Suites numériques. 1 Suite numérique Définition Définir une suite Variation d une suite... 3

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 9 juin 015 à 18:36 Suites numériques Table des matières 1 Suite numérique 1.1 Définition Définir une suite Variation d une suite Suite arithmétique 4.1 Définition Comment reconnaît-on une suite arithmétique? Expression du terme général en fonction de n Somme des premiers termes d une suite arithmétique Suite géométrique Définition Comment reconnaît-on une suite géométrique? Expression du terme général en fonction de n Somme des premiers termes d une suite géométrique Suite arithmético-géométrique Visualisation d une suite Suite explicite Suite définie par récurrence Limite d une suite Convergence d une suite Divergence d une suite Convergence d une suite géométrique PAUL MILAN 1 PREMIÈRE S

2 TABLE DES MATIÈRES 1 Suite numérique 1.1 Définition Définition 1 : Une suite numérique (u n ) n N est une succession de nombres réels ordonnés. À un rang donné n, on associe un nombre réel u n. (u n ) : N R n u n u n est appelé le terme général de la suite (u n ). Exemples : Soit la suite (u n ) : 1, 4, 7, 10, 13, 16,... Soit la suite (v n ) : 3, 6, 1, 4, 48, 96,... u 0 u 1 u u 3 u 4 u v 0 v 1 v v 3 v 4 v Soit la suite (w n ) : 1, 1,, 3, 5, 8,... w 0 w 1 w w 3 w 4 w Définir une suite 1..1 De façon explicite Définition : Une suite (u n ) est définie de façon explicite si le terme général u n s exprime en fonction de n : n N, u n = f(n) Exemples : Soit la suite (u n ) telle que : u n = 3n+5. On a : u 10 = = 35 Soit la suite (v n ) telle que : v n = n 1 n+1. On : v 5 = Par récurrence = 9 6 = 3 Définition 3 : Lorsque le terme général u n dépend du ou des terme(s) précédent(s), on définit alors la suite par une relation de récurrence et par un ou plusieurs premier(s) terme(s). La suite est dite récurrente à un terme si u n ne dépend que du terme précédent. u 0 et u n+1 = f(u n ) La suite est dite récurrente à deux termes si u n dépend des deux termes qui le précèdent. u 0, u 1 et u n+ = f(u n, u n+1 ) PAUL MILAN PREMIÈRE S

3 1. SUITE NUMÉRIQUE Exemples : On donne la suite (u n ) définie par : u 0 = et u n+1 = 3u n. Déterminer u 1, u, u 3, u 4, puis proposer un algorithme pour calculer ces quatre termes u 1 = 3u 0 = 3 = 4 u = 3u 1 = 3 4 = 10 u 3 = 3u = 3 10 = 8 u 4 = 3u 3 = 3 8 = 8 Variables : I entier et U réel Entrées et initialisation U Traitement et sorties pour I variant de 1 à 4 faire 3U U Afficher U fin On donne la suite (v n ) définie par : v 0 =, v 1 = 1 et v n+ = v n+1 + v n. Déterminer v, v 3, v 4, v 5, puis proposer un algorithme pour calculer ces quatre termes. v = v 1 + v 0 = 1+ = 3 v 3 = v + v 1 = 3+1 = 4 v 4 = v 3 + v = 4+3 = 7 v 5 = v 4 + v 3 = 7+4 = 11 Variables : I entier et U, V, W réels Entrées et initialisation U 1 V Traitement et sorties pour I variant de à 5 faire V + U W V U W V Afficher V fin 1.3 Variation d une suite Définition 4 : Soit une suite(u n ) définie sur N : (u n ) est strictement croissante ssi : n N, u n+1 > u n (u n ) est strictement décroissante ssi : n N, u n+1 < u n Si (u n ) est soit croissante, soit décroissante, (u n ) est dite monotone. Pour déterminer la variation d une suite, on déterminera le signe de u n+1 u n. Si n N, u n+1 u n > 0, la suite (u n ) est croissante. Si n N, u n+1 u n < 0, la suite (u n ) est décroissante. Si n N, u n > 0, on peut aussi calculer le rapport u n+1. u n u Si n N, n+1 > 1, la suite (u n ) est croissante. u n u Si n N, n+1 < 1, la suite (u n ) est décroissante. u n Exemples : 1) Montrer que la suite (u n ) définie par : u n = 3n n+1 Calculons alors : est croissante. PAUL MILAN 3 PREMIÈRE S

4 TABLE DES MATIÈRES u n+1 u n = 3(n+1) (n+1)+1 3n n+1 = 3n+1 n+ 3n n+1 = (3n+1)(n+1) (3n )(n+) (n+)(n+1) = 3n + 3n+n+1 3n 6n+n+4 (n+)(n+1) = 5 (n+)(n+1) > 0 n N Comme n N, u n+1 u n > 0, la suite (u n ) est croissante. ) Montrer que la suite (v n ) définie par : v n = 3n est décroissante. 3n Tous les termes de la suite sont positifs, calculons alors : v n+1 v n = 3(n+1) 3 (n+1) 3n 3 n Comme n N, = 3n+3 3n 3n+ 3n = 3 3n 3 3 v n+1 v n Suite arithmétique.1 Définition 3n 3 = n 3n < 1, la suite (v n ) est décroissante. 3 = 8 9 < 1 n N Définition 5 : Une suite arithmétique (u n ) est définie par : un premier terme u 0 ou u p une relation de récurrence : u n+1 = u n + r, r étant la raison de la suite Une suite arithmétique est donc définie par termes : u 0 ou u p et r. Exemple : Soit (u n ) définie par u 0 = et r = 5. Déterminer u 1, u, u 3, u 4. u 1 = u 0 + r = +5 = 7 u = u 1 + r = 7+5 = 1 u 3 = u + r = 1+5 = 17 u 4 = u 3 + r = 17+5 =. Comment reconnaît-on une suite arithmétique? Propriété 1 : Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs est constante. On a alors : n N, u n+1 u n = r PAUL MILAN 4 PREMIÈRE S

5 . SUITE ARITHMÉTIQUE Exemple : Montrer que la suite définie par : u n = n+3 est arithmétique. On calcule la différence entre deux termes consécutifs quelconques : u n+1 u n = (n+1)+3 (n+3) = n++3 n 3 = Donc n N, u n+1 u n =. La suite (u n ) est une suite arithmétique de raison et de premier terme u 0 = 3..3 Expression du terme général en fonction de n La suite commence à u 0. On peut écrire les égalités suivantes à l aide de la relation de récurrence (cicontre) Lorsque l on additionne les n égalités les termes u 1, u, u 3,..., u n 1 s éliminent. Il ne reste plus que le premier terme u 0 et le dernier u n. u 1 = u 0 + r u = u 1 + r u 3 = u + r. u n 1 = u n + r u n = u n 1 + r n termes u n = u 0 + n r La suite commence à u p. On écrit les relations de u p+1 à u n. On obtient n p termes, d où la relation : u n = u p +(n p) r Propriété : Le terme général u n d une suite arithmétique s exprime en fonction de n de la façon suivante : Si le premier terme est u 0, alors : u n = u 0 + n r Si le premier terme est u p, alors : u n = u p +(n p) r Exemples : Soit une suite (u n ) arithmétique de raison r. On donne : u 17 = 4 et u 40 = 70. Trouver la raison r et le premier terme u 0. 1) On exprime u 40 en fonction de u 17, on a alors : u 40 = u 17 +(40 17) r u 40 = u r 3r = u 40 u 17 r = u 40 u 17 3 = = ) On peut alors trouver u 0. u 17 = u r u 0 = u r u 0 = 4 17 = 10 PAUL MILAN 5 PREMIÈRE S

6 TABLE DES MATIÈRES.4 Somme des premiers termes d une suite arithmétique.4.1 Somme des n premiers naturels Carl-Friedrich Gauss était un élève très doué en mathématiques qui s ennuyait un peu au cours de calcul en première année scolaire. Un jour, lorsqu il dérangeait trop le cours, le maître lui donna comme punition de calculer la somme des 100 premiers nombres. Gauss y réfléchit un court instant et répondit Le maître le regardait tout étonné, se mit à vérifier le calcul et resta bouche bée. "Mais comment as-tu fait pour trouver ce résultat aussi vite?" lui demanda-t-il après un moment. En effet comment a-t-il fait pour trouver ce résultat si vite. Évidemment il y a une astuce. Elle consiste à écrire la somme dans l ordre croissant puis dans l ordre décroissant et d additionner les deux lignes. La plupart des termes s éliminent. Généralisons ce résultat en sommant les n premiers naturels. S n = (n 1)+n S n = n+(n 1) S n = (n+1)+(n+1)+ +(n+1) Comme il y a n termes, on peut donc écrire : S n = n(n+1) S n = n(n+1) Exemple : Retrouvons le résultat de Gauss pour les 100 premiers naturels = = = Somme des n+1 premiers termes Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 0. Déterminons la somme des n+1 premiers termes (de u 0 à u n ) de la suite. S n = u 0 + u 1 + u + +u n = u 0 +(u 0 + r)+(u 0 + r)+ +(u 0 + n r) = (n+1) u 0 + r(1++ +n) = (n+1) u 0 + r n(n+1) ( = (n+1) u 0 + n r ) ( ) u0 + n r = (n+1) ( ) u0 +(u = (n+1) 0 + n r) ( ) u0 + u n = (n+1) PAUL MILAN 6 PREMIÈRE S

7 . SUITE ARITHMÉTIQUE.4.3 Somme des n p + 1 premiers termes Soit(u n ) une suite arithmétique de raison r et de premier terme u p. Nous laissons au lecteur le soin de la démonstration de la somme des n p+1 premiers termes (de u p à u n ) de la suite. ( ) up + u n S n = u p + u p+1 + u p+ + +u n = (n p+1) On retiendra plutôt la traduction suivante : ( ) Somme des termes extrêmes S n = Nbre de termes.4.4 Conclusion Propriété 3 : Sur la somme des termes d une suite arithmétique, on peut retenir les résultats suivants : La somme des n premiers naturels : n = n(n+1) La somme des n+1 premiers termes d une suite arithmétique (u n ) : ( ) u0 + u n u 0 + u 1 + +u n = (n+1) La somme des premiers termes d une suite arithmétique (u n ) : ( ) Somme des termes extrêmes S n = Nbre de termes Exemples : 1) Calculer la somme des nombres impairs inférieurs à 100. Généraliser ce résultat avec la somme des nombres impairs inférieurs à n. Il y a 50 nombres impairs inférieurs à 100. Le premier terme est 1 et le dernier 99, donc : ( ) = 50 = 50 = 500 Généralisons ce résultat. Il y a n nombres impairs inférieurs à n. Le premier terme est 1 et le dernier n 1 [ ] 1+(n 1) (n 1) = n = n La somme des n premiers nombres impairs est égal à n. ( ) n = n PAUL MILAN 7 PREMIÈRE S

8 TABLE DES MATIÈRES ) (u n ) est une suite arithmétique de raison r et de premier terme u 1. On note : S n = u 1 + u + +u n On donne u n = 14, r = 7 et S n = Déterminer n et u 1. Proposer un algorithme permettant de vérifier les résultats obtenus Déterminons le premier terme u 1 en fonction de u n. u n = u 1 +(n 1) r u 1 = u n (n 1) r = 14 7(n 1) = 1 7n Sachant que S n = 1176, et que S n possède n termes (de u 1 à u n ), on a : ( ) ( ) u1 + u n 1 7n+14 n = 1176 n = 1176 n(35 7n) = 35 35n 7n + 35 = 0 7n + 35n+35 = 0 On peut diviser par 7 l équation, on trouve alors : n + 5n+336 = 0 On calcule alors le discriminant : = = = 1369 = 37 On obtient alors les deux racines suivantes : n 1 = 5+37 = 16 < 0 non retenue n = 5 37 = 1 Conclusion : n = 1 et u 1 = = 16 Pour se vérifier, il faut programmer la somme des 1 premiers termes de la suite. Avec un compteur I, une somme initialement nulle et la relation de récurrence S I + u I+1 = S I+1 soit S I + u 1 + 7I = S I+1, on obtient alors la somme S 1 Noter que pour calculer S 1, il faut prendre I = 0 pour arriver à S 1 avec I = 0 Variables : I entier et U, S réels Entrées et initialisation 16 U 0 S Traitement pour I variant de 0 à 0 faire fin S+U+ 7I S Sorties : Afficher S 3 Suite géométrique 3.1 Définition Définition 6 : Une suite géométrique (u n ) est définie par : un premier terme u 0 ou u p une relation de récurrence : u n+1 = q u n q étant la raison de la suite PAUL MILAN 8 PREMIÈRE S

9 3. SUITE GÉOMÉTRIQUE Une suite géométrique est donc définie par termes : son premier terme et sa raison. Exemple : Soit (u n ) définie par u 0 = 3 et q =. Déterminer u 1, u, u 3, u 4. u 1 = q u 0 = 3 = 6 u = q u 1 = 6 = 1 u 3 = q u = 1 = 4 u 4 = q u 3 = 4 = Comment reconnaît-on une suite géométrique? Propriété 4 : Une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs est constant. On a alors : n N, u n+1 u n = q Exemple : Montrer que la suite définie par : u n = 5 n+3 est géométrique. On calcule le rapport entre deux termes consécutifs quelconques : Donc n N, u n+1 u n u n+1 u n = 5. = 5n n+3 = 5 n+1+3 n 3 = 5 La suite(u n ) est une suite géométrique de raison 5 et de premier terme u 0 = 5 3 = Expression du terme général en fonction de n La suite commence à u 0. Pour obtenir le terme suivant, en fonction du précédent, on multiplie par q. Pour obtenir u n on a multiplié n fois par q à partir de u 0. On a donc : La suite commence à u p. u n = q n u 0 De u p à u n, on a multiplié n p fois par q, donc : u n = q n p u p Propriété 5 : Le terme général u n d une suite géométrique s exprime en fonction de n de la façon suivante : Si le premier terme est u 0, alors : u n = q n u 0 Si le premier terme est u p, alors : u n = q n p u p PAUL MILAN 9 PREMIÈRE S

10 TABLE DES MATIÈRES Exemple : Soit une suite (u n ) géométrique de raison q. On donne : u 7 = et u 5 = 486. Trouver la raison q et le premier terme u 0 et u 10 sachant que la raison est positive. 1) On exprime u 7 en fonction de u 5, on a alors : u 7 = q 7 5 u 5 q = u 7 u 5 q = = 9 La solution positive est : q = 3. ) On peut alors trouver u 0 : u 5 = q 5 u 0 u 0 = u 5 q 5 = = 3) Et u 10 : u 10 = q 10 7 u 7 = = = Somme des premiers termes d une suite géométrique Somme des n+1 premières puissances de q Soit donc la somme : S n = 1+q+q + +q n 1 + q n En soustrayant les deux lignes suivantes, on obtient : S n = 1+q+q + +q n 1 + q n q S n = q+q + +q n 1 + q n + q n+1 S n qs n = 1 q n+1 On obtient alors : S n = 1 qn+1 1 q Exemple : La légende raconte qu un roi de Perse voulu récompenser l inventeur du jeu d échecs. Après avoir réfléchi, ce dernier lui proposa "Vous déposerez un grain de riz sur la première case, puis deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, vous doublez ainsi le nombre de grains en passant d une case à l autre jusqu à la 64ème et je vous prends tous les grains". "Ce n est pas une grosse récompense" lui répondit le roi". Qu en pensez-vous? Quelle masse de blé cela représente-t-il? On pourra considérer que La masse d un grain de riz est de 40 mg environ et la production mondiale annuelle en 014 était de 479 millions de tonnes. Le nombre de grains de riz sur n e case de l échiquier correspond à une suite géométrique de raison q = et de premier terme u 1 = 1. Si on veut connaître le nombre de grains de riz sur l échiquier, il suffit de calculer : S 64 = S 64 = = Comme : 64 = 4 ( 10 ) 6 16 (10 3 ) Si la masse d un grain de riz est de 40 mg, la masse de riz en mg est d environ : = = 6, mg Tonne en mg : 1 T = 10 3 kg = 10 6 g = 10 9 mg On obtient alors : 6, mg = 6, T = 640 milliards de tonnes! PAUL MILAN 10 PREMIÈRE S

11 3. SUITE GÉOMÉTRIQUE 3.4. Somme des n+1 premiers termes Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0. Déterminons la somme des n+1 premiers termes (de u 0 à u n ) de la suite. S n = u 0 + u 1 + u + +u n = u 0 +(qu 0 )+(q u 0 )+ +(q n u 0 ) = u 0 (1+q+q + +q n ) Nous retrouvons la somme des n+1 premières puissances de q S n = u 0 1 qn+1 1 q Somme des n p + 1 premiers termes Soit(u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u p. Nous laissons au lecteur le soin de la démonstration de la somme des n p+1 premiers termes (de u p à u n ) de la suite. S n = u p + u p+1 + u p+ + +u n = u p 1 qn p+1 1 q On retiendra plutôt la traduction suivante : S n = 1 er terme 1 qnbre de termes 1 q Conclusion Propriété 6 : Sur la somme des termes d une suite géométrique, on peut retenir les résultats suivants : La somme des n+1 premières puissances de q vérifie : 1+q+q + +q n = 1 qn+1 1 q La somme des n+1 premiers termes d une suite géométrique (u n ) de raison q et de premier terme u 0 vérifie : u 0 + u 1 + +u n = u 0 1 qn+1 1 q La somme des premiers termes d une suite géométrique (u n ) de raison q et de premiers termes u p vérifie : u p + u p+1 + +u n = S n = 1 er terme 1 qnbre de termes 1 q PAUL MILAN 11 PREMIÈRE S

12 TABLE DES MATIÈRES 3.5 Suite arithmético-géométrique Définition 7 : Une suite arithmético-géométrique (u n ) est définie par : Un premier terme u 0 ou u p la relation de récurrence u n+1 = au n + b Pour trouver le terme général, on introduit une suite auxiliaire géométrique. Exemple : Soit une suite (u n ) définie par : u 0 = et u n+1 = u n + 5 On pose la suite (v n ) telle que v n = u n + 5 1) Montrer que la suite (v n ) est géométrique ) Exprimer v n puis u n en fonction de n 1) Il faut donc montrer que n N, v n+1 = qv n v n+1 = u n = u n = (u n + 5) = v n Donc n N, v n+1 = v n. La suite (v n ) est géométrique de raison q = et de premier terme v 0 = u = 7 ) Comme (v n ) est une suite géométrique, on a : v n = q n v 0 = 7 n Comme v n = u n + 5, on a donc : u n = v n 5 = 7 n 5 4 Visualisation d une suite 4.1 Suite explicite Une suite explicite est définie par : u n = f(n). Il suffit de connaître la représentation de la fonction f pour représenter la suite. Sur la calculette, pour représenter les termes de u 0 à u 10 de : u n = n 1 n+1 Sélectionner z 4 e ligne sélectionner suite ou seq (anglais) On rentre la suite avec f(x) ou Y. nmin = 0 u(n) = (n 1)/(n + 1) (utiliser la touche variable) u(nmin) = 1 On règle ensuite la fenêtre : nmin = 0, nmax = 10 Xmin = 0, Xmax = 10 Ymin =, Ymax = 3 On obtient alors la représentation ci-contre PAUL MILAN 1 PREMIÈRE S

13 5. LIMITE D UNE SUITE 4. Suite définie par récurrence Une suite définie par récurrence est définie par un premier terme (souvent u 0 ) et la relation u n+1 = f(u n ). En plus de la représentation de la fonction f, il faut tracer la droite d équation y = x afin de reporter les termes de la suite sur l axe des abscisses. Soit la suite (u n ) définie par : { u0 = 0, 1 u n+1 = u n (1 u n ) u u 3 y = x C f On obtient alors le graphe suivant, après avoir tracé la courbe C f de la fonction f définie par : u u 1 f(x) = x(1 x) O u 0 u 1 u u 3 u Pour visualiser, sur sa calculette, la suite (u n ) définie par : { u0 = 0, 5 u n+1 = u n + 1 On met la calculette en mode suite ou seq. Il faut de plus changer le format. Sélectionner. esc ou web (en anglais) Ensuite, on rentre la suite avec la touche f(x) ou Y. la calculette demande d exprimer u n en fonction u n 1 contrairement à l usage habituel. De plus pour avoir le "u" minuscule, utiliser la touche du avec la touchey nmin = 0 u(n) = u(n 1)+1 u(nmin) = 0.5 On règle ensuite la fenêtre : nmin = 0, nmax = 5 Xmin = 1, Xmax = 10 Ymin = 0, Ymax = 8 On obtient alors la représentation ci-contre 5 Limite d une suite Seule une approche de la notion de limite d une suite à partir d exemples est exigible en première. Cependant par souci de rigueur et préparer la terminale, on donnera les définitions de convergence et divergence d une suite.. PAUL MILAN 13 PREMIÈRE S

14 TABLE DES MATIÈRES 5.1 Convergence d une suite Définition 8 : On dit que la suite (u n ) a pour limite l si, et seulement si, tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On note alors : lim u n = l et l on dit que la suite converge vers l n + Remarque : Lorsqu elle existe cette limite est unique. Cette définition traduit l accumulation des termes u n autour de l ] [ Conséquence Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par : l u n = 1 n, v n = 1 n, w n = 1 n 3, t n = 1 n, ont pour limite 0 Algorithme : Déterminer à partir de quel entier N, u n est dans un intervalle contenant l. Soit (u n ) : { u0 = 0, 5 u n+1 = u n + 1 Cette suite converge vers l = , 618. On veut connaître à partir de quel entier N la suite est dans l intervalle ouvert centré en l et de rayon Le programme suivant permet de trouver N, grâce à un "Tant que". On obtient alors : N = 7 et U 1,618 Variables : N entier, U réel Entrées et initialisation 0, 5 U 0 N Traitement tant que U faire U+ 1 U fin N+ 1 N Sorties : Afficher N, U 5. Divergence d une suite Définition 9 : On dit que la suite (u n ) a pour limite + (resp. ) si, et seulement si, tout intervalle ]A;+ [ (resp. ] ; B[) contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang. On note alors : lim u n = + resp. lim u n = n + n + On dit que la suite diverge vers + (resp. ) Remarque : Cette définition traduit l idée que les termes de la suite arrivent à dépasser A, aussi grand soit-il. La suite n est pas majorée. Une suite peut n avoir aucune limite. Par exemple : u n = ( 1) n. On dit alors que la suite diverge (tout court) PAUL MILAN 14 PREMIÈRE S

15 5. LIMITE D UNE SUITE Conséquence Les suites définies pour tout entier naturel par : u n = n, v n = n, w n = n 3, t n = n, ont pour limite + Algorithme : Déterminer à partir de quel entier N, u n est supérieur à un nombre donné A (suite croissante). Soit (u n ) définie par : { u0 = u n+1 = u n + 5 On peut montrer que cette suite est croissante et qu elle diverge vers +. On voudrait connaître à partir de quel entier N, u n est supérieur à 10 6 Le programme suivant, permet de trouver N, grâce à un "Tant que". On obtient alors : N = 18 et U = Variables : N entier, U réel Entrées et initialisation U 0 N Traitement tant que U 10 6 faire U+ 5 U N+ 1 N fin Sorties : Afficher N, U 5.3 Convergence d une suite géométrique (u n ) est une suite géométrique de raison q. Comme l expression du terme général est de la forme : u n = u 0 q n, la convergence de la suite ne dépend que de la convergence de q n. On admettra le théorème suivant : Théorème 1 : Soit q un réel. On a les limites suivantes Si 1 < q < 1 alors lim n + qn = 0 Si q = 1 alors lim n + qn = 1 Si q > 1 alors lim n + qn = + Si q 1 alors lim n + qn n existe pas. Exemples : ( ) 1 n La suite de terme u n = 3 converge vers 0 car 1 < 1 < 1. Par contre la suite de terme u n = (1, 5) n diverge vers + car 1, 5 > 1. (u n ) est la suite géométrique de premier terme u 0 = 3 et de raison 3 4. On note S n la somme des n+1 premiers termes : S n = u 0 + u 1 + +u n. D après la formule de la somme des termes d une suite géométrique, on a : lim n + ( ) 3 n+1 1 [ 4 S n = = ( ) 3 n = 0 car 1 < ( ) ] 3 n+1 4 < 1 donc par produit lim n + S n = 1 PAUL MILAN 15 PREMIÈRE S