, donc si D D D, alors, φ φ φ N D φ Donc un différnc d distanc D D D N D sra prçu si D 0000 Pour D, on trouv D 0,006 mètrs Pour D 00, on trouv D 6 mètrs. N N +. D. D (D + D) D D ntr du points d l spac dont l un st situé à la distanc D

9 9 La photographi n rlif. Rconstitur l rlif tl qu il st prçu Si on vut qu un individu puiss rconstitur l rlif n aminant du clichés, il faut qu chaqu œil puiss prcvoir clui qui aurait corrspondu à sa vision du paysag. A la pris d vu, on prnd du photographis avc un distanc ntr ls objctifs égal à l intrvall intr pupillair soit 6,4 cntimètrs. Pour l amn du coupl, il faut fournir à chaqu œil l imag qui lui convint t lui cachr l autr, c qui nécssit un apparil adapté. Ls procédés ls plus courants sont la visionnus avc cloison, ls anaglyphs, la projction n lumièr polarisé. La visionnus st muni d du oculairs faisant offic d loups, distants d 6,4 cntimètrs, situés n S t S. On plac l œil gauch n S t l œil droit n S. A la distanc f ds oculairs on plac ls du photographis. On st dans la situation d la figur 3 mais ls yu ont rmplacé ls objctifs photographiqus dont la distanc focal st f. Un cloison situé au miliu d l apparil cach à un œil la photographi qui n lui st pas dstiné. Ainsi clui qui amin l coupl d photographis s trouv dans la situation d clui qui a pris ls clichés. Intuitivmnt, son crvau ffctu ls calculs : y f L scond procédé st connu sous l nom d anaglyphs. Ls du clichés, n princip n noir t blanc, sont coloriés, l gauch n roug t l droit n blu t suprposés sur l mêm support : fuill d papir, écran d ordinatur. L obsrvatur s munit d luntts où l vrr gauch st roug t l vrr droit st blu. Chaqu œil voit l imag qui lui st dstiné t l rlif put apparaîtr. D tmps à autr, ds rvus, (surtout clls dits d charm!), publint d tls photographis t fournissnt ls luntts ad hoc. L troisièm procédé utilis ls propriétés d la lumièr polarisé. On projtt ls du imags sur un mêm écran. L imag pour l œil gauch st polarisé dans un crtain dirction, cll pour l œil droit dans un dirction prpndiculair. En chaussant ds luntts équipés d filtrs polarisés on rnd l imag pour un œil visibl pour clui-ci, invisibl pour l autr. Ls imags projtés puvnt êtr ds diapositivs argntiqus ou ds imags numériqus.. Qulqus ffts spéciau Rprnons ls formuls rliant ls coordonnés dans un plan (H) d un point t ls coordonnés d ss transformés par ls prspctivs d sommts S t S t d plan (V) où la droit ( S S ) dans l plan (H) st parallèl à la droit ( ) intrsction d (H) t d (V).

10 Supposons qu dans la visionnus ls imags soint aminés avc un écart ntr ls du sommts ds prspctivs à un distanc f différnt d la focal f d pris d vus. Pour l obsrvatur du coupl d photographis l imag du point sra n dont ls coordonnés sont ' t y ' t sont calculabls. f y ' ' On a : t f ( ) y ' f ' y m Il n résult : ' ' f ' ' y ' y f Si << t mêm avc f > f, l point paraît plus proch qu l point, l rlif st agéré mêm s il st «plus aplati» qu dans la réalité. C st ainsi qu par photographi aérinn on put rconstitur l rlif alors qu clui-ci n srait pas prcptibl compt tnu ds limits d l acuité visull. On prnd souvnt égal à 00 mètrs alors qu st toujours égal à 6,4 cntimètrs. La figur ci-dssous montr qu un construction géométriqu simpl put rndr compt du phénomèn. 0 Sur la figur, on a : o m o' m' o m o' m '