, ou débit-masse : la quantité de matière s exprime par sa masse et l unité SI est donc le kilogramme par seconde (kg/s). Les deux débits Q v

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1 FICHE N 6 Les mesures de débit DEFINITIONS ET UNITES T out le monde en convient, le meilleur des débitmètres peut donner les résultats les plus invraisemblables s il n est pas utilisé dans des conditions adéquates. L endroit où il est positionné sur la conduite et les régimes d écoulement ont en particulier une influence déterminante. Il est donc très utile de connaître quelques notions sur les écoulements, même si le débitmètre utilisé n exploite pas directement les lois sur la mécanique des fluides. Mais d abord, quelques définitions. Le débit d un fluide est la quantité de matière qui traverse une section droite d une canalisation pendant l unité de temps. En pratique, on distingue : le débit volumique Q v, ou débit-volume : la quantité de matière s exprime par son volume et l unité du Système International (SI) est donc le mètre cube par seconde (m 3 /s). Le débit-volume peut être exprimé en fonction de l aire S de la section de la conduite et de la vitesse moyenne V du fluide sur une section : Q v = V.S le débit massique Q m, ou débit-masse : la quantité de matière s exprime par sa masse et l unité SI est donc le kilogramme par seconde (kg/s). Les deux débits Q v et Q m sont liés par la relation : Q m = ρq v où ρ est la masse volumique du fluide (en kg/m 3 ). Au cours de son écoulement dans une conduite (sans apport ou sans perte de fluide) le débit-masse Q m tout au long de l installation reste constant. Il n en est pas de même pour le débit volume Q v, car la masse volumique ρ peut être amenée à varier, avec la température ou la pression par exemple. Supposons que l on travaille à température constante et que l on ait une variation de pression, provoquée par exemple par un changement de la section de la canalisation dans laquelle s écoule le fluide. Dans le cas d un liquide, la masse volumique ρ est pratiquement indépendante de la pression et le débit-volume varie donc peu. Pour un gaz, il en va tout autrement. La célèbre loi de Mariotte indique en effet que le produit de la pression par le volume d une masse m de gaz est constant (à une température donnée). Un FICHE 6-1

2 Ecoulement laminaire Ecoulement turbulent Parabole ---- v = 2 v max v max ---- = 1,2 v Profils des vitesses pour un écoulement laminaire et pour un écoulement turbulent. Les écoulements de fluides visqueux sont de type laminaire. changement de pression se traduit donc par un changement de volume, donc de la masse volumique du gaz. Conséquence, le débit-volume Q v n est pas constant tout au long de la canalisation. Quelques définitions Fluide parfait et fluide visqueux. L idéal est d avoir... un fluide parfait (ou non visqueux). Dans ce cas, les forces de frottement d une particule fluide contre ses proches voisines ou contre les parois sont considérées comme négligeables. L étude de l écoulement est alors simplifiée, mais l écart avec la réalité n est acceptable que dans trois cas : si les vitesses de déplacement sont faibles si la viscosité des fluides est faible : c est le cas des gaz si la différence de vitesse entre deux points voisins du fluide est faible : les frottements entre les différentes particules fluides sont alors réduits. C est le cas de l écoulement dans une conduite rectiligne, en un point éloigné des parois ou d un obstacle. Les fluides réels (ou visqueux) rencontrés en pratique couvrent tous les autres cas. Cette distinction dans la nature du fluide est reliée à son mouvement et n apparaît qu en Quelques unités Les anglo-saxons utilisent encore leurs propres unités pour mesurer les débits-volumes : 1 fr 3.s 1 = 2, m 3.s 1 1 yd 3.s 1 = 7, m 3.s 1 1 gallon (UK).s 1 = 4, m 3.s 1 1 gallon (US).s 1 = 3, m 3.s 1 Pour les débits-masse, là aussi, on trouve d'autres unités anglo-saxonnes : 1 oz.s 1 = 2, kg.s 1 1 lb.s 1 = 4, kg.s 1 Pour mémoire, rappelons le sens de quelques abréviations : ft (foot, pied), yd (yard), oz (ounce), lb (pound, livre). FICHE 6-2

3 dynamique. En statique, elle disparaît et tout fluide est considéré comme parfait. Ecoulement laminaire. Dans cet écoulement, les couches de fluide glissent régulièrement les unes sur les autres. En chaque point, le vecteur vitesse reste fixe tant en direction qu en grandeur. Ecoulement turbulent. Cette fois, chaque particule de fluide est animée de vibrations aléatoires. Le vecteur vitesse est la somme de deux composantes : la vitesse moyenne qui représente le mouvement global du fluide et une vitesse de fluctuations à caractère aléatoire tant en direction qu en grandeur. Ces vibrations assurent un brassage énergique du fluide. Nombre de Reynolds. C est une grandeur sans dimension définie par la relation : ρ V D R = µ dans laquelle : ρ est la masse volumique du fluide (kg/m 3 ) V est la vitesse moyenne de l écoulement (m/s) D est le diamètre de la canalisation (m) µ est la viscosité dynamique du fluide (Pa.s), liée à la viscosité cinématique τ par la relation : τ = µ/ρ. Le nombre de Reynolds exprime le rapport entre les ordres de grandeur respectifs des forces d inertie et de frottement visqueux. Pour un écoulement donné, la valeur du nombre de Reynolds conditionne le caractère laminaire ou turbulent de l écoulement. La rupture du régime laminaire se produit à partir de R = Quant au régime turbulent, il intervient au dessus de R = La loi de Bernoulli En tout point de l écoulement d un fluide, on peut définir la charge H par l expression : H = V 2 2g + + z p ρg dans laquelle : V est la vitesse moyenne du fluide (m/s) au point considéré g est l accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s 2 ) p est la pression au point considéré (Pa) ρ est la masse volumique (kg/m 3 ) z est la cote du point considéré. Cette formule est obtenue en supposant que la température du fluide est constante et qu il n y a pas d échange thermique avec l extérieur. La charge H représente l énergie mécanique totale du fluide, mais ramenée à une unité de poids ; elle est donc homogène à une longueur. Dans l expression précédente, p/ρg s appelle la hauteur piézométrique du fluide, V 2 /2g est son énergie cinétique tandis que (p/ρg + z) est son énergie potentielle, toujours exprimée par unité de poids du fluide. FICHE 6-3

4 (réparties) Ligne perzométrique Pertes de charge Section réduite ;;;;; (locale) V 2 2g p ρg z B altitude z A niveau de référence Dans un écoulement, l énergie totale est constante, aux pertes de charge près. Cette énergie totale est la somme de l énergie cinétique (due à la pression dynamique) et de l énergie potentielle (due à la pression statique). Dans un fluide parfait (non visqueux), la loi de Bernoulli traduit la conservation de l énergie mécanique totale dans un mouvement permanent. On a donc : H A = H B les points A et B étant situés sur une même ligne d écoulement à l intérieur de la conduite. Dans le cas d un fluide réel (visqueux), on a : H A = H B + H où H est la perte de charge entre A et B : elle représente la dissipation d énergie due aux frottements. Remarque. Attention à l orthographe de Bernoulli.Qu il s agisse de Jean ou de son frère Jacques (tous deux mathématiciens), ou encore de Daniel (l un des fondateurs de l hydrodynamique), second fils de Jean, aucun des Bernoulli ne s écrit avec un i devant les deux l. Les relations entre le débit et la pression Lorsque le fluide est incompressible (ρ constant), l égalité des charges aux points A et B donne : V 2 A A 2g + p A = V 2 B z + + pb ρg 2g ρg + z B La loi de Bernoulli est parfois présentée sous une formulation un petit peu différente. En multipliant par ρg les deux membres de l équation précédente, on obtient : FICHE 6-4

5 p A + 1 ρv 2 A + ρgz Α = p + 1 ρv 2 2 B B + ρgz Β 2 Dans cette expression : _ p A et p B sont les pressions statiques P S aux points A et B 1/2ρV 2 A et 1/2ρV 2 B sont les pressions dynamiques P D aux points A et B ρgz A et ρgz B sont les pressions hydrostatiques (pressions dues à l altitude). Si la conduite est horizontale, z A = z B et la pression hydrostatique n intervient pas sur l écoulement. En chaque point de la conduite, la pression totale P T est alors constante : P T = P S + P D Autrement dit, l augmentation de vitesse provoque celle de la pression dynamique au détriment de la pression statique. Et vice-versa. La cavitation. Un étranglement de section provoque une augmentation de la vitesse locale du fluide, donc de la pression dynamique. La pression statique diminue d autant (aux pertes de charge près) et si elle chute localement en dessous de la tension de vapeur du liquide correspondant à la température concernée, une auto-vaporisation se produit : c est la cavitation, extrêmement érosive. Par conséquent, au sein d un mélange biphasique évolutif, les pertes de charge créent une augmentation constante de la phase gazeuse accentuée au niveau des étranglements, qui s appelle flash ou flashing, sensiblement moins dangereuse que la cavitation. Cependant, flash et cavitation sont étroitement mêlés, la stabilité du mélange étant retrouvée dès évaporation de la vena contracta, c està-dire après la récupération de la dynamique. Quelle vitesse? Dans les expressions précédentes, la vitesse revient souvent. Insistons bien sur le fait qu il s agit de la vitesse en un point donné de la conduite (ou, dans le cas de la formule de Bernoulli, de la vitesse en deux points A et B situés sur la même ligne d écoulement). Remplacer cette vitesse par la vitesse moyenne V m sur la section où se trouve le point en question est dangereux. Il faut en effet considérer la nature de l écoulement et la distribution des vitesses. Un écoulement laminaire à profil parabolique conduit à une pression dynamique double de celle provenant d un écoulement turbulent... Les pertes de charge Il est important de tenir compte des pertes de charge car elles conditionnent la puissance de la pompe qui alimente la canalisation ; de plus, elles peuvent être à l origine de phénoménes de cavitation. Il existe deux types de pertes de charge : les pertes de charge réparties et les pertes de charge locales. Comme leur nom l indique, les premières sont réparties le long de la conduite. Quant aux pertes de charge locales, elles sont dues à la présence d un étranglement ou d un coude sur la conduite, ou encore d un obstacle à l intérieur de celle-ci (vanne, plaque à orifice d un débitmètre à organe déprimogène, etc.) La perte de charge se mesure grâce à des tubes piézométriques qui sont constitués par une prise de fluide sur la conduite, un tuyau souple, puis une mise en relation de toutes les extrémités. FICHE 6-5

6 A' h B' A B La perte de charge entre les points A et B peut être mesurée à l aide de tubes piézométriques. Lors de l écoulement, apparaît un dénivelé h entre les niveaux des deux tubes piézométriques relatifs à A et B. On peut établir que : Pour connaître la perte de charge H, il est donc indispensable de mesurer le débit (en plus de la mesure du dénivelé h). Par calcul. De nombreuses théories ont été établies pour calculer les pertes de charp A p ( B z A ) ( + z pg B ) pg + = Pour une conduite de diamètre constant (S A = S B ), le débit-volume d un fluide incompressible est constant et il en est donc de même des vitesses moyennes V A et V B. On a alors : H = h Si le diamètre n est pas constant, S A est différent de S B et V A est différent de V B. Dans ce cas : V 2 A p A p H = + ( + z pg A ) B ( + z 2g pg B ) V2 B H = Q 2 2g [ 1 1 ] 2 S A S 2 B + h h FICHE 6-6

7 ge, en fonction des caractéristiques des fluides et des conduites utilisées. Le cas le plus simple est celui d une conduite rectiligne et circulaire ; la perte de charge sera du type : H = λ L V 2 D 2g où L est la longueur de la conduite, D le diamètre et λ le cœfficient de perte de charge. En régime laminaire, λ est égal à 64/R (loi de Poiseuille), R étant le nombre de Reynolds. La perte de charge est alors proportionnelle à la vitesse : H = 32 µlv ρg D 2 En régime turbulent, les lois sont plus complexes et plus approchées (loi de Darcy) et λ devient une fonction du nombre de Reynolds et de l état de surface (rugosité relative de la conduite). Il est donné par une abaque (abaque de Moody). Dans le cas d une conduite avec singularité (coude, élargissement...), la perte de charge due à la singularité est du type : H = K V2 2g où K est le cœfficient de perte de charge de la singularité, valeur donnée dans des tableaux en fonction de la géométrie du système. Le débit en formules On a vu précédemment que la pression dynamique P D d un fluide s exprimait par la relation : 1 P D = ρv 2 2 et d autre part que la pression totale P T était la somme de la pression dynamique P D et de la pression statique P S. Un appareil permet de mesurer simultanément la pression statique et la pression totale en un point de la canalisation : c est le tube de Pitot. Connaissant ces deux grandeurs, on accède à la pression dynamique et donc à la vitesse du fluide. Cette méthode permet donc de trouver la vitesse en un point de la canalisation. Pour en déduire le débit, il faudrait connaître le profil des vitesses sur une section de la canalisation, ce qui n est pas toujours facile. Heureusement, les différentes lois sur les écoulements des fluides offrent une autre alternative. Elles permettent en particulier de calculer le débit à partir de la mesure de la différence de pression entre deux points convenablement choisis sur la conduite. Pour créer FICHE 6-7

8 + -- Diaphragme + -- Venturi + -- Tuyère Les débitmètres à organe déprimogène constituent une application directe des lois sur les écoulements des fluides. cette différence de pression, il faut utiliser un organe déprimogène qui va présenter une section de passage plus faible que la section de la conduite. Les organes déprimogènes les plus connus sont le diaphragme, la tuyère et le venturi. Le choix de l organe déprimogène va dépendre de plusieurs considérations. Si l on veut mesurer un débit avec beaucoup de précision mais de façon momentanée, pour un essai par exemple, il est préférable d utiliser un processus créant localement une différence de pression appréciable mais la perte de charge induite pourra être considérable. Inversement, s il s agit d appareils installés à demeure ou si l on veut perturber le moins possible le circuit étudié, il convient de réduire au minimum la différence de pression ; dans ce cas, la perte de charge introduite par le système sera faible ou même négligeable. Le débit-volume peut être calculé d après les lois de Bernoulli : Q V = K 2 (p 1 p 2 ) ρ Un principe parmi d autres Si les tubes de Pitot et les débitmètres à organe déprimogène ont été évoqués ici, c est parce que leur principe de fonctionnement exploite directement les lois de la mécanique des fluides. Mais on sait qu il existe beaucoup d autres techniques de mesure de débit : débitmètres à hélice, moulinet, turbine, rotor, flotteur, débitmètres électromagnétiques, à effet vortex, à ultrasons, thermiques, à effet Coriolis, etc. FICHE 6-8

9 dans laquelle : p 1 est la pression en amont de l organe déprimogène p 2 est la pression au niveau de la section contractée ρ est la masse volumique du fluide en amont de l organe déprimogène K est un cœfficient. Dans le cas des liquides, ce cœfficient ne dépend que du type d organe déprimogène utilisé, et des caractéristiques géométriques de celui-ci. Dans le cas des gaz, les choses sont plus complexes car ce cœfficient dépend en plus des caractéristiques physiques du gaz (notamment des chaleurs spécifiques à pression et à volume constants) et même de l écart de pression p 1 p 2. Pour obtenir le débit-masse, il suffit de mutiplier le débit-volume par la masse volumique du fluide. Remarque. La formule de calcul de débit, issue de la loi de Bernoulli, implique que la vitesse du fluide soit parallèle à l axe de la conduite. Il faut que les prises de pression soient suffisamment éloignées de toute perturbation pouvant résulter de coudes, élargissements et rétrécissements de la conduite. Il est recommandé de prévoir une longueur droite suffisante en amont (20 à 50 fois le diamètre de la conduite) et en aval (quelques diamètres) des prises de pression. FICHE 6-9

10 INTERLUDE Le saviez-vous? La plupart des unités de mesure ont un symbole. Lorsque l unité vient d un savant, son symbole prend une majuscule : c est le cas du volt (V), de l ampère (A) ou du kelvin (K), par exemple. Dans les autres cas, c est une minuscule : le mètre (m) ou le kilogramme (kg) en constituent deux exemples largement connus. Voir Fiche 1. FICHE 6-10