Équations différentielles linéaires à coefficients constants

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1 IFIPS - Cycle préparatoire S2 - Équatios différetielles liéaires à coefficiets costats Équatios différetielles liéaires à coefficiets costats des coquilles, questios, commetaires, isultes? adressez-vous à: atoie.gouray@math.u-psud.fr 27 février 2008 Éocé du problème O cherche les foctios y(x) (qui déped doc de x) qui sot solutio d u type d équatios différetielles (très particulières). Pour fi de otatios, o écrira la ème dérivée de y par Par covetio, y (0) (x) sera y(x). y () (x) = d dx y(x). Ue équatio différetielle est ue équatio qui relie y et au mois ue de ses dérivées. Elle est dite d ordre si cette équatio fait iterveir y () mais pas de dérivées supplémetaires (i.e. pas de y (k) pour k > ). Elle est dite liéaire si elle s écrit sous la forme a i (x)y (i) (x) = b(x), où les a i (x) et b(x) sot des foctios. O appellera a i (x) les coefficiets de l équatio et b(x) le terme ohomogèe : si b(x) = 0 l équatio est homogèe e y (c àd. chager y par ky, pour k R 0, doe la même équatio). Icidemmet, o dit que l équatio est homogèe lorsque b(x) = 0. (Cette termiologie est malheureuse car cela a rie à voir avec u autre type d équatio dite homogèe du premier ordre ; heureusemet das ce texte o e regardera jamais d équatios différetielles du premier ordre, il y a pas de cofusio possible sur ce poit.) Efi, lorsque les a i (x) sot des costates, o dira que l équatio est à coefficiet costat. Ce qui ous itéresse ici est de résoudre e premier lieu, les équatios différetielles liéaires homogèes à coefficiets costats (LHCC, pour les itimes), soit les équatios de la forme a i y (i) (x) = 0; puis certaies équatios liéaires (o-homogèes) à coefficiets costats (LNCC, toujours pour les itimes), soit des équatios du type a i y (i) (x) = b(x). A priori, rie e dit que les solutios sot défiies sur tout R. O verra que les solutios d ue LHCC sot défiies pour tout x R, quat aux solutios d ue LNCC, cela déped du terme o-homogèe b(x). Avat de se lacer das ce programme, itroduisos quelque otios essetielles. Pour ue foctio y, o aura fréquemmet besoi de lui associer la foctio E(y) défiie par : E(y) = a i (x)y (i) (x).

2 2 (E terme savats, E est dit u opérateur différetiel ; e termes vulgaires c est ue recette dot la doée est ue foctio et le résultat est ue autre foctio, obteue e mélageat les dérivées de la foctio d origie.) Cette associatio a quelques propriétés fort utiles soit E(y + y 2 ) = E(y ) + E(y 2 ), E(ky) = ke(y) si k R; où y,y 2 et y sot des foctios dérivables au mois fois. La première propriété tiet, d ue part, au fait que la dérivée d ue somme est la somme des dérivées, et de l autre, au fait que les y (i) apparaisset jamais multipliés par u y ( j) (c àd. à la liéarité e y). La secode est aussi due à cette absece de produit etre des y (i) et des y ( j). O utilisera aussi la propriété (pas évidete du tout) que les équatios différetielles liéaires d ordre admettet solutios liéairemet idépedates. () 2 Rappel sur les polyômes Les polyômes sot très importats pour compredre les équatios différetielles liéaires à coefficiets costats. Comme ceci est qu u rappel, hésitez pas à demader des explicatios cocerat toute affirmatio de cette sectio. U polyôme s écrit comme Q(λ) = Si o se place das le corps des ombres complexes tous les polyômes se factoriset comme u produit de termes liéaires, e particulier : Q(λ) = k i= c i λ i (λ λ i ) m i, (2) où λ i C sot les racies ou zéros du polyôme, et m i est appelée la multiplicité de λ i. Notez que k m i = q pour des raisos de degré. De plus, λ i est ue racie de multiplicité supérieure à (i.e. m i > ) si et seulemet si Q (i) (λ i ) = d Q dλ (λ i) = 0 pour i = 0,,...,. (3) Effectivemet e dérivat (2), o trouve Q (λ) = m i (λ λ i ) m i (λ λ j ) m j + (λ λ i ) m i (dérivée du reste). i j E argumetat coveablemet, o e déduit que Q (λ i ) = 0 seulemet si m i >. O peut cotiuer de dériver cette équatio pour coclure. Il est peut-être ecore plus simple de voir le problème e termes de développemet limité. Le développemet limité de Q(λ) e λ i, s écrit facilemet si o regarde (2) : Q(λ) = (λ λ i ) m i P(λ λ i ), où P est u polyôme tel que P(λ i ) 0. Ce développemet limité reviet à dire que les dérivées de Q sot ulles jusqu à l ordre m i (mais pas la m i ème dérivée). Fialemet, pour u ombre imagiaire, o peut défiir so cojugué. Peut-être avez-vous déjà été troublé par le fait que ı et ı sot tous deux des racies carrées de ; le choix est assez arbitraire. De fait, le cojugué d u ombre complexe est le ombre obteu e ayat fait l autre choix, plus précisémet si z = x + ıy (où x,y R) alors so cojugué, oté z est doé par z = x ıy. Ceci est importat pour ous car si Q est u polyôme à coefficiets réels (i.e. c i R) et λ i est ue racie imagiaire (c àd. λ i C\R) alors λ i est aussi ue racie de même multiplicité, i.e. λ i C \ R et Q (k) (λ i ) = 0 pour k = 0,,..., Q (k) (λ i ) = 0 pour k = 0,,..., (4) i=

3 IFIPS - Cycle préparatoire S2 - Équatios différetielles liéaires à coefficiets costats 3 3 Équatios différetielles liéaires homogèes à coefficiets costats Tetos maiteat de résoudre l équatio : a i y (i) (x) = 0 Pour ce gere d équatios, l étape de base est de se rameer à u polyôme e posat y = e λx. E effet o a alors y () (x) = λ e λx d où p a i y (i) (x) = p a i λ i e λx = e λx p a i λ i Comme e λx > 0, ceci reviet à trouver les zéros du polyôme P(λ) = p a i λ i. Iversemet, état doé u polyôme Q(λ) = q c i λ i de degré q, o lui associera u opérateur E Q défii par : E Q (y) = q c i y (i) (x) pour y ue foctio dérivable au mois q fois. De la sorte, si y = e λx, E Q (y) = Q(λ)y. Tout ça pour dire, résoudre E P (y) = 0 reviet à trouver les racies de P(λ). Aisi comme e (2), o écrit : P(λ) = k i= (λ λ i ) m i. O a trouvé k solutios y i = e λ ix. Si m i = pour tout i = 0,,..., p, o a trouvé les p solutios requises. Le problème viet doc des solutios multiples. Pour le résoudre il faut d abord remarquer que, pour f, g deux fotios dérivables au mois fois, ( f g) () = ( ) f (i) g ( i), i où ( ) i =! i!( i)!. Ceci se démotre aisémet par iductio (comme la formule du biôme). De là o peut exprimer ce que doe u opérateur E Q (Q de ouveau u polyôme de degré q) appliqué à u produit de foctios : ( q ) ( E Q ( f g) = f E Q (g) + f () ( l ) q ) cl g (q ) + f (2) ( l ) 2 cl g (q 2) f (q) c q g (0) l= l=2 = f E Q (g) + f () E Q ()(g) + 2 f (2) E Q (2)(g) q! f (q) E Q (q)(g) (5) = q i! f (i) E Q (i)(g). D itérêt particulier, est le cas où g est otre tetative de solutio, c àd. g(x) = y(x) = e λx, o trouve E Q ( f y) = q i! f (i) E Q (i)(y) = q i! f (i) Q (i) (λ)y = y q i! f (i) Q (i) (λ) Aisi, pourvu que λ j est ue racie de multiplicité m j, Q (i) (λ j ) = 0 quad i < m j. E preat f ue foctio telle que f (i) (x) = 0 si i m j (le cadidat tout désigé état u polyôme de degré m j ) o e coclut que Si λ j est ue racie de multiplicité m j du polyôme P alors y = f (x)e λx où f (x) est u polyôme de degré m j est ue solutio de l équatio, c àd. E P ( f (x)e λ j x ) = 0.

4 4 De la sorte, o a obteu les solutios (élémetaires) suivates de l équatio E P (y) = 0 : y = x l e λ ix où λ i est ue racie de multiplicité m i et l = 0,,...,m i. O a exhibé k m i = p solutios. Par (), si y,y 2,...,y p sot ces p solutios et k,k 2,...,k p R des costates o obtiet que i= E(k y + k 2 y k p y p ) = k E(y ) + k 2 E(y 2 ) k p E(y p ) = 0, c àd. que k y + k 2 y k p y p est ue solutio. Comme il s agit d ue équatio liéaire d ordre p u théorème (qui écessite etre autres le théorème de Picard, u résultat o-trivial) ous assure qu il y e a pas d autres, ou plus précisémet que toute solutio s écrit comme ue combiaiso liéaire des y i. Avat de clore cette sectio, remarquez que si les coefficiets de P sot réels, les racies qui e sot pas réelles vieet e paires (elles-mêmes et leur cojugué). Soit λ i C \ R ue telle racie, écrivos λ i = µ + ıν. Soit λ i = µ ıν so cojugué. Ue des solutios élémetaires associée à λ i s écrit y (x) = x l e λ ix = x l e µx( cos(νx) + ısi(νx) ), où 0 l < m i. D autre part comme λ i est aussi ue racie de même multiplicité, il existe ue solutio élémetaire de la forme y 2 (x) = x l e λ ix = x l e µx( cos(νx) ısi(νx) ). Ue habile réécriture ous permet de ous débarasser des termes imagiaires. E effet, l expressio k y + k 2 y 2 se réécrit comme k y (x) + k 2 y 2 (x) = (k + k 2 )x l e µx cos(νx) + ı(k k 2 )x l e µx si(νx) = k xl e µx cos(νx) + k 2 xl e µx si(νx), où k = k + k 2 et k 2 = ı(k k 2 ). Notez que la doée de k et k 2 permet de retrouver k et k 2 ; les deux écritures sot doc équivaletes. La ouvelle écriture est cepedat préférable pour éviter de faire appel à des ombres complexes. Aisi plutôt que d écrire les solutios associées à ue racie et so cojugué comme des expoetielles imagiaires (x l e λ ix et x l e λ ix ) il vaut mieux les écrire comme l expoetielle de la partie réelle multipliée par ue foctio trigoométrique dot fréquece est la partie imagiaire (x l e µx cos(νx) et x l e µx si(νx)). Ceci termie la résolutio des LHCC. Exemple 3.: Trouver les solutios de y (4) + 4y (2) + 4y = 0. Le polyôme associé est P(λ) = λ 4 + 4λ = (λ 2 + 2) 2. Ses racies sot ı et ı toutes deux de multiplicité 2. Aisi les solutios sot (k + k 2 x)si( 2x) + (k + k 2 x)cos( 2x) Exemple 3.2: Trouver les solutios de y (4) + y (3) 3y (2) 7y () 30y = 0. Le polyôme associé est P(λ) = λ 4 + λ 3 + 3λ 2 7λ 30. Pour le factoriser, le critère habituel ous dit que s il a ue racie ratioelle c est ±,±2,±3,±5,±6,±0,±5 ou ±30. Après quelques tetatives o se red compte que 2 et 3 sot des racies d où P(λ) = λ 4 + λ 3 3λ 2 7λ 30 = (λ + 2)(λ 3)(λ 2 + 2λ + 5). Ses racies sot 2,3, + 2ı, et 2ı toutes de multiplicité. Aisi les solutios sot k e 2x + k 2 e 3x + k 3 e x si(2x) + k 4 e x cos(2x)

5 IFIPS - Cycle préparatoire S2 - Équatios différetielles liéaires à coefficiets costats 5 4 Équatio différetielles liéaires o-homogèes à coefficiet costats Pour résoudre l équatio a i y (i) (x) = b(x), (6) il faut d abord résoudre sa versio homogèe (c àd. celle où b(x) =). E effet, supposos qu o coait ue solutio de (6), disos y 0. Notos comme avat E P pour E P (y) = a i y (i) (x). Alors si y g est tel que E P (y g ) = 0 o remarque que (voir ()) E P (y 0 +y g ) = E P (y 0 )+E P (y g ) = b(x)+0 = b(x). Aisi o obtiet les p solutios liéairemet idépedates à partir d ue seule solutio. La questio est doc de trouver ce y 0 tel que E P (y 0 ) = b(x). Côté termiologie, y 0 est appelée la solutio particulière et y g la solutio géérale. Il y a malheureusemet pas de méthode bie établie pour trouver la solutio particulière. Seuls das les quelques cas otoires qui suivet sot traités mécaiquemet. Premier cas, b(x) est de la forme ke λx où k R et λ R est pas ue solutio du polyôme P associé à l équatio homogèe E P (y) = 0. Alors E P (e λx ) = P(λ)e λx. Comme P(λ) 0, o a que E P ( k P(λ) eλx ) = ke λx est la solutio particulière recherchée. U autre cas simple est celui où b(x) = Q(x)e λx, où Q(x) est u polyôme (disos de degré q) et λ est pas ue racie de P. Das ce cas, il faut remarquer que si R(x) est u polyôme de degré q aussi alors, grâce à (5), E P (R(x)e λx ) = p i! R(i) E P (i)(e λx ) = p i! R(i) P (i) (λ)e λx est aussi u polyôme de degré q qui multiplie e λx. Il e reste alors qu à trouver les coefficiets de R. (Le cas où b est u polyôme est u cas particulier de celui-ci e posat λ = 0.) Évidemmet, si b(x) = Q(x)e λx si(ωx) ou b(x) = Q(x)e λx cos(ωx) où Q(x) est u polyôme (disos de degré q) et λ ± ıω est pas ue racie de P, la situatio est similaire au cas d avat : e décomposat le sius ou le cosius comme ue somme d expoetielles imagiaires, o e coclut que la solutio particulière aura la forme y 0 (x) = R (x)e λx si(ωx) + R 2 (x)e λx cos(ωx) où R et R 2 sot deux polyômes de degré q. Faites bie attetio à toujours mettre les deux foctios trigoométriques das la solutio particulière, même si le terme o-homogèe e cotiet que l ue d etre elles. Cas particulier itéressat, si Q est ue costate (u polyôme de degré 0) les R i sot aussi des costates. Ces trois cas e sot que différets avatars d ue même situatio. U vrai problème apparaît lorsqu o fait face à u terme o-homogèe de la forme b(x) = Q(x)e λx où λ est ue solutio de P (i.e. où e λx est ue solutio de E P (e λx ) = 0). Il faut alors de ouveau faire appel à la formule du produit (5), soit R(x) u polyôme de degré r, et soit m la multuplicité de la racie λ alors E P (R(x)e λx ) = p i! R(i) E P (i)(e λx ) = p i! R(i) P (i) (λ)e λx = p i! R(i) P (i) (λ)e λx. i=m (7)

6 6 Les m premiers termes de la somme s aulet car Q (i) (λ) = 0 pour i = 0,,...,m (λ est ue racie de multiplicité m, cf. (3)). Aisi il e reste qu ue expressio de la forme polyôme de degré r m qui multiplie e λx. Comme o veut u polyôme de degré q, il faut que r m = q, i.e. r = q+m. D autre part, o remarque que les termes de degré < m itervieet pas das (7) car R est toujours dérivé au mois m fois. Aisi, pour avoir le résultat désiré (u polyôme d ordre q) il faut predre R(x) = x m S(x) où S(x) est u polyôme d ordre q. E bref, il faut poser y 0 (x) = x m S(x)e λx, où S est u polyôme d ordre q, et m est la multiplicité de λ e tat que racie de P. Fialemet, si b(x) = Q(x)e λx si(ωx) ou b(x) = Q(x)e λx cos(ωx) où Q(x) est u polyôme (disos de degré q) et λ ± ıω sot des racies de P, la situatio se ramèe au cas d avat e décomposat le sius ou le cosius comme ue somme d expoetielles imagiaires. La solutio particulière aura la forme y 0 (x) = x m R (x)e λx si(ωx) + x m R 2 (x)e λx cos(ωx) où R et R 2 sot deux polyômes de degré q et m est la multiplicité des racies λ ± ıω. (Si le polyôme P est à coefficiets réel o rappelle que ces deux racies ot la même multiplicité.) Exemple 4.: Disos que l o veut résoudre y y = x. Ici P(λ) = λ 3 λ = 0 les racies sot doc,0 et. Ce qui doe la solutio géérale y g (x) = k e x + k 2 + k 3 e x. Le terme o-homogèe aodi b(x) = x cache ue légère aomalie puisque x = xe 0x et 0 est ue racie du polyôme P (de multiplicité ). Aisi o cherche ue solutio particulière de la forme y 0 (x) = x(a x + a 2 ). O calcule E P (y 0 ) = 2a x + a 2 pour que ce soit égal à b(x) il faut doc que a = /2 et a 2 = 0. Doc la solutio de y y = x est y(x) = k e x + k 2 + k 3 e x + x 2 /2 Exemple 4.2: Si l o veut résoudre y (4) + 4y (3) + 6y + 4y + y = (x + )e x, il faut de ouveau écrire le polyôme associé. Ici il s agit de P(λ) = λ 4 + 4λ 3 + 6λ 2 + 4λ + = (λ + ) 4. La solutio géérale sera doc y g = (k + k 2 x + k 3 x 2 + k 4 x 3 )e x. La solutio particulière a la mauvaise heure de coteir e x et est ue racie de multiplicité 4 de otre polyôme P. Il faut doc chercher des solutio particulières de la forme E utilisat (5) ou directemet (7), y 0 = x 4 (a x + a 2 )e x E P (y 0 ) = 4! (a x 5 + a 2 x 4 ) (4) P (4) ( )e x = 4!(5a x + a 2 )e x. Il faut doc choisir a = /5! = /20 et a 2 = /4! = /24 pour avoir E P (y 0 ) = (x + )e x. La solutio est doc ( x y(x) = (k + k 2 x + k 3 x 2 + k 4 x 3 )e x + x ) e x 24 Si vous avez des questios (sur les TD, le cours ou la vie), hésitez pas à passer me voir à mo bureau (Salle 227, bâtimet 440), à m accrocher après u TD, ou à m evoyer u courriel (atoie.gouray@math.u-psud.fr).