CONCOURS 2015 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES. Filière MP. (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit.

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1 A 15 MATH. I MP ÉCOLE DES PONTS PARISTECH, SUPAÉRO (ISAE), ENSTA PARISTECH, TÉLÉCOM PARISTECH, MINES PARISTECH, MINES DE SAINT-ÉTIENNE, MINES DE NANCY, TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIÈRE MP), ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI). CONCOURS 15 PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l épreuve : 3 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit. Sujet mis à la disposition des concours : CYCLE INTERNATIONAL, ENSTIM, TÉLÉCOM INT, TPE-EIVP. Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES I - MP. L énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre.

2 Opérateur de Volterra et équations différentielles L objectif de ce problème est l étude d un opérateur de Volterra appliqué notamment à la résolution de certaines équations différentielles. On considère l espace vectoriel E des fonctions réelles définies et continues sur l intervalle [, π ], muni du produit scalaire défini pour tous f, g dans E par : f, g = f (t)g (t) dt. On note f = f, f la norme associée à ce produit scalaire. Un endomorphisme V de l espace E est dit symétrique défini positif si pour tous f, g dans E, on a V (f ), g = f,v (g ) et si de plus, V (f ), f > pour tout f E non nul. Les parties A et B sont mutuellement indépendantes. A. Opérateur de Volterra On note V et V les endomorphismes de E défini par les formules : pour tous f E et x [, π ]. x V (f )(x) = V (f )(x) = x 1) En observant que V (f ) et V (f ) sont des primitives de f, montrer que pour tous f, g dans E, on a V (f ), g = f,v (g ). ) Montrer que l endomorphisme V V est symétrique défini positif. En déduire que ses valeurs propres sont strictement positives. Soit λ une valeur propre de V V et f λ un vecteur propre associé à λ. 3) Montrer que f λ est de classe C et est solution de l équation différentielle : y + 1 λ y = avec les conditions y( π ) = et y () =. 4) En déduire que λ est une valeur propre de V V si et seulement s il existe 1 n N tel que λ =. Préciser alors les vecteurs propres associés. (n+1)

3 B. Théorème d approximation de Weierstrass Soit n un entier strictement positif, x [,1] et f : [,1] R une fonction continue. On note X 1, X,..., X n des variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées selon la loi de Bernoulli de paramètre x. On note également S n = X 1 + X X n, Z n = S n n et B n (f )(x) = E ( f (Z n ) ). 5) Rappeler, sans démonstration, la loi de S n. En déduire, avec démonstration, les valeurs de l espérance et de la variance de S n en fonction de n et de x. 6) En utilisant l inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que pour tout α > : ( ) n x k (1 x) n k 1 k 4nα 7) Montrer que : k n k n x α B n (f )(x) f (x) = ( ) n n x k (1 x) n k( f ( k ) ) f (x) k n k= et en déduire que la suite (B n (f )) n N converge uniformément vers f sur [, 1]. On pourra utiliser le résultat de la question précédente ainsi que le théorème de Heine. On a donc établi le théorème d approximation de Weierstrass sur le segment [,1] : toute fonction continue sur [, 1] y est limite uniforme d une suite de polynômes. On en déduit aisément, et on l admet, le théorème d approximation de Weierstrass sur un segment quelconque [a,b]. C. Développement de V V (f ) en série trigonométrique On considère maintenant l espace vectoriel G des fonctions réelles définies et continues sur l intervalle [,π], muni du produit scalaire défini pour tous f, g dans G par : f, g G = f (t)g (t) dt. On note f G = f, f G la norme associée à ce produit scalaire. Pour n N, on définit la fonction c n G par la formule c n (t) = cos(nt) et on note F n = Vect(c,c 1,...,c n ) le sous-espace vectoriel de G engendré par {c,c 1,...,c n }. On note également P Fn la projection orthogonale de G sur F n. 8) Montrer que si p est un polynôme de degré n N, la fonction t p(cos(t)) définie sur [,π] appartient à F n. 3

4 9) Trouver une suite (α n ) n N de nombres réels strictement positifs telle que la suite (α n c n ) n N soit orthonormée. Déduire du théorème d approximation de Weierstrass que la suite orthonormée (α n c n ) n N est totale. 1) Soit f G. Démontrer que f P Fn (f ) G tend vers lorsque n tend vers l infini. Si, de plus, la suite (P Fn (f )) n N converge uniformément sur [,π] vers une fonction g, montrer que g = f. Pour tout x [, π ], on définit la fonction g x sur [,π] par la formule : g x (t) = { π max(x, t) si t π g x (π t) si π t π. 11) Soit n N. Déterminer les coordonnées de P Fn (g x ) sur la base (c,c 1,...,c n ) de F n. En déduire que pour tout t [,π/] : π max(x, t) = 4 + cos ( (n + 1)x ) π (n + 1) cos ( (n + 1)t ). n= 1) Montrer que pour tous f E et x [, π ] : V V (f )(x) = ( π max(x, t) ) et en déduire la suite des coefficients (a n (f )) n N pour laquelle on a : V V (f )(x) = + n= a n (f ) cos ( (n + 1)x ). D. Équations différentielles du type Sturm-Liouville Soit h E, λ R et l équation différentielle : S { y + λy + h = y(π/) = et y () = On définit ϕ n E pour tout n N par la formule ϕ n (t) = π cos ( (n + 1)t ). 13) Montrer que pour tous f E et n N, V 1 V (f ),ϕ n = (n + 1) f,ϕ n. 14) Montrer que g est solution de l équation différentielle S si et seulement si g = λ V V (g )+V V (h) et que dans ce cas, on a les formules suivantes pour tout n N : ( 1 λ ) (n + 1) g,ϕ n = 4 1 (n + 1) h,ϕ n

5 et g = + n= g,ϕ n ϕ n. 15) On suppose dans cette question que λ n est pas égal au carré d un entier impair. Montrer que la série : 1 (n + 1) λ h,ϕ n ϕ n est normalement convergente. Exhiber alors une solution de S. On suppose maintenant qu il existe p N tel que λ = (p + 1). 16) Montrer que si h,ϕ p = alors S a une infinité de solutions, puis exhiber l une d entre elles. Que peut-on dire si h,ϕ p? FIN DU PROBLÈME 5

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