{ } Sujet I, éléments de correction. EXERCICE I (3 points) u = La suite u est définie par u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, un+ 1 =.

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1 Sjet I, élémets de correctio EXERCICE I ( poits) La site est défiie par 0 = et por tot etier atrel, + = 0 = ; =, 7 ; =, 7 ; =, 6666 ; =, 0 ; la site e semble pas être mootoe, elle paraît coverger vers La propositio doée est vraie a rag 0 Spposos la vraie a rag qelcoqe : + 6, alors + 6 et, alors, doc + 8 8, Par aillers, = + = + 0 héréditaire, doc por tot etier atrel : +, doc A total, la propositio est + = + = + = + or +, doc por tot etier atrel : La propositio est vraie a rag 0 Spposos la vraie a rag qelcoqe : Comme +, alors + héréditaire doc por tot etier atrel : etier atrel : vers soit : + +, la propositio est La site de terme gééral por tot est géométriqe de raiso, elle coverge vers 0 doc la site coverge EXERCICE II ( poits) O cosidère cbe ABCDEFGH d arête Le ombre a désige réel strictemet positif O cosidère le poit M de la demi-droite [ AE ) r r défii par AM = AE a E F M H G le volme d tétraèdre ABDM e foctio de a Aire ( ABM) AD= AM = 6 6 a Soit K le barycetre d système de poits podérés : { } a ( M, ) ; ( B, ) ; ( D, ) a, K eiste car + 0 b Par défiitio por tot poit P de l espace, ( +) PK = PM + PB + PD O PK = ( PM + PB PD) + + A D B C

2 c La relatio précédete est vraie por tot poit P doc e particlier por le poit B : BK = ( BM + BD) + r r d Calcler les prodits scalaires BK AM = BM AM + BD AM = r r et BK AD = BM AD + BD AD = Alors BK MD = BK ( MA + MD) = BK MA + BK MD = + = r r BK MD = 0 r r O Démotre de même l égalité : DK MB = 0 ( la démostratio est pas demadée) e D après ce qi précède, ( BK) est perpediclaire à ( MD) doc ( BK) est e hater de BDM et ( DK) est perpediclaire à ( MB) doc ( DK) est e atre hater de ce triagle, ces de haters ot e comm le poit K doc K est l orthocetre d triagle BDM EXERCICE III (poits) - Por compléter l'arbre podéré ci-dessos : das chaqe re, les tirages sot effectés a hasard, les évéemets élémetaires sot doc cosidérés éqiprobables, la probabilité d' évèemet est le rapport d ombre de cas favorables a ombre de cas possibles aisi p( N ) = Par aillers mes epérieces " choisir e bole das l're U et choisir e bole das l're U sot idépedates doc p ( N ) p( N ) = = Même type de jstificatio por les atres résltats sr chace des N brache de l'arbre podéré N N N R R N N R N R R R N R

3 a) La probabilité de l'évèemet : N N N est p ( N ) p( N N ) = = E effet N N p( N N ) = car les évèemets N et N sot idépedats Par aillers p ( ) N N N = car o a choisi e bole oire das chace des de premières res, doc l're U cotiet boles dot sot oires De même la probabilité de l'évèemet N R N est : p ( N ) P( N R ) = = N R b) Les évèemets N N N et N R N sot icompatibles et ler réio est égale à N N Doc p( N N) = p( N N N ) + p( N R N ) = + = 7 c) De même R N zest la réio des évèemets icompatibles R N N et R R N Soit 6 p( R N ) = + = 7 N est la réio des évèemets N N et R N, évèemets icompatibles Doc 6 0 p( N ) = p ( N N ) + p ( R N ) = + = = : il s'agit de la probabilité de choisir e bole oire à l'isse de l'épreve cosidérée das so esemble p( N ) p( N ) = = et p( N N ) = doc les évèemets N et N e sot pas idépedats e 7 probabilité Sachat qe la bole tirée das U est oire, la probabilité qe la bole tirée de U soit roge est, e tilisat p( N R ) 6 8 les résltats précédets : p ( R ) = = = N p( N ) 7 EXERCICE IV (poits) Le pla complee est rapporté à repère orthoormal direct ité cm O dit qe le triagle ABC r r i éqilatéral est direct si et selemet si ( AB, AC) = [ ] O pose j = e - a) est évidemmet soltio de l éqatio z =, j i i = = e = doc j et j² sot soltios de l éqatio z = b) ( - j) ( + j + j²)= -j = 0; comme ( -j) est pas l, alors +j + j² = 0 i e, ( ) = e = j ; c) e i + j ² = + i i = 0 - Das le pla complee, o cosidère trois poits A, B,C de à de disticts d affie respectives a, b, c a) le triagle ABC est éqilatéral direct si et selemet si C est l image de B par la rotatio de cetre A et d agle, si et selemet si ( ) c a = e ( b a ) b) le triagle ABC est éqilatéral direct si et selemet si : i ( c a) = e ( b a) c a = j²( b a) i c a i si et selemet si : = e b a c a + j² b j² a = 0 ja + c + j² b = 0 j a + j c + j b = 0 a + bj + cj² = 0 EXERCICE V(8poits)

4 Partie A Etde d e foctio ailiaire g La foctio g est défiie sr R par : g( ) = e + 7 les limites de g e et e + sot respectivemet et + ( limites selles) La foctio g sr R est dérivable sr R et g '( ) = e +, strictemet positif sr R,g est strictemet croissate sr R Tablea de variatio classiqe g est cotie sr R, elle y est strictemet croissate et pred ses valers das R doc l éqatio g ( ) = 0 admet e sele soltio das R Elle est otée α g(0) < 0 et g() >0 doc 0< α<, e programmat les images de g() sr l itervalle [ 0 ;] avec pas l ecadremet : 0,< α<0, Etat doé la stricte croissace de la foctio g sr R, ;α α ;+ g(α ) = 0 g ( ) < 0 sr ] [ ; g() > 0 sr ] [ Partie B Etde d e foctio f La foctio f est défiie sr R par : f ( ) = ( )( e ) O ote (C) la corbe représetative de la foctio f das repère orthoormal ( O ; i, j ) lim( ) = ; lim( e ) = la limite de f e est + lim( ) = + ; lim( e ) = la limite de f e + est O e dédit r r g ( ) f est dérivable sr R et f '( ) = e strictemet croissate sr R, et le tablea de variatio est immédiat a f ( α) = (α )( e ) ;, doc f '( ) et g ( ) ot le même sige sr R f est α α (α )² or g ( α) = 0 e + α 7 = 0 e = e = d où f (α) = 7 α 7 α α 7 b Etdier le ses de variatio de la foctio h, défiie sr l itervalle ; par : ( )² ( )( ) h ( ) = h '( ) =, epressio positive sr l itervalle ; 7 ( )², la foctio h est strictemet croissate sr cet itervalle Or 0,< α<0, doc h(0,)< h(α ) < h(0,) doc -, < h(α ) <-, 8 α obte das la partie A, ecadremet d amplitde 0 - de f (α) f ( ) ( ) = ( )( e ) = + ; lim ( f ( ) ( )) = 0 Doc la droite (D), e e + d éqatio y = est asymptote à (C) e +

5 Sr l itervalle ; ( - ) < 0 et e > 0 sr cet itervalle, doc f() (-) est positif (C) a desss de (D)Sr l itervalle ;+ coclsio cotraire r r Tracer la droite (D) et la corbe (C) das le repère ( O ; i, j ) (ité graphiqe cm) 6 l aire e cm² d domaie pla limité par la corbe ( C), la droite ( D), les droites d éqatio = ; = est ( ) ² ( 7 e d cm = e + e ),0 cm ²