L1MI - Mathématiques: Analyse
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- Olivier Chaput
- il y a 6 ans
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1 Université de Metz (UFR MIM) Année universitire - Déprtement de Mthémtiques Dérivtion et Dérivée Exercice Clculer l dérivée des fonctions suivntes (x) = x + ln(x + x + ), LMI - Mthémtiques: Anlyse b(x) = sin ( ) cos x + x 3 + e ex, c(x) = cos [ (x + ) (x + ) ], d(x) = ln [ ln(x + x) ], e(x) = x + l x + x x (l > ), f(x) = (sin x) cos x + (ln x) x x ln x Exercice Déterminer l ensemble des réels où les fonctions suivntes sont dérivbles ) f(x) = x sur R ) g(x) = (x ) si x < et g(x) = x si x 3) Etudier l continuité et l dérivbilité de l fonction suivnte: h(x) = e x x si x < ; si x < ; (ln x)/x si x 4) Déterminer les constntes, b pour que l fonction suivnte soit dérivble sur R: k(x) = x si x, k(x) = x + b si x > Est ce une fonction de clsse C sur R? Est ce qu elle est deux fois dérivble sur R? Exercice 3 Soit f(x) = si x et f(x) = e /x si x > ) Montrer que f est infiniment dérivble sur ], [ et sur ], [ ) Montrer que f est continue sur R 3) Montrer que f est dérivble sur R 4) Montrer que pour tout n N, f (n) (x) = x mn P n (x)e /x si x > où m n N et P n R[x] 5) En déduire que f est infiniment dérivble sur R Exercice 4 Clculer l dérivée n-ième des fonctions suivntes: k(x) = sin x et Exercice 5 f(x) = x 3 e x, g(x) = x, h(x) = x Trcer l fonction h(x) = x 3 4x 3x + et s tngente u point x = Exercice 6 Montrer que x cos x sin x < sur ], π] En étudint l fonction l(x) = sin x, montrer que si x < < b π, lors sin b/ sin < b/ Exercice 7
2 En clculnt de deux mnières différentes l dérivée d ordre n de f(t) = (t ) n (n N ), prouver que n (Cn) k = (n)! (n!) Exercice 8 k= Soit f une fonction définie sur R telle que C >, f(x) f(y) C x y pour tout x, y R Montrer que f est constnte Exercice 9 Soit f définie pr f(x) = (3 x )/ si x < et f(x) = x si x Montrer que f stisfit ux hypothéses du Théorème des croissements finis sur [, ] Exercice Montrer que ) sin x x pour x >, et que lim x sin x/x = ) x < cos x pour < x < π x 3) x >, < ln( + x) < x + x Exercice Soient f une fonction deux fois dérivble sur R et < c < b trois réels Pour λ R, on pose ) Vérifier que φ() = φ(b) = φ(x) = f(x) f() x )(b x) [f(b) f()] + λ(x b Dns l suite on choisit λ de sorte que φ(c) = ) En ppliqunt plusieurs fois le Théorème de Rolle, montrer qu il existe d ], b[ tel que φ (d) = 3) En déduire que λ = f (d) et 4) Montrer que si < x < b, on : f(c) f() c b [f(b) f()] = f (c )(b c) (d) < (x )(b x) (b ) 8 5) Conclure que pour tout x ], b[, x f(x) f() [f(b) f()] b sup f (d) Exercice d [,b] (b ) 8 ) Appliquer le Théorème des ccroissements finis à l fonction f(x) = ln(ln x) sur l intervlle [k, k + ] pour k > En déduire que l suite u n = n k= k ln k
3 tend vers qund n ( ) ) En utilisnt le Théorème des ccroissements finis, étudier l limite de x e x e x+ en 3) Soit f une fonction dérivble sur R stisfisnt f() =, f() = et f () = Montrer qu il existe x ], [ telle que f(x ) <, puis qu il existe x ], [ telle que f(x ) = et finlement qu il existe x 3 ], [ telle que f (x 3 ) = Fonctions Réciproques Exercice Est ce que les ssertions suivntes sont vries? ) sin(rcsin x) = x pour tout x [, ] ) rcsin(sin x) = x pour tout x R Déterminer les vleurs suivntes: ( rcsin sin 9π ) (, rccos cos 9π ) 3 3 Exercice Montrer que rcsin ( ) ( ) 4 = rctn 5 et rctn + rctn + rctn 3 = π Exercice 3 Démontrer les églités suivntes: ) rcsin x + rccos x = π, x [, ] ) rcsin x + rcsin x = π, x [, ] Exercice 4 Simplifier les expressions suivntes: A(x) = rccos( x ) puis x B(x) = rctn + x, D(x) = rctn x+rctn rccos[cos(x)], F (x) = rccos(cos x)+ x Exercice 5 Déterminer le domine de définition de l fonction f définie pr: f(x) = rcsin(x x ) ) Montrer que f est impire Déterminer le domine de continuité et celui de dérivbilité de f ) Clculer l dérivée de f sur son domine de dérivbilité Exercice 6 Soient f et g définies sur R pr f(x) = ex + e x, g(x) = ex e x Ces deux fonctions s ppellent respectivement cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique, on les note pr f(x) = chx et g(x) = shx
4 ) Montrer que les deux fonctions sont infiniment dérivbles sur R Clculer leurs dérivées et trcer les deux fonctions ) Vérifier que ch x = + sh x pour tout x R 3) Montrer que chx est bijective de R + dns [, [ On note l fonction réciproque pr rgch : [, [ [, [ Sur quel intervlle l fonction rgch est dérivble? 4) Montrer que (rgch) (x) = / x pour x > 5) De même, montrer que shx est une bijection de R dns R Notons s fonction réciproque pr rgsh, montrer que rgsh est dérivble sur R et déterminer s dérivée 6) Trcer les courbes de rgch et de rgsh 7) Montrer que rgchx = ln Exercice 7 ( x + ) x x ; ( rgshx = ln x + ) x + Soit thx = shx/chx, l fonction ppelée tngente hyperbolique ) Où est définie l fonction th? ) Montrer que th est strictement croissnte sur R et que th(r) = ], [ 3) Notons rgth l fonction réciproque de l fonction th Montrer que rgthx = ln + x x x ], [ Clculer (rgth) (x) sur ], [ En déduire s dérivée d ordre 9 4) Trcer les courbes de th et rgth Exercice 8 Résoudre les équtions suivntes: x R rcsin x = rcsin 5 + rcsin 3 5, rcsin(x) rcsin x = rcsin( 3x), 3chx + shx = 4 Exercice 9 Clculer l dérivée des fonctions suivntes: ( rccos chx Exercice Montrer que ), rctn(thx), rgch x, rgth(rctn x), rctn ( x + ) x < rcsin x < x rccos x si < x <, rctn > >, lim x + = x x Exercice Simplifier les fonctions suivntes sur leur domine de définition Exercice f(x) = rgch + chx, puis g(x) = rgth x x + Soit f de R dns R, définie pr f(x) = xe x ) Montrer que f rélise une bijection de R dns R, montrer que f est dérivble ) Déterminer f () et (f ) () 3) Montrer que f est deux fois dérivble et clculer (f ) ()
5 3 Formule de Tylor et Développements Limités Exercice 3 Soit f une fonction deux fois dérivble u point x R Déterminer l limite éventuelle qund h tend vers de f(x + 3h) + 3f(x + h) 5f ( x + 5 h) h Exercice 3 Soit f(x) = e x, clculer f (9) () puis f () () Exercice 33 Soit f une fonction C sur R vérifint f (n) () =, n N Supposons que f (n) (x) n! pour tout x R et tout n N ) Montrer pr l formule de Tylor-Lgrnge que f(x) = pour x ], [ ) En déduire que x R, f(x) = Exercice 34 Soit f une fonction dérivble de R dns R On considère l reltion suivnte:, h R, f( + h) f( h) = hf () (P ) ) Soit φ(x) = Ax + Bx + C ie φ R [x], montrer que φ stisfit (P ) ) Supposons que f est une fonction de clsse C 3 vérifint (P ) Ecrire l formule de Tylor- Lgrnge à l ordre pour f entre + h et, puis entre h et En déduire que f (3) () = Montrer que f est un polynôme de degré 3) Soit f une fonction dérivble sur R qui vérifie (P ) Montrer que f (x) = f(x + ) f(x ), x R En déduire que f est de clsse C sur R Que peut on dire sur f? Exercice 35 Déterminer le développement limité u voisinge de des fonctions suivntes à l ordre indiqué entre prenthèse: tn x (5); tn x (6); e cos x (4); Exercice 36 x cos x (4); x sin x (4); ln( + x) + x e rctn x x (3); rctn x (6); (3); ln( + x sin x) (4); ln x sin x (3); + tn x (3); (cos x) x (3) Déterminer le développement limité ) u voisinge de x = π 4 à l ordre 4 de (cos x) ; ) u voisinge de x = à l ordre 4 de xe x Exercice 37 Soit l fonction f vlnt en et définie pr : f(x) = sin x, si x x x
6 ) Donner un développement limité d ordre 5 en de l fonction sinus ) Etudier l continuité et l dérivbilité de l fonction f en 3) Quelle est l éqution de l tngente T à l courbe de f u point d bscisse? 4) Etudier l position de l courbe de f pr rpport à T Exercice 38 Soit f(x) = e cos x +x, déterminer l droite tngente en pour f et préciser s position pr rpport à l tngente u voisinge de x = Exercice 39 Déterminer les limites éventuelles: ( > est une constnte) tn x x (tn x) + cos x e cos x e ln( + sin x) ) lim x x 3, ) lim x x 4, 3) lim x x, 4) lim ; x sin x rcsin x rctn x 5) lim ; 6) lim(x + x 3) tn πx x + x 3 x ( ) t ln t tn x x t, 9) lim x x x ; ) lim x x x x x ; ) lim x x 8) lim t Exercice 3 cos x cos(5x) ; 7) lim x π/ sin x sin(5x) ; ( + x ) sin x (cos x) x x Trouver le développement générlisé des fonctions suivntes en à l ordre 3: ( ) ) (x 3 + ) x + x 3 x + ; ) ; 3) x 3x + x x + x + ; 4) rgch x ( x ) Clculer lim 3 x sin(x ) x et lim x Exercice 3 Soit f(x) = x rctn ( x+ ) x ln(e x ) x + ) Donner le domine de définition de f, puis s limite en + et en ) Clculer l dérivée de f 3) Déterminer l éqution de l symptote à l courbe de f en et en, préciser leur position pr rpport à l courbe 4 Integrle de Riemnn et Primitive Exercice 4 Clculer les intégrles suivntes: ln xdx, 3t tdt, Exercice 4 4 tdt 9 + t, dx (n N), (3x + ) n cos (x)dx, Considérons l fonction f(x) = ln(e x + e x ) π cos 3 (x) sin(x)dx, (tn t) n dt (n =,, 3), rctn t + t dt, ( x ) sin(x) + cos dx 3
7 ) Vérifier que c est une fonction de clsse C sur R Montrer que c est une fonction pire ) Montrer que c est une fonction croissnte sur [, [ et que lim x f(x) = 3) Montrer qu il existe une symptote à l courbe y = f(x) qund x et préciser l position de l courbe pr rpport à l symptote 4) Trcer l courbe représenttive de l fonction f Exercice 43 Soient f(x) = x / et g(x) = ( + x ) définie sur R + Trcer les courbes de f et de g, en quel point sont-elles sécntes? Clculer l ire du domine délimité pr les deux courbes précédentes et l droite x = Exercice 44 Soient f et g deux fonctions intégrbles sur [, b] Montrer que P (λ) = b [λf(x) + g(x)] dx est un polynôme de λ sur R et P (λ) En déduire l inéglité de Cuchy-Schwrz: Exercice 45 b ( b f(x)g(x)dx ) ( b ) f (x)dx g (x)dx En utilisnt l inéglité de Cuchy-Schwrz, montrer que si f est une fonction C de [, b] à vleurs dns R telle que f() =, lors Exercice 46 b f (x)dx (b ) b f (x)dx Clculer les limites des sommes suivntes qund n tend vers : n k= n + k, n k=n n n + k, k n ) ( + k n n Exercice 47 Déterminer les intégrles suivntes, u moyen des intégrtions pr prtie rctn xdx, (x + x)e x dx, e x cos xdx, rgsh tdt Exercice 48 En utilisnt le chngement de vrible u = e x, clculer Exercice 49 Soient I = π I = ln e x dx cos tdt et I = π sin tdt
8 Montrer à l ide des chngements de vrible que I = I = π En déduire (sns clculer l primitive) l vleur de I Exercice 4 sin tdt Clculer les primitives des fonctions suivntes (préciser l ensemble de définition) Exercice 4 x 3 x 3 x, x x +, x 4 (x )(x + x ), x 4x + Trouver les primitives des fonctions suivntes à l ide d un chngement de vrible convenble x + x 3, e x + e x, x x +, x x +, (rcsin x) Exercice 4 Soient n N, I n = π (cos x) n dx et J n = π (sin x) n dx ) En posnt t = π x, montrer que I n = J n pour tout n N Clculer I n pour n =,, b) Montrer que si n, ni n = (n )I n Montrer que l suite I n est décroissnte, en déduire que lim n I n+ /I n = c) Montrer que pour n, I n = 3 5 (n ) π 4 6 (n) = (n)! π n (n!) et I n+ = n (n!) (n + )! d) Déduire de ) et c) que Exercice 43 n (n!) π lim = n (n)! n + Clculer les intégrles suivntes: [ cos x cos(x) + sin(3x) sin(4x) ] dx, dx x 4, (chx) shxdx, (sin x) 3 (cos x) dx Exercice 44 Soit f une fonction de clsse C sur [, b], montrer pr l intégrtion pr prtie, que Exercice 45 b f(x)dx = b [f() + f(b)] + b f (x)(b x)( x)dx Clculer les primitives suivntes: (ne vous précipitez ps, réfléchir à trouver l meilleure idée) x 3 dx x 4 + 3x +, x 4 + x(x ) 3 dx, + x x 4 ( + x + x ) dx
9 5 Révision et Divers Exercice 5 Clculer les intégrles suivntes: I = 3 π x + x dx et J = 5x + 4 Pour J, on peut essyer le chngement de vrible s = tn(x/) Exercice 5 Soit f : R R l fonction définie pr f(x) = rctn ( ) 3 + x 3 x cos x + cos x dx ) Déterminer le domine de définition de l fonction f ) Déterminer les limites de l fonction f à droite et à guche en 3, puis les limites de f en + et en 3) Clculer l dérivée f 4) Dresser le tbleu de vrition de f 5) Dessiner proprement l courbe de l fonction f Exercice 53 Clculer l limite de en,, + et Exercice 54 3x 3 + x + x 3x 3 sin x Clculer, en utilisnt des développements limités, les limites suivntes: lim x cosh(x ) x 3, lim sin x x x 3 x 3, lim x e x cos x ( x ) 9 Exercice 55 Clculer les primitives suivntes: x 3 rctn xdx, 3x + x(x 4) dx, x + x x + dx Pour l dernière intégrle, on peut poser u = x + Exercice 56 Montrer à l ide du Théorème des croissements finis que k + < ln(k + ) ln k < k, k Soit u n = n k= k
10 Montrer que u n ln(n + ) pour tout n N et en déduire que l suite (u n ) diverge Montrer que l suite v n = est bornée Exercice 57 un ln(n+) Soit f(x) = e x3 sur R Clculer f (x), f (x) et f (x) ) En utilisnt f (x) = 3x f(x), montrer que pour n 3, ) En déduire que f (n) (x) = 3x f (n ) (x) + 6(n )xf (n ) (x) + 3(n )(n )f (n 3) (x) 3) Peut on déterminer fcilement f (9) ()? Exercice 58 f (n) () = 3(n )(n )f (n 3) (), n 3 Déterminer le domine de définition et clculer l dérivée des fonctions suivntes: Exercice 59 f (x) = rcsin(x ) et f (x) = rctn x x Ecrire sns ucun clcul tous les polynômes de degrè vérifint P (3) = 3, P (3) = et P (3) = Combien y en t-il? Exercice 5 Déterminer le domine de définition et trcer les deux fonctions suivntes: h (x) = sin(rcsin x) et h (x) = rcsin(sin x) Exercice 5 x + Soit h(x) = Sur quel domine est définie cette fonction? Déterminer l droite tngente ( x) en et l position de courbe pr rpport à l tngente u voisinge de Exercice 5 Déterminer le domine de définition et simplifier l fonction H(x) = rctn(e x ) rctn ( th ( x )) Exercice 53 Clculer lim x π sin x x(x π) et lim t 4 t + 3 t Exercice 54 Déterminer lim x ( sin x + sin x ) Exercice 55 Trouver des constntes, b et c telles que [ ] G(x) = x 3x rctn 3(x = x + b + c + x + ) x + c x ε(x) vec lim x ε(x) = En déduire l symptote de G(x) en insi que l position de l courbe de G pr rpport à cette symptote u voisinge de
11 Université de Metz (UFR MIM) Année universitire 8-9 Déprtement de Mthémtiques L - Mthémtiques Contrôle Continu - le 6 mrs 9 Durée: h, ucun document ni clcultrice utorisé Exercice I: Déterminer les limites éventuelles suivntes e x cos(x) 3x sin x x ln x ) lim x x 4, ) lim x x Exercice II: Clculer le développement limité à l ordre de l fonction f(x) = x en x = En déduire l éqution de l tngente à l courbe y = f(x) en x = Préciser l position de l tngente pr rpport à l courbe u voisinge de x = Exercice III: Fixer < < b Considérons l fonction f définie pr f(t) = ln(t + ( t)b) t ln ( t) ln b ) Donner D f, le domine de définition pour f Expliquer rpidement pourquoi f est infiniment dérivble sur D f ) Que vut f() et f()? Clculer l fonction dérivée f 3) Enoncer soigneusement le Théorème des ccroissements finis, puis montrer que b b 4) En déduire que f () > et que f () < < ln b ln < b 5) Clculer l dérivée seconde f En déduire qu il existe un unique point t ], [ tel que f (t ) = 6) Etblir le tbleu de vrition de f sur [, ] à l ide de t, et montrer que Exercice IV : Soit < t <, ln(t + ( t)b) > t ln + ( t) ln b ( ) x h(x) = rctn x ) Montrer que l fonction h est définie sur I = [, ] \ {} ) L fonction h est elle pire ou impire? Déterminer le domine sur lequel h est dérivble Justifier vos réponses 3) Montrer que h (x) = x pour tout x ], [ ], [ 4) Simplifier l expression de h sur ], ] puis sur [, [ 5) Trcer l fonction h 6) Peut on prolonger pr continuité l fonction h u point x =? (Fin)
12 Université de Metz (UFR MIM) Année universitire 8-9 Déprtement de Mthémtiques L - Mthémtiques Exmen Finl - le 9 mi 9 Durée: h, ucun document ni clcultrice utorisé Exercice I: Clculer lim n n k= sin ( ) 4k n n Exercice II: Déterminer e x x x x lim x (sin x) et lim x (x ) Exercice III: Clculer les primitives suivntes e x e x + dx et x 3 + (x ) (x + ) dx Exercice IV : Déterminer π x sin xdx et x x + dx Pour l deuxième intégrle, on peut essyer de fire un chngement de vrible Exercice V : Soit th l fonction tngente hyperbolique, c est à dire thx = shx chx où chx = ex + e x, shx = ex e x ) Que vut l dérivée de l fonction th? ) En déduire que th est strictement croissnte sur R et montrer que son imge th(r) = ], [ 3) Notons rgth l fonction réciproque de l fonction th Vérifier que (rgth) (x) = x 4) Soit Montrer que pour tout réel x, on f(x) = rgth ( ) 3thx thx < 3thx thx <, et déterminer insi le domine de définition de f 5) Clculer f (x) 6) Simplifier l expression de l fonction f (Fin)
13 S MI 9- Mrdi 9 mrs Université Pul Verline de Metz Prtiel en Anlyse d une vrible réelle II Durée: h - Aucun document ni clcultrice utorisé Exercice I: Soient h(x) = x ln x et f(x) = x x ) Déterminer les domines de définition D h et D f pour h et f Expliquer rpidement pourquoi h et f sont dérivbles respectivement sur leur domines de définition ) Clculer h (x) et déterminer son signe Etblir le tbleu de vrition de h 3) En déduire que h(x) sur ], [ 4) Clculer f (x) Montrer que f sur D f (Indiction: On peut essyer de trouver un lien entre f et h) 5) Montrer que f peut se prolonger pr continuité u point x = Déterminer l limite de f en 6) Trcer les deux fonctions f et h Exercice II: Soit B(x) = rctn ( ) cos x sin x ) Montrer que B est définie sur J = R\{kπ, k Z} Montrer que B est une fonction impire ) Clculer B (x) sur J 3) Que vut B ( π )? En déduire une expression simple de l fonction B sur ], π[ 4) Trcer l fonction B pour x J ] 3π, 3π[ 5) Peut on prolonger l fonction B pr continuité en x =? Même question pour x = π Exercice III: En utilisnt le Théorème des ccroissements finis, montrer que [ ] e x e (x+) = lim x x3 Exercice IV: ) Soient g une fonction de clsse C et S(x) = xg(x) Montrer que pour tout n N, S (n+) (x) = (n + )g (n) (x) + xg (n+) (x) ( ) Soit H n (x) = x n e x pour tout n N On voudrit montrer l formule suivnte: n N, ) Vérifier ( ) pour n = puis pour n = H n (n+) (x) = ( )n+ x n+ e x sur R ( ) 3) Démontrer pr récurrence l formule ( ) pour tout n N (Indiction: On peut essyer d utiliser l formule ( )) (Fin)
14 S MI 9- Mrdi 8 mi Université Pul Verline de Metz Exmen Finl en Anlyse d une vrible réelle II Durée: h - Aucun document ni clcultrice utorisé Les brêmes sont à titre indictif Exercice I (7 points): x + Clculer x(x dx En déduire l vleur de ) Clculer les primitives suivntes: x + x + dx et 3 x + x(x ) dx + sh(x) dx Indiction: on peut utiliser le chngement de vrible u = e x pour l deuxième intégrle Exercice II (3 points): Clculer le développement limité à l ordre de l fonction h(x) = ( x) + ln x u point x = ( x) + ln x En déduire l limite de f(x) = (x ) qund x tend vers Exercice III (5 points): Rppeler le théorème des ccroissements finis Considérons l fonction f : R R définie pr: f(x) = e x, x R Soit h R Montrer qu i existe c h ], h[ ou c ]h, [ tel que: f(h) f() = hf (c h ) Notons pr τ(h) le réel tel que c h = hτ(h) Montret que h R, τ(h) = h ln ( e h h 3 Montrer que l limite de τ(h) qund h tend vers est égle à Exercice IV (5 points): Soit x R Rppeler l formule de Tylor-Lgrnge (ie l formule de Tylor vec reste de Lgrnge) à l ordre n N de l fonction cosinus entre et x, c est à dire, sur l intervlle [, x] ou [x, ] En déduire que pour tout x R, il existe c et c dns ], x[ ou dns ]x, [ tels que: 3 En déduire que ) cos x = x cos(c ) et cos x = x + x4 4 cos(c ) x R, x cos x x + x4 4 (Fin)
15 S MI 9- Mrdi juin Université Pul Verline de Metz Exmen de Rttrpge en Anlyse d une vrible réelle II Durée: h - Aucun document ni clcultrice utorisé Les brèmes sont à titre indictif Exercice I (6 points): Soit f l fonction définie pr f(x) = ln(e x + e x ) Montrer que f est définie sur R et que f est une fonction pire Clculer les fonctions f et f 3 Montrer que f est croissnte sur [, + [ 4 Clculer lim x f (x), puis l limite de f(x) x Exercice II (7 points): Clculer sin(x) sin(x)dx En déduire Clculer 3 Clculer x ln(x + 3)dx En déduire x 4 (x + )(x ) dx π 4 6 qund x tend vers sin(x) sin(x)dx x ln(x + 3)dx Exercice III (3 points): Clculer l limite de qund x tend vers H(x) = + x e x + x x Exercice IV (4 points) : Soit g une fonction deux fois dérivble sur I, un intervlle ouvert de R Soit I, écrire vec précision l formule de Tylor-Young à l ordre u point En utilisnt le les développements à l ordre de g(+h), puis de g(+h) u point, clculer l limite de g( + h) g( + h) + g() h qund h tend vers Exercice V (4 points): Citer vec précision le Théorème sur l somme de Riemnn Clculer l limite de u n qund n où u n = n k= (n + k) 3 n 4, n (Fin) Vous vez l possibilité de choisir l un des deux derniers exercices, c est à dire Exercice IV ou bien Exercice V Si vous essyez de fire les deux, on ne prendr en compte que l meilleure note de ces deux exercices
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