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1 Chapitre : MECANIQUE DES FLUIDES Parti A : Statique des fluides I/ Introduction Un fluide est un corps qui n'a pas de forme propre. Les gaz et les liquides sont des fluides. Les liquides sont des fluides qui occupent des volumes bien définis et présentent des surfaces libres. Ils sont quasi incompressibles. Ils se différencient des gaz qui se dilatent jusqu à occuper tout le volume offert. Les liquides et gaz sont habituellement considérés comme étant des fluides isotropes, mobiles et visqueux. l'isotropie assure que les propriétés sont identiques dans toutes les directions de l'espace ; la mobilité : pas de forme propre et le fluide prend la forme du récipient qui les contient ; la viscosité caractérise le fait que tout changement de forme d un fluide réel s'accompagne d'une résistance (frottements) ; Si les forces de viscosité sont nulles, on a affaire à un fluide parfait. Remarque : Les forces de viscosité étant nulles au repos, la statique des fluides réels se confond avec celle des fluides parfaits. II/ Propriétés des fluides 1/ Compressibilité On définit le module de compressibilité à température constante, χ T, à partir de la variation relative de volume par rapport à la variation de pression : V 1 dv χ T = ou χ T = ; il s exprime en Pa -1. V P V dp T 1

2 10 1 Pour l eau, on a χ T = 5.10 Pa ; le mercure est 1, fois plus compressible que l eau et l alcool éthylique, fois moins compressible que l eau. De manière générale, on admet que les liquides sont très peu compressibles alors que les gaz sont des fluides compressibles. / Masse volumique, densité et poids volumique La masse volumique d un corps est le rapport entre sa masse, m, et le volume qu il occupe, V. Notée ρ, elle s exprime en kg/m. Son expression est : m ρ =, ou V ρ = dm dv eau ρ = 10 kg / m ; ρ = 1,05kg / m. airsec Hg ρ = 1546kg / m (à température ordinaire) ; Pour les liquides, le volume est pratiquement insensible aux variations de pressions : fluide incompressible, la masse volumique est constante. La densité d un corps, d, est le rapport de la masse volumique de ce corps à la masse volumique de l eau. Il s agit donc d une grandeur sans dimension : d eau = 1 et d mercure = 1,6. Le poids volumique d un corps est le rapport de son poids à son volume : γ = Poids / volume = mg / V = ρg (en N/m ) Elle vaut 9,81 kn/m pour l eau sans matière en suspension. g désigne l accélération de la pesanteur et vaut 9,81 m/s. Le poids volumique représente la force de gravité agissant sur la masse occupant un volume unité.

3 III/ La pression La pression est une grandeur scalaire, son intensité est : P = F/ S, où P la pression, F l intensité de la force et S la surface. La direction des forces de pression est perpendiculaire à la surface. Unité : N/m (ou en pascals, Pa) : 1 Pa = 1 N/m. Remarques : 1 atm = 76 cm de Hg = 1, Pa et 1 Bar = 10 5 N/m. Exercices : 1/ Un bloc métallique ayant la forme d'un parallélépipède, dont les arêtes mesurent 1m 0,8m et 0,5m. Le bloc, de masse volumique ρ = 7800kg / m, repose sur le sol par une de ses faces. Calculer la pression exercée sur le sol, dans les trois cas possibles. 6 / Exprimer la pression P = Pa en bar, en atm, puis en cm de Hg. / Exprimer la pression de P = 1,9bar en Pa, atm, cm de Hg. 1/ Loi de Pascal Loi de Pascal : La pression d un fluide en un point est la même dans toutes les directions, c est une grandeur isotrope. Le principe de fonctionnement d'une presse hydraulique repose sur ce théorème. / Equation Fondamentale de l'hydrostatique Soit un élément de fluide de masse spécifique ρ représentant une colonne verticale de section transversale constante A. Considérons sections situées à des distances z 1 et z par rapport à un plan de référence OO.

4 La somme des forces dans la direction verticale est nulle, donc : ( P1 P )A ρg(z z1)a = 0, Ce qui s écrit sous la forme : P1 + ρgz1 = P + ρgz. Cette relation conduit à la relation suivante que l'on appelle la loi de la statique des fluides : Conclusions P + ρgz = cte. La pression augmente donc linéairement en fonction de la profondeur; Sur un même plan horizontal, toutes les pressions sont égales (Plan Isobare). / Pression effective et Pression absolue A l intérieur d un fluide, au point M, on a : PM = P0 + ρgh. A la surface libre du fluide, la pression est généralement représentée par la pression atmosphérique P atm =P 0, d où : P M = P + ρgh : pression absolue. atm Et si on néglige l'influence de la pression atmosphérique (P atm =0) : P M = ρgh : pression effective (relative). La loi de la statique des fluides peut s écrire aussi sous la forme : 4

5 Exercices : z + P / ρg = cte : hauteur (charge) totale (énergie potentielle totale) ; z : cote géométrique ou hauteur de position (énergie potentielle de position) ; P / ρ g : hauteur (charge) piézométrique (énergie potentielle de pression). 1/ Deux vases communicants de forme cylindrique A et B ont respectivement S 1 = 90cm et S = 10cm de section. Ils contiennent de l'eau et sont fermés par deux pistons mobiles en contact avec l'eau. On exerce sur le plus petit piston une force de F = 00N. Calculer la force F 1 qu'il faut exercer sur l'autre piston pour maintenir l équilibre initial. / Par quelle hauteur d'eau exprimerait-on la pression atmosphérique normale (1 atm)? A quelle pression correspond une charge de 1cm d eau d'eau? ρ = 10 kg / m. eau Indications : 1/ Equilibre initial implique les pistons sont au même niveau, l équilibre nécessite égalité des pressions, c'est-à-dire : P 1 = P avec P i = Fi Si, on obtient : F 1 = FS / S1. A.N. donne F 1 =,N. / La pression se traduit en hauteur par la relation P = ρgh, d où h = P / ρg A.N. ρ eau =10 kg / m et Patm = 10 Pa donne h atm 10m. 1cm d eau correspond à la pression : 100Pa 5 P 1 cm = 5

6 4/ Théorème d Archimède Tout corps plongé dans un fluide reçoit de la part de ce fluide une force (de poussée) verticale, vers le haut dont l'intensité est égale au poids du volume de fluide déplacé (ce volume est donc égal au volume immergé du corps). Si le corps est homogène son centre de gravité est confondu avec le centre de poussée. S'il n'est pas homogène, ce n'est pas le cas, le corps se positionnant de telle façon que le centre de poussée soit sur la même verticale que son centre de gravité et au-dessus pour que l'on ait un équilibre stable. Exercice : La couronne de Hiéron II pesait m = 7465g. Immergée dans l'eau, elle semblait ne peser que m a = 6998g. Montrer que cette couronne n'est pas en or pur. Calculer sa composition si elle contient de l'argent et de l'or. Données : ρ = 19,g / cm ; ρ = 10,5g / cm. Indication : Or Arg Si la couronne est en or pur, sa masse apparante réelle dans l eau est : mar = (1 ρw / ρor )m, donne m ar = 597,1g donc la couronne n est pas en or pur : m < m. ar La composition de la couronne est : un volume total de a V = 467dm Parti B : Dynamique des fluides I/ Introduction V = 91dm et Or V = 175,9dm, soit En dynamique des fluides (fluide en mouvement), la densité et la viscosité sont des propriétés dominantes. Ar 6

7 A un instant t, les particules du liquide comprises entre deux sections d une canalisation ont chacune une certaine vitesse. A un autre instant, ces particules ne sont plus aux mêmes points mais elles sont remplacées par d'autres qui ont les mêmes vitesses : on a un écoulement permanent. Dans le cas contraire l écoulement est dit varié (non permanent). II/ Propriétés des fluides en mouvement 1/ Débit : Le débit représente la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par unité de temps. On parle de : - Débit massique : Si m est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, le débit massique est : q m m = ou t dm m& = q m = (unité : kg s -1 ) dt - Débit volumique : Si V est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps t, le débit volumique est : dv q V = (unité : en m s -1 ) dt Relation entre les débits massique et volumique : q m = ρq ou m & = ρv&. / Viscosité : La viscosité se définit comme étant la résistance opposée par le fluide à sa mise en mouvement. Expérience : Considérons un fluide placé entre deux plaques planes, parallèles, distantes de L et horizontales. L une est fixe et l autre est en mouvement uniforme de vitesse U 0. Pour générer une vitesse de la plaque supérieure (surface A), il faut exercer une force F. Cette force F est la résultante des forces de frottements visqueux. V 7

8 L expérimentation permet de déduire une proportionnalité entre le rapport de la force F et la surface A avec le rapport entre la vitesse U 0 et la longueur L séparant les deux plaques telle que : F U0 = µ, A L F U La contrainte, τ =, est proportionnelle au gradient de la vitesse. A y Le coefficient de proportionnalité, µ, est appelé viscosité dynamique (ou viscosité absolue). On appelle fluide parfait (par opposition au fluide réel) un fluide idéal dont la viscosité serait nulle. Cette absence de viscosité entraîne l absence de frottement entre les particules : l écoulement est sans perte d énergie. µ eau0 C = 10 N.s / m µ mercure = 1, N.s / mµ air = 18, N.s / m ν eau0 C = 10 6 m / s ν mercure = 0, m / ν air = 15, m / s Pour un fluide parfait, on a : µ = 0, Pour un fluide newtonien, µ = constante. Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa.s) ou Poiseuille (Pl) avec 1 Pa.s = 1 Pl = 1 kg/m.s=1n.s/m. 8

9 Viscosité cinématique Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique et de la masse volumique. Ce rapport noté ν est appelé µ 6 1 viscosité cinématique : ν =, avec ν eau = 10 m. s. ρ Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité cinématique 1 n'a pas de nom particulier : ( m. s ). La viscosité est fonction de la vitesse d écoulement du fluide (peu visqueux à grande vitesse, très visqueux à faible vitesse), elle diminue avec la température. / Vitesse moyenne La vitesse en un point de l écoulement, u(m), est, par définition, celle de la particule qui passe en ce point au moment considéré. En général la vitesse u(m) n'est pas constante sur la section A d'une canalisation ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement). Dans une section droite A de la canalisation, la vitesse moyenne U moy est : q V Umoy = A. La vitesse moyenne U moy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section A qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses. Si l'écoulement est permanent, alors entre deux sections de la canalisation q = q ce qui donne : U 1A1 = U A, c'est l'équation de continuité. V1 V 9

10 U 1 A = 1 U A La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible. Exercice : Sur un nettoyeur haute pression est marqué 10 bars, 8,4 litres/min. Quelle doit être la section à la sortie, pour que la vitesse de l'eau soit de 140 m/s? Quelle est la vitesse de l'eau dans le tuyau, sachant que sa section a un diamètre de 1,cm? IV/ Equations de Bernoulli Pour un fluide parfait en écoulement permanent, c'est-à-dire que les effets visqueux et les pertes d énergie sont négligeables, le principe de conservation de l énergie massique s écrit : 1 mu 1 + PV + mgz = cte1 : énergie mécanique d une masse m de fluide est constante au cours de son mouvement ; ρ U + P + ρgz = cte : énergie mécanique volumique du fluide est constante au cours de son mouvement ; U P + + gz = cte : énergie mécanique massique du fluide est constante ρ au cours de son mouvement ; U P + + z = cte : énergie mécanique par unité de poids du fluide est g ρg constante au cours de son mouvement. Cette dernière équation est dite équation de conservation de la charge. où : P est la pression en un point (en Pa ou N/m²) ρ est la masse volumique en un point (en kg/m³) 10

11 U est la vitesse du fluide en un point (en m/s) g est l'accélération de la pesanteur (en N/kg ou m/s²) z est cote ou l'altitude (en m). Cas des fluides réels Pour un fluide réel et en régime permanent, les forces de frottements visqueuses produisent une dissipation de l énergie mécanique sous forme de chaleur. On appelle ce phénomène la perte de charge due aux frottements visqueux dans le liquide. De cette manière, entre les positions (1) en amont et () en aval, l équation de Bernoulli s écrit : 1 + U P1 U P + z1 + = + z + g γ g γ H : est un terme positif appelé perte de charge entre les positions (1) et (). Selon l origine des pertes de charge H, on distingue : La perte de charge primaire ou répartie, notée H p, qui est la conséquence de la viscosité du fluide et de la rugosité des parois de la portion d écoulement ; La perte de charge secondaire ou locale ou singulière, notée H s, qui est la conséquence d une modification brusque dans la nature physique de la section d écoulement (élargissement, rétrécissement, changement de direction, etc.). En conclusion, la perte de charge totale s écrit : H = H p + H. H s 11

12 V/ Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds Les expériences réalisées par Reynolds (188) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent. En utilisant des fluides à viscosité différente, en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par : ρ R = UD e ou R = UD e µ ν Avec : ρ la masse volumique du fluide, U sa vitesse moyenne, D est le diamètre de la conduite, µ sa viscosité dynamique et ν sa viscosité cinématique. L'expérience montre que : si Re < 000 le régime est LAMINAIRE si 000 < Re< 4000 le régime est intermédiaire si Re > 4000 le régime est TURBULENT Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement. Loi de Poiseuille La loi de Poiseuille exprime que pour un écoulement laminaire, la relation entre le débit Q et la perte de charge le long d une canalisation de longueur L et de rayon R s écrit donc : 8µ L 8νL H = Q = Q, 4 4 ρgπr gπr 1

13 avec : - µ : viscosité dynamique du fluide (Pa s), - R : rayon intérieur, (m) ; - Q : débit-volume, (m s 1 ) ; - L : longueur entre les points (1) et (), (m) ; - H : perte de charge entre les positions (1) et (), (Pa). Cette loi montre que pour entretenir un débit Q donné, donc une vitesse d écoulement U donnée, il faut compenser la perte de charge H, sachant que H est d autant plus grand que la viscosité est grande. Principe d'un tube de venturi Un Venturi est un étranglement du conduit, limité par les sections A 1 et A où les pressions sont respectivement P 1 et P. Un tel appareil permet de mesurer le débit volumique d'un fluide. Cas d un fluide parfait incompressible à régime permanent. Les tubes verticaux sont des prises de pression statique. On considère un volume V de fluide de masse m, ce fluide étant par hypothèse incompressible et en régime permanent, il occupe toujours le même volume. Dans la partie 1 du tube, cet échantillon s écoule à la vitesse U 1 et dans la partie à la vitesse U. Deux enceintes latérales permettent la prise des pressions statiques P 1 et P. La conservation du débit impose : Q 1 = A1U1 = Q = A U. A Ce qui implique que: U 1 = U < U. A 1 1

14 1 1 La relation de Bernoulli s écrit sous la forme : ρ U + P = ρu1 + P1 ; 1 d où: P1 P = ρ(u U1 ) > 0, c'est-à-dire P 1 > P. Cas des gaz Les systèmes gazeux sont une illustration simple des cas dans lesquels la compressibilité du fluide ne peut être négligée. La masse volumique dépendant directement de la pression. Dans une atmosphère isotherme, l air est un gaz parfait donc PV = nrt, or, la masse volumique ρ dépend du volume V selon : ρ = nm / V, où M est la masse molaire du gaz. Il vient alors : RT M P = ρ ou encore ρ = P M RT L'équation fondamentale de la statique des fluides conduit à l'équation dp Mg différentielle = P dz RT Mg où le rapport est une constante. Cette équation se résout en séparant RT dp Mg les variables de la façon suivante : = dz, ce qui donne : P RT Mg P(z) = P0 exp( z) où P 0 est la pression en z = 0. RT Attention, cette solution n'est valable que pour une atmosphère isotherme, autrement dit lorsque la température T ne dépend pas de l'altitude z. Parti C : Tension superficielle I/ Observations du phénomène - La surface libre de l'eau dans un tube forme un ménisque près des bords ; - Les poils d'un pinceau sec se rassemblent lorsqu'ils sont mouillés ; - Une aiguille fine en acier flotte à la surface de l'eau ; - L'eau monte dans un capillaire alors que le mercure descend ; 14

15 - Une plaque de verre adhère très fortement à une surface plane lorsque celle-ci est mouillée ; - Une lame de savon prend une forme telle que sa surface soit minimale. Ces phénomènes sont explicables par l'existence de forces capillaires. Ces forces expliquent la forme de la surface libre d'un liquide dans un tube, son ascension dans un solide poreux, la formation de bulles, etc. II/ La force de tension superficielle Considérons un cadre ABCD dont le coté AB, de longueur L, peut glisser sur DA et CB. Plongé initialement dans un liquide (par exemple de l'eau de savon), ce cadre est rempli d'une lame mince liquide. Le liquide tire AB vers DC par une force f sur chaque face de la lame, proportionnelle à la longueur L, telle que f = γl. Pour maintenir AB en équilibre, il faut lui appliquer une force F (qui ne dépend pas de la position de AB) telle que F = f = γl ; avec F en N, L en m et γ en N m 1. Si on a un déplacement de dx de AB, le travail de la force sera donc un travail δ W qui vaut : δ W = Fdx = γldx Définition Dans la relation précédente, le coefficient γ s'appelle «tension superficielle» du liquide. Unité : Dans le système international (SI), l'unité de la tension superficielle est : N m 1. 15

16 Ordres de grandeur (dans le cas d'interface liquide-air) : liquide γ (N m 1 ) eau (à 0 C 7 x 10 eau (à 0 C) 75,6 x 10 huile végétale (à 0 C) x 10 Éthanol (à 0 C) x 10 Éther (à 0 C) 17 x 10 Mercure (à 0 C) 480 x 10 Généralisation : Pour accroître la surface d une lame liquide, il faut donc apporter de l énergie, et l expérience montre qu il y a proportionnalité entre le travail à apporter δ W et l augmentation ds de l aire de la surface de liquide. δ W = γds III/ Angle θ de raccordement liquide/solide Une goutte de liquide déposée sur une plaque solide plane et horizontale peut : - soit s'étaler largement (par exemple de l'eau sur du verre propre) ; dans ce cas, on dit que le liquide mouille parfaitement le solide, et l'angle de raccordement θ vaut 0, - soit former une lentille : si θ < 90, le liquide mouille imparfaitement le solide (par exemple l'eau sur du verre sale) ; si θ > 90, le liquide ne mouille pas le solide (par exemple le mercure sur du verre). Le même angle de raccordement se retrouve à la surface libre d'un liquide près des bords du récipient et provoque la formation d'un ménisque dans les tubes. 16

17 IV/ Expression de l angle de contacte Ainsi, les phénomènes de capillarité sont liés à un équilibre entre les énergies de surface liquide vapeur, liquide solide et solide-vapeur. Dans le cas du mouillage, la configuration adoptée est celle qui minimise la somme des énergies d'interface entre ces trois milieux. Le schéma ci bas montre que l'énergie d'interface solide/liquide doit être plus faible que l'énergie d'interface solide/vapeur. L angle θ s appelle angle de contact. Il dépend à la fois du liquide, du solide qui le supporte ou le contient, et du gaz qui environne les deux. Trois paramètres sont donc à prendre en compte : La tension superficielle γ sl entre le solide et le liquide ; La tension superficielle γ lv entre le liquide et sa phase vapeur ; La tension superficielle γ sv entre le solide et la vapeur. cosθ = γ sv γ γ lv sl Le schéma ci-dessus montre les trois forces de tension en présence, représentées par leurs tensions superficielles correspondantes. V/ Tube capillaire - loi de Jurin Un tube capillaire est un tube de petit diamètre intérieur. Lorsqu'on le plonge ouvert aux deux extrémités, dans un liquide, celui-ci "monte" (si θ < 90 ) ou "descend" (si θ > 90 ) dans le tube d'une hauteur h telle que : 17

18 h = γ cosθ ρgr Cas de la montée : Un tube de verre de faible diamètre est plongé dans un liquide mouillant, de l eau par exemple. Dans le tube, le niveau du liquide est supérieur au niveau de la surface libre du récipient. Le ménisque concave fait un angle θ avec la surface du tube. L ascension capillaire est due aux forces superficielles appliquées en tout point du contour du ménisque. La résultante F de ces forces équilibre le poids P du liquide soulevé. L élévation du liquide dans le tube compense la différence de pression entre les deux côtés de la paroi (Loi de Laplace). Le poids de la colonne de liquide dans le tube P = mg = πr h g est équilibré par la force de tension superficielle F = πrγ cos θ s'exerçant sur la ligne de raccordement entre le liquide et la paroi du tube. ρ On obtient ainsi la relation h γ cosθ = que l on appelle Loi de Jurin. ρgr r : rayon intérieur du tube, ρ: masse volumique du liquide, g : accélération de la pesanteur, 18

19 γ : tension superficielle du liquide, θ : angle de raccordement liquide/solide cos θ : parce que seule la composante verticale contribue à la résultante F. Dans le cas du mouillage parfait, cos θ = 1. VI/ Loi de Laplace - Généralisation Soit une bulle de savon. Il y a les forces de pression extérieure qui ont tendance à contracter la bulle et les forces de pression intérieure qui, elles, ont tendance à faire dilater la bulle. Ces forces sont rattachées aux pressions P e (extérieures) et P i (intérieures). Les forces de tension ont tendance à faire contracter la bulle donc P > P. Si on augmente le rayon r de la bulle de dr, son volume augmente de la quantité 4 r π dr. Le travail des forces de pression vaut : δ W = P 4πr dr et δ Wi = Pi 4πr dr. i e e e Le travail total vaut donc : δ W = δw e + δw i = (P i P )4πr e dr = γds Ce travail est égal à celui des forces de tension qui vaut γ ds. La bulle comportant une paroi intérieure et une paroi extérieure, sa surface totale est, si on néglige son épaisseur : S = * 4πr. Son augmentation ds est égale à : On a donc pour la bulle de savon : ds = 16πrdr. 4γ P = Pi Pe =. r Par contre pour la goutte d eau une seul paroi : P = γ r r : rayon intérieur du tube capillaire ; ρ : masse volumique du liquide ; 19

20 g : intensité de la pesanteur ; γ : tension superficielle du liquide ; θ : angle de raccordement liquide/solide. La surpression intérieure est donc d'autant plus grande que le rayon de la bulle est petit. Généralisation : Dans le cas général d une surface courbe non sphérique, ayant deux rayons de courbure r et r, la surpression est donnée par la 1 1 formule de Laplace généralisée : P = γ + r r' Le cas de la goutte sphérique correspond au cas particulier où r = r est alors retrouvé. Exercices d application I : Un liquide a une constante de tension superficielle γ = 5.10 N / m. Avec ce liquide, on souffle une bulle de savon de rayon R = cm. Calculer la surpression à l'intérieur de cette bulle. La pression extérieure étant égale à 10 5 Pa, calculer le travail total dépensé pour souffler la bulle. II : Un liquide mouillant parfaitement le verre et de masse volumique ρ = 1,05.10 kg.m -, s'élève à une hauteur moyenne h=1,5cm dans un tube capillaire en verre, vertical et de diamètre intérieur d=1mm. Calculer la constante de tension superficielle du liquide (prendre g = 10 m.s - ). Eléments de réponses I : Calcul de la surpression : Pi Pe = 4γ / R donne P i P e =,Pa. Le Travail pour créer une surface da : δ W = γda donne W = γa. Surface d'une sphère : A = 4πR mais ici la paroi de la bulle est constituée de surfaces, donc la surface est 8π R : 4 W = 8γπR = 5.10 x8xπ(.10 ) ; d où W = 5,7.10 J 0

21 II : a). h = γ /( ρgr) ;. A = hρgr / ; A = 1,5.10-1, , / =, ; A =, N.m -1. b) Calcul de la tension superficielle, γ Si θ = 45 par exemple, la constante γ serait alors égale à : γ = hρgr /( cos θ) =,9.10 / 0,707 γ = 5,5.10 N / m. 1

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