Circuits linéaires en régime continu

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1 ÉLETROINÉTIQUE chaptre 2 rcts lnéares en régme contn Dans ce chaptre, on se place nqement dans le cas des régmes contns : les tensons et les ntenstés dans le crct sont constantes. Les crcts pevent alors être analysés à l ade de dex théorèmes, appelées les los de Krchhoff, q reposent sr dex proprétés physqes fondamentales : la conservaton de la charge (lo des nœds), et l ncté d potentel en n pont (lo des malles). es dex théorèmes pevent se déclner sos plsers formes pls o mons adaptées à n problème partcler. En otre, on pet montrer à partr d ex qe des assocatons complexes de dpôles pevent être décrtes en terme de dpôles éqvalents, pls smples d tlsaton. Plan d chaptre.. Théorèmes fondamentax; los de Krchhoff. Lo des nœds (premère lo de Krchhoff).2 Lo des malles (seconde lo de Krchhoff).3 Lo de Pollet.4 Théorème de Mllman.5 Dvser de tenson et dvser de corant 2. ssocaton de résstances 2. ssocaton en sére 2.2 ssocaton en parallèle 2.3 Exemple d applcaton 3. ssocaton de dpôles actfs 3. ssocaton en sére 3.2 ssocaton en parallèle 3.3 Exemple d applcaton PST Fénelon Ncolas latn 2007 ne pet pas être vend

2 Dsponble grattement: Théorèmes fondamentax; los de Krchhoff.. Lo des nœds (premère lo de Krchhoff). Un nœd est n pont aqel plsers condcters se rejognent. omme en acn atre pont d n condcter, l ne pet y avor accmlaton de charge a nvea d nœd. En conséqence, la conservaton de la charge mpose qe, pendant n ntervalle de temps dt, la qantté de charges arrvant a nœd sot égale à la qantté de charges en repartant. En d atres termes, l ntensté d corant total arrvant a nœd est égale à l ntensté d corant total partant d nœd onsdérons n nœd constté de la joncton de N branches. En appelant k le corant de la branche k, la relaton algébrqe svante, appelée lo des nœd, s applqe : N ǫ k k = 0 () PST Fénelon Ncolas latn 2007 k= où ǫ k = s le corant arrve a nœd, et ǫ k = s le corant en part. Dans cette relaton, on ne fat acne hypothèse sr le sgne de k ; les ntenstés sont algébrqes..2 Lo des malles (seconde lo de Krchhoff). On rappelle q l y a addtvté des tensons. onsdérons dex branches et d n crct. ne pet pas être vend En écrvant les tensons en foncton des potentels des ponts, et, on a : = (V V ) (V V ) = V V = (2) On appelle malle ne sccesson de branches se refermant sr elle-même. La dfférence de potentel entre les dex ponts extrêmes de la malle est alors nlle, psq l s agt d même pont. 5 E 4 2 D 3 PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 2

3 Dsponble grattement: Sr le crct c-desss, d après l addtvté des tensons, on pet écrre : D DE E = = 0 (3) D ne façon générale, por ne malle comportant N branches, avec k la tenson ax bornes de la branche k, s les tensons sont totes orentées dans le même sens, on pet écrre la lo des malles : N k = 0 (4) k= Dans le cas où ne des tensons, par exemple j n est pas orentée dans le bon sens, l fat évdemment consdérer la tenson opposée j. Les dex los de Krchhoff sont sffsantes por résodre complètement n problème, c est-à-dre détermner le corant crclant dans chaqe branche, et la tenson ax bornes de chaqe dpôle. onsdérons le crct c-dessos : e = 0 V R = Ω malle 2 PST Fénelon Ncolas latn R 2 R 3 2 Ω 3 Ω 3 malle 2 3 Le problème compte 6 nconnes : les corants, 2 et 3, et les tensons, 2 et 3. Por les détermner, l fat trover 6 relatons ndépendantes. La lo des nœds applqée en condt à : ne pet = 2 pas être 3 vend (5) On pet remarqer q en, la lo des nœds condt à la même relaton. D ne façon générale, dans n crct comportant N nœds, on pet écrre N relatons entre les corants. La relaton dédte d derner nœd est en fat ne combnason des N relatons précédentes, et n apporte pas d nformaton spplémentare. Par allers, on pet écrre la lo des malles dans les dex malles d crct. D ne façon générale, s n crct comporte N malles, on en dédt N relatons entre les tensons. Por la malle, on a : e 2 = 0 (6) D atre part por la malle 2, la relaton est en fat évdente : 2 3 = 0 2 = 3 (7) On dspose de 3 relatons ; l en fat 3 atres. La tenson ax bornes d n dpôle est relée a corant q le traverse, par des los ves a chaptre précédent. Dans le cas présent, les dpôles sont des résstors, et la lo d Ohm s applqe. Tos les dpôles passfs sont en conventon récepter, donc : = R (8) 2 = R 2 2 (9) 3 = R 3 3 (0) PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 3

4 Dsponble grattement: En njectant (8) et (9) dans (6) d ne part, et (9) et (0) dans (7) d atre part, on pet exprmer les corants et 3 en foncton de 2 : R e R 2 2 = 0 = e R 2 2 R () R 2 2 = R = R 2 2 R 3 (2) Il ne reste pls q à remplacer dans (5) : e R 2 2 = 2 R 2 2 e ( R2 = R ) 2 2 R R R 3 R R R 3 ( ) R2 R 3 R R 3 R 2 R R 3 e = 2 2 = = 2,73 (3) R R 3 R R 2 R R 3 R 2 R 3 D après (2) : D après (5) : R 2 e 3 = =,82 (4) R R 2 RPST R 3 RFénelon 2 R 3 Ncolas latn 2007 = (R 2 R 3 )e R R 2 R R 3 R 2 R 3 = 4,55 (5) Les tensons se dédsent mmédatement à l ade des éqatons (8), (9) et (7) : = R = 4,55 V 3 = 2 = R 2 2 = 5,46 V (6) ne pet pas être vend On porrat se contenter des dex los de Krchhoff por résodre l ensemble des problèmes d électrocnétqe. ependant, on pet en trer des los corrollares, dont l tlsaton est parfos très commode, et permet de gagner beacop de temps..3 Lo de Pollet. La lo de Pollet permet de calcler n corant dans le cas très partcler d n crct comportant ne nqe malle. elle-c est alors parcore par n nqe corant, dont le sens dépend des polartés des génératers présents dans le crct. On l orente de façon arbtrare; son sgne précsera son sens réel. onsdérons le crct c-dessos, q comporte dex génératers orentés en sens nverse, comportant chacn ne résstance nterne. Défnssons des tensons opposées ax sens d corant ax bornes de chaqe résstor (conventon récepter). PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 4

5 Dsponble grattement: R e ' r R 2 2 r 2 e 2 2 ' Écrvons la lo des malles dans l nqe malle : e e = 0 R e r e 2 r 2 R 2 = 0 = e e 2 (R R 2 ) (r r 2 ) (7) La généralsaton est mmédate. S le crct comporte, dans son nqe branche, N génératers (e k,r k ) et N résstors R k, la lo de Pollet donne le corant crclant dans le crct : PST Fénelon Ncolas N latn 2007 ǫ k e k k= = (8) N r k N R j k= j= où ǫ k = s le corant sort par la borne d générater k, et ǫ k = s le corant sort par la borne. Qe fare s l y a n générater de corant? Il sfft de le transformer en n générater de tenson éqvalent..4 Théorème de Mllman. ne pet pas être vend Le théorème de Mllman permet de calcler le potentel en n pont d n crct par rapport a potentel en n atre pont M, atrement dt la dfférence de potentel entre dex ponts d n crct. En pratqe, M est la plpart d temps la masse électrqe d crct. Dans n crct, la masse est n élément condcter, q sert de référence des potentels. Par exemple, dans ne votre, c est la carrossere q joe ce rôle, et on parle de masse carcasse. Tos les potentels électrqes d crct sont alors mesrés par rapport à cel de la masse, q on pet poser nl par commodté. Por des rasons de sécrté, la masse est très sovent relée à la terre, c est-à-dre a sol par n fl très condcter. Le potentel électrqe de la masse est alors cel de la Terre (en fat cel d sol). Imagnons n apparel électroménager (réfrgérater, chaffe-ea, for, plaqes de csson, etc) mettant en je des corants électrqes mportants. S n dsfonctonnement (cort-crct par exemple) entrane ne électrsaton de la carcasse de l apparel, ne personne tochant l apparel serat électroctée ; en effet, la dfférence de potentel serat non nlle entre la man (q toche la carcasse) et le ped (q toche la Terre) de la personne. S la carcasse est relée à la terre, en revanche, l n y a pas de dfférence de potentel entre la man et le ped de la personne donc acne crclaton de corant. fl de terre (rayé vert et jane) frgo fl de phase (ble) fl netre (marron) dstrbton EDF potea métallqe PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 5

6 Dsponble grattement: Dans ne nstallaton électrqe correcte, les apparels électroménagers, ans qe les tyateres q y sont raccordées (tya d arrvée d ea dans n chaffe-ea) dovent être relés à la terre, selon des normes ben précses. Le fl de terre dot également être correctement relé a sol, par l ntermédare d n gros potea métallqe en contact étrot avec le sol. La dstrbton d électrcté se fat par l ntermédare de dex fls, n fl de phase et n fl netre, entre lesqels exste ne dfférence de potentel de 220 V en Erope. Le fl netre est qasment a potentel de la terre, et ne présente normalement pas de danger. On cherche la dfférence de potentel entre n pont d n crct électrqe, et n pont M de potentel conn (éventellement arbtrarement fxé), q constte la masse d crct. (V ) 2 ' 2 ' e e 2 R ' 2 R 2 r 2 ' r 2 V M V M PST Fénelon V M V M tos ces ponts Ncolas sont latn a même 2007 potentel ls sont tos relés à la masse M Écrvons la tenson entre et la masse dans chaqe branche, en foncton des corants q crclent : = V V M = R e = V V M = r e ne pet pas être vend 2 e 2 = V V M = r 2 2 e 2 2 = V V M = R 2 2 La lo des nœds en s écrt alors : 2 2 = 0 (V V M ) ( R r r 2 R 2 e = V V M R (9) = V V M r e r (20) 2 = V V M r 2 e 2 r 2 (2) 2 = V V M R 2 (22) ) ( e2 e ) = 0 r 2 r e 2 r V V M = ( r 2 ) ( ) (23) R R 2 r r 2 La généralsaton est mmédate. La dfférence de potentel entre n pont et n pont M relés par N branches comportant n générater et N branches comportant ne résstance, s écrt : V V M = N k= N ǫ k e k k= r k N r k j= R j (24) PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 6

7 Dsponble grattement: où ǫ k = s le pôle d générater est d côté de, et ǫ k = s le pôle d générater est d côté de. Dans le cas où ne branche comporte n générater en sére avec ne résstance, l sfft de consdérer la résstance totale (vor les los d assocaton de résstances a paragraphe 2). Dans beacop de cas, l est commode de poser V M = 0 V, les potentels étant repérés par rapport à ne référence arbtrare..5 Dvser de tenson et dvser de corant..5. Dvser de tenson. onsdérons n ensemble de dex résstors en sére R et R 2, parcor par le même corant. Sot la tenson ax bornes de l ensemble. R R 2 La tenson ax bornes de R est ne fractonpst de la tenson Fénelon totale : Ncolas latn 2007 { = R = 2 = R R 2 = R (25) R R Dvser de corant. On consdère mantenant dex résstors en parallèle R et R 2, soms à la même tenson. Sot le corant arrvant sr l ensemble des dex résstors. ne pet R pas être vend R 2 Le corant q traverse R est ne fracton d corant total : { = R = R 2 ( ) R = R 2 ( ) (R R 2 ) = R 2 = R 2 R R 2 (26) ttenton! la ressemblance entre les dex formles est trompese! PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 7

8 Dsponble grattement: 2 ssocaton de résstances. 2. ssocaton en sére. onsdérons n ensemble de N résstances R, R 2,... R N assocées en sére, c est-à-dre parcores par n même corant, et sot k la tenson ax bornes de la résstance R k. 2 N R R 2 R N R La tenson totale ax bornes de l ensemble est la somme des tensons ax bornes de chaqe résstance, sot : = 2... N = R R 2... R N = (R R 2... R N ) (27) ette formle est analoge à la lo d Ohm. Tot se passe donc comme s l ensemble des N résstances en sére état ne résstance R nqe, avec : N R PST = R k Fénelon (28) Ncolas k=latn ssocaton en parallèle. onsdérons n ensemble de N résstances R, R 2,... R N assocées en parallèle, c est-à-dre somses à la même tenson, et sot k le corant à travers la résstance R k. N R N 2 R 2 ne pet pas être vend R R Le corant q traverse l ensemble est la somme des corants crclant à travers chaqe résstance, sot : = 2... N =... ( =... ) (29) R R 2 R N R R 2 R N ette formle est analoge à la lo d Ohm. Tot se passe donc comme s l ensemble des N résstances en parallèle état ne résstance R nqe, avec : N R = (30) R k k= PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 8

9 Dsponble grattement: Exemple d applcaton. pplcaton : reprenons le crct d paragraphe. La résolton de l exercce pet se fare très rapdement en tlsant les assocatons de résstances. R = Ω e = 0 V R 2 2 Ω R 3 3 Ω 2 3 Les résstances R 2 et R 3 sont en parallèle, donc éqvalentes à ne nqe résstance R 4 telle qe : R 4 = R 2 R 3 R 4 = R 2R 3 R 2 R 3 =,2 Ω (3) R = Ω PST Fénelon Ncolas latn 2007 e = 0 V R 4 = R 2 // R 3 e = 0 V R 5 = R R 4 Dans le crct éqvalent, les résstances R ne et R pet 4 sont pas être en sére, vend donc éqvalentes à ne résstance nqe R 5 telle qe : R 5 = R R 4 = 2,2 Ω (32) On a fnalement remplacé le crct de départ par n crct éqvalent ne comportant q ne sele résstance R 5 ax bornes de laqelle on applqe la tenson e, et traversée par le corant. La lo d Ohm fornt mmédatement : = e R 5 = 4,55 (33) En tlsant la lo d Ohm, on en dédt mmédatement : = R = 4,55 V et = e = 5,45 V (34) En reprenant le crct de départ, les corants 2 et 3 s obtennent en tlsant la formle d dvser de corant. En effet, les dex résstances R 2 et R 3 sont somses à la même tenson. On calcle alors : 2 = R 3 R 2 R 3 = 2,73 et 3 = 2 =,82 (35) PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 9

10 Dsponble grattement: 3 ssocaton de dpôles actfs. 3. ssocaton en sére. Il fat chosr le formalsme de Thévenn, c est-à-dre consdérer tos les génératers comme des génératers de tenson. Sot le corant crclant dans l ensemble, et la tenson ax bornes de l ensemble; on se place en conventon générater. e - r r e 2 - r 2 r 2 e N - r N r N La tenson totale est la somme des tensons ax bornes de chaqe générater : = (e r ) ( e 2 r 2 )... (e N r N ) = (e e 2... e N ) (r r 2... r N ) = e r (36) Tot se passe donc comme s on état en présence d n générater de tenson nqe, dont la force électromotrce éqvalente et la résstance nterne éqvalente sont les svantes : PST Fénelon Ncolas latn 2007 N N e = ǫ k e k et r = r k (37) k= k= avec ǫ k = s le corant sort par la borne d générater (c est-à-dre s cel-c est en conventon générater), et ǫ k = s le corant sort par la borne d générater (c est-à-dre s cel-c est en conventon récepter). e - r r ne pet pas être vend 3.2 ssocaton en parallèle. Dans le cas d ne assocaton de N génératers en parallèle, l fat rasonner avec le formalsme de Norton, donc transformer tos les génératers de tenson en génératers de corant. Sot la tenson ax bornes de l ensemble. Le corant total q crcle à travers le crct est la somme des corants dans totes les branches : = (η r ) ( η 2 r2 ) = (η η 2... η N )... ( η N ) r N ( r r 2... r N ) = η r (38) PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 0

11 Dsponble grattement: η N e N e 2 r N r 2 r N η 2 - r N e r r 2 - r 2 r η - r Tot se passe donc comme s on état en présence d n générater de corant nqe, dont le corant électromoter éqvalent et la résstance nterne éqvalente sont les svantes : N PST Fénelon N η = ǫ k η k et Ncolas latn r 2007 = (39) r k k= k= avec ǫ k = s η k est dans le même sens qe (c est-à-dre s le générater est en conventon générater), et ǫ k = s η k est dans le sens opposé à (c est-à-dre s le générater est en conventon récepter). η certans drots rréservés - ne pet pas être vendr 3.3 Exemple d applcaton. On consdère le crct c-dessos. On cherche les corants crclant dans chacne des branches, et les tensons ax bornes de chaqe dpôle. 5 R 5 = 50 Ω e = 0 V 4 3 e 3 = 20 V R 3 = 0 Ω R 50 Ω R 4 20 Ω e 2 = 0 V 2 R 2 = 0 Ω PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page

12 Dsponble grattement: Premère méthode : los de Krchhoff. On pet résodre le problème en écrvant les los de Krchhoff. Il fat d abord détermner le nombre d nconnes. Il y a 5 corants, 2, 3, 4 et 5, et tros tensons, et. La relaton corant-tenson ax bornes d n dpôle étant conne, les tensons se dédsent des corants de façon mmédate; par exemple, l est clar qe : = R 4 4 (40) = R 5 5 (4) Par allers, la lo des malles donne mmédatement : = (42) En défntve, l sfft de détermner les 5 corants por qe le problème sot entèrement résol. Il fat donc écrre 5 relatons ndépendantes. On pet écrre la lo des nœds en et en : 3 = 4 5 (43) 5 = 2 3 (44) PST Fénelon La lo des nœds en n apporte ren de pls, psqe Ncolas latn l éqaton 2007 obtene est en fat la dfférence membre à membre des dex précédentes. On pet en otre écrre la lo des malles dans les malles, 2 et 3 : = e R = R 4 4 (45) = e 3 R 3 3 = R 5 5 (46) = (e 3 R 3 3 ) ( e 2 R 2 2 ) ( R 4 4 ) = 0 (47) On a ben 5 éqatons à 5 nconnes, ce q permet de détermner les 5 corants. La résolton est possble, mas fastdese. ne pet pas être vend Utlsaton des los d assocaton de dpôles. On pet rédre le crct à ne nqe malle. En effet, la branche comporte n générater de tenson en parallèle avec ne résstance; l en est de même por la branche. Dans les dex cas, psqe les dpôles sont en parallèle, l fat tlser le formalsme de Norton por les génératers. Por la branche, on pet écrre les crcts éqvalents svants : e e' R 4 R η R R 4 η R' R' Le générater de Norton éqvalent a la même résstance nterne R, et n corant électromoter : η = e R = 5 (48) PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 2

13 Dsponble grattement: Les dex résstances R et R 4 sont en parallèle, et sont éqvalentes à ne résstance nqe : R = R R 4 = 7 00 R = R R 4 R R 4 = 00 7 Ω (49) Enfn, le générater de Norton (η,r ) est éqvalent à n générater de Thévenn de même résstance nterne R et de force électromotrce : e = R η = 20 7 V (50) Procédons de même avec la branche. On pet écrre des crcts éqvalents analoge a cas précédent : R 5 R 5 R 3 e 3 R 3 η 3 PST Fénelon Ncolas latn 2007 R' 3 e' 3 R' 3 η 3 Les dfférentes granders électrqes sont : η 3 = e 3 = ne 2pet pas être vend (5) R 3 R 3 = R 3 //R 5 = R 3R 5 R 3 R 5 = 25 3 Ω (52) e 3 = R 3η 3 = 50 3 V (53) Le crct éqvalent comporte donc ne nqe malle parcore par le corant 2, cel de la branche q n a pas été modfée lors des transformatons d crct. e' 3 e' R' 3 2 R' R 2 e 2 PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 3

14 Dsponble grattement: La lo de Pollet s écrt : e 3 R 3 2 e R 2 e 2 R 2 2 = 0 2 = e e 2 e 3 R R 2 R 3 = 6 = 0,2 (54) 37 On en dédt les tros tensons : = e R 2 = 4,5 V (55) = e 3 R 3 2 = 5,7 V (56) = e 2 R 2 2 =,2 V (57) (58) On pet vérfer qe =, ce q sggère q l n y a pas ne grossère errer de sgne o de calcl. En reprenant le crct ntal, on trove mmédatement : 5 = R 5 = 0,3 (59) 4 = PST = 0,23 Fénelon (60) R 4 Ncolas latn 2007 Enfn, en tlsant les relatons ax nœds et, on obtent les dex derners corants : 3 = 5 2 = 0,43 (6) = = 0, (62) On pet vérfer qe = e R et = e 3 R 3 3. est ben le cas. ne pet pas être vend PST Ncolas latn septembre 2007 Électrocnétqe chaptre 2 : crcts lnéares en régme contn page 4