III FONCTIONS DE CLASSE C 1

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1 J.F.C. F.N.P.V. p. 1 III FONCTIONS DE CLASSE C 1 Une remarque introductive Si f est une fonction numérique dérivable sur l intervalle ouvert ]x 0 α, x 0 + α[ et si f possède un extremum local en x 0 alors f (x 0 ) = 0... la réciproque est certes fausse mais ce résultat permet de faire une bonne sélection au niveau des points suceptibles de donner à f un extremum local. Ce qui suit propose de développer des idées analogues pour les fonctions numériques de plusieurs variables. La première étape consiste à définir la notion de dérivée. Mais comment donc dériver avec plusieurs variables? Tout simplement par rapport à chaque variable! Dans la suite les fonctions sont le plus souvent définies sur un ouvert de R n. 1. Applications partielles Déf. 21 f est une application d un ouvert Ω de R n dans R. A = (a 1, a 2,..., a n ) est un élément de Ω et i un élément de [1, n]. La ième application partielle de f en A est la fonction numérique de la variable réelle Nous la noterons f A,i. t f(a 1,..., a i 1, t, a i+1,..., a n ). Remarque Il est essentiel de comprendre qu une application partielle associée à f est une fonction numérique de la variable réelle et qu elle se définit à partir de deux éléments : un point du domaine de f et un indice donnant le rang de la variable active. Th. 27 f est une application d un ouvert Ω de R n dans R. A = (a 1, a 2,..., a n ) est un élément de Ω. 1. Pour tout élément i de [1, n], le domaine de définition de f A,i est l ensemble {t R (a 1,..., a i 1, t, a i+1,..., a n ) Ω} ; c est un ouvert de R. 2. Si f est continue en A, pour tout élément i de [1, n], f A,i est continue en a i. La réciproque est fausse. xy Posons : (x, y) R 2, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). f n est pas continue en A = (0, 0) mais f A,1 et 0 si (x, y) = 0 f A,2 sont continues en Dérivées partielles d ordre 1 Déf. 22 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et i un élément de [1, n]. On dit que f admet en A une ième dérivée partielle d ordre 1 ou première, ou que f est dérivable en A par rapport à la ième variable ou la ième place si la fonction numérique de la variable réelle f A,i est dérivable en a i. Dans ce cas la ième dérivée partielle d ordre 1 de f en A est le nombre dérivé f A,i (a i) de f A,i en a i. Nous la noterons (A). (A) = f A,i(a i ).

2 J.F.C. F.N.P.V. p. 2 Th. 28 P Les hypothèses sont celles de la définition précédente. (E 1, E 2,..., E n ) est la base canonique de R n. Les assertions suivantes sont équivalentes : i) f admet une ième dérivée partielle première en A ; ii) t f(a 1,..., a i 1, t, a i+1,..., a n ) f(a 1, a 2,..., a n ) t a i admet une limite finie en a i ; iii) h f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a n ) f(a 1, a 2,..., a n ) h iii ) h f(a + h E i ) est dérivable en 0 ; admet une limite finie en 0 ; Remarque dérive. Dans la notation (A), ne fait qu indiquer le rang de la variable par rapport à laquelle on Par commodité nous serons amenés à écrire (x 1,..., x i,..., x n ). Il importe de remarquer que les deux x i ont des natures différentes. Le premier indique la place par rapport à laquelle on dérive ; le second est la ième coordonnée du point où l on calcule cette dérivée partielle. Notations usuelles Pour n = 2 nous écrirons le plus souvent (A) à la place de x (A) et x 1 y (A) à la place de x 2 (A). Pour n = 3, les trois dérivées partielles premières de f en A seront notées (A), (A) et x y z (A). f peut admettre des dérivées partielles premières en A par rapport à toutes les variables sans être continue en A. xy C est le cas en O = (0, 0) pour la fonction f définie par (x, y) R 2, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). 0 si (x, y) = (0, 0) Déf. 23 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. i est un élément de [1, n]. La fonction A (A), de R n dans R est appelée fonction dérivée partielle d ordre 1 ou première de f par rapport à la ième variable ou encore la ième dérivée partielle d ordre 1 ou première de f. On la note Il est fondamental de remarquer que est une fonction numérique de n variables (même si elle est obtenue par dérivation de fonctions numériques d une variable). 3. Dérivée directionnelle première Prop. 13 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. A est un point de Ω et U un élément (non nul) de R n. Le domaine de définition de la fonction g : t f(a + t U) est un ouvert non vide de R. P Ces fonctions t f(a + t U) sont importantes. Elles permettent de transférer beaucoup de résultats des fonctions numériques d une variable à des fonctions numériques de plusieurs variables.

3 J.F.C. F.N.P.V. p. 3 Déf. 24 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. A est un point de Ω et U un élément non nul de R n. f admet une dérivée partielle première en A dans la direction de U ou f est dérivable en A dans la direction de U si g : t f(a + t U) est dérivable en 0. La dérivée partielle première en A dans la direction de U ou la dérivée de f en A dans la direction de U est, f(a + t U) f(a) lorsqu elle existe, la dérivée de g : t f(a+t U) en 0 ; c est à dire la limite en 0 de t t Nous la noterons f U (A). Ω est un ouvert de R n, f une application de Ω dans R, A est un point de Ω et (E 1, E 2,..., E n ) est la base canonique de R n. Soit i un élément de [1, n]. (A) existe si et seulement si f admet une dérivée partielle première en A dans la direction de E i. En cas d existence : (A) = f E (A). i 4. Notion de gradient Déf. 25 Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f une application de Ω dans R qui admet des dérivées partielles premières en A par rapport à toutes les variables. ( Le gradient de f en A est (A), (A)..., ) (A). Nous le noterons f(a) ou f A. x 1 x 2 x n f(a) est un élément de R n. =nabla! 5. Fonction de classe C 1 Déf. 26 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. f est de classe C 1 sur Ω si pour tout i dans [1, n], 6. Opérations usuelles est définie et continue sur Ω. Th. 29 i est un élément de [1, n], Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f et g sont des applications de Ω dans R. On suppose que f et g admettent en A une dérivée partielle première par rapport à la ième variable. Il en est alors de même pour f + g, λf (λ R), fg et f p (p N ) : (f + g) (A) = (A) + g (A) (λf) (A) = λ (A) p = p (A) f p 1 (A) (fg) = (A) g(a) + f(a) g (A) Th. 30 Les hypothèses sont celles du résultat précédent. On suppose de plus que g ne s annule pas en A. Alors f g et gp (p Z) admettent en A une dérivée partielle première par rapport à la ième variable et : ( ) f g (A) = (A) g(a) f(a) g (A) g 2 (A) g p = p g (A) g p 1 (A)

4 Cor. 1 i est un élément de [1, n], Ω est un ouvert de R n et f et g sont des applications de Ω dans R. J.F.C. F.N.P.V. p. 4 On suppose que f et g admettent en tout point de Ω une dérivée partielle première par rapport à la ième variable. Il en est alors de même pour f + g, λf (λ R), fg et f p (p N ) et : (f + g) = + g (λf) = λ (fg) = g + f g p = p f p 1 Cor. 2 Les hypothèses sont celles du résultat précédent. On suppose de plus que g ne s annule pas sur Ω. Alors f g et gp (p Z) admettent en tout point de Ω une dérivée partielle première par rapport à la ième variable et : ( ) f g = g f g g 2 g p = p g g p 1 Cor. 3 Ω est un ouvert de R n, A est un élément de Ω et f et g sont des applications de Ω dans R. On suppose que f et g admettent un gradient en A. Alors il en est de même pour f + g, λf (λ R), fg et f p (p N ) et : (f + g)(a) = f(a) + g(a) (f g)(a) = g(a) f(a) + f(a) g(a) (λf)(a) = λ f(a) f p (A) = p ( f(a) ) p 1 f(a) Cor. 4 Les hypothèses sont celles du résultat précédent. On suppose de plus que g ne s annule pas en A. Alors f g et gp (p Z) possèdent un gradient en A et : ( ) f 1 ) (A) = ( ) g 2 (g(a) f(a) f(a) g(a) g(a) g p (A) = p ( g(a) ) p 1 g(a) Cor. 5 Ω est un ouvert de R n et f et g sont des applications de classe C 1 sur Ω à valeurs dans R. 1. f + g, λf (λ R), fg et f p (p N ) sont de classe C 1 sur Ω. 2. Si g ne s annule pas sur Ω, f g et gp (p Z) sont de classe C 1 sur Ω. Cor Une fonction polynôme de n variables est de classe C 1 sur R n. 2. Une fonction rationnelle de n variables est de classe C 1 sur son domaine de définition.

5 J.F.C. F.N.P.V. p. 5 Th. 31 Une première composition. R n R R I est un intervalle de R et ϕ une application de I dans R. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. On suppose de plus que f(ω) I. A est un élément de Ω et i un élément de [1, n]. Si f admet une ième dérivée partielle en A et si ϕ est dérivable en f(a), alors ϕ f admet une ième dérivée partielle en A et : (ϕ f) (A) = ϕ (f(a)) (A) Cor. 1 Le cadre est celui du théorème précédent. A est un élément de Ω. Si le gradient de f existe en A et si ϕ est dérivable en f(a), alors ϕ f possède un gradient en A et : (ϕ f)(a) = ϕ (f(a)) f(a) Cor. 2 Le cadre est celui du théorème précédent. Si f est de classe C 1 sur Ω et si ϕ est de classe C 1 sur I, ϕ f est de classe C 1 sur Ω. 7. Développement limité d ordre 1. Approximation locale par une fonction affine Déf. 27 Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f une application de Ω dans R. f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A s il existe une fonction polynôme P de n variables de degré au plus 1, c est à dire une fonction affine de n variables telle que : f(a + H) = P (H) + o( H ) (1) [ 1 ( ) ] (1) signifie que lim f(a + H) P (H) = 0. H O H (1) signifie encore qu il existe une boule de centre O, de rayon r, et une application ε de B(O, r) dans R telles que : H B(O, r), f(a + H) = P (H) + H ε(h) et lim ε(h) = 0. H O Remarque On peut remplacer (1) par : f(x) = P (X A) + o( X A ) (2). [ 1 ( ) ] (2) signifie lim f(x) P (X A) = 0 X A X A (2) signifie encore qu il existe une boule de centre A, de rayon r, et une application ε de B(A, r) dans R telles que : X B(A, r), f(x) = P (X A) + X A ε(x) et lim ε(x) = 0. X A Th. 32 Ω est un ouvert de R n, A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et f une application de Ω dans R. f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A si et seulement si il existe n + 1 réels λ 0, λ 1,..., λ n tels que : f(a + H) = λ 0 + λ k h k + o( H ) ou f(x) = λ 0 + λ k (x k a k ) + o( X A ).

6 Th. 33 Une condition nécessaire d existence d un développement limité d ordre 1 J.F.C. F.N.P.V. p. 6 Ω est un ouvert de R n, A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et f une application de Ω dans R. On suppose que f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A. Ainsi il existe n + 1 réels λ 0, λ 1,..., λ n tels que : f(a + H) = λ 0 + λ k h k + o( H ) ou f(x) = λ 0 + λ k (x k a k ) + o( X A ). Alors : f est continue en A et λ 0 = f(a). Pour tout i élément de [[1, n], f admet une dérivée partielle première par rapport à la ième variable en A et λ i = (A). Notons que la continuité et l existence de dérivées partielles en A sont des conditions nécessaires pour que f admette un développement limité d ordre 1 au voisinage de A mais pas suffisantes. xy si (x, y) (0, 0) Posons (x, y) R 2, f(x, y) = x2 + y 2. 0 si (x, y) = 0 f est continue en O, admet des dérivées partielles premières en O mais n admet pas de dl1 au voisinage de O. Th. 34 Unicité d un développement limité d ordre 1 Ω est un ouvert de R n, A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et f une application de Ω dans R. On suppose que f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A. Alors : Il existe une unique fonction polynôme P de degré au plus 1 telle que : H = (h 1, h 2,..., h n ) R n, P (H) = f(a) + (1) s écrit : f(a + H) = f(a) + f(a + H) = P (H) + o( H ) (1). (A) h k. (A) h k + o( H ) ou f(a + H) = f(a)+ < f(a), H > + o( H ) Cela constitue le développement limité d ordre 1 de f au voisinage de A. P en est sa partie régulière. Remarque Sous les hypothèses du résultat précédent, le développement limité d ordre 1 de f en A est encore : f(x) = f(a) + (A) (x k a k ) + o( X A ) ou f(x) = f(a)+ < f(a), X A > + o( X A ).

7 J.F.C. F.N.P.V. p. 7 Déf. 28 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. On suppose que f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A = (a 1, a 2,..., a n ). La fonction X f(a)+ < f(a), X A > ou (x 1, x 2,..., x n ) f(a) + (A) (x k a k ) est la fonction affine tangente à f en A. Le graphe de cette fonction est appelé hyperplan affine tangent au graphe de f en A. Prop. 14 Ω est un ouvert de R n, A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et f une application de Ω dans R. On suppose que f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A. 1. L hyperplan affine tangent au graphe de f en A a pour équation f(a) + (A) (x k a k ) x n+1 = 0 ou (A) x k x n+1 = (A) a k f(a). L hyperplan affine tangent de f en A passe par le point (a 1, a 2,..., a n, f(a)). Il a pour direction : l hyperplan (vectoriel), de R n+1, d équation (A) x k x n+1 = 0 dans la base canonique de R n+1 ; ou encore l hyperplan (vectoriel), de R n+1, engendré par les vecteurs : ( 1, 0,..., 0, ) ( (A), 0, 1,..., 0, ) ( (A),... 0, 0,..., 1, ) (A). x 1 x 2 x n Th. 35 Une condition suffisante d existence Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R classe C 1 sur Ω. Alors f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de tout point A de Ω. Remarque L hypothèse f est de classe C 1 sur Ω est une condition suffisante pour obtenir un dl1 en un point A de Ω mais pas nécessaire. Posons (x, y) R 2 (x 2 + y 2 1 ) sin, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). f admet un dl1 en tout point de R 2 0 si (x, y) = (0, 0) mais n est pas de classe C 1 sur R 2. Th. 36 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. SI f est de classe C 1 sur Ω alors f est continue en tout point de Ω. Une fonction peut évidemment être continue sans être de classe C 1. xy 2 Posons (x, y) R 2, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0), f est continue sur R 2 sans être de classe C 1 sur R 2. 0 si (x, y) = (0, 0) Notons que f admet des dérivées partielles premières par rapport aux deux variables en tout point de R 2.

8 J.F.C. F.N.P.V. p Dérivation de la seconde composition Th. 37 Une seconde composition. R R n R I est un intervalle de R et u 1, u 2,..., u n sont n applications dérivables de I dans R. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 1 ( ). On suppose de plus que t I, ( u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t) ) Ω. Alors g : t f ( u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t) ) est une application dérivable sur I et pour tout t dans I : g (t) = u k(t) ( u1 (t), u 2 (t),..., u n (t) ) Notons que si u 1, u 2,..., u n sont de classe C 1 sur I alors g est de classe C 1 sur I. Dans ce résultat l hypothèse f est de classe C 1 est essentielle. xy si (x, y) (0, 0) Posons (x, y) R 2, f(x, y) = x2 + y 2, t R, u 1 (t) = u 2 (t) = t. 0 si (x, y) = (0, 0) u 1 et u 2 sont dérivables sur R (et même de classe C 1 ), f possède des dérivées partielles premières en tout point de R 2 (f est même continue sur R 2 ) et pourtant g : t f ( u 1 (t), u 2 (t) ) n est pas dérivable en tout point de R ( t R, g(t) = t 2 ). Une conséquence importante. Th. 38 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 1 sur Ω. A est un point de Ω et U = (u 1, u 2,..., u n ) un élément de R n. 1. Le domaine de définition de la fonction g : t f(a + t U) est un ouvert non vide de R. 2. g : t f(a + t U) est de classe C 1 sur son domaine définition et : t D g, g (t) =< f(a + t U), U >= (A + tu) u k. 3. En particulier, lorsque U n est pas nul, f admet une dérivée partielle première en A dans la direction de U qui vaut : f U (A) =< f(a), U >= (A) u k. Prop. 15 Les hypothèses sont celles du théorème précédent. On suppose f(a) non nul. Si U = 1, f U (A) f(a) avec égalité si et seulement si U est colinéaire à f(a). Le gradient indique la ligne de plus grande pente. Ceci est une simple conséquence de Cauchy-Schwarz.

9 J.F.C. F.N.P.V. p Théorème des accroissements finis Th. 39 L énoncé du programme Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 1 sur Ω. A et H sont deux éléments de R n tels que le segment [A, A + H] soit contenu dans Ω. Alors il existe un réel θ appartenant à ]0, 1[ tel que : f(a + H) = f(a)+ < f(a + θ H), H > ou f(a + H) = f(a) + (A + θ H) h k. Cor. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 1 sur Ω. A et B sont deux éléments distincts de R n tels que le segment [A, B] soit contenu dans Ω. Alors il existe un élément C de ]A, B[ tel que : f(b) f(a) =< f(c), B A > 10. Complément : dérivation de la seconde composition version forte Th. 40 La version forte de la seconde composition. R p R n R Ω est un ouvert de R p et u 1, u 2,..., u n sont n applications Ω dans R admettant des dérivées partielles premières en tout point de Ω. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 1. On suppose de plus que T Ω, ( u 1 (T ), u 2 (T ),..., u n (T ) ) Ω. Alors g : T f ( u 1 (T ), u 2 (T ),..., u n (T ) ) est une application de Ω dans R admettant des dérivées partielles premières en tout point de Ω. Si T = (t 1, t 2,..., t p ) est un élément de Ω : g t i (t 1, t 2,..., t p ) = u k (t 1, t 2,..., t p ) ( u1 (t 1, t 2,..., t p ), u 2 (t 1, t 2,..., t p ),..., u n (t 1, t 2,..., t p ) ) t i ou g t i (T ) = u k t i (T ) ( u1 (T ), u 2 (T ),..., u n (T ) ) Notons que si u 1, u 2,..., u n sont de classe C 1 sur Ω alors g est de classe C 1 sur Ω. Remarque Ces résultats sont très utiles pour faire des changements de variable particulièrement dans la résolution des équations aux dérivées partielles.

10 J.F.C. F.N.P.V. p. 10 IV FONCTIONS DE CLASSE C 2 1. Définitions Déf. 29 Ω est un ouvert de R n, f une application de Ω dans R et A un point de Ω. i et j sont deux éléments de [1, n]. On dit que f admet en A une dérivée partielle d ordre 2 ou seconde par rapport à la ième variable et la jème variable successivement si : existe sur une boule de centre A ; admet une dérivée partielle première en A par rapport à la jème variable. Le réel x j (A) est appelé dérivée partielle d ordre 2 ou seconde de f en A par rapport à la ième variable et la jème variable successivement. Nous noterons x j (A) cette dérivée partielle. Déf. 30 Déf. 31 Les hypothèses sont celles de la définition précédente. La fonction A 2 f x j (A) est appelée fonction dérivée partielle d ordre 2 ou seconde de f par rapport à la ième variable et la jème variable successivement. Nous la noterons Les hypothèses sont celles de la définition précédente. La fonction A x j! 2 f x j (A) est appelée fonction dérivée partielle d ordre 2 ou seconde par rapport à la ième variable et la jème variable successivement. Nous la noterons x j! On est prié de ne pas confondre En effet (A) = (A) et x j x j Posons (x, y) R 2, f(x, y) = vaut 0. Remarques 1. Pour i = j on écrit 2 f x 2 i x j (A) et x j (A) = (A) x j xy 3 x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). 1 si (x, y) = 0 à la place de x j (A) donc de faire attention à l ordre de dérivation.. (0, 0) existe et vaut 1 ; y x 2. Si n = 2 les quatre fonctions dérivées partielles d ordre 2 sont usuellement notées : 2 f (0, 0) existe et x y x 2, x y, y x, y 2 Pour n = 3 je vous laisse deviner et écrire!

11 Déf. 32 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. On dit que f est de classe C 2 sur Ω si pour tout couple (i, j) d éléments de [1, n], continue sur Ω. 2. Opérations usuelles sur les fonctions de classe C 2 J.F.C. F.N.P.V. p. 11 x j est définie et On peut à ce niveau donner des résultats ponctuelles concernant les opérations sur les dérivées partielles seconde. C est long, fastidieux et inutile (?) car une dérivée partielle seconde étant une dérivée partielle première (!) cela a déjà été fait en amont. Nous nous contenterons d énoncés globaux. Th. 41 Ω est un ouvert de R n. f et g sont deux applications de Ω dans R, de classe C 2 sur Ω. 1. f + g, λf (λ R), fg et f p (p N ) sont de classe C 2 sur Ω. 2. Si g ne s annule pas sur Ω, f/g et g p (p Z) sont de classe C 2 sur Ω. Th Une fonction polynôme de n variables est de classe C 2 sur R n. 2. Une fonction rationnelle de n variables est de classe C 2 sur son domaine de définition. Th. 43 I est un intervalle de R et ϕ une application de I dans R de classe C 2. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 2. On suppose de plus que f(ω) I. Alors ϕ f est de C 2 sur Ω. Th. 44 I est un intervalle de R et Ω un ouvert de R n. u 1, u 2,..., u n sont n applications de I dans R de classe C 2 et f est une application de Ω dans R de classe C 2. On suppose encore que : t I, ( u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t) ) Ω. Alors g : t f ( u 1 (t), u 2 (t),..., u n (t) ) est de classe C 2 sur I. Th. 45 Complément Ω est un ouvert de R p et Ω un ouvert de R n. u 1, u 2,..., u n sont n applications de Ω dans R de classe C 2 et f est une application de Ω dans R de classe C 2. On suppose encore que : T Ω, ( u 1 (T ), u 2 (T ),..., u n (T ) ) Ω. Alors g : T f ( u 1 (T ), u 2 (T ),..., u n (T ) ) est une application de Ω dans R de classe C Théorème de Schwarz Th. 46 Théorème de Schwarz Ω est un ouvert de R n, f une application de Ω dans R et A un point de Ω. i et j sont deux éléments de [1, n]. On suppose que : Alors : x j et x j sont définies sur une boule de centre A et continues en A. (A) = 2 f (A). x j x j Cor. Ω est un ouvert de R n, f une application de Ω dans R de classe C 2 sur Ω. (i, j) [1, n] 2, = 2 f x j x j

12 J.F.C. F.N.P.V. p Notion de hessienne Th. 47 et déf. 33 Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert Ω de R n et A un point de cet ouvert. ( ) La matrice d ordre n à coefficients réels (A) est une matrice symétrique. x j On l appelle la hessienne de f en A. Nous la noterons 2 f(a) ou 2 f A. Conformément au programme nous noterons q A la forme quadratique associée à cette matrice symétrique réelle. X = (x 1, x 2,..., x n ) R n, q A (X) = i=1 j=1 x j (A) x i x j. Les hypothèses sont celles du résultat précédente. Si n = 2 : 2 f(a) = x 2 (A) y x (A) 5. Dérivée directionnelle seconde 2 f x y (A) si n = 3 : 2 f(a) = y 2 (A) x 2 (A) y x (A) z x (A) x y (A) y 2 (A) z y (A) 2 f x z (A) y z (A) z 2 (A) Déf. 34 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R. A est un point de Ω et U un élément non nul de R n. f admet une dérivée partielle seconde en A dans la direction de U si g : t f(a+t U) est dérivable sur un intervalle ouvert contenant 0 et si sa dérivée est dérivable en 0. Dans ces conditions on dit encore que f est deux fois dérivable en A dans la direction de U. La dérivée partielle seconde en A dans la direction de U est, lorsqu elle existe, la dérivée seconde de g en 0. Nous la noterons f U (A). Prop. 16 Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 2 sur Ω. A est un point de Ω et U = (u 1, u 2,..., u n ) un élément de R n. 1. Le domaine de définition de la fonction g : t f(a + t U) est un ouvert non vide de R. 2. g : t f(a + t U) est deux fois dérivable en tout point de son domaine de définition et : t D g, g (t) = q A+t U (U) = i=1 j=1 x j (A + t U) u i u j 3. En particulier, si U est non nul, f admet une dérivée partielle seconde en A dans la direction de U qui vaut : f U (A) = q A (U) = (A) u i u j. x j i=1 j=1

13 J.F.C. F.N.P.V. p Formule de Taylor-Lagrange à l ordre 1. Th. 48 L énoncé du programme Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 2 sur Ω. A et H = (h 1, h 2,..., h n ) sont deux éléments de R n tels que le segment [A, A + H] soit contenu dans Ω. Alors il existe un réel θ appartenant à ]0, 1[ tel que : f(a + H) = f(a)+ < f(a), H > q A+θH(H) ou f(a + H) = f(a) + (A) h k i=1 j=1 x j (A + θh) h i h j. Cor. Ω est un ouvert de R n et f une application de Ω dans R de classe C 2 sur Ω. A = (a 1, a 2,..., a n ) et X = (x 1, x 2,..., x n ) sont deux éléments distincts de R n tels que le segment [A, X] soit contenu dans Ω. Alors il existe un élément C de C ]A, X[ tel que : f(x) = f(a) + f(x) = f(a)+ < f(a), X A > q C(X A) ou 7. Développement limité d ordre 2 (A) (x a k ) i=1 j=1 x j (C) (x i a i ) (x j a j ). Déf. 35 Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f une application de Ω dans R. f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de A s il existe une fonction polynôme P, de n variables et de degré au plus 2 telle que : f(a + H) = P (H) + o( H 2 ) (1). [ ] 1 ( ) P (1) signifie que lim f(a + H) P (H) H O H 2 = 0. (1) signifie encore qu il existe une boule de centre O, de rayon r, et une application ε de B(O, r) dans R telles que : H B(O, r), f(a + H) = P (H) + H 2 ε(h) et lim ε(h) = 0. H O Remarque On peut remplacer (1) par : f(x) = P (X A) + o( X A 2 ) (2). [ ] 1 ( ) (2) signifie lim f(x) P (X A) X A X A 2 = 0 (2) signifie encore qu il existe une boule de centre A, de rayon r, et une application ε de B(A, r) dans R telles que : X B(A, r), f(x) = P (X A) + X A 2 ε(x) et lim ε(x) = 0. X A

14 J.F.C. F.N.P.V. p. 14 Th. 49 et déf. 36 Unicité d un dl2 Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f une application de Ω dans R. Si f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de A il existe une unique fonction polynôme P de n variables de degré au plus 2 telle que : f(a + H) = P (H) + o( H 2 ) P est la partie régulière du développement limité d ordre 2 de f au voisinage de A. Th. 50 D un dl2 à un dl1 Ω est un ouvert de R n, A est un point de Ω et f une application de Ω dans R. Si f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de A de partie régulière P, alors f admet un développement limité d ordre 1 au voisinage de A dont la partie régulière est la troncature à l ordre 1 de P. Th. 51 Concrètement Ω est un ouvert de R n, A = (a 1, a 2,..., a n ) est un point de Ω et f une application de Ω dans R. f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de A si et seulement si il existe deux familles de réels (λ i ) i [0,n ] et (λ ij ) (i,j) [1,n ] 2 telles que : ou f(a + H) = λ 0 + λ i h i + λ ij h i h j + o( H 2 ) (3) i=1 i=1 j=1 f(x) = λ 0 + λ i (x i a i ) + λ ij (x i a i )(x j a j ) + o( X A 2 ) (4) i=1 i=1 j=1 Cette caractérisation est dans beaucoup de littérature une définition. On notera que si la famille (λ i ) i [1,n ] est unique ce n est pas le cas de la famille (λ ij ) (i,j) [1,n ] 2 ; l égalité 2 h i h j + 3 h j h i = h i h j + 4 h j h i peut sans doute vous en convaincre. Remarque Les hypothèses sont celles du résultat précédent. On peut encore dire que f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de A si et seulement si il existe deux familles de réels (λ i ) i [0,n ] et (β ij ) 1 i j n telles que : f(a + H) = λ 0 + λ i h i + β ij h i h j + o( H 2 ) (5) ou f(x) = λ 0 + Ici les deux familles sont uniques! i=1 λ i (x i a i ) + i=1 1 i j n 1 i j n β ij (x i a i )(x j a j ) + o( X A 2 ) (6) On pourra s entrainer à passer de l écriture (3) (resp. (4)) à l écriture (5) (resp. (6)) et réciproquement.

15 Th. 52 Une condition suffisante d existence. Formule de Taylor-Young à l ordre 2 Soit f une fonction de classe C 2 sur un ouvert Ω de R n. 1. f admet un développement limité d ordre 2 au voisinage de tout point de Ω. 2. Si A est un point de Ω le développement limité d ordre 2 de f au voisinage de A est : f(a + H) = f(a) + i=1 (A) h i ( n i=1 j=1 ) (A) h i h j + o( H 2 ). x j J.F.C. F.N.P.V. p. 15 ou f(a + H) = f(a)+ < f(a), H > q A(H) + o( H 2 ). Remarque La première égalité s écrit encore : f(a + H) = f(a) + i=1 (A) h i i=1 x 2 i (A) h 2 i + 1 i<j n x j (A) h i h j + o( H 2 ). L existence de dérivées partielles d ordre 2 pour f n est pas une condition nécessaire pour que f possède un développement limité d ordre 2. Posons (x, y) R 2 (x 2 + y 2 ) 2 1 sin, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). f possède un dl2 au voisinage de 0 si (x, y) = (0, 0) 0 = (0, 0) mais 2 f (O) n existe pas. x2 Ce n est pas davantage une condition suffisante. x y 3 Posons (x, y) R 2, f(x, y) = x 2 + y 2 si (x, y) (0, 0). f possède des dérivées partielles d ordre 2 en 0 si (x, y) = (0, 0) O = (0, 0) mais n admet pas de développement limité d ordre 2 au voisinage de 0.