Correction Amerique Nord Juin z =1 z 4i z + 2 =1 z 4i = z + 2 AM = BM
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- Adrien Fortier
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1 Exercice I :. Le triangle ABC est rectangle et pas isocèle car : Correction Amerique Nord Juin 005 AB i ( + i) i 7 AC,08 +,98i ( + i),08,0i 7,6868 BC,08 +,98i ( i) 5,08 +,98i,6868 Alors BC AB + AC.. L ensemble des points M d affixe z tels que z est une droite, c est la médiatrice de [AB] avec A et Bd affixes:-eti,car: z z i z + z i z + AM BM. L ensemble des points M d affixe z tels que z est un réel est : une droite privée du point d affixe En effet, en posant z x + iy,onobtient: z x + iy i x + iy+ x + i (y ) (x + ) + iy (x + i (y ))((x + ) iy) (x + ) + y x(x + ) + y(y ) + i ( (y )(x + ) xy ) (x + ) + y x(x + ) + y(y ) + i ( x + y + 8 ) (x + ) + y Or pour que z soit réel il faut que sa partie imaginaire soit nulle, donc x + y + 8 0avecz. Comme de plus ce point d affixe appartient à la droite d équation x + y + 8 0, alors CDFQ.. L écriture complexe de la rotation de centre D et d angle π est : z e π (z zd ) + z ( ( D cos π ) ( + i sin π )) (z i)+i ( ) ( ) i z i i + i ( ) i z + i Exercice II :. f est une fraction rationnelle, donc dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition, et : f (x + ) (x + ) (x) (x + ) (x + ) > 0 Donc f est croissante sur [0 ;], et comme f est continue l image de [ ;] par f est [f (); f ()] [ ; 5 ] [;], ainsi : si x [ ; ] alors f (x) [ ; ]
2 . (a) (b) Soit P n la proposition de récurrence : v n. Comme v 0 alorsp 0 est vraie. Supposons P n vraie, alors v n, donc f (v n ), d aprés la relation démontrée à la question. Ainsi si P n est vraie alors P n+ est vraie, mais P 0 est vraie, donc pour tout n, P n est vraie. Ainsi pour tout entier naturel n, v n. Soit Q n la proposition de récurrence :v n+ v n Or v f (v 0 ) f () 5 donc v v 0.DoncQ 0 est vraie. Supposons Q n vraie, alors v n+ v n,maisv n et v n+ sont deux nombres de [0 ;], donc comme f est croissante sur [0 ;], alors : f (v n+ ) f (v n ) v n+ v n+ Donc Q n+ est vraie. Ainsi, si Q n est vraie alors Q n+ est vraie, mais Q 0 est vraie, donc pour tout n, Q n est vraie. Ainsi pour tout entier naturel n, v n+ v n. (c) On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n, u n u n+. v n+ u n+ v n + v n + u n + u n + (u n + )(v n + ) (u n + )(v n + ) (v n + )(u n + ) u nv n + u n + v n + u n v n (v n + )(u n + ) (u n + )(v n + ) Soit R n la relation de récurrence : 0 Or v 0 u 0, donc R 0 est vraie. Supposons R n vraie, alors 0, mais : {}}{ v n+ u n+ v n + u n + }{{} }{{} Donc v n+ u n+ > 0. Ainsi, si R n est vraie alors R n+ est vraie, mais R 0 est vraie, donc pour tout n, R n est vraie. Ainsi pour tout entier naturel 0. Comme u n, alors u n et u n +. De même, v n +. Or v n+ u n+ (v n + )(u n + ) v n+ u n+ (d) En procédant par récurence, on démontre que pour tout entier naturel n : ( ) n (v 0 u 0 ) }{{}
3 (e) Comme la suite (u n ) est croissante (u n u n+ )etmajoréepar,alorsu est convergente. Comme la suite (v n ) est décroissante ( ) (v n v n+ )etminoréepar,alorsv est convergente. n Comme < <, alors lim 0 n + ( ) n et comme pour tout entier naturel n,0, alors d aprés le théoréme des gendarmes : lim n + 0 }{{} u et v convergent lim v n lim u n n + n + Donc les suites (u n ) et (v n ) convergent vers le même réel α. Comme f est continue, u n+ f (u n )etu converge vers α,alors: α f (α) α α + α + α(α + ) α + α α 0 α ± 5 Or comme u n, α + 5. Exercice III :. (a) On a f (x) (x ) (x )e x (x ) (x ) e. x P(x) Or, pour tout polynôme P, lim x + e x 0, donc lim f (x) lim (x ) +. x + x + (b) Comme f (x) (x ) (x ) e, alors lim f (x) (x ) 0. x x + Donc la droite d équation y x estasymptoteàc en +. (c) Comme (x ) f (x) x e x 0 (x ) 0 x. (a) Donc C est au-dessous de sur [ ; + [ f (x) ( e x ) + (x ) e x e x + xe x e x xe x + ( e x) (b) Pour tout réel x strictement positif, x < 0donce x < e 0 e x < Ainsi si x > 0, e x > 0etxe x > 0, alors f (x) > 0. (c) Tableau de variations de f :. L aire, exprimée en unité d aire, du domaine plan limité par la courbe C,ladroite et les droites d équations x etx estpuisquef est positive : (x )( e x )dx (x ) dx + Ainsi l aire cherchée est en unités d aire : + (x )( e x )dx [ (x ) ] + (x )( e x )dx (x )( e x )dx
4 Intégrons par parties cette dernière intégrale : u e x u e x v x v (x )( e x )dx [ (x )e x] e x dx e [ e x] e ( e + e ) e e Ainsi l aire est, en unités d aire, soit + e e 6( + e e )cm. (a) Pour déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à, il faut que les coefficients directeurs soient égaux, donc : f (x) xe x + ( e x) xe x e x 0 e x (x ) 0 x Ainsi le point A de coordonnées ( ; e est le point de la courbe C où la tangente à C est parallèle à. (b) Comme la droite apouréquationx y 0, alors la distance de A à est : ( e ) + ( ) e 5 Exercice IV :. (a) Si le dé indique, alors la probabilité de gagner est de 0.Donc: p D (G) 0 Si le dé indique, alors la probabilité de gagner est de ( ) ( 0) 5.Donc: p D (G) 5 Si le dé indique, alors la probabilité de gagner est de ( ) ( 0) 0.Donc: (b) Comme p D (G) 0 p(g) p(g D ) + p(g D ) + p(g D ) p(d ) p D (G) + p(d ) p D (G) + p(d ) p D (G) Alors p(g) 80
5 . Un joueur a gagné la partie. Alors la probabilité qu il ait obtenu le numéro avec le dé est p (G) D p(d G) p(g). Un joueur fait six parties. Comme il remet les boules tirées dans l urne après chaque partie, les parties sont considérées comme indépendantes. Désignons par X la variable aléatoire désignant le nombre de parties gagnées sur 6 jouées. Alors puisque les parties sont indépendantes, on répète de manière indépendante la même expérience aléatoire (jouer une partie) à deux issues (gagner ou perdre). Alors X suit une loi binomiale de paramètres 6 et 80. Ainsi la probabilité qu il gagne exactement deux parties est : ( ) ( ) ( P(X ) ) 0, Pour déterminer le nombre minimal de parties qu un joueur doit faire pour que la probabilité d en gagner au moins une soit supérieure à 0,9, résolvons : Ainsi, le nombre minimal cherché est n 7. P(X ) 0,9 P(X < ) 0,9 P(X 0) 0,9 ( ) n 0,9 80 ( ) 57 n 0, 80 ( ) 57 n ln ln0, 80 ( ) 57 n ln ln0, 80 n ln0, ln ( ) n 6,8 5
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