Exercices sur les intervalles, les inéquations et les inégalités

Transcription

1 A. Intervalles Eercice Eercices sur les intervalles, les inéquations et les inégalités Ecrire mathématiquement les ensembles suivants : () () () (4) (5) (6) (7) Eercice Ecrire en compréhension les ensembles suivants : () [, 8 ] () ],7[ () [, 4[ (4) ] 4, + [ { } (5) ], + [ ], 8[ (6) { 4, 5, 6, 7, 8,,0,} (7) ], 0 ] ], 5 ] (8) {,, 0,,,, 4 }

2 Eercice Représenter graphiquement les ensembles suivants sur la droite réelle et les écrire aussi simplement que possible. () A = { R / < et > } () B = { R / 5 ou } () C = { R /4 8 et 6} (4) D = { R / < ou = } (5) E = { N / 6} (6) F = { R / < 7 ou > 0} (7) G = { R / > 4 et < } Eercice 4 Simplifier l écriture des ensembles suivants. Aidez-vous au besoin d une figure. S agit-il d intervalles? () [, 5 ] ], 6[ () [, 5 ] ], 6[ () [, + [ ], 8[ (4) [, + [ ], 8[ (5) [, ] ], 8[ (6) [, ] ], 8[ (7) [ 5, [ { } (8) [ 5, [ { } () [ 4, + [ ], + [ (0) [ 4, + [ ], + [ () ],8[ N () [ 6, 8[ ] 4, ] ], [ () [ 6, 8[ ] 4, ] ], [ B. Inéquations du er degré Eercice 5 Résoudre les inéquations suivantes dans R et donner l ensemble des solutions : () 6 () 7 4 () > (4) + 4 (5) > (6) (7) ( + ) > ( ) () < 7 7 (0) (8) ( ) ( )

3 Eercice 6 Résoudre les problèmes suivants à l aide d une inéquation : () Deu personnes A et B partagent la somme de 60. A obtient au moins le double de B. Que peut-on dire de la part des deu personnes? () Deu côtés d un triangle mesurent respectivement 4 et 6 cm. Que peuton dire de la longueur du e côté? () Dans un triangle isocèle, l angle au sommet principal mesure au plus 4. Que peut-on dire des deu angles à la base? (4) Je possède 5 et je veu acheter des clous de cents la pièce. Combien de clous puis-je acheter au plus? (5) Pierre dépense le tiers de son avoir, puis le cinquième du reste. Il constate qu il lui reste encore plus de 0, somme dont il a besoin pour acheter son manuel de mathématiques. Que peut-on dire de son avoir initial? (6) On multiplie un nombre par 5, on retranche 4 du produit, on divise le reste par 6, on ajoute au quotient et on trouve un résultat supérieur au nombre initial. Que peut-on dire de ce nombre? (7) Un père a 8 ans. Ses enfants sont âgés de ans et de 8 ans. Dans combien d années, l âge du père sera-t-il supérieur ou égal à la somme des âges de ses enfants? (8) On place un capital à 4%. Quel doit être ce capital pour produire un intérêt annuel au moins égal à 00? () On place un capital à 5% d intérêts annuels. Après ans ce capital devient au moins 400. Quel était le capital initial? (0) Une fontaine remplit un bassin en 6 h, une autre en 8 h et une troisième en 0 h. Elles coulent ensemble pendant h et il manque moins de 6 hl pour que le bassin soit entièrement rempli. Quelle peut être la capacité de ce bassin?

4 C. Systèmes d inéquations Eercice 7 Résoudre dans R les systèmes d inéquations suivants : () () () (4) (5) 4( 5+ ) > 5( + ) 7 6 < ( + 4 ) > < > > 5 Eercice 8 Résoudre les problèmes suivants à l aide d un système d inéquations : () On ajoute 5 à un nombre donné, on multiplie la somme par puis on retranche du produit. On obtient un résultat compris entre 45 et 50. Que peut-on dire du nombre donné? () La longueur d un rectangle est 8 cm, sa largeur est 5 cm. On prolonge l une des deu largeurs d une certaine distance et on obtient un trapèze dont l aire est comprise entre 48 et 50 cm. Quelle peut être la distance ajoutée à la largeur initiale? () Paul a 4 ans, sa sœur Isabelle a ans et leur mère en a 6. Dans combien d années l âge de chacun des deu enfants est supérieur au deu tiers de l âge de leur mère?

5 D. Inéquations réductibles au er degré Eercice Résoudre les inéquations suivantes dans R. () () ( )( 5 7) < 0 () ( ) ( 4 5) ( ) 0 (4) (5) 6 > (6) ( 8 ) > 5 (7) 4( ) + ( 5) 0 (8) ( )( 5 8 ) 0 4 () ( ) ( 4 + 7) 0 (0) ( ) () + ( )( ) > 0 () ( 4) < 5( 4 )( + 7) (6) 5 ( ) + Les identités remarquables : a b = ( a b)( a + b) a ab + b = ( a b) a + ab + b = ( a + b) () 4 4 (Indication : factoriser d abord les membres) (4) > 4( ) (5) 4 6 Eercice 0 Résoudre les inéquations fractionnaires suivantes dans leur domaine. () () 4 8 () + (4) ( )( + 4) + > (5) (6) (7) (8) ( + ) R après avoir précisé 4( )( + ) () 8 5 ( ) ( ) 0 Remarque importante : Dans les eemples suivants il faudra d abord factoriser tous les dénominateurs, puis seulement chercher le dénominateur commun!

6 7 5 6 (0) () (Indication : factoriser aussi le numérateur dans le membre de gauche.) 4 () + () ( ) 7 (4) E. Majorations. Minorations. Encadrements Eercice () Sachant que < et y 6 que peut-on dire de a) b) y c) + 5y d) + y e) y f) y? () Sachant que < a 4, que peut-on dire de a) a b) a c) a 0 a d) a a + a? () Sachant que b < 5, que peut-on dire de 4 a) b 4 b) b + c) 5b + d) ( b )( b + )? (4) Sachant que 5 < 4, y < donner un encadrement de y 4 a) y + 8 b) c) d) y + y (5) Sachant que 5 < a, b donner un encadrement de : a) a b b) a + a b c) ( a + b) e) y f) y

7 Eercice Résoudre les problèmes suivants en utilisant les opérations sur les inégalités : () Je vais acheter aujourd hui entre 5 et 6 kilos de coings et entre,5 et 4,5 kilos de mirabelles pour faire de la confiture. Je sais qu un kilo de coings coûte 4,6 et un kilo de mirabelles coûte entre,80 et 4,0. Pouvezvous m aider à encadrer ma dépense? () Sophie a mis 4 h en voiture pour rentrer de vacances. Elle a fait une pause de 0 à 45 minutes et sa vitesse était toujours comprise entre 0 et 0 km/h. Encadrer la distance que Sophie a parcourue en voiture. () Albert et Bertrand rentrent de vacances. Tous les deu ont 0 km à faire jusqu à leur domicile. Bertrand est parti à 8 h le matin et sa vitesse moyenne est de 00 km/h. Albert part seulement à 8 h 0. Quelle doit être sa vitesse moyenne minimale pour être rentré avant Bertrand? (4) Le côté d un carré est compris entre 7, et 7, cm. Que peut-on dire de l aire et de la circonférence de ce carré? (5) Sachant que le rayon d un disque est compris entre,8 et, cm et que,45 < π <,46 (Rappel : l aire d un disque est, donner un encadrement de l aire de ce disque. A = π R, où R est le rayon.) (6) Une plaque rectangulaire en acier a pour dimensions : L 4, 5 cm et l, 7 cm. Son épaisseur est de h, 6 mm. Ces mesures ont été faites à ± 0, mm près avec un pied à coulisse. Sachant que la masse volumique de l acier est de 7'850 kg/ masse de cette plaque métallique. Solutions m, on demande d encadrer la Eercice () [, 0 ] () ] 5, 4[ () ], [ (4) ],[ { 5} Eercice () { R / 8} () { R / < 7} () { R / < 4} (4) { R / > 4 ou = } (5) (6) (7) ] 6,[ [ 4, 6 ] [ 8, 5[ ], ] [ 4, 6 ] { 8,, } [, ] [ 4, + [ (5) { R / > ou < 8 } (6) { N /4 } (7) { R / < 0 ou < 5} (8) { Z / 4}

8 Eercice Les figures sont à faire par l élève! () A = ], [ () B = [ 5, + [ ], ] () C = [ 4, 6[ ] 6, 8 ] (4) D = ],] (5) E = { 0,,,, 4, 5, 6 } (6) F = ], 7 ] ] 0, + [ (7) G = Eercice 4 Les figures sont à faire par l élève! () ], 5 ] () [, 6[ () [, 8[ (4) R (5) [, 8[ (6) (7) [ 5, ] (8) () [ 4, + [ (0) ], + [ () { 0,,,, 4, 5, 6, 7 } () ], ] () Tous les ensembles sont des intervalles, sauf le ()! Eercice 5 () S = ],] () S = ], ] () S = ], + [ (4) S = ], ] (5) S = R 8 8 (6) S = [ 5 + [ 8, (7) S = ], ] (8) S = ] 5 + [, () S = (0) ] ] S =,0 5 Eercice 6 () Soit la part de A. La part de B est donc 60. Comme A obtient au moins le double de B : ( 60 ) Donc A obtient au moins 40 et B obtient au plus 0 Euros. () Soit la longueur du e côté. D après l inégalité triangulaire : < < 0 cm Le e côté mesure donc moins de 0 cm. () Soit la mesure en degrés d un angle à la base. L angle au sommet est alors 80. Donc : Les angles à la base mesurent au moins 78.

9 (4) Soit le nombre de clous que je peu acheter : 5 5 0, 0 0 0, 0 5 = 50 0, 0 Je peu donc acheter au plus 50 clous. (5) Soit l avoir initial de Pierre. Après avoir dépensé le tiers, il lui reste. Un cinquième du reste est donc 5 = 5. D où : > 0... > 7,5 5 Pierre avait plus de 7,5. (6) Soit le nombre cherché : Le nombre cherché est au plus égal à 54. (7) Supposons que ce soit dans années : 8 + ( + ) + ( 8 + ) 8 Dans 8 années, l âge du père sera au moins égal à la somme des âges de ses enfants. (8) Soit le capital initial, l intérêt annuel est de 4 00 = Le capital initial doit donc être au moins égal 500. () Soit le capital initial. Le capital après un an s élève à : 5 + = 00 0 Après deu ans le capital est : = Donc : , Le capital initial doit donc être au moins égal 4444,45. (0) Soit la capacité du bassin, en hl. La re fontaine remplit en h : = hl, la e, = hl et la e, = hl, donc : > 6... < Il y a moins de 0 hl dans le bassin.

10 Eercice 7 () S = ],5[ () S = [ 5,[ () S = (4) S = [ 5, + [ (5) S = [, + [ Eercice 8 () Soit le nombre donné. 45 ( + 5) 50 / ( 5) 7 / : + 5 5, 5 / 5 8 0, 5 Le nombre donné est compris entre 8 et 0,5. () Soit la distance ajoutée à la largeur. Les deu bases parallèles du trapèzes mesurent donc + 5 et 5 cm, sa hauteur est de 8 cm. Donc : ( + 0) , 5,5 La distance ajoutée est comprise entre et,5 cm. () Soit le nombre d années cherché. () ( 6 + ) () + ( 6 + ) () () 6 Donc, dans 6 ans seulement. Eercice () S = [ 0, ] () S = ], 5 [ ], + [ 7 () S = 4 [ 5, ] { } (4) S = R (5) S = R \ { } (6) S = ], [ ], + [ (7) S = [, ] (8) S = ], ] [,] 7 () S = {, } 4 (0) S = ],] () S = ], [ () S = ], 4 [ () S = ], ] [,] (4) S = ], 5[ ], + [ (5) S = ], 4] { 0} [ 4, + [ (6) S = ], ] [, + [

11 Eercice 0 () D = R \ { } S = ], 5 [ [, + [ 5 () D = R \{ 4} S = [ 8,4[ () D = R \{ } S = ], [ [, + [ (4) D = R \{ } S = ], [ ], + [ (5) D = R S = ],0[ { } (6) D = R \{, } S = ] + [ (7) D = R \{ 0, } S = ], [ [,0[ [, + [ (8) D = R \{, } S = ], [ { } ], + [, () D = R \ {, } S = [, [ ], [ [, + [ (0) D = R \{ 0,, } ( ) ( + ) ( )( + ) 4( + ) 5( ) ( + )( ) ( )( + ) ( )( + ) ( + )( ) Ensuite il faut faire un tableau du signe. On trouve : S = ], [ [,0[ ], + [ () D = R \{ } ( 7 ) 4( ) ( ) 0 Le numérateur est une différence de carrés S = [, ] 7 () D = R \{ 0,, } 4 4( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 4

12 ( ) 4 0 S = [, [ ], ] () D = R \{ 0,} ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) 4 ( )... 0 S = ], ] ] 0,[ ],] (4) D = R \ { ± } ( ) + 4( 4 ) ( ) ( + ) 4( )( + ) ( )... ( + ) 0/ ( ) ( )( + ) ( + ) 0 ( )( + )... S = { } ],0[ ], + [ Eercice () a) < 6 b) y 8 6 c) + 5y <

13 d) + y < 45 e) On ne peut rien dire de y car < et y 6. f) On ne peut rien dire de y car on ne connaît ni le signe de ni de y () a) < a 6 b) < 4 a c) < a < 0 a 4 a d) < 7 < a + a () a) b 4 < b) b + > 6 4 c) 5b + < 6 d) ( b )( b + ) > 08 (4) a) 5 < y b) y 8 < 6 4 c) < y + d) 4 < y < e) < y < 6 y 8 f) 7 < < 5 (5) Voir devoir n dans le répertoire «Devoirs 4 e» sur ce site. a) 0 a b < 7 a + 7 b) < 6 < a b 0 c) 0 ( a + b) < 4 Eercice () Soit c la quantité de coings, m la quantité de mirabelles et p le pri d un kilo de mirabelles. La dépense totale est : d = 4, 6c + pm. 5 c 6, 5 m 4, 5, 8 p 4, On trouve : 6, d 46,5.

14 () Soit t la durée pendant laquelle Sophie roule et v sa vitesse. La distance parcourue est d = v t., t, 75 0 v 0 On trouve : 6 d 487,5 (km). () Bertrand rentre en 0/00 =, h. Albert doit être rentré en t heures avec t, 0, 5 =, 7 h. Sa vitesse moyenne est v = 0/ t. Comme 0 < t,7, on a : t, 7, donc 0 0 v = 8, 5 t, 7 La vitesse moyenne minimale d Albert doit donc être de 8,5 km/h. (4) Soit la longueur d un côté du carré. 7, 7,. L aire du carré est A = et on a : 50, 4 A 5, 84 (cm ). La circonférence du carré est P = 4 et on a : 8, 4 P 8, 8 (cm). (5),5 A 44, (cm ) (6) On a : 45, L 45, 4,6 l, 8 (en mm), 5 h, 7 Le volume V de la plaque est V = L l h. On a : La masse volumique de l acier est : 7,5 V 7,4 (en mm ) m m kg/ = g/ = 0,00785 g / mm. La masse M de la plaque est égale à son volume multiplié par la masse volumique. Donc : On arrondit de façon raisonnable :,08 M,8704 (en g), < M <, 4 (en g).