Chap 5. Dérivation. Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a.

Transcription

1 Chap 5 Dérivation Pré requis : généralités sur les fonctions ; fonctions usuelles ; limite réelle d'une fonction en a. Objectifs : faire le lien entre nombre dérivé et tangente à la courbe en un point (position limite d'une sécante) ; calculer la dérivée d'une fonction usuelle ; étude d'une fonction à partir de sa dérivée (variations et extremums). Algorithmique : Logique : travailler sur les quantificateurs. Pan du cours : I. Nombre dérivé et tangente ) Nombre dérivé 2) Interprétation graphique : tangente à la courbe en un point 3) Approximation affine II. Fonction dérivée ) Définitions 2) Dérivées de fonctions de référence 3) Dérivées et opérations 4) Dérivée de f : x v ax b III.Application de la dérivation ) Dérivée et variations d'une fonction 2) Dérivée et extrema d'une fonction

2 I. Nombre dérivé et tangente ) Nombre dérivé Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a un réel appartenant à I. f x f a Lorsque le rapport admet une x a limite réelle quand x tend vers a (en restant dans I), on dit que la fonction f est dérivable en a et la limite réelle obtenue, notée f '(a), est appelé nombre dérivé de f en a. On écrit alors : lim x a f x f a = f ' a x a Le coefficient directeur de la sécante (AM) à C f Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f x =x² Montrons que f est dérivable en : Soit x R {}, f x f = x² x x = =x x Alors lim x x f x f x x =lim x =2 x est égal à f x f a x a La fonction f est donc dérivable en et f ' =2 Montrons que f est dérivable en 0 : Soit x R {0}, f x f 0 = x² x 0 x = x Alors lim x 0 f x f =lim x=0 x x 0 La fonction f est donc dérivable en 0 et f ' 0 =0 Soit g la fonction définie sur R * par g x = x Montrons que g est dérivable en : Soit x R {0;}, g x g x = x x = Alors lim x g x g x x x x = x =lim x x = La fonction g est donc dérivable en et g ' =

3 Remarque : autre définition possible Dans l'activité, on a vu que la dérivabilité d'une fonction f en a est liée à l'existence d'une droite limite des sécantes (AM) avec A et M des points de C f respectivement d'abscisses a et x où x a. f x f a f x h f a En notant x=a h avec h 0 le rapport devient. x a h On obtient alors la définition suivante : f a h f a Lorsque le rapport admet une h limite réelle quand h tend vers 0 ( a + h restant dans I ), on dit que la fonction f est dérivable en a et la limite réelle obtenue, notée f '(a), est appelé nombre dérivé de f en a. On écrit alors : lim h 0 f a h f a = f ' a h Remarque : le rapport f a h f a h est appelé taux d'accroissement de f entre a et a + h. Exemple : dérivabilité de f en dans l'exemple précédent. Soit h un réel non nul, f h f h ² h² 2h = = =h 2 h h h f h f Alors lim =lim h 2 =2 h 0 h h 0 On retrouve donc que f est dérivable en et f ' =2 Remarque : il existe des fonctions qui ne sont pas dérivables en un réel a. La non-dérivabilité de f en a peut correspondre au cas où le taux d'accroissement n'admet pas de limite réelle (figure la fonction valeur absolue en 0). Elle peut aussi correspondre au cas où la position limite de la sécante (AM) est parallèle à l'axe des ordonnées (la fonction racine en 0). Figure : la fonction valeur absolue Figure 2 : la fonction racine Montrons que la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0. x 0 x x x 0 = Si x > 0, alors = et lim x 0 x x x 0 x 0 = Si x < 0, alors x x 0 = et lim x x 0 x 0 = Le taux d'accroissement n'admet donc pas la même limite à gauche et à droite de 0. Donc la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0.

4 2) Interprétation graphique : tangente à la courbe en un point Définition : soit f une fonction définie sur une intervalle I de R dérivable en a où a est un réel appartenant à I et C f sa représentation graphique dans un repère du plan. La droite passant par le point A a; f a de C f et de coefficient directeur f ' a est appelée la tangente à la courbe C f au point A. Remarque : la tangente à la courbe C f au point A correspond à la position limite des sécantes (AM) lorsque M se «rapproche» de A. Une tangente est une droite et admet une équation. Propriété : avec les notations précédentes, une équation de la tangente à la courbe C f a est : y= f ' a x a f a. au point A d'abscisse Démonstration : on note T a la tangente à la courbe C f au point A d'abscisse a. C'est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, elle admet donc une équation de la forme avec m= f ' a son coefficient directeur. Reste à déterminer p. On sait que A C f, alors f a =m a p i.e f a = f ' a a p i.e p= f a f ' a a y=m x p L'équation devient y= f ' a x f a f ' a a En factorisant par f ' a on obtient donc : y= f ' a x a f a Exemple : soit f la fonction définie sur R par f x =x² On a montré que la fonction f est dérivable en et que f ' =2 De plus f =. Pour x R, y= f ' x f y=2 x y=2 x L'équation réduite de la tangente à C f au point d'abscisse est donc y=2 x Remarque : lorsque la droite limite des sécantes (AM) existe mais est parallèle à l'axe des ordonnées (comme la fonction racine), la fonction n'est pas dérivable en a, mais par extension, on dit que la courbe C f admet une tangente verticale au point d'abscisse a. 3) Approximation affine Définition : Soit f une fonction définie sur une intervalle I de R dérivable en a où a est un réel appartenant à I. La fonction x f ' a x a f a est appelée l'approximation affine de f au voisinage de a. Autrement dit, pour les valeurs de x proche de a, on a f x f ' a x a f a Remarque : il existe d'autres droites passant par le point A, c'est-à-dire d'autres fonctions affines approximant la fonction f au voisinage de a, mais on admet que celle donnée par la tangente en A réalise la meilleure approximation locale de f au voisinage de a. C'est pourquoi on dit que cette fonction affine est l'approximation affine de f au voisinage de a.

5 Exemple d'application : intérêt graphique : donner l'allure d'une courbe localement (fonction racine au voisinage de 0) ; intérêt numérique : donner la valeur approchée d'une nombre. Soit f la fonction définie sur R par f x =x². D'après l'exemple précédent, l'équation réduite de la tangente à C f au point d'abscisse est y=2 x On peut alors obtenir une valeur approchée de nombres proches de. Comme 0,99 ² 2 0,99 0,98,0 ² 2,0,02 II. Fonction dérivée ) Définitions Définition : soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On dit que f est dérivable sur I lorsque f est dérivable en tout a de I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel de I associe son nombre dérivée est appelée fonction dérivée. On la note f ' définie sur I par f ' : x f ' x. Exemple : soit f la fonction définie sur R par f x =x² Soit a un réel quelconque, pour tout x a on a : f x f a = x² a² x a x a = =x a x a x a x a Lorsque x tend vers a, l'expression x a admet une valeur limite égale à 2 a. Alors pour tout réel a le taux d'accroissement de f entre x et a admet une limite réelle finie lorsque x tend vers a. Autrement dit pour tout réel la fonction f est dérivable sur R de dérivée f ' définie sur R par f ' x =2 x. 2) Dérivées de fonctions usuelles Théorème : on répertorie dans le tableau suivant les expressions des fonctions usuelles et de leur dérivée. D f f x f ' x D f ' R k 0 R R x R R m x p m R R x² 2 x R R x 3 3 x 2 R R x n, n N* n x n R [0 ; [ x R * R * x x n, n N* 2 x x² ]0 ; [ R * n x n R * R cos x sin x R R sin x cos x R Remarque : d'une façon générale on peut retenir que la dérivée de x x n, n Z* est x n x n en tenant compte de leur domaine de définition suivant que n soit strictement positif ou négatif.

6 3) Dérivées et opérations Théorème : soit u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I de R, et k un réel. Les fonctions u v; u v; k u; u² et u 3 sont dérivables sur I et on a : () u v ' =u' v' «la dérivée d'une somme et la somme des dérivées» Attention : on écrit une égalité de fonctions!! Autrement dit pour tout x I, u v ' x =u' x v ' x (2) u v ' =u' v uv ' (3) k u ' =k u' (4) u² '=2u' u ( u' u uu ' ) (5) u 3 ' =3u' u² Si de plus la fonction v ne s'annule pas sur I, alors les fonctions (6) ' v = v ' v² (7) u ' u' v uv ' v = v² v et u v sont dérivables sur I et on a : Exemples : dériver les fonctions suivantes. Soit f une fonction définie sur R par f x =x 2 x 3 Pour tout réel x, on a f x =u x v x avec u x = x 2 et v x = x 3 Les fonctions u et v sont dérivables sur R, alors f est dérivable sur R comme somme de fonctions dérivables sur R. Pour tout réel x, f ' x =u' x v ' x f ' x =2 x 3 x 2 Donc pour tout réel x, f ' x =2 x 3 x 2 Soit f une fonction définie sur R par f x =x 2 sin x Pour tout réel x, on a f x =u x v x avec u x = x 2 et v x =sin x Les fonctions u et v sont dérivables sur R, alors f est dérivable sur R comme produit de fonctions dérivables sur R. Pour tout réel x, f ' x =u' x v x u x v ' x Pour tout réel x, f ' x =2 xsin x x 2 cos x Pour tout réel x, f ' x = x 2sin x xcos x Donc pour tout réel x, f ' x =x 2sin x x cos x Soit f une fonction définie sur R par f x = x3 5 Pour tout réel x, on a f x =k u x avec k= et u x =x3 5 La fonctions u est dérivable sur R, alors f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f ' x =k u' x Pour tout réel x, f ' x = 3 x2 5 Pour tout réel x, f ' x = 3 5 x2 Donc pour tout réel x, f ' x = 3 5 x2

7 Soit f une fonction définie sur R par f x = 5 x 2 3 Pour tout réel x, on a f x = u x 3 avec u x = 5 x 2 La fonctions u est dérivable sur R, alors f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f ' x =3u ' x u x 2 Pour tout réel x, f ' x =3 5 5 x 2 2 Pour tout réel x, f ' x = 5 5 x 2 2 Donc pour tout réel x, f ' x = 5 5 x 2 2 Soit f une fonction définie sur R { 3 2} par f x = 2 x 3 Pour tout x R { 3 2}, on a f x = avec v x =2 x 3 v x La fonctions v est dérivable sur R { 3 2} mais ne s'annule pas sur R { 3 2}, alors f est dérivable sur R { 3 2}. Pour tout x R { 3 v' x, f ' x = 2} v x 2 Pour tout x R { 3 2, f ' x = 2} 2 x 3 2 Donc pour tout x R { }, f ' x = 2 x 3 2 Soit f une fonction définie sur R {2} par f x = 3 x x 2 Pour tout x R {2}, f x = u x avec u x =3 x et v x = x 2 v x Les fonctions u et v sont dérivables sur R {2} et v ne s'annule pas sur R {2}, alors f est dérivable sur R {2}. Pour tout Pour tout Pour tout u ' x v x u x v ' x x R {2}, f ' x = v x 2 3 x 2 3 x x R {2}, f ' x = x 2 2 x R {2}, f ' x = 3 x 6 3x x 2 2 Pour tout x R {2}, f ' x = 7 x 2 2 Donc pour tout x R {2}, f ' x = 7 x 2 2 Propriété : les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur leur ensemble de définition.

8 4) Dérivée de f : x v ax b Théorème : soit a et b des réels et f une fonction dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f : x v ax b est dérivable sur D f ' avec D f ' ={x R tel que a x b I } et on a : pour tout x D f ', f ' x =a v ' a x b Exemples : Soit f une fonction définie sur R par f x = 3 x 4 5 f est une fonction polynôme, elle est donc dérivable sur R. Pour tout réel x, on a f x =v 3 x 4 avec v x = x 5 d'où v' x =5 x 4 Pour tout réel x, f ' x = 3v ' 3 x 4 Pour tout réel x, f ' x = x 4 4 Pour tout réel x, f ' x = 5 3 x 4 4 Donc pour tout réel x, f ' x = 5 3 x 4 4 Soit f une fonction définie par f x = 2 x Son ensemble de définition D f est défini par : D f ={x R tel que 2 x 0} i.e D f =[ 2 ; [ Pour tout x D f, on a f x =v 2 x avec v t = t Or v est dérivable sur ]0 ; [ D'où f est dérivable sur D f ' avec D f ' ={x R tel que 2 x 0 } i.e D f ' = { x R tel que x 2} i.e D f ' =] 2 ; [ Pour tout x D f ', f ' x =2v ' 2 x or t 0, v ' t = 2 t D'où pour tout x D f ', f ' x =2 2 2 x Pour tout x D f ', f ' x = 2 x Donc pour tout x ] 2 ; [, f ' x = 2 x

9 III.Application de la dérivation ) Dérivée et variations d'une fonction Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f est croissante sur I, alors f ' x 0 pour tout x I. Si f est décroissante sur I, alors f ' x 0 pour tout x I. Si f est constante sur I, alors f ' x =0 pour tout x I. Remarque : intuitivement on peut justifier graphiquement le théorème. En effet, dans le cas où f est croissante sur I, les tangentes en tout point de la courbe représentative de f sont des droites «montantes» ou horizontales, c'est-à-dire de coefficients directeurs positifs ou nuls. Or le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse x, avec x I, est le nombre dérivé f ' x. Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f ' x 0 pour tout x I, alors f est croissante sur I. Si f ' x 0 pour tout x I, alors f est décroissante sur I. Si f ' x =0 pour tout x I, alors f est constante sur I. Exemple : étudions les variations des fonctions suivantes. Soit f une fonction définie sur R par f x =x 3 3 x 2 f est dérivable sur R comme fonction polynôme. Pour tout réel x, f ' x =3 x 2 3 f ' x =3 x 2 f ' x =3 x x f ' x =0 x =0 ou x =0 f ' x =0 x= ou x= Tableau de variations de f : x f ' x Variations de f 4 La fonction f est croissante sur ] ; ] et sur [ ; [ et f est croissante sur [ ;]. Soit f une fonction définie par f x = 2 x x 3 f est définie sur R {3}. f est dérivable sur son ensemble de définition comme fonction rationnelle. 2 x 3 2 x Pour tout x R {3}, f ' x = x 3 2 f ' x = 0 2 x 6 2 x x 3 2

10 Pour tout x R {3}, f ' x = 7 x 3 2 Or pour tout x R {3}, x et 7 0 D'où pour tout x R {3}, f ' x 0 Tableau de variations de f : x 3 f ' x Variations de f Donc f est décroissante sur ] ;3[ et sur ]3 ; [. Remarque : comment différencier la stricte monotonie? Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction f est strictement croissante sur I si graphiquement sa courbe ne présente pas de «plateaux». Autrement dit si sa courbe n'admet pas plusieurs tangentes horizontales successives. Autrement dit si la dérivée de f ne s'annule pas sur un intervalle non réduit à un élément. Par contre, f peut être strictement croissante sur I et sa dérivée s'annuler en un réel de I Exemple : soit f la fonction définie sur R par f x =x 3 f est dérivable sur R comme fonction polynôme. Pour tout réel x, f ' x =3 x 2 f ' x =0 x=0 On dit que la dérivée de f ne s'annule que «ponctuellement» c'est-à-dire en certains réels isolés (ici un seul). On a donc, pour tout réel x, croissante sur R. f ' x 0 et f strictement Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. Si f ' est strictement positive sur I, sauf éventuellement nulle en des réels isolés, alors f est strictement croissante sur I. Si f ' est strictement négative sur I, sauf éventuellement nulle en des réels isolés, alors f est strictement décroissante sur I. Si f ' x =0 pour tout x I, alors f est constante sur I. Remarque : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. f ' x 0 pour tout x I implique f est strictement croissante sur I. f est strictement croissante sur I n'implique pas f ' x 0 pour tout x I. Remarque : graphiquement on représente les tangentes à une courbe par des segments fléchés aux extrémités ; on représente toujours les tangentes horizontales (c'est-à-dire celles aux points d'abscisse annulant la dérivée) et d'autres si l'énoncé le suggère.

11 2) Dérivée et extrema d'une fonction Théorème : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. Si f s'annule et change de signe en a, alors f admet un extremum (minimum ou maximum) local en a. On a deux situations possibles : x Cas : minimum local f ' x 0 + Variations de f a x Cas 2 : maximum local f ' x + 0 Variations de f a f a f a f a est un minimum local f a est un maximum local Exemple : à partir des tableaux de variations des fonctions de l'exemple précédent. Soit f la fonction définie sur R par f x =x 3 3 x 2 f admet un maximum local en égal à 4 et un minimum local en égal à 0. On représente ci-contre la fonction f dans un repère orthonormé du plan. Soit f une fonction définie sur R {3} par f x = 2 x x 3 La dérivée de f ne change pas de signe sur R {3}, donc f n'admet ni minimum, ni maximum. y=x 3 3 x 2 Propriété : soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. Si f admet un extremum local en a, alors f ' a =0. Remarque : attention la réciproque est fausse!! On n'a aucune information sur le signe de f '. Exemple : la dérivée de la fonction cube s'annule en 0 mais n'admet pas d'extremum local en 0. Remarque : pour repérer graphiquement les extrema locaux, il est nécessaire de repérer les tangentes horizontales mais ce n'est pas suffisant!!