SEANCE DU 17 NOVEMBRE 2016 FONCTIONS DE REFERENCES

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1 APP ES/L SEANCE DU 7 NOVEMBRE 06 FONCTIONS DE REFERENCES Exercice On considère la fonction affine définie sur R par x f ( x) = 3 x 5 ) Donner le sens de variations de la fonction f sur R. ) Étudier le signe de la fonction f sur R. 3) Déterminer le signe de f ( π ) sans le calculer. 4) Comparer sans les calculer f ( π ) et f ( ) sans les calculer. 5) Si 3 a <, donner le meilleur encadrement de f (a). Exercice ) Dans chacun des cas suivants, comparer les carrés des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3,4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5a² + sachant que : 3 a < 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur ] ; 0] puis sur [0 ; + [ : k (x) = x² 3 Exercice 3 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les inverses des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3,4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5 + sachant que : 3 a < a 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur ] ; 0[ puis sur ]0 ; + [ : k (x) = x + Exercice 4 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les racines carrées des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3,4 b) 3 et + ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5a + sachant que : 3 < a < 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur]0 ; + [ : k (x) = x + 3 Exercice 5 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les cubes des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3,4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + ) Donnez le meilleur encadrement possible de ( a + ) 3 3 sachant que : 3 < a < 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur R : k (x) = 3x 3 4

2 APP ES/L SEANCE DU 7 NOVEMBRE 06 FONCTIONS DE REFERENCES Exercice On considère la fonction affine définie sur R par x f ( x) = 3 x 5 ) Donner le sens de variations de la fonction f sur R. La fonction f est une fonction affine de coefficient directeur est 3 >0 Donc la fonction f strictement croissante sur R ) Étudier le signe de la fonction f sur R. La fonction f est strictement croissante, donc elle est négative, nulle, puis positive. De plus f ( x) = 0 3 x 5 = 0 3 x = 5 x = 5 3 On obtient le tableau de signes : 3) Déterminer le signe de f ( π ) sans le calculer. On a π,57 et 5,66 3 π D où < 5 3 Comme la fonction f est strictement croissante sur R Donc f ( π ) < f (5 3 ) Et f ( 5 3 ) = 0 Conclusion f ( π ) < 0 4) Comparer sans les calculer f ( π ) et f ( ) sans les calculer. On a π,57 et,4 π D où > Comme la fonction f est strictement croissante sur R Donc f ( π ) > f ( ) 5) Si 3 a <, donner le meilleur encadrement de f (a). On a 3 a < Comme la fonction f est strictement croissante sur R Donc f( 3) f(a) < f( ) Comme f( 3) = 3 ( 3) 5 = 4 et f( ) = 3 ( ) 5 = D où 4 f(a) < / 6

3 APP ES/L Exercice ) Dans chacun des cas suivants, comparer les carrés des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3, 4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + On a 3,4 < π Comme la fonction carrée est strictement croissante sur [0; + [ Donc (3,4) < (π)² On a 3 > 5 6 Comme la fonction carrée est strictement décroissante sur ] ; 0] Donc ( 3 ) < ( 5 6 )² On a 3,73 et +,4 D où 3 < + Comme la fonction carrée est strictement croissante sur [0; + [ Donc ( 3) < ( + )² ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5a² + sachant que : 3 a < On a 3 a < Comme la fonction carrée est strictement décroissante sur ] ; 0] D où ( 3) a > ( )² 9 a > a > 5 4 car on multiplie par a > a + > 0 + car on ajoute D où 46 5a + > 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur ] ; 0] puis sur [0 ; + [ : k (x) = x² 3 Sur ] ; 0] Soient a et b deux nombres de ] ; 0] tel que a < b Alors a < b < 0 a² > b² > 0² car la fonction carrée est décroissante sur ] ; 0] a < b < 0 car on multiplie par a 3 < b 3 < 3 car on ajoute 3 D où la fonction k est strictement croissante sur ] ; 0] Sur [0; + [ Soient a et b deux nombres de ]0; + [tel que a < b Alors 0 < a < b 0 < a < b car la fonction carrée est croissante sur [0; + [ a > b > 0 car on multiplie par a 3 > b 3 > 3 car on ajoute 3 Donc k(a) > k(b) D où la fonction k est strictement décroissante sur [0; + [ 3 / 6

4 APP ES/L Exercice 3 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les inverses des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3, 4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + On a 3,4 < π Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; + [ Donc 3,4 > π On a > Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0] D où 3 < 5 6 Donc 3 < 6 5 On a 3,73 et +,4 D où 3 < + Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0; + [ Donc > 3 + ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5 + sachant que : 3 a < a On a 3 a < Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur ] ; 0[ D où > 3 a 5 5 > 5 car on multiplie par 5 3 a > 5 + car on ajoute 3 a D où 3 5 a + > 3 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur ] ; 0[ puis sur ]0 ; + [ : k (x) = x + Sur ] ; 0[ Soient a et b deux nombres de ] ; 0[ tel que a < b < 0 Alors a < b < 0 car la fonction inverse est décroissante sur ] ; 0[ a > b < car on multiplie par + < + car on ajoute D où la fonction k est strictement croissante sur ] ; 0[ Sur ]0; + [ Soient a et b deux nombres de ]0; + [tel que a < b Alors 0 < a < b car la fonction inverse est décroissante sur ]0; + [ a > b < car on multiplie par + < + car on ajoute D où la fonction k est strictement croissante sur ]0; + [ 4 / 6

5 APP ES/L Exercice 4 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les racines carrées des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3, 4 b) 3 et + On a 3,4 < π Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; + [ Donc 3,4 < π On a 3,73 et +,4 D où 3 < + Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; + [ Donc 3 < + ) Donnez le meilleur encadrement possible de 5a + sachant que : 3 < a < On a 3 < a < ( 5) 3 > 5a > ( 5) ( ) car on multiplie par 5 5 > 5a > > 5a + > 0 + car on ajoute Comme la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0; + [ D où 6 > 5a + > 6 > 5a + > car on ajoute D où 6 > 5a + > 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur]0 ; + [ : k (x) = x + 3 Sur ]0; + [ Soient a et b deux nombres de ]0; + [ tel que a < b Alors 0 < a < b 0 < a < b car on multiplie par a < b car la fonction racine carrée est croissante sur [0; + [ a + 3 < b + 3 car on ajoute 3 D où la fonction k est strictement croissante sur ]0; + [ 5 / 6

6 APP ES/L Exercice 4 ) Dans chacun des cas suivants, comparer les cubes des nombres donnés sans utiliser la calculatrice : a) π et 3, 4 b) 3 et 5 6 c) 3 et + On a 3,4 < π Donc (3,4) 3 < (π) 3 On a 3 > 5 6 Donc ( 3 )3 > ( 5 6 )3 On a 3,73 et +,4 D où 3 < + Donc ( 3) 3 < ( + ) 3 ) Donnez le meilleur encadrement possible de ( a + ) 3 3 sachant que : 3 < a < On a 3 < a < ( ) 3 > a > ( ) ( ) car on multiplie par 6 > a > > a + > 4 + car on ajoute D où 7 3 > ( a + ) 3 > > ( a + ) 3 3 > 5 3 car on ajoute 3 D où 340 > ( a + ) 3 3 > 3) Étudier les variations de la fonction suivante sur R : k (x) = 3x 3 4 Soient a et b deux nombres de R tel que a < b Alors a 3 < b 3 car la fonction cube est strictement croissante sur R 3a 3 < 3b 3 car on multiplie par 3 3a 3 4 < 3b 3 4 car on ajoute 4 D où la fonction k est strictement croissante sur R 6 / 6