6.G5 Symétrie axiale

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1 Symétrie Axiale Géométrie 6.G5 Symétrie axiale 6.G50[S] Connaître la symétrie axiale (constructions sur quadrillage, trouver des axes de symétrie éventuels). 6.G51[S] Construire l'image d'un point, d'un segment, d'une droite, d'un cercle, d'une figure par symétrie axiale avec la règle, l'équerre, le compas, *le rapporteur... 1 Médiatrice d un segment. 1 a Définition Act 1 p173 6.G52[S] Découvrir les propriétés de conservation de la symétrie axiale. Act 2,3p G53[ ] Connaître la définition de la médiatrice d'un segment ; la construire par différentes méthodes. 1a 1c 1d 6.G54[ ] Connaître / utiliser la caractérisation d'équidistance des points de la médiatrice d'un segment. 1b 6.G55[ ] Connaître la définition de la bissectrice d'un angle ; la construire par différentes méthodes. 6.G43[S] Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles et aux diagonales des quadrilatères particuliers Ch. Angle Pour démarrer activité 1,2,3 p 180 La médiatrice d un segment est LA droite qui coupe perpendiculairement ce segment en son milieu. Exemple 2 avec un quadrillage d 2, d 1, d 3 sont respectivement les médiatrices des segments [A 2 B 2 ], [A 1 B 1 ], [A 3 B 3 ] Contres exemples : (d) est la médiatrice du segment [AB] (d) [AB] et IA = IB d ne passe pas par le milieu I de [AB] d n est pas perpendiculaire au segment [AB] Pour s entraîner : exercice 4 1 b Propriété Pour chaque point M de la médiatrice de [AB], on a MA = MB. (le triangle AMB est isocèle en M) On dit que les points de la médiatrice d un segment sont ÉQUIDISTANTS des extrémités de ce segment. 6 symétrie axiale cours II docPage 1 sur 6

2 Pour s entraîner : exercice 11B, exercice 15 1 c Méthode de construction avec un compas je trace deux cercles centrés en A et B passant par B et A par exemple, ils se coupent en deux points qui définissent la médiatrice du segment [AB] Ex. C1 : Trace un segment [IJ], puis trace la médiatrice (m) de [IJ] Pour s entraîner : exercice 2 1d Méthode de construction avec une règle et une équerre 1 On détermine I le milieu de [AB] 2 On trace la médiatrice (d), perpendiculaire à [AB] passant par I, et on code. Ex. C2 : Trace un segment [EF] tel que EF=2,5cm, puis trace la médiatrice (d) de [EF] Pour s entraîner : exercice 3, exercice1 2 symétriques d un point par rapport à une droite. 2 a Définition SI A est un point de la droite (d) ALORS le symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point A lui-même. SI A n est pas un point de (d) le symétrique de A par rapport à la droite (d) est le point B, tel que (d) soit la médiatrice de [AB]. Remarques : La droite (d) est appelée l axe de la symétrie du segment [AB] On dit qu on a appliqué à A la symétrie axiale d axe (d). A est le symétrique de B par rapport à (d). B est le symétrique de A par rapport à (d). A et B sont symétriques par rapport à (d). 2 b Méthode de construction : avec une équerre et une règle Pour s entraîner : exercice 5, exercice 6 Je trace une droite perpendiculaire à (d) passant par M Je reporte la longueur MI de l autre côté de la droite (d) : MI=MI Ex. C3 Trace le symétrique M de M par rapport à d On code la figure obtenue tant qu elle reste lisible. d M 6 symétrie axiale cours II docPage 2 sur 6

3 Pour s entraîner : exercice 9, exercice 8 2 c Méthode de construction avec un compas («méthode du losange») Les cercles de centre A et B passant par M se coupent en M symétrique de M par rapport à d On forme un losange! MAM B (MM ) et d sont les diagonales Pour s entraîner : exercice 7 3 Symétriques de figures usuelles propriétés Le symétrique d une droite par rapport à une autre droite est une droite La symétrie axiale conserve l alignement Exemple si les points PNM sont alignés alors les points PN M le sont Le symétrique d un segment par rapport à une droite est un segment de même longueur. La symétrie axiale conserve les longueurs Exemple si [A B ] est le symétrique de [AB] alors AB=A B Le symétrique d un polygone quelconque (ici c est un triangle) est un polygone de même mesure. La symétrie axiale conserve les angles, les périmètres et les aires. Exemple si A B C est le symétrique de ABC alors AB=A B B C =BC A C =AC ABC=A B C Pour s entraîner : exercice 10 Pour s entraîner : exercice 12 a d Le symétrique d un cercle par rapport à une droite est un cercle de même rayon. Les centres sont symétriques. Exemple si [A B ] est le symétrique de [AB] alors AB=A B 6 symétrie axiale cours II docPage 3 sur 6

4 Pour s entraîner : exercice 11 Pour s entraîner : exercice 12 c Symétrique de figures complexe Deux figures sont symétriques par rapport à une droite si elles se superposent par pliage (F) et (F ) sont symétriques par rapport à la droite (d) (F) est le symétrique de (F ) par rapport à la droite (d) (F ) est le symétrique de (F) par rapport à la droite (d) remarque tous les points de (F) sont les symétriques de (F ) Pour s entraîner : (exercice 11), exercice 13* 4 AXES DE SYMETRIE DE FIGURES USUELLES L axe de symétrie d une figure (segment, triangle, cerf-volant.) est un axe de symétrie particulier parmi tous les axes possibles ( il y en a une infinité). Le symétrique de la figure par rapport à cet axe particulier coïncide avec la figure elle même. 6 symétrie axiale cours II docPage 4 sur 6

5 Pour s entraîner : exercice 14 4a Axes de symétrie d un segment Un segment à deux axes de symétrie Sa médiatrice et la droite qui porte le segment Exemple : (d1) et (d2) sont les axes de symétrie du segment [AB] 4b Axes de symétrie d un angle L axe de symétrie d un angle est sa BISSECTRICE (voir chapitre sur les angles pour la définition) Exemple (d) est l axe de symétrie de l angle AÔB 4c- Triangle isocèle : Un triangle isocèle a 1 axe de symétrie. Cet axe passe par le sommet principal. Il est la bissectrice de son angle et la médiatrice du côté opposé. Conséquence : Les deux angles à la base sont égaux. 4d - Triangle équilatéral : 60 ) Un triangle équilatéral a 3 axes de symétrie. Ce sont les médiatrices des côtés et les bissectrices des angles. Conséquence : Les trois angles ont même mesure 4e le cerf volant Rappel le cerf-volant est un quadrilatère qui à deux paires de côtés consécutifs de même longueur Il a un axe de symétrie l une ses diagonales. Conséquence : Les diagonales sont perpendiculaires. Le point d intersection des diagonales est au milieu de la diagonale perpendiculaire à l axe. de 4f - Losange : Un losange à deux axes de symétrie, ce sont ses diagonales Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. 6 symétrie axiale cours II docPage 5 sur 6

6 4g- Rectangle : Un rectangle a 2 axes de symétrie : les médiatrices des côtés opposés. Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu et sont de même mesure. 4h - Carré : Un carré est à la fois un losange et un rectangle. Il a 4 axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices des côtés. Conséquences : Ses diagonales se coupent en leur milieu, sont perpendiculaires et de même mesure. 4i- cercle Le cercle à une infinité d axes de symétrie : ce sont toutes les droites qui passent par le centre du cercle Calcul mental : axes de symétrie Pour s entraîner : exercice 18, exercice 19, exercice 20, exercice 16, exercice 17 Pour s entraîner : (médiatrice, bissectrice) 34p197 (médiatrice, bissectrice) DM 79p202 6 symétrie axiale cours II docPage 6 sur 6

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