Probabilités. Loi binomiale

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1 M Delgado Probabilités I Loi binomiale Exercice : un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs Il achète 8 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 2 % chez le fournisseur B % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 2 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : événement A : "la boîte provient du fournisseur A ; événement B : "la boîte provient du fournisseur B ; événement S : "la boîte présente des traces de pesticides" Traduire l énoncé sous forme d un arbre pondéré 2 (a) Quelle est la probabilité de l évènement B S? (b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à, 88 3 Le gérant d un salon de thé achète boîtes chez le grossiste précédent On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de boîtes avec remise On considère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvement de boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides (a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (b) Calculer la probabilité que les boîtes soient sans traces de pesticides (c) Calculer la probabilité qu au moins 8 boîtes ne présentent aucune trace de pesticides Exercice 2 : dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 3 près Une jardinerie vend de jeunes plants d arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35 % des plants proviennent de l horticulteur H, 25 % de l horticulteur H 2 et le reste de l horticulteur H 3 Chaque horticulteur livre deux catégories d arbres : des conifères et des arbres à feuilles La livraison de l horticulteur H comporte 8 % de conifères alors que celle de l horticulteur H 2 n en comporte que 5 % et celle de l horticulteur H 3 seulement 3 % Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock On envisage les événements suivants : H : "l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H " ; H 2 : "l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 2 " ; H 3 : "l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 3 ; C : "l arbre choisi est un conifère" ; F : "l arbre choisi est un arbre feuillu" (a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation (b) Calculer la probabilité que l arbre choisi soit un conifère acheté chez l horticulteur H 3 (c) Justifier que la probabilité de l évènement C est égale à,525 2 On choisit au hasard un échantillon de arbres dans le stock de cette jardinerie On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de arbres dans le stock On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l échantillon choisi (a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres (b) Quelle est la probabilité que l échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères? (c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus? Exercice 3 : dans cet exercice, les résultats seront arrondis à 4 près En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de % L étude a également permis de prouver que 3% des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n atteint plus que 8% pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : M : "La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme" ; C : "La personne est victime d un accident cardiaque au cours de sa vie"

2 M Delgado Montrer que P(M C) =, 3 et en déduire P(C) 2 La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de 4 personnes, prises au hasard dans la population française On note X la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme (a) Définir la loi de la variable aléatoire X (b) Déterminer P(X = 35) (c) Déterminer la probabilité que 3 personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme Exercice 4 : une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d un mois soit au total quarante trajets Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l amende est de cent euros Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d être contrôlé est égale à p Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de fois où Claude s est fait contrôler Déterminer la loi de probabilité de X 2 Dans cette partie on suppose que p = 2 (a) Calculer l espérance mathématique de X (b) Calculer les probabilités P(X = ), P(X = ) et P(X = 2) (c) Calculer à 4 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois 3 Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur Justifier l égalité Z = 4 X puis calculer l espérance mathématique de Z pour p = 5 4 On désire déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99 % (a) Démontrer que P(X 2)=( p) 38 (74p p+ ) (b) Soit f la fonction définie sur [;] par : f (x)=( x) 38 (74x 2 +38x+) Montrer que f est strictement décroissante sur [;] et qu il existe un unique réel x appartenant à l intervalle [;] tel que f (x )=, Déterminer l entier naturel n tel que n < x < n+ (c) En déduire la fréquence minimale p II Loi continue quelconque Exercice 5 : on tire au hasard sur une cible de rayon m en supposant qu il soit impossible de la manquer X est la variable aléatoire qui donne la distance, en mètre, de l impact au centre de la cible Ainsi X prend ses valeurs dans l intervalle [;] En calquant le modèle de l équiprobabilité, on a : aire du disque de rayon t pour t [;], P(X t)= aire totale du disque Pour tout t [;], on considère la fonction de répartition F définie par F (t) = P(X t) Exprimer F (t) en fonction de t 2 On note f la densité sur [; ] de la loi de X (a) Ecrire F (t) sous la forme d une intégrale (b) Justifier que F est dérivable sur [;] et préciser sa dérivée (c) En déduire l expression de la densité f et représenter C f t

3 M Delgado Exercice 6 : On a représenté ci-contre la courbe représentative de la 32 fonction f définie par f (x)= On considère alors (3x+ ) 2 un jeu de fléchettes dont la cible est la surface délimitée verticalement par la courbe de f et l axe des abscisses, et horizontalement par les droites d équations x = et x = 5 En supposant qu à chaque lancer cette cible n est jamais manquée, on souhaite connaître la probabilité que la fléchette atteigne la zone grisée On note X la variable aléatoire correspondant à l abscisse de la fléchette lancée 2 f Déterminer une primitive de la fonction f 2 Déterminer les valeurs des deux intégrales 3 En déduire la probabilité P(3 X 5) 5 f (x)dx et 5 3 f (x)dx 4 x+ pour x [;4] 5 Exercice 7 : on considère la fonction f définie par f (x)= sinon Justifier que la fonction f représente une loi à densité sur [;4] 2 Notons X la variable aléatoire définie sur [; 4] dont la loi de probabilité a pour densité f, déterminer les probabilités suivantes : ( ) (a) P(X ) ; (b) P(X 2) ; (c) P 2 X < 3 { m sin x pour x [;π] Exercice 8 : soit m un nombre réel et f la fonction définie sur R par f (x) = sinon déterminer le réel m pour que f soit une densité de probabilité surr 2 Soit X une variable aléatoire dont f est une densité de probabilité, exprimer, en fonction de x, la probabilité P(X x) ( π 3 Calculer la probabilité P 4 X 3π ) 4 4 Calculer les probabilités P(X ) et P(X ) III Loi exponentielle Exercice 9 : on s intéresse à la durée de vie, exprimée en semaines, d un composant électronique On modélise cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement définie sur l intervalle [;+ [ : la probabilité que le composant ne soit plus en état de marche au bout de t semaines est P([; t[) = t λe λx dx Une étude statistique, montrant qu environ 5% d un lot important de ces composants sont encore en état de marche au bout de 2 semaines, permet de poser P([;2[)=,5 Montrer que λ= ln Quelle est la probabilité qu un de ces composants pris au hasard ait une durée de vie supérieure à 3 semaines? On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au centième près 3 On admet que la durée de vie moyenne d m de ces composants est la limite quand A tend vers+ de A (a) Montrer que λxe λx dx = λae λa e λa + λ (b) En déduire d m ; on donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale à la semaine près A λxe λx dx

4 M Delgado Exercice : la durée de vie d un composant électronique est une variable aléatoire T (exprimée en jours) qui suit la loi exponentielle de paramètre,4 Calculer p(t 3) 2 Sachant que le composant fonctionne après 3 jours, quelle est alors la probabilité qu il fonctionne encore pendant 3 jours? Exercice : le temps, mesuré en heures, nécessaire pour réparer une machine suit la loi exponentielle de paramètre λ= 2 Quelle est la probabilité que le temps de réparation excède deux heures? 2 Quelle est la probabilité qu une réparation prenne au moins heures, étant donné que sa durée a déjà dépassé neuf heures? IV Loi normale Exercice 2 : Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment Partie A : étude de la durée de vie d un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N ( µ, σ 2) de moyenne µ = 84 et d écart-type σ De plus, on a P(X 64) =,6 La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous 6 % (a) En faisant apparaître toutes les justifications nécessaires sur le graphique, déterminer P(64 X 4) (b) Quelle valeur approchée entière de σ peut-on proposer? 2 On note Z la variable aléatoire définie par Z = X 84 σ (a) Quelle est la loi de probabilité suivie par Z? (b) Justifier que P(X 64)=P ( Z 2 σ (c) En déduire la valeur de σ, arrondie à 3 3 Dans cette question, on considère que σ = 2, Les probabilités demandées seront arrondies à 3 ) (a) Calculer la probabilité que la durée de vie du lave-vaisselle soit comprise entre 2 et 5 ans (b) Calculer la probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à ans Partie B : étude de l extension de garantie d El Ectro Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années L entreprise El Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l extension de garantie montrent que,5 % d entre eux font jouer l extension de garantie On choisit au hasard 2 clients parmi ceux ayant pris l extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients) (a) Quelle est la probabilité qu exactement 3 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie? Détailler la démarche en précisant la loi de probabilité utilisée Arrondir à 3 (b) Quelle est la probabilité qu au moins 6 de ces clients fassent jouer cette extension de garantie? Arrondir à 3

5 M Delgado 2 L offre d extension de garantie est la suivante : pour 65 euros supplémentaires, El Ectro remboursera au client la valeur initiale du lave-vaisselle, soit 399 euros, si une panne irréparable survient entre le début de la troisième année et la fin de la cinquième année Le client ne peut pas faire jouer cette extension de garantie si la panne est réparable On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l extension de garantie, et on note Y la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l entreprise El Ectro, grâce à l extension de garantie (a) Justifier que Y prend les valeurs 65 et 334 puis donner la loi de probabilité de Y (b) Cette offre d extension de garantie est-elle financièrement avantageuse pour l entreprise? Justifier Exercice 3 : Les parties A B et C peuvent être traitées indépendamment les unes des autres ; les probabilités seront arrondies au millième le plus proche Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagne pesant en moyenne 4 grammes Pour être vendus aux clients, ces pains doivent peser au moins 385 grammes Un pain dont la masse est strictement inférieure à 385 grammes est un pain non-commercialisable, un pain dont la masse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable La masse d un pain fabriqué par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi normale d espérance µ = 4 et d écart-type σ = Partie A : on pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millième le plus proche x P(X x),35,86,82,325,5,675,88,94,965 Calculer P(39 X 4) 2 Calculer la probabilité p qu un pain choisi au hasard dans la production soit commercialisable 3 Le fabricant trouve cette probabilité p trop faible Il décide de modifier ses méthodes de production afin de faire varier la valeur de σ sans modifier celle de µ Pour quelle valeur de σ la probabilité qu un pain soit commercialisable est-elle égale à 96 %? On arrondira le résultat au dixième Remarque : on pourra utiliser le résultat suivant : lorsque Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale d espérance et d écart-type, on a P(Z,75),4 Partie B Les méthodes de production ont été modifiées dans le but d obtenir 96 % de pains commercialisables Afin d évaluer l efficacité de ces modifications, on effectue un contrôle qualité sur un échantillon de 3 pains fabriqués Déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la proportion de pains commercialisables dans un échantillon de taille 3 2 Parmi les 3 pains de l échantillon, 283 sont commercialisables Au regard de l intervalle de fluctuation obtenu à la question, peut-on décider que l objectif a été atteint? Partie C Le boulanger utilise une balance électronique Le temps de fonctionnement sans dérèglement, en jours, de cette balance électronique est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre λ On sait que la probabilité que la balance électronique ne se dérègle pas avant 3 jours est de,93 En déduire la valeur de λ arrondie au millième Dans toute la suite on prendra λ=,3 2 Quelle est la probabilité que la balance électronique fonctionne encore sans dérèglement après 9 jours, sachant qu elle a fonctionné sans dérèglement 6 jours? 3 Le vendeur de cette balance électronique a assuré au boulanger qu il y avait une chance sur deux pour que la balance ne se dérègle pas avant un an A-t-il raison? Si non, pour combien de jours est-ce vrai?