Mesures de risque de marché

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1 Mesures de risque de marché Cours de la chaire Risques Financiers de la fondation du Risque Cours de Master 2ème année, Master Recherche Probabilités et Applications (Université Paris 6 et Ecole Polytechnique) Master Recherche Mathématiques et Applications (Université Marne La Vallée et ENPC) Thomas GUIBERT 30 Janvier 2013

2 SOMMAIRE Introduction Définition et typologie des risques DEFINITION ET TYPOLOGIE DES RISQUES FOCUS SUR LES RISQUES DE MARCHE : ORGANISATION TYPE D UNE DIRECTION DES RISQUES DE MARCHE La réglementation bancaire LES OBJECTIFS ET LES DIFFÉRENTS INTERVENANTS UN PEU D HISTOIRE : FOCUS SUR LE COMITE DE BALE UN PEU D HISTOIRE : FOCUS SUR BALE ET LES RISQUES DE MARCHE Les mesures de risque de marché INTRODUCTION LES SENSIBILITÉS LA VALUE AT RISK (VAR) L EXPECTED SHORTFALL (ES) LES STRESS TESTS (SCÉNARIOS DE CRISE) LA STRESSED VAR (SVAR) L INCREMENTAL RISK CHARGE (IRC) LA COMPREHENSIVE RISK MEASURE (CRM) SYNTHESE Le lien entre les mesures de risque de marché et le capital réglementaire Synthèse et conclusion 2

3 INTRODUCTION 3

4 CHAPITRE 01 DEFINITION ET TYPOLOGIE DES RISQUES 4

5 Définition et typologie des risques (1/3) Définition des risques Les banques sont exposées à des risques inhérents à leurs activités. Le risque est associé à la notion d incertitude mais également aux pertes qu il peut engendrer. Les mesures de risque ont pour objectif de quantifier ces pertes, selon les types de risque. Risque de crédit (y compris le risque pays) Risque que l emprunteur (un particulier, une entreprise, un émetteur ou un Etat) ne rembourse pas sa dette aux échéances fixées. Le risque de crédit inclut le risque de contrepartie afférent aux opérations de marché. Cas pratiques : - Monsieur X a contracté un emprunt auprès de sa banque pour acheter un appartement. Monsieur X perd son emploi et n est plus en mesure de payer ses mensualités aux échéances fixées. - Crise sur les emprunts russes 1998: spéculation sur les titres de créances négociables. L Etat russe se déclare en cessation de paiement en août Risque de marché Risque de pertes résultant de l évolution des prix du marché (cours des actions, des matières premières, des devises et des taux d intérêt). Cas pratiques : - Flash crash du 6 mai 2010, Etats-Unis : un fonds a vendu une quantité inhabituelle de contrats sur S&P500, les transactions haute fréquence ont réagi de manière agressive. 5

6 Définition et typologie des risques (2/3) Risque opérationnel Risque de pertes résultant d une inadaptation ou d une défaillance imputable à des procédures, personnels et systèmes internes ou à des événements extérieurs. Cas pratiques : - Des traders ont pris des positions spéculatives massives, en dehors de leurs attributions et non couvertes. Ils ont réussi à les dissimuler à leurs hiérarchies et aux systèmes de contrôle des banques. Cela a notamment été le cas des banques suivantes: la Barings ( GUSD), la Société Générale ( GEUR) et UBS ( GUSD). - L affaire Madoff : il s agit d une escroquerie connue sous le nom de «chaine de Ponzi». Madoff proposait des rendements très élevés, mais en fait payait les intérêts des premiers investisseurs avec le capital apporté par les derniers entrés. Risque de non-conformité Risque de sanction ou de perte financière découlant du non-respect de la réglementation bancaire et financière ou des règles internes. Cas pratiques : - Etablissement de crédit A, avertissement et sanction pécuniaire de 800KEUR, nov./déc Selon l article 1 du règlement 97-02, les dispositifs de contrôle interne d une banque doivent être adaptés à la nature et au volume de ses activités, à sa taille et aux risques auxquels elle est exposée. Une mission d inspection de la Commission bancaire a montré que l établissement A n avait pas fait évoluer l architecture de son dispositif de surveillance des risques au même rythme que la complexité de ses opérations de marché. - «La banque britannique accepte de payer 1,9 milliard de dollars (1,5 milliards d euros) pour clore les poursuites engagées par les autorités américaines dans une affaire de blanchiment d'argent sale appartenant notamment à des cartels de la drogue. «HSBC a conclu un accord avec les autorités américaines dans le cadre d'enquêtes concernant des infractions aux lois sur les sanctions (frappant certaines entités criminelles ou assimilées) et la lutte contre le blanchiment d'argent», a précisé la banque dans un communiqué.» Source : Les Echos - 11/12/2012 6

7 Définition et typologie des risques (3/3) Risque de liquidité Risque que la banque ne puisse pas faire face à ses flux de trésorerie à un coût raisonnable. Cas pratique : - Crise des subprimes en 2007: nationalisation de Northern Rock, solvable mais investi dans des crédits hypothécaires non liquides. Risque structurel de taux d intérêt et de change Risque de pertes ou de dépréciations sur les actifs en cas de variation sur les taux d intérêt et de change. Risque stratégique Risque inhérent à la stratégie choisie ou résultant de l incapacité à mettre en œuvre cette stratégie. Risque de réputation Risque résultant d une perception négative de la part des clients, des contreparties, des actionnaires, des investisseurs ou des régulateurs qui peut affecter défavorablement la capacité d une banque à maintenir ou engager des relations d affaires et la continuité de l accès aux sources de financement. Risque environnemental et social Risque résultant d une prise en compte inadéquate des enjeux relatifs à la Responsabilité Sociale et Environnementale des Entreprises. Il est à considérer dans les relations du secteur de la Finance avec toutes ses parties prenantes : les clients, mais aussi les collaborateurs, les actionnaires, les fournisseurs et la société civile. 7

8 Focus sur les risques de marché : organisation type d une Direction des Risques de Marché Organisation type d une Direction des Risques de Marché Rôles et expertise des différentes fonctions par rapport aux mesures de risque de marché Directeur des Risques de Marché Analytics Marché Méthodologies des mesures de risque de marché Validation des modèles de pricing Gestion de projets Production des indicateurs Gestion des Risques de Marché Rôle Définition des méthodologies, choix de modélisation Validation indépendante des mesures de risque de marché Gestion de projets, implémentation, etc. Tests d impacts, analyse quotidienne des indicateurs Utilisation des indicateurs au quotidien dans la gestion des risques Expertise Expertise quantitative (modèles de pricing) Expertise Système d Information (implémentation IT, production, etc.) Expertise métier (marché et produits) 8

9 CHAPITRE 02 LA REGLEMENTATION BANCAIRE 9

10 La réglementation bancaire les objectifs et les différents intervenants La réglementation bancaire a notamment pour objectifs : Adapter ou améliorer les règles de fonctionnement et ainsi participer à la modernisation et la stabilité du secteur bancaire, Limiter la prise de risques excessive, Prévenir le risque systémique, Assurer aux clients une information de qualité. G20 FSB Comité de Bâle Parlement européen Conseil européen Commission européenne ABE (Autorité Bancaire Européenne) Parlement français ACP (Autorité de contrôle prudentiel) CRBF (Comité de la réglementation bancaire) AMF (Autorité des marchés financiers) Réglementation prudentielle supranationale Le G20 fixe les orientations prioritaires. Le Financial Stability Board (FSB ou Comité de stabilité financière) les décline opérationnellement et émet des recommandations. Le Comité de Bâle publie des recommandations, sous l égide de la BRI (Banque des Règlements Internationaux). Convergence européenne Les instances européennes transposent ces recommandations en droit européen (directives). Ces recommandations ont abouti, par exemple, à l'adoption de la Directive CRD (Capital Requirement Directive). Au niveau national, implémentation des dispositions communautaires et des lois nationales. Source: document interne Société Générale. 10

11 La réglementation bancaire un peu d histoire : focus sur le Comité de Bâle Les «Principes fondamentaux pour un contrôle bancaire efficace» publiés par le Comité de Bâle constituent le standard le plus important dans le domaine de la réglementation et du contrôle bancaire. Ces principes définissent le cadre d ensemble du contrôle bancaire et couvrent : L agrément des établissements, La réglementation prudentielle, Les techniques de contrôle, Les prérogatives des autorités. Les dates clés Dans la pratique : les étapes clés: - Publication d un document consultatif par le Comité de Bâle et réalisation d études d impacts, - Lobbying et réponses des banques, - Publication d un document final intégrant ou non les retours des banques, - Phase d implémentation avec réalisation d études d impacts complémentaires, - Présentation d un dossier de demande de validation de l utilisation des modèles internes par les banques à leur régulateur (ACP en France), - Mission de validation de l ACP sur place, - Rapport de l ACP, avec recommandations à mettre en œuvre selon un calendrier fixé Création Publication Publication Consultation des accords d amendements sur les Bâle 2 Bâle 2.5 Bâle 3 Bâle 4? du Comité de Bâle I relatifs au risque accords de de Bâle de marché Bâle 2 Les recommandations de Bâle 2 s articulent autour de 3 piliers : Pilier 1 : exigences minimales de fonds propres - Exigences de fonds propres minimales afin de couvrir les risques de marché, de crédit et opérationnels. Pilier 2 : processus de surveillance prudentielle - Principes de la surveillance prudentielle afin de garantir que le capital est suffisant afin de couvrir les risques encourus. Pilier 3 : discipline de marché - Des règles de transparence sont établies quant à la discipline de marché et l information mise à la disposition du public. 11

12 La réglementation bancaire un peu d histoire : focus sur Bâle et les risques de marché (1/2) Focus sur les textes de Bâle relatifs aux risques de marché : Bâle 2 Consultation juin 1999 / Document final 2004 / Implémentation fin VaR et méthode standard avec limitation des bénéfices liés au netting. Bâle 2.5 Consultation janvier 2009 / Document final juillet 2009 / Implémentation fin Renforcement du cadre de Bâle II et objectif affiché d augmenter le capital du portefeuille de trading. - Réduction de la pro-cyclicité des exigences de fonds propres. - Prise en compte de facteurs de risque autres que marché sur le trading book : le risque de crédit. - Le dispositif de Bâle II (VaR et méthode standard) est complété par de nouveaux éléments : Les modèles internes : la VaR est complétée par 3 nouvelles mesures de risque de marché : la VaR stressée, l Incremental Risk Charge (IRC) et la Comprehensive Risk Measure (CRM); La méthode standard (taux, change, equity et matières premières) est complétée par une charge en capital en méthode pour les positions de Titrisations, similaire à celle du banking book (ce qui adresse les arbitrages entre trading et banking). Bâle 4? Fundamental Review of the Trading Book Consultation de mai à septembre 2012 /? - Adresser les faiblesses mises en évidence par la crise, définir un cadre réglementaire unifié (en opposition au patchwork post Bâle 2.5) qui puisse être appliqué à toutes les banques et qui permette les comparaisons entre banques. - Le Comité de Bâle propose notamment: L utilisation d une mesure d Expected Shortfall calculée sur une période stressée, à la place des VaR et VaR stressée. La prise en compte d horizons de liquidité différenciés ainsi que la limitation des bénéfices de diversification et de hedge. La possibilité de réintégrer dans ce cadre unifié les risques de crédit actuellement captés par les mesures IRC et CRM. La mise en place d un calcul en méthode standard qui pourrait servir de floor pour le capital réglementaire. 12

13 La réglementation bancaire un peu d histoire : focus sur Bâle et les risques de marché (2/2) De Bâle 2 à Bâle 2.5 puis Bâle 4? Bâle 2 Bâle 2.5 Bâle 4? VaR VaR Expected Shortfall Modèles internes VaR spécifique VaR stressée IRC - période stressée - horizons de liquidité - limitation diversification - réintégration IRC/CRM CRM - floor en standard Méthode standard Méthode standard (IR, FX, EQ et CTY) Méthode standard (IR, FX, EQ et CTY) Méthode standard Titrisation Méthode standard (IR, FX, EQ et CTY) Méthode standard Titrisation temps 13

14 CHAPITRE 03 LES MESURES DE RISQUE DE MARCHE 14

15 CHAPITRE 03 Introduction 15

16 Les mesures de risque de marché introduction (1/4) La valorisation d un portefeuille de trading fait apparaître une dépendance aux : Eléments contractuels : nominal, qualité de la contrepartie, clauses particulières, etc. Eléments liés à son nom : qualité de crédit propre, accès à la liquidité (coût de refinancement), etc. Paramètres de marché explicites : cours des actions, taux de swaps, etc. Paramètres de marché implicites : volatilités, etc. Paramètres de marché plus exotiques : corrélations, etc. Paramètres de modèles : paramètres numériques (liés au calibrage des modèles), etc. De la mesure à l analyse des risques de marché Etapes préalables - Analyse économique des risques encourus - Identification des facteurs de risque - Collecte des données Etapes de modélisation - Modélisation des facteurs de risque - Lien entre facteurs de risque et valeur du portefeuille - Evaluation de la distribution de P&L du portefeuille - Evaluation de la robustesse des modèles (backtesting) Etapes d analyse, de synthèse et de pilotage du risque - Calcul des indicateurs de risque - Analyse du risque ex-ante - Suivi et pilotage du risque Dans la pratique : On considère une option sur un indice Equity dont le prix dépend de plusieurs paramètres : P(S, K, r, T, σ, d, q) - Eléments contractuels : strike K, maturité T, etc. - Paramètres de marché explicites : cours de l indice sous-jacent, taux d intérêt utilisé pour actualiser les flux, - Paramètres de marché implicites : la nappe de volatilités (à la monnaie et smile), les dividendes et repos, - Paramètres de marché plus exotiques : les corrélations dans le cas de produits multi sous-jacents, - Paramètres de modèles : selon le modèle de pricing utilisé (Black & Scholes, volatilité locale, volatilité stochastique). 16

17 Les mesures de risque de marché introduction (2/4) Etapes préalables Analyse économique des risques encourus sur le portefeuille de négociation - Actions & indices : les cours des actions et indices, leurs volatilités (à la monnaie et smile), les dividendes, etc. - Taux : les taux de swaps, les taux Trésor, les volatilités des taux, etc. - Change : les taux de change, les volatilités des taux de change, etc. - Crédit : les spreads de crédit, les volatilités, etc. - Matières premières : les cours des matières premières, leurs volatilités, etc. Dans la pratique : Dans le cas de l option sur indice Equity précédente, quels facteurs de risque retenir parmi l ensemble des paramètres de marché? spots, taux, volatilités, dividendes, repos, corrélations, etc. Identification des facteurs de risques: quelques exemples de changements de dynamiques Impacts de la faillite de Lehman sur l indice S&P500 Source : La formation des prix sur le marché des CDS : les enseignements de la crise souveraine ( ) - Christophe Bonnet - AMF, janvier 2012 Crise souveraine : élargissement des spreads de CDS 17

18 Les mesures de risque de marché introduction (3/4) Etapes préalables Identification des facteurs de risques: quelques exemples de changements de dynamiques Risque spécifique (ou idiosyncratique) : variations du cours d une action en raison d événements qui sont propres à l entreprise indépendamment des phénomènes qui affectent l ensemble des actions (le marché). Collecte des données 18

19 Les mesures de risque de marché introduction (4/4) Etapes de modélisation Modélisation des facteurs de risque Lien entre les facteurs de risque et la valeur du portefeuille Evaluation de la loi de probabilité des portefeuilles Evaluation de la robustesse des modèles (backtesting) Choix de mesures afin de gérer les risques de marché - Modélisation non probabiliste Expositions en nominal Sensibilités du portefeuille aux paramètres de marché - Modélisation probabiliste VaR Expected Shortfall Scénarios de stress Stressed VaR IRC CRM Etapes d analyse, de synthèse et de pilotage du risque Calcul d indicateurs de risque Analyse du risque ex-ante Suivi et pilotage du risque 19

20 CHAPITRE 03 Les sensibilités 20

21 Les mesures de risque de marché les sensibilités Définition Les sensibilités permettent de mesurer la variation du prix d un produit financier suite à la variation d un paramètre de marché. Mathématiquement, les sensibilités correspondent aux dérivées partielles du prix par rapport à un ou plusieurs paramètres de marché. Les sensibilités sont appelées les «grecques». Quelques exemples de sensibilités Risque de modèle : selon le modèle de pricing utilisé afin de valoriser un produit financier, des prix différents peuvent être obtenus. Les sensibilités aux différents paramètres de marché peuvent également avoir des valeurs différentes. dp Delta : sensibilité du prix du produit dérivé par rapport au cours du sous-jacent = ds dp Vega : sensibilité du prix du produit dérivé par rapport à la volatilité implicite v = dσ Rho : sensibilité du prix du produit dérivé par rapport à une variation des taux d intérêt ρ = Thêta : sensibilité du prix du produit dérivé à l écoulement du temps Gamma : sensibilité du delta par rapport au cours du sous-jacent Utilisation Les sensibilités sont utilisées par les traders afin de gérer leurs positions ainsi que les risk managers. Les sensibilités sont reportées au responsable du trading, au responsable des risques, etc. Elles sont utilisées afin de décomposer et d expliquer les variations du prix P: ds ds dσ dp = Γ + v + ρ dr +... S S σ 2 θ = dp dt 2 d P Dans la pratique : les sensibilités sont calculées en appliquant un choc sur le paramètre de marché : Γ = Δ= 1+1%),,,,,, ),,,,,, ) 1% ds 2 dp dr 21

22 CHAPITRE 03 La Value at Risk 22

23 Les mesures de risque de marché la Value at Risk définition (1/2) Définition La VaR est définie comme la perte potentielle maximale pouvant survenir pour un niveau de confiance donné et pour un horizon temporel fixé. Mathématiquement, la VaR est définie comme le quantile de la distribution des gains et pertes pour le niveau de confiance fixé. Dans la pratique : si la VaR d un portefeuille de trading est de 10 MEUR au seuil de 99% à un horizon1 jour, alors il y a 99% de chances que la perte subie n excède pas 10 MEUR à 1 jour. La VaR correspond à un montant de pertes; elle est fonction de trois paramètres : - La distribution des gains et pertes du portefeuille (positions et facteurs de risque) - Le niveau de confiance Plus le niveau de confiance est élevé, plus la VaR est élevée. Lorsque le niveau de confiance augmente, le nombre d occurrences au-delà de la VaR diminue, ce qui réduit la qualité de la mesure. La VaR est utile tant qu elle peut être vérifiée, i.e. que l on backteste le modèle en vérifiant si la fréquence des pertes observées dépasse le niveau de confiance. Une valeur trop élevée du quantile, à 99.99% par exemple, conduirait à un dépassement tous les 10,000 jours de trading, soit tous les 40 ans. - L horizon temporel Plus l horizon temporel est long, plus la VaR est élevée. L horizon temporel est défini en fonction de l horizon de gestion. Il est dicté par la profondeur des données de marché et les régulateurs. Dans la pratique : le changement d horizon temporel est réalisé à partir de la racine carrée du temps. Le passage d une VaR à 1 jour à une VaR à 10 jours se fait : VaR(10 j,99%) = VaR(1 j,99%) 10 VaR 23

24 Les mesures de risque de marché la Value at Risk définition (2/2) Un peu d histoire La VaR a été popularisée par JP Morgan, elle est largement acceptée par les banques depuis La VaR a été adoptée par les accords de Bâle en La VaR est utilisée En tant que mesure de risque de marché, Mais aussi pour le calcul du capital réglementaire. Dans la pratique : La réglementation impose, pour le calcul du capital réglementaire : - Un seuil de confiance de 99%, de sorte que la perte observée ne devrait excéder statistiquement la VaR dans 1% des cas seulement; - Un horizon temporel de 10 jours, qui suppose que toutes les positions peuvent être liquidées ou couvertes sur cette durée. Les éléments d un système de VaR Les positions du portefeuille - Collecte des positions et identification des paramètres de marché. Les facteurs de risque - Choix des facteurs de risque (sous-ensemble des paramètres de marché). - Choix de la modélisation des facteurs de risque. - Collecte des données de marché. La méthode d estimation de la VaR - L approche paramétrique. - Les simulations historiques. - Les simulations Monte Carlo. Positions du portefeuille de négociation Facteurs de risque Méthode d estimation de la VaR Niveau de confiance Horizon temporel 24

25 Les mesures de risque de marché la Value at Risk méthode paramétrique (1/5) L estimation de la VaR par la méthode paramétrique (variance-covariance) repose sur l hypothèse que la loi jointe des facteurs de risque suit une loi théorique. Les propriétés de cette loi théorique sont alors utilisées pour estimer le quantile de la distribution de probabilité des gains et pertes du portefeuille et donc la VaR. Dans la pratique : estimation de la VaR d un portefeuille par la méthode paramétrique Présentation du modèle linéaire approche delta normale * - Les facteurs de risque suivent une distribution normale. - Le risque du portefeuille est linéaire par rapport aux facteurs de risque. - Cette méthode consiste à représenter la distribution des profits et des pertes potentielles selon une fonction de densité d une loi normale centrée réduite. La connaissance de la fonction de répartition permet déduire la VaR. La VaR du portefeuille est déterminée par la volatilité des facteurs de risque. Illustration : cas d une position de 500,000 actions sur le titre A (cours : 10 EUR) - On fait l hypothèse que la moyenne des rendements des cours de l action est nulle et que la volatilité annuelle est de 20%. - Soit un portefeuille composé de 500,000 actions sur le titre A coté à 10 EUR. - La valeur initiale du portefeuille est donc de 5 MEUR. - La volatilité à 10 jours est égale à 3.98% - La VaR à 99% à horizon 10 jours est de 0.46 MEUR. 10 = %,10 )=3.98% Niveau de confiance Centilede la loi normale 99% ,5% 1,96 95% 1.64 * L approche delta normale peut être étendue, il s agit alors de l approche delta-gamma. 25

26 Les mesures de risque de marché la Value at Risk méthode de simulation historique (2/5) L estimation de la VaR par la méthode de simulation historique consiste à déterminer la distribution de probabilité des gains et pertes du portefeuille à partir des variations quotidiennes des paramètres de marché pertinents (les facteurs de risque) sur une période de temps donnée. Dans la pratique : estimation de la VaR d un portefeuille par la méthode de simulation historique Les facteurs de risque - Choix des facteurs de risque parmi l ensemble des paramètres de marché, - Choix de la longueur de la période des scénarios historiques (en pratique de 1 à 2 ans, soit de 250 à 500 scénarios), - Constitution d une base de données des observations historiques des facteurs de risque, - Fréquence de mise à jour de la période historique (de quotidienne à mensuelle), - Choix de la modélisation des scénarios à appliquer à ces facteurs de risque et de l horizon temporel, - Génération de scénarios pour l ensemble des facteurs de risque. Les approximations de modèles de pricing et de méthodes numériques - Choix des approximations en adéquation avec la précision requise par la mesure. Détermination de la distribution des gains et pertes du portefeuille - Les facteurs de risque sont choqués puis l ensemble des positions revalorisées, sous chacun des scénarios historiques. - On obtient ainsi autant de prix choqués du portefeuille que de scénarios, puis par différence avec la valeur initiale du portefeuille, on obtient la distribution des gains et pertes du portefeuille. Détermination du quantile à 99% de la distribution des gains et pertes du portefeuille - Le quantile à 99% est déterminé à partir de la distribution des gains et pertes du portefeuille. Changement d horizon temporel : de 1 jour à 10 jours - Le quantile à 99% à 1 jour est ramené à un quantile à 99% à 10 jours; en règle générale en utilisant la racine carrée du temps. 26

27 Les mesures de risque de marché la Value at Risk méthode de simulation historique (3/5) Illustration : cas d une option sur l indice DJ Eurostoxx 50, de prix P(S, K, r, T, σ, d, q) Les facteurs de risque - Choix des facteurs de risque : cours de l indice, taux d intérêt et volatilités à la monnaie. - Choix de la longueur des scénarios historiques : 300 scénarios. - Choix de la modélisation des scénarios : Cours de l indice : chocs relatifs, Taux d intérêt : chocs absolus, Volatilités à la monnaie : chocs relatifs. - Choix de l horizon temporel : 1 jour. Les approximations de modèles de pricing et de méthodes numériques - Choix des approximations : aucune, revalorisation complète. Détermination de la distribution des gains et pertes du portefeuille - Les facteurs de risque sont choqués puis l ensemble des positions revalorisées, sous chacun des scénarios historiques. - On obtient ainsi autant de prix choqués du portefeuille que de scénarios, puis par différence avec la valeur initiale du portefeuille (100 MEUR), on obtient la distribution des gains et pertes du portefeuille. Détermination du quantile à 99% - Le quantile à 99% est déterminé VaR = 3 e pire perte sur les 300 scénarios à partir de la distribution des gains et pertes du portefeuille. Changement d horizon temporel : de 1 jour à 10 jours - Le quantile à 99% à 1 jour est ramené à un quantile à 99% à 10 jours; en règle générale en utilisant la racine carrée du temps. 27

28 Les mesures de risque de marché la Value at Risk méthode Monte Carlo (4/5) L estimation de la VaR par la méthode de simulations Monte Carlo consiste à estimer la distribution de probabilité des gains et pertes du portefeuille à partir d un grand nombre de simulations des comportements futurs possibles des facteurs de risque. Dans la pratique : estimation de la VaR d un portefeuille par la méthode de Monte Carlo Les facteurs de risque - Spécification de la distribution jointe des facteurs de risque (en pratique, la loi normale est utilisée), - Simulation d un très grand nombre de scénarios de variations possibles des facteurs de risque à partir de cette loi (en pratique, 10,000 simulations au minimum). Le nombre de tirages conditionne la précision de la mesure du quantile. Les approximations de modèles de pricing et de méthodes numériques - La méthode Monte Carlo faisant appel à un très grand nombre de simulations des évolutions possibles des facteurs de risque, l utilisation de la revalorisation complète de l ensemble du portefeuille pour chacun de ces scénarios est inenvisageable pour des raisons de contraintes de temps/calculateurs. Dans la pratique, les impacts P&L sont calculés par les sensibilités. ds ds dσ dp = Γ v ρ dr... S S σ Détermination de la distribution des gains et pertes du portefeuille - La distribution des gains et pertes du portefeuille est obtenue en appliquant les scénarios de déformation des facteurs de risque simulés par la méthode Monte Carlo aux sensibilités du portefeuille. Détermination du quantile à 99% de la distribution des gains et pertes du portefeuille - Le quantile à 99% est déterminé à partir de la distribution des gains et pertes du portefeuille. 2 28

29 Les mesures de risque de marché la Value at Risk méthode Monte Carlo (5/5) Illustration : cas d une position de 500,000 actions sur le titre A (cours : 10 EUR) Les facteurs de risque - Spécification de la distribution des facteurs de risque : cours de l action 2 ds( t) = µ S( t) dt + σ S( t) dw ( t) S( t t) S( t)exp ( σ + = µ ) t + σε t 2 - Les moyenne et écart-type sont estimés sur données historiques. - Nombre de scénarios : 10,000 - Choix de l horizon temporel : 1 jour (10 jours). Les approximations de pricing et de méthodes numériques - Choix des approximations : la revalorisation complète étant impossible, les impacts P&L sont calculés par les sensibilités. - Dans le cas d une action, la question ne se pose pas. La valeur initiale du portefeuille est de 5 MEUR (500,000 x 10). Détermination de la distribution des gains et pertes du portefeuille - La distribution des gains et pertes du portefeuille est obtenue en appliquant les scénarios de déformation des facteurs de risque simulés par la méthode Monte Carlo aux sensibilités du portefeuille. - On obtient ainsi autant de prix choqués du portefeuille que de scénarios, puis par différence avec la valeur initiale du portefeuille (100 MEUR), on obtient la distribution des gains et pertes du portefeuille. Détermination du quantile à 99% - La VaR correspond au quantile à 99% (100 e pire sur 10,000), ie -595KEUR. - Le choix de l horizon temporel se fait lors de la simulation des scénarios. 29

30 Les mesures de risque de marché la Value at Risk le backtesting (1/3) Définition Le backtesting de la VaR a comme double objectif de : - Valider l adéquation du modèle statistiquement, en vérifiant si le degré de couverture observé empiriquement correspond au niveau de confiance théorique de 99%. Pour ce faire, on compte le nombre de dépassements de backtesting, i.e. le nombre de fois où la perte observée dépasse la VaR. - Valider le modèle de VaR en tant que mesure de capital réglementaire. La VaR permet-elle d allouer des exigences de fonds propres suffisantes afin de couvrir les pertes observées? Le backtesting n est donc pas une mesure de risque de marché, mais une procédure statistique permettant de juger, a posteriori, de la qualité du modèle de VaR. Utilisation Le nombre de dépassements de backtesting observés sur l année glissante intervient directement dans la détermination des exigences de fonds propres réglementaires (cf. chapitre 4). La fréquence des dépassements et leur amplitude renseignent également sur la qualité du modèle de VaR. Le backtesting peut permettre d identifier les facteurs de risque qu il pourrait être nécessaire d intégrer dans le modèle de VaR. En effet, un nombre trop important de dépassements peut être expliqué par la non prise en compte d un risque important pour le portefeuille sur lequel la VaR est calculée. Illustration 2 dépassements sur l année glissante : - 22/03/2012 :. P&L = -9.6MEUR. VaR = -8.8MEUR - 23/06/2012 :. P&L = -9.1MEUR. VaR = -7.2MEUR Mesures de risque de marché Source: données simulées. 30

31 Les mesures de risque de marché la Value at Risk le backtesting (2/3) Utilisation du backtesting de la VaR pour déterminer les exigences de fonds propres Les exigences de fonds propres liées à la VaR sont calculées à partir de la formule suivante : où m représente le coefficient multiplicateur permettant de convertir la mesure de risque de marché (VaR) en capital réglementaire. Le coefficient multiplicateur se décompose de la façon suivante : m = 3 + m Banque + FC Backtesting - Le coefficient multiplicateur est attribué à chaque banque par l ACP en fonction de la qualité de son système de gestion des risques, avec un minimum de 3. - Le minimum de 3 est majoré par un coefficient additionnel, spécifique à chaque Banque (m Banque ). - Enfin, un facteur complémentaire variant entre 0 et 1 est ajouté, en fonction du nombre des dépassements de backtesting. Illustration Banque A 60 m K VaR = 10 max VaRt 1, VaRt i 1 60 i= 1 - La VaR moyenne de la banque A sur le trimestre est de 10 MEUR. - Lors de la validation de son modèle de VaR par l ACP, la banque A a obtenu un multiplicateur de 4 (3+1). - Sur l année glissante, 6 dépassements de backtesting ont été observés. Le coefficient multiplicateur total est donc de 4,5 ( ,5). Le capital réglementaire lié à la VaR est de 142 MEUR. Banque B - La VaR moyenne de la banque B sur le trimestre est également de 10 MEUR. - Lors de la validation de son modèle de VaR par l ACP, la banque B a obtenu - un multiplicateur de 3,5 (3 + 0,5). - Sur l année glissante, seuls 2 dépassements de backtesting ont été observés. Le coefficient multiplicateur total est donc de 3,5 (3 + 0,5 + 0). Le capital réglementaire lié à la VaR est de 111 MEUR. Nombre de dépassements Facteur complémentaire Moins de ,4 6 0,5 7 0,65 8 0,75 9 0,85 10 ou plus 1 Pour un même montant de VaR, la banque A alloue 32 MEUR de capital en plus que la banque B. La qualité du modèle de VaR est donc primordiale non seulement pour la mesure des risques mais aussi pour le capital! 31

32 Les mesures de risque de marché la Value at Risk le backtesting (3/3) Credit Suisse First Boston (2000) Les pertes sont rares et toujours très inférieures à la VaR (en MUSD). Deutsche Bank (2000) Les résultats quotidiens sont quasiment systématiquement positifs (en MEUR). La distribution des gains et pertes ex-post est très différente de la distribution ex-ante. ABN Amro (2000) Surestimation de la VaR, qui est largement supérieure aux pertes observées (en MEUR). Source: exemples tirés du support de Jean-Paul Laurent. 32

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