Fonctions vectorielles : dérivation et intégration

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1 CHAPTRE 6 Foctios vectorielles : dérivtio et itégrtio 6.1 Dérivtio des foctios à vleurs vectorielles Les foctios étudiées ds cette sectio sot défiies sur u itervlle de R et à vleurs ds F espce vectoriel ormé de dimesio fiie sur R ou C Dérivée e u poit, foctios de clsse C 1 ci, o éted u cs des foctios vectorielles les otios de dérivbilité. Défiitio Dérivée d ue foctio f(x) f() Soit f F(, F), o dit que f est dérivble e ssi déf lim x x otée f () ou D f() ou df dx ()). existe (limite Remrque E ciémtique, l dérivée d u poit correspod u vecteur vitesse. Nottio : O oter les dérivées à guche et à droite : f g () et f d (). Défiitio Dérivée sur u itervlle O ote D(, F) l esemble des foctios dérivbles sur, f, Df, df l foctio dx dérivée et C 1 (, F) l esemble des foctios de clsse C 1 sur i.e. dérivble et à dérivée cotiue. Théorème 6.1. C 1 (, F) est u sous-espce vectoriel de F(, F) et D : f Df est ue pplictio liéire. Dém : C est immédit e utilist l liérité de l limite : l pplictio ulle est bie ds C 1 (, F) doc cet esemble est o vide. Soiet f et g deux foctios de clsse C 1 et (λ, µ) R 2, o pose h = λf + µg. Alors h(x) h() f(x) f() g(x) g() = λ + µ x x x dmet ue limite qud x pour tout. O e déduit trois choses : 343

2 344 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON h dérivble, D h = λ Df + µ Dg, D h est cotiue. D est doc ue pplictio liéire de C 1 (, R) ds C(, R) et C 1 (, R) est u sous-espce vectoriel de F(, R) Propositio Propriétés de l dérivtio Soiet f D(, F) et g D(, G) où F et G sot deux espces vectoriels de dimesio fiie. Si u L(F, G) lors u(f) D(, G) et D(u(f)) = u(df). Si B est ue pplictio biliéire de F G ds H où H est u espce vectoriel de dimesio fiie lors B(f, g) D(, H) et D(B(f, g)) = B(Df, g) + B(f, Dg). Dém : O reviet à l défiitio de l dérivée. Soit u L(F, G), comme o est e dimesio fiie, u est cotiue et, pr liérité, ( ) u(f(x)) u(f()) f(x) f() = u u(df()) x x pr pssge à l limite et cotiuité de u. O e déduit que u(f) est dérivble e pour tout doc u(f) D(, G) et que D(u(f)) = u(df). B(f(x), g(x)) B(f(), g()) Soit (x) = lors, e écrivt que f(x) = x (f(x) f()) + f() et pr liérité, ( ) ( ) f(x) f() g(x) g() (x) = B, g(x) + B f(),. x x ( ) g(x) g() B f(), dmet ue limite qud x cr e dimesio x fiie, toutes les pplictios biliéires sot cotiues et cette limite vut B(f(), Dg()). ( ) f(x) f() De même, B, g(x) ted vers B(Df(), g()). x B(f, g) est doc dérivble pour tout. B(f, g) D(, H) et D(B(f, g)) = B(Df, g) + B(f, Dg) Applictio : Si F est u espce préhilbertie de dimesio fiie lors l derière propriété ous permet de dériver le produit sclire D(f g) = (Df g) + (f Dg), le crré de l orme. Efi, lorsque e est u vecteur uitire lors e De. O peut ussi étedre ces propriétés u cs où F est plus de dimesio fiie grâce à l cotiuité du produit sclire.

3 6.1. DÉRVATON DES FONCTONS À VALEURS VECTORELLES 345 Propositio Si (e i ) i [[1,]] est ue bse de F, o écrit f = f i e i lors Si f est dérivble lors, pour toute bse (e i ), les f i sot dérivbles. S il existe ue bse (e i ) telle que les f i soiet dérivbles lors f est dérivble. ( ) et, o D f i e i = Df i e i. i=1 i=1 Dém : O utilise l propriété sur les foctios vectorielles (cf. théorème 5.28 pge 3) qui dit que si f = f i e i lors i=1 si f est cotiue lors, pour toute bse (e i ), les f i sot cotiues, s il existe ue bse (e i ) telle que les f i soiet cotiues lors f est cotiue, f(x) f() ppliqué à l existece de limite e remplçt f(x) pr x Remrque Si f est à vleurs complexes lors f est de clsse C 1 ssi f l est ssi Re(f) et m(f) le sot et o D( f) = Df, Df = D(Re(f)) + i D(m(f)). i=1 Théorème 6.2. Soiet f et g deux pplictios de clsse C 1 sur [, b], f à vleurs ds F e.v.., g à vleurs ds R. O suppose que t [, b], f (t) g (t) lors Dém : O motre d bord que f(b) f() g(b) g(). ε >, t [, b], f(t) f() ε(t ) + g(t) g() (1) Soit ε l esemble des t [, b] tels que (1) soit vérifié pour u t. ε : ε est immédit. ε est u itervlle : si t 1 < t 2 sot deux élémets de ε lors t 1 vérifie (1) et, si u [t 1, t 2 ], (1) est ussi vérifié doc [t 1, t 2 ] ε. Motros que ε est fermé : soit (t ) N ε ue suite coverget vers t [, b], o N, f(t ) f() ε(t ) + g(t ) g() doc, à l limite, comme f et g sot cotiues, f(t) f() ε(t ) + g(t) g() Puis, si u < t lors il existe N tel que u t doc (1) est vérifié ussi pour u et e coséquece, t ε. Motros que so plus grd élémet est b pr l bsurde : si c = sup ε < b lors o peut trouver t > c tel que

4 346 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON (i) f(u) f(c) f (c)(u c) ε(u c)/2 pour c u t. E effet f est dérivble e c doc f(u) f(c) f (c)(u c) + o(u c) soit f(u) f(c) f (c)(u c) = (u c)θ(u) où θ(u) qud u c. O e déduit que f(u) f(c) f(u) f(c) f (c)(u c) + f (c) (u c) }{{} ε(u c)/2 ε u c + f (c) (u c). 2 (ii) g(u) g(c) g (c)(u c) ε(u c)/2 pour c u t (même chose vec l dérivbilité de g). Là ussi, o peut e déduire que (g est croisste doc g(u) g(c) ) g (c)(u c) = g (c)(u c) [g(u) g(c)] + g(u) g(c) g (c)(u c) [g(u) g(c)] +g(u) g(c) }{{} ε(u c)/2 g(u) g(c) + ε u c 2. d où, comme f(c) f() ε(c ) + g(c) g() (c ε ), f(u) f() f(u) f(c) + f(c) f() ε u c + f (c) (u c) + ε(c ) + g(c) g() 2 ε u c + g (c)(u c) + ε(c ) + g(c) g() 2 ε u c + g(u) g(c) + ε u c + ε(c ) + g(c) g() 2 2 g(u) g() + ε(u c) + ε(c ) = g(u) g() + ε(u ) doc t ε et t > c, o rrive à ue cotrdictio. Là, je pese que les rédcteurs du progrmme ctuel ot ps voulu imposer ue telle démostrtio, ussi, je coseille vivemet de voir l iéglité de l questio pge 416 : ds ce cs, l démostrtio se simplifie terriblemet : b b f(b) f() = f(t) dt f (t) dt b g (t) dt = g(b) g() Théorème 6.3. églité des ccroissemets fiis Si f est de clsse C 1 sur [, b] lors o f(b) f() (b ) sup f (t) t [,b] Dém : u f (u) est cotiue sur [, b] doc borée et o pplique le théorème précédet à f et g défiie pr g(t) = (t ) sup u [,b] f (u)

5 6.1. DÉRVATON DES FONCTONS À VALEURS VECTORELLES 347 Propositio Crctéristio des foctios costtes Si f C(, F) C 1 (, F) lors f est costte ssi f = sur. Dém : L implictio directe e pose ps de problème. Pour l réciproque, o utilise l iéglité des ccroissemets fiis : soit lors, pour tout b, b > o sup f (t) = d où f(b) = f(). Si t [,b] b < c est l même chose doc f(b) = f() pour tout b i.e. f est costte Questios : (i) Soiet A(t) et B(t) deux foctios mtricielles d ordre, dérivbles, clculer [A(t)B(t)]. (ii) De même, clculer [A p (t)] Foctios de clsse C k Défiitio Foctios de clsse C k O dit que f F(, F) est de clsse C k sur ssi déf f est k fois dérivble et f (k) est cotiue. L esemble des foctios de clsse C k est oté C k (, F) et o défiit C (, F) = + k= C k (, F). O ote ussi D k f ou dk f dx k l dérivée kième de f. Propositio Si k +, C k (, F) est u sous-espce vectoriel de F(, F) et si F = R ou C, o même ue sous-lgèbre. Dém : C est l même démostrtio que pour le théorème 6.1 pge 343. Le cs où F = R ou C utilise les propriétés de l dérivtio du produit O peut géérliser l formule de Leibiz de l mière suivte. Théorème 6.4. Formule de Leibiz Si f C k (, F) et g C k (, G) et B ue pplictio biliéire de F G ds H (où F, G, H sot trois espces vectoriels de dimesio fiie) lors D k [B(f, g)] = k p= ( ) k B(D p f, D k p g). p Dém : Pr récurrece sur k vec l ide de l formule du trigle de Pscl : k = 1 : cf. propositio : D(B(f, g)) = B(Df, g) + B(f, Dg).

6 348 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON O suppose l propriété vrie à l ordre k. [ k ( ) ] k D k+1 [B(f, g)] = D[D k (B(f, g))] = D B(D p f, D k p g) p p= k ( ) k = D[B(D p f, D k p g)] p = p= k p= ( ) k B(D p+1 f, D k p g) + p k p= et e déclt l idice de l première somme : p p 1 ( ) k B(D p f, D k+1 p g) p [ k ( ) ( ) ] k k = B(D k+1 f, g) + + B(D p f, D k+1 p g) + B(f, D k+1 g) p 1 p p=1 }{{} =( k+1 p ) k+1 ( ) k + 1 = B(D p f, D k+1 p g) p p= ce qui chève l récurrece Théorème 6.5. Dérivtio des pplictios composées Si f C k (, F) et ϕ C k (J, R) où ϕ(j) lors f ϕ C k (J, F). Dém : O fit ue récurrece fiie sur p k (e suppost k 1) : Si p = 1, c est le théorème de dérivtio composé. O suppose doc l propriété vrie pour p < k. (f ϕ) = f ϕ.ϕ, or f ϕ est de clsse C p d près l hypothèse de récurrece doc (f ϕ) est de clsse C p. Filemet f ϕ est de clsse C p+1 Défiitio C k -difféomorphisme O dit que ϕ C(J, R) est u C k -difféomorphisme de J sur (k 1 et = ϕ(j)) ssi déf ϕ est bijective, ϕ et ϕ 1 sot de clsse C k. Théorème 6.6. Crctéristio des difféomorphismes Soit ϕ C k (J, R) (k 1), ϕ est u C k -difféomorphisme de J sur = ϕ(j) ssi, pour tout élémet t de J, ϕ (t). Dém : Comme ϕ est dérivble, o peut dériver l reltio t J, ϕ 1 (ϕ(t)) = t doc t J, ϕ (t)ϕ 1 (ϕ(t)) = 1 pr coséquet ϕ e s ule ps sur J.

7 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 349 Si ϕ e s ule ps lors ϕ grde u sige costt cr ϕ est cotiue sur l itervlle J. ϕ est strictemet mootoe doc ijective. ϕ est ue bijectio de J sur = ϕ(j). O ote ψ = ϕ 1, motros que ψ est dérivble : soit u = ϕ(t ), u = ϕ(t) lors ϕ(t) ϕ(t ) ϕ (t ) et ϕ(t) ϕ(t ) doc t t ce rpport e s ule jmis. O peut lors écrire t t t t = u u ϕ(t) ϕ(t ) = ψ(u) ψ(u ) 1 u u ϕ (t ) doc ψ est dérivble e u pour tout u. O doc ψ 1 (u) = et o procède pr récurrece fiie sur p ϕ k e (ψ(u)) utilist le théorème de dérivtio des pplictios composées ci-dessus Questio : Si A(t) et B(t) sot des foctios mtricielles d ordre, de clsse C k, clculer [A(t)B(t)] (k). 6.2 tégrtio sur u itervlle quelcoque Ds ce chpitre, toutes les foctios sot cotiues pr morceux sur u itervlle de R à vleurs réelles ou complexes Foctio itégrble à vleurs positives Défiitio Foctio sommble,itégrle d ue foctio sommble Soit f cotiue pr morceux, positive, o dit que f est sommble sur ssi déf il existe M R + tel que, pour tout segmet J coteu ds, f M. J O ote lors f = sup J f et J L1 () l esemble des foctios itégrbles sur. Remrque Si pr hsrd étit u segmet, o retrouve vec cette défiitio l itégrle que l o vue e première ée. Dém : Soit = [, b], o ote b f(t) dt l itégrle vue e première ée. Si J = [α, β] lors, comme f est positive, β f b f(t) dt doc, e α psst à l bore supérieure, f b f(t) dt. Comme est u segmet coteu ds (...) lors b f(t) dt f. E combit les deux iéglités, o obtiet f = b f(t) dt

8 35 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Théorème 6.7. Critère de sommbilité Soit J ue suite croisste de segmets dot l réuio est égle à et telle que pour tout de N, J f M, lors f est sommble sur. Si f est sommble lors pour toute suite croisste (J ), l suite J f est borée. Ds ces coditios f = sup N J f = lim + J f. Dém : Soit J = [, b] lors, comme = J, il existe N tq J. De même il existe b tel que b J b. O pose = mx(, b ) doc J J et f J J f sup N f est pr coséquet itégrble sur. J f = lim + J f. Réciproque : J est u segmet coteu ds doc J f sup J f. L J suite u = J f est ue suite croisste mjorée elle coverge et s limite vérifie lim + J f f et ceci pour toute suite croisste (J ). E combit les iéglités obteues o coclut f = lim + J f Propositio Si f est cotiue pr morceux sur [, b] lors f est itégrble sur [, b]. E outre f est itégrble sur ], b], [, b[ et ], b[ et o f = f = f = f = f. Dém : [,b] ],b] [,b[ Motros pr exemple que f L 1 ([, b[) vec églité des itégrles. Soit J [, b[ lors J f [,b] f doc f L1 ([, b[). Soit mitet (b ) ue suite strictemet croisste, de limite b lors f f = f (b b ) f [,b] [,b ] [b,b] doc lim f = f d où l églité f = f + [,b ] [,b] [,b[ [,b] O lors les propriétés suivtes : Propositio Pseudo-liérité (i) Si f et g sot sommbles sur lors f +g l est ussi et (f +g) = f + g. (ii) Si f est sommble et si λ R + lors λf est sommble et λf = λ f. ],b[ [,b[

9 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 351 Dém : O cosidère ici (J ) ue suite croisste de segmets de réuio. (i) Pr propriété des itégrles, o (f + g) = f + g J J J f + doc f + g est itégrble et, e psst à l limite ds l églité ci-dessus, o obtiet lim (f + g) = (f + g) = lim f + lim g = f + g. + + J + J (ii) C est l même démostrtio pour λf (vec λ ) Théorème 6.8. Théorème de compriso, croissce Si f et g sot deux foctios cotiues pr morceux, positives sur telles que f g, si g est sommble lors f est sommble et o f g. L pplictio qui à ue foctio sommble fit correspodre so itégrle est croisste. Dém : Pour tout segmet J o f g g doc f J J L1 () et f = sup f g J J O esuite ue crctéristio très itéresste de l sommbilité d ue foctio à l ide d ue limite : Théorème 6.9. Sommbilité et itégrbilité Soit f cotiue pr morceux sur = [, b[ (et, o le rppelle, à vleurs positives) où b R. O lors f sommble sur ssi et, ds ce cs, Dém : x x f = lim f(t) dt. x b Si f est sommble sur lors x f(t) dt dmet ue limite fiie qud x b x f(t) dt = [,x] f g f doc l foctio F : x f(t) dt est ue foctio croisste et mjorée, elle dmet ue x limite qud x b et o lim f(t) dt f. x b Supposos que F dmet ue limite fiie l qud x b. Soit (b ) ue suite strictemet croisste de limite b vec b =. O pose J = [, b ]. Comme F est croisste, F(b ) = f l. E pplictio du théorème 6.7, J x o e déduit que f est sommble et f = lim f lim f(t) dt. + J x b L églité est lors immédite

10 352 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Remrque (i) O obtiet bie sûr le même résultt vec =], b] et o peut étedre ce résultt u cs des itervlles ], b[. (ii) Si f est itégrble sur [, b[, o dit que [,b[ f(t) dt coverge. (iii) Si b = + et si f itégrble sur ue limite e + lors cette limite est ulle. Dém : Soit l = lim f(x) et supposos, pr l bsurde, que l (doc l > ). x + l existe x tel que x x f(x) l. O lors 2 x f(t) dt = x f(t) dt + x x f(t) dt x f(t) dt + (x x ) l 2 + doc f est ps itégrble Attetio, ici il y ps de réciproque, i.e. si lim f(x) = lors f est x + ps forcémet itégrble! Théorème 6.1. tégrbilité des foctios t t α Sur = [, + [ ( > ), f(t) = 1 est itégrble ssi α > 1. tα Sur =], ], f(t) = 1 est itégrble ssi α < 1. tα Dém : mmédit, o itégre les foctios : si α 1 x Si = [, + [ lors Si =], ] lors [ ] x 1 1 t dt = α 1 α t α+1 = 1 [ 1 1 α x 1 ]. α 1 α 1 1 de limite e + que si α > 1. xα 1 1 de limite e que si α < 1. xα 1 Et o remrque que ds tous les cs, f(t) = 1 t est ps itégrble U derier théorème très utile : Théorème Théorème des équivlets Soiet f et g deux foctios cotiues pr morceux positives sur = [, b[. Si, u voisige de b, o f g et g itégrble sur [, b[ lors f est itégrble. Dém : l existe A tel que, pour x A, f(x) 2g(x) doc f est itégrble pr théorème de compriso

11 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 353 Régle prtique d itégrbilité sur [, b[. A (i) Si f où v = t si b = ±, v = t b illeurs, o peut coclure. b vα Cf. théorème 6.1. (ii) Si f b g et o coît ue primitive de g. O peut svoir lors si g est itégrble ou o et o utilise le théorème précédet. (iii) Si f g et g itégrble ou f g et g o itégrble. O utilise le théorème de compriso. (iv) Pour motrer que l itégrle lim x + xα f(x) =. O ur lors f(x) = o coclure). Si l o veut motrer que + f(x) dx coverge, o cherche α > 1 tel que ( ) ( ) 1 1 (e fit, il suffit d voir f(x) = O pour x α x α + prouver (pr exemple) que lim xf(x) = +. x + f 1 x doc f est ps itégrble. (v) O peut dpter le (iv) u cs où b est fii. Questios : f(x) dx e coverge ps, lors o essie de (i) Étudier l covergece des itégrles suivtes cos x x 2 e 1/x x α dx dx + e + dx (l x) 4 dx x dx (x + 1 x ) l 1 x + P(x)e x dx, P R[X] e dx (x + 1) l x (ii) Trouver u exemple de foctio f o itégrble sur [, + [ de limite ulle e +. (iii) Motrer que si f est décroisste et si f est itégrble sur [, + [ lors xf(x) =. Trouver u exemple de foctio f décroisste o itégrble lim x + sur [, + [ et telle que lim x + xf(x) = Foctios itégrbles à vleurs complexes Défiitio Foctios à vleurs complexes sommbles Soit f cotiue pr morceux sur à vleurs ds C, o dit que f est sommble sur ssi déf f est sommble. O ote L 1 () l esemble des foctios sommbles sur à vleurs réelles ou complexes (ou L 1 (, R), L 1 (, C) si écessire).

12 354 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Remrque Si f est à vleurs positives, l défiitio ci-dessus s pplique ss problème. Théorème Théorème de domitio Si f et g sot cotiues pr morceux, si f g et si g est sommble lors f est sommble. Dém : mmédit pr le théorème de compriso (théorème 6.8 pge 351) Propositio Espce vectoriel des foctios sommbles L esemble L 1 () des foctios cotiues pr morceux sommbles sur est u sous-espce vectoriel de CM(). Dém : L 1 () doc L 1 () est ps vide. Soiet f et g ds L 1 () et (λ, µ) K 2, o λf + µg λ. f + µ. g. E utilist l pseudo-liérité (cf. propositio pge 35) o sit que λ. f + µ. g L 1 () doc, grâce u théorème précédet, λf +µg L 1 () Théorème Foctios sommbles de sige quelcoque Si f est cotiue pr morceux à vleurs réelles lors f est sommble ssi f + et f le sot. Ds ce cs, o pose f = f+ f. Dém : O utilise l églité f = f + + f et les mjortios f + f, f f : Si f est sommble lors f + f doc, pr le théorème de compriso, f + est sommble, il e est de même pour f. Si f + et f sot sommbles lors, pr pseudo-liérité, f = f + + f est sommble, il e est de même pour f Théorème Foctios sommbles complexes Si f est cotiue pr morceux à vleurs complexes lors f est sommble ssi Re f et m f le sot. Ds ce cs, o pose f = Re f + i m f. Dém : O utilise les iéglités Ref f, m f f et f Ref + mf si f est complexe pour voir les équivleces : Si f est sommble lors Re(f) f doc, pr le théorème de compriso, Re(f) est sommble, il e est de même pour m(f). Si Re(f) et m(f) sot sommbles lors, toujours pr pseudo-liérité, f Re(f) + m(f) est sommble, il e est de même pour f O retrouve les propriétés que l o vues ds le cs des foctios positives. Théorème Critère de sommbilité Soit J ue suite croisste de segmets dot l réuio est égle à et telle que pour tout de N, J f M, lors f est sommble sur (réciproque immédite). Ds ces coditios lim + J f existe et est idépedte de (J ) et f = lim f. + J

13 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 355 Dém : O sit que f est itégrble (cf. théorème 6.7 pge 35). Toujours vec ce même théorème, si f, f = lim + J f et cette limite est idépedte de l suite (J ). Si f est de sige quelcoque lors o écrit f = f + f. O sit que f + et f sot itégrbles (vt derier théorème) et positives doc f = f + f f + f J J J et cette limite est idépedte de (J ). O procède de même vec f = Re(f) + i m(f) Propositio Si f est cotiue pr morceux sur [, b] lors f est itégrble sur [, b]. E outre f est itégrble sur ], b], [, b[ et ], b[ et o f = f = f = f = f. [,b] ],b] [,b[ ],b[ [,b[ Dém : O utilise l propositio et o l pplique ux foctios f +, f si f est à vleurs réelles, puis à Re(f) et m(f) si f est complexe Propositio Si f est sommble sur = [, b[ lors, ds tous les cs, o f = lim f(t) dt. mis o ps de réciproque. [,b[ x b x Dém : O utilise le théorème 6.9 pge 351 e écrivt directemet f = Re(f) + Re(f) + i[m(f) + m(f) ]. Pour s ssurer que l o ps de réciproque, voir l questio (i) à l fi de cette sectio Grâce à l derière remrque, o peut prouver les résultts suivts : Propositio Liérité L pplictio qui à f L 1 () fit correspodre O doc (λf + µg) = λ f + µ f est ue pplictio C-liéire. Dém : Soit (J ) ue suite croisste de segmets de réuio lors (λf + µg) = λ f + µ g J J J e utilist les propriétés des itégrles sur u segmet. l suffit lors de psser à l limite qud + g.

14 356 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON U théorème qui géérlise le théorème 5.53 pge 332 : Théorème Mjortio du module d ue itégrle Si f L 1 () lors f f. Dém : Là ecore soit (J ) ue suite croisste de segmets de réuio lors J f J f et o psse à l limite Propositio Si est uitervlle coteu ds et si f est sommble sur lors f est sommble sur et f = 1 f où 1 est l foctio crctéristique de. Dém : Si J est u segmet coteu ds lors J est ussi u segmet coteu ds. O lors J f f doc f est itégrble sur. Si = (c, d) (o met des prethèses pour remplcer les délimiteurs [ et ]) et si c lors (c,d) f = [c,d) f (cf. propositio 6.2.4) et o remplce pr [c, d). O procède de même vec d. O se rmèe isi à l u des cs suivts : est u segmet (c et d sot ds ), =]c, d] ou = [c, d[ et c ou d est ue bore de, =. Grâce à cette remrque, si J est u segmet de lors J est u segmet de : o repred les trois cs ci-dessus : si est u segmet lors J est ussi u segmet (que l o suppose o vide), si =]c, d], J = [α, β] lors α > c et J = [α, mi(d, β)], idem vec = [c, d[, et si = lors il y rie à jouter. Soit (J ) ue suite croisste de segmet de réuio lors, e post J = J (J pour ssez grd cr si x, o sit qu il existe x tel que x J x ). (J ) est ue suite croisste de segmets de réuio et o f = 1 J f = 1 f J = 1 f J J J cr 1 J = 1 1 J et o pred l limite qud + O peut déduire de l propriété précédete que l o dditivité pr rpport à l itervlle d itégrtio.

15 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 357 Théorème Théorème de prtitio Si = vec = {c} et si f L 1 () lors f L 1 ( ), f L 1 ( ) et f = f + f. Dém : Si f est sommble sur, lors vu l propositio précédete, f est sommble sur et sur. Sur, o = {c}. O multiplie pr f et o itègre : f = (1 + 1 {c} )f cr le fit de chger l vleur e c e chge ps l itégrle = 1 f + 1 f = f + f Défiitio tégrle lgébrique géérlisée { Soit (, b) R 2, f L 1 (], b[), o pose b f(t) dt = ],b[ f ]b,[ f si < b si b < Propositio Chsles revisité Si, b et c sot 3 élémets de et si f L 1 () lors b f = c f + b c f. Dém : O distigue les cs selo les positios respectives de, b, c et o utilise le théorème de prtitio. Supposos ds u premier temps que b. b c : [,c] f = [,b] f + [b,c] f d où b f = c f c b f = c f + b c f. c b : [,b] f = [,c] f + [c,b] f d où b f = c f + b c f. c b : [c,b] f = [c,] f + [,b] f d où b f = b c f c f = c f + b c f. Les trois utres cs se tritet e remplçt f pr f et e utilist l propriété b ( f) = f, o se rmèe isi u cs b b Théorème Chgemet de vrible Si f L 1 () et ϕ ue bijectio de l itervlle sur de clsse C 1 lors f = f ϕ. ϕ. Dém : ϕ est strictemet mootoe (sio o obtiet ue cotrdictio vec le théorème des vleurs itermédiires, cf. questio (iv) pge 65).

16 358 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Supposos que ϕ >, o écrit = (, b) où et b sot ds R mis ps écessiremet ds. soit (J ) ue suite de segmets croisste de réuio, o écrit J = [, b ] vec ց, b ր b et ϕ(j ) = [α, β ] où α = ϕ( ) et β = ϕ(b ). Comme ϕ est croisste (ϕ(j )) est ue suite croisste de segmets. ϕ(j ) doc ϕ(j ) puis, si x lors x = ϕ(y) où y. Comme est réuio des J lors il existe y tel que y J y doc x ϕ(j y ). Coclusio : pr double iclusio o ϕ(j ) =. O utilise lors le théorème de chgemet de vrible ds les itégrles sur u segmet ϕ(b) f(t) dt = f ϕ( ) = [ϕ( ),ϕ(b )] b f ϕ(t).ϕ (t) dt = d où l églité pr pssge à l limite f = f ϕ.ϕ. Si ϕ < lors l derière églité s écrit ϕ(b) ϕ( ) f(t) dt = b [,b ] f ϕ(t).ϕ (t) dt f ϕ.ϕ mis, comme ϕ( ) > ϕ(b ), elle peut ecore s écrire ϕ(b) b f = f(t) dt = f ϕ(t).ϕ (t) dt = f ϕ. ϕ ϕ(j ) ϕ( ) J O doc prouvé l églité ds tous les cs. L hypothèse ϕ bijective est essetielle comme le motre l exemple suivt : si u cosu est ps défiie lors que le chgemet de vrible ϕ(u) = si u R de R sur [ 1, 1] ds le théorème doerit si u cosu = x = R [ 1,1] Corollire O repred les hypothèses du théorème précédet. Si dmet pour bores et b lors ϕ(b) b f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt. ϕ() Dém : O déjà prouvé ceci ds l démostrtio précédete Défiitio tégrle impropre, itégrle géérlisée Soiet R, b R et f ue foctio cotiue pr morceux sur [, b[, si l foctio F(x) = x Ds ce cs o dit que f(t) dt dmet ue limite e b o ote ecore b et b. O dit ussi que l itégrle b f(t) dt cette limite. f(t) dt est l itégrle impropre (ou géérlisée) de f etre b f(t) dt coverge.

17 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 359 Propositio Si f L 1 ([, b[) lors b f(t) dt coverge. Dém : O pplique directemet le théorème 6.9 pge 351 ux foctios Re(f) +, Re(f), m(f) +, m(f) Remrque (i) l fut fire très ttetio lorsqu o utilise le théorème 6.18 et so corollire cr l itégrle d ue foctio cotiue pr morceux peut se trsformer e itégrle impropre. Predre pr exemple π/2 cos(x 2 ) dx lorsqu o fit le chgemet de vrible t = x 2. (ii) Ne ps cofodre les 2 otios d itégrle, si o écrit + f(x) dx pr exemple ss précisio, o e sit ps à priori si f est itégrble ou si c est so itégrle qui coverge. Questios : (i) Prouver que lim x + que si t t (ii) Covergece de x si t t est sommble sur R +? + dt existe (fire ue itégrtio pr prties). Est-ce x l x dx et clcul pour α = 2. (1 + x 2 ) α Covergece e moyee, e moyee qudrtique Théorème 6.2. Norme de l covergece e moyee L esemble des foctios cotiues et itégrbles sur à vleurs complexes costituet u sous-espce vectoriel de C(). f N 1 (f) = f est ue orme sur cet espce vectoriel ppelée orme de l covergece e moyee. Dém : O repred l démostrtio du théorème 5.53 pge 332. l y vrimet que l première propriété qui chge : Si N 1 (f) = lors sup f = doc, pour tout segmet J, f =. Comme J J J f est cotiue et positive, o e déduit que f J = pour tout J doc f = O ote ussi L 1 c () l esemble des foctios cotiues itégrbles sur. Défiitio Foctios de crré itégrble Ue foctio cotiue à vleurs complexes f est dite de crré itégrble sur ssi déf f 2 est itégrble sur. L esemble des foctios de crré itégrble est oté L 2 c(). Propositio églité de Cuchy-Schwrz Si f et g sot ds L 2 c () lors fg est ds L1 () et fg 2 f 2 g 2.

18 36 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Dém : Tout d bord 2 fg f 2 + g 2 ce qui permet d voir l première coclusio : e effet, f 2 et g 2 sot itégrbles doc, pr le théorème de domitio, o e déduit l itégrbilité de fg i.e. fg L 1 (). O utilise esuite le fit que l iéglité de Cuchy-Schwrz est vlble sur les segmets et o psse à l limite : Soit (J ) de réuio lors J fg 2 J f 2 J g 2 (iéglité de Cuchy- Schwrz pour les itégrles sur u segmet). Comme chque qutité dmet ue limite, o psse à l limite d où fg 2 f 2 g 2. Théorème Norme de l covergece e moyee qudrtique L 2 c() est u sous-espce vectoriel de C(). L 2 c () est u espce préhilbertie mui du produit sclire (f g) = fg. L orme ssociée u produit sclire N 2 (f) = ( f 2) 1/2 est ppelée orme de l covergece e moyee qudrtique. Dém : O écrit f + g 2 = f 2 + g 2 + fg + ḡf = f 2 + g Re( fg) 2( f 2 + g 2 ) cr f g 2 = f 2 + g 2 2 Re( fg) (même clcul) doc 2 Re( fg) f 2 + g 2. Si f et g sot ds L 2 c () lors f + g L2 c (). (f g) est bie u produit sclire (cf. propositio pge 334) Remrque (i) O prouvé (f g) N 1 (fg) N 2 (f)n 2 (g). (ii) Le produit sclire est cotiu sur L 2 c (). (iii) Si est boré lors L 2 c () L1 c () Le théorème de Lebesgue de covergece domiée Nous bordos ds ce prgrphe le théorème le plus importt du progrmme. Ce théorème correspod à ue versio mégée, u iveu des clsses préprtoires, d u théorème plus géérl qui beucoup servi ux mthémticies depuis le début du vigtième siècle et qui est lié à l théorie de l mesure. Théorème Théorème de covergece domiée Soit (f ) ue suite de foctios à vleurs réelles ou complexes, ϕ ue foctio cotiue pr morceux, si o les hypothèses lors f L 1 () et f = lim f. C.S. f f CM(), N, f ϕ, ϕ L 1 (, R + ) Dém : hors progrmme (CM sigifie cotiue pr morceux)

19 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 361 Exemples : (i) Soit f = 11 C.U. [,], f mis f R R = 1 et lim f R =. ( (ii) Soit f (x) = 1 x2 O doc = 1 x2 t [, π/2], o obtiet = π/2 ) 1[, ], f (x) e x2 sur [, + [ et f C.S. ( [,+ [ e x2. ) dx + e x2 dx. E post x = si t, cos 2+1 t dt et, vec les itégrles de π Wllis, o prouve que 2 doc + π e x2 dx =. E effet : 2 E post J = π/2 cos t dt lors, à l ide d ue itégrtio pr prties : o trouve (o supposé 2) J = [ cos 1 t si t ] π/2 }{{} = ( 1) u = cos 1 t du = ( 1) cos 2 t dt dv = costdt v = si t = π/2 +( 1) π/2 cos 2 t si 2 t dt cos 2 t(1 cos 2 t) dt = ( 1)J 2 ( 1)J d où J = 1J 2. L suite (J ) est décroisste (cr cos t cos 1 t) doc o les iéglités J J 1 J 2 = 1 J e divist pr J >, o obtiet 1 J 1 J 1 d où J J 1. Esuite, e multiplit l reltio J = ( 1)J 2 pr J 1, o J J 1 = ( 1)J 1 J 2 = π 2 d où, comme J 1 J, J 2 π 2 soit J O e déduit lors que J 2+1 = π 2 π 2. 1 d où le résultt Théorème tégrtio terme à terme d ue série de foctios Soit (f ) ue suite de foctios à vleurs réelles ou complexes telle que l o it les hypothèses l série f coverge, f L 1 (), C.S. f f CM(), lors ( f L 1 + ) (), N 1 = f + = N 1(f ), + = f = + = f. Dém : hors progrmme Questio : (i) Scht que + e u2 du = π 2, motrer que 2x π + + du e u2 x = =1 x.

20 362 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON (ii) Soit f L 1 (R) ulle e dehors d u segmet. Motrer que + E déduire que lim + f(t) sit dt = + + f(t) sit dt =. f(t + π ) si t dt. (iii) Si lim + b si x = pour tout x R, motrer pr l bsurde que b tégrles dépedt d u prmètre ) Les théorèmes Théorème Cotiuité sous le sige itégrl Soit f ue foctio à vleurs réelles ou complexes défiie sur A où A est ue prtie de R m et u itervlle de R, o suppose que f(., t) : x A f(x, t) C(A, C), (H) f(x,.) : t f(x, t) CM(, C), ϕ L 1 (, R + ) (x, t) A, f(x, t) ϕ(t)(hypothèse de domitio) x A, f(x,.) L 1 (), lors g(x) = f(x, t) dt C(A). Dém : t f(x, t) est itégrble (hypothèse de domitio) doc g est bie défiie. Soit (x ) ue suite d élémets de A qui coverge vers x A, o défiit f (t) = f(x, t) et o pplique le théorème de covergece domiée ux itégrles f : C.S. f f(x,.) CM() (e ott f(x,.) l foctio qui, à x fixé, ssocie f(x, t)) cr f est cotiue pr rpport à x, N, f ϕ, où ϕ L 1 (, R + ), c est l hypothèse de domitio. O e déduit que lim f + existe et que lim f = lim g(x ) + = lim f(x, t) dt = g(x) doc, pr le critère séquetiel de cotiuité, g est cotiue e tout poit x de A Remrque L cotiuité étt ue otio locle, l hypothèse de domitio ps besoi d être vlble sur A e etier mis u voisige de chque poit de A (et o peut predre u voisige compct) i.e. x A, V x, ϕ x itégrble sur telle que x V x, t, f(x, t) ϕ x (t).

21 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 363 Corollire Si est u itervlle quelcoque de R, si A est ue prtie de R m lors, vec les hypothèses du théorème précédet, est cotiue. G : (u, v, x) v u f(x, t) dt Dém : l suffit e fit de prouver que F(u, x) = u f(x, t) dt est cotiue cr G(u, v, x) = F(u, x) F(v, x). Soit (u, x ) A, F(u, x) F(u, x ) = où o posé g(x) = u = = u u f(x, t) dt u f(x, t) dt + u f(x, t) dt. u u f(x, t) dt f(x, t) dt u f(x, t) dt + g(x) g(x ) u f(x, t) dt g est cotiue pr pplictio du théorème précédet (o e les hypothèses!) doc ε >, η > x B(x, η) A, g(x) g(x ) ε/2. f(x, t) ϕ(t) doc u u f(x, t) dt ϕ(t) dt (o peut voir u < u ) u u d où l existece de η tel que u B(u, η ), u u ϕ(t) dt ε 2. O pose η = mi(η, η ) d où (u, x) A, (u, x) (u, x ) η F(u, x) F(u, x ) ε ce qui doe l cotiuité de F sur A Théorème Dérivtio sous le sige itégrl (formule de Leibiz) Soit A u itervlle { de R et f ue foctio à vleurs réelles ou complexes défiie f(x,.) L 1 (, C), sur A telle que f vérifie (H) (cf. théorème 6.24) x Alors l foctio g défiie u théorème précédet est de clsse C 1 sur A, et g f (x) = (x, t) dt. x Dém : O pr hypothèse l existece, pour tout x de A, d ue foctio ψ cotiue, itégrble, positive telle que f (x, t) x ψ(t). O v prouver, grâce u théorème de covergece domiée (comme pour l cotiuité), que g(x + h) g(x) f lim = (x, t) dt h h x

22 364 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON pr le critère séquetiel d existece d ue limite. Soit x A et (h ) ue suite d élémets o uls qui ted vers et telle que, pour tout, x + h A lors grâce à l iéglité des ccroissemets fiis, o pour tout t de, f(x + h, t) f(x, t) h sup f x (x + θh, t) h ψ(t) θ [,1] pr coséquet o peut ppliquer le théorème de covergece domiée ux itégrles f(x + h, t) f(x, t) dt d où h g(x + h ) g(x) f(x + h, t) f(x, t) lim = lim dt + h + h f(x + h, t) f(x, t) = lim dt + h f = (x, t) dt x doc g est de clsse C 1 sur A Corollire Extesio ux foctios de clsse C k Si f, f x,..., k f vérifiet les hypothèses (H) du théorème de cotiuité sous le sige xk itégrl lors g est de clsse C k et D j g(x) = j f (x, t) dt. xj Dém : l s git de fire ue simple récurrece fiie sur j à prtir du précédet théorème (o suppose k 1) Pour j = 1 c est le théorème précédet. O suppose que l propriété vrie pour j k 1. O pr coséquet D j g(x) = j f (x, t) dt et o peut ecore ppliquer le théorème de dérivtio xj à D j g doc D j+1 j+1 f g(x) = xj+1(x, t) dt ce qui prouve l récurrece. Si k = + l démostrtio ci-dessus est ecore vlble Remrque (i) Le derier théorème et so corollire s ppliquet ussi ux dérivées prtielles d ue foctio défiie sur u ouvert A de R m. (ii) L remrque précédete est ussi vlble, l hypothèse de domitio besoi d être vlble qu u voisige de chque poit.

23 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 365 (iii) Si u et v sot cotiues, v(x) u(x) f(x, t) dt = G(u(x), v(x), x) est cotiue. Dém : O utilise le théorème de compositio des pplictios cotiues : ϕ : x A (u(x), v(x), x) est cotiue cr ses pplictios coordoées sot cotiues, (u, v, x) 2 A G(u, v, x) est cotiue (cf. corollire 6.25). Doc, pr compositio, x A G(u(x), v(x), x) est cotiue (iv) Si u et v sot dérivbles, f cotiue, f x x lors, vec les hypothèses du théorème 6.26, o : ( v(x) u(x) f(x, t) dt) = v(x) u(x) f(x, t) x existe et est cotiue pr rpport à v(x) u(x) f(x, t) dt est dérivble et dt + f(x, v(x))v (x) f(x, u(x))u (x). Dém : O utilise ici l différetielle du composé de deux pplictios de clsse C 1, plus précisémet, ce qu o ppelé l règle de l chîe. Comme u corollire 6.25 o se rmèe à l foctio F(u, x) = u f(x, t) dt. F est dérivble pr rpport à u e vertu du théorème fodmetl du clcul différetiel et F (u, x) = f(x, u) est ue foctio cotiue (pr u rpport à (u, x)). F est dérivble pr rpport à x e vertu du théorème de dérivtio sous le sige itégrl et F u f (u, x) = (x, t) dt est ue foctio cotiue (pr rpport à (u, x)) grâce u théorème de cotiuité sous le sige x x itégrl. Coclusio : grâce u théorème fodmetl des foctios différetibles, F est de clsse C 1. Comme x (u(x), x) est ussi de clsse C 1, o peut ppliquer l fmeuse règle de l chîe, H(x) = F(u(x), x) est dérivble et H (x) = F du u dx + F dx u(x) x dx = f(x, f u(x)).u (x) + (x, t) dt. x O obtiet lors fcilemet le résultt océ Questios : (i) Démotrer le résultt (iv) de l remrque (ii) Soit f C(, E) où = [, b] et c [, b], o défiit l foctio F m (x) = x c (x t) m 1 (m 1)! f(t) dt. Clculer les dérivées successives de F m.

24 366 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON (iii) Soit F(x) = x si(x t)g(t) dt. Motrer que F + F = g. Géérlistio : soit (E) l équtio différetielle y + by + cy = g où b, c sot des costtes, α ue solutio de l équtio différetielle y + by + cy = vérifit α() =, α () = 1. Exprimer ue solutio prticulière de (E) sous forme itégrle. (iv) Clculer les dérivées successives de S(x) = (v) Soit F () = déduire F (). + + e t dt pour x. 1 + xt dt (t ) +1, motrer que F () = 2( + 1)F +1(), e (vi) Trsformée de Fourier : si f C(R) o pose f(x) = Motrer que, si u u f(u)e ixu L 1 (R) lors f C (R) et + f () (x) = ( i) u f(u)e ixu du. x f(u)e ixu du. (vii) Trsformée de Lplce : soit f C(R + ) telle que f soit mjorée pr u f(x) polyôme (i.e. N tel que lim = ), o pose x F(p) = e pt f(t) dt. Prouver que F est de clsse C sur ], + [ et clculer F (). b) Applictio à l foctio d Euler Défiitio Foctio Γ d Euler L foctio Γ d Euler est défiie sur ], + [ pr l reltio Γ(x) = Propositio Reltios + e t t x 1 dt. Dém : x >, Γ(x + 1) = xγ(x) ( ) 1 Γ( + 1) =!, Γ = π 2 L première reltio s obtiet pr ue itégrtio pr prties : d où Γ(x + 1) = + u = t x du = xt x 1 dt dv = e t dt v = e t e t t x dt = [ t x e t] + + x + e t t x 1 dt = xγ(x).

25 6.2. NTÉGRATON SUR UN NTERVALLE QUELCONQUE 367 Γ( + 1) =! est immédit pr récurrece. L derière est ue coséquece immédite de l exemple (ii) pge 361 : Γ(1/2) = + t dt e = 2 t près le chgemet de vrible t = u 2 + e u2 du Ue pplictio du théorème de Leibiz de dérivtio sous le sige itégrl ous doe : Propositio Γ est de clsse C sur ], + [ et, pour tout etier k, D k Γ(x) = + (lt) k e t t x 1 dt. Dém : O utilise le théorème 6.4 sur tout segmet [, b] de ], + [ : O pose f(x, t) = e t t x 1. f C(], + [ 2 ), k N, f x k (x, t) = (l t)k e t t x 1 C(], + [ 2 ), si x [, b] ], + [, t x t b si t 1 et t x t si t 1 doc k f (x, t) xk lt ke t mx(t, t b ) = ϕ k (t). t Or ϕ k (t) lt k.t 1 foctio itégrble u voisige de et lim t + t2 ϕ k (t) = doc ϕ k est itégrble u voisige de +. Le théorème de Leibiz de dérivtio sous le sige itégrl s pplique sur tout itervlle [, b] ], + [ doc Γ est bie de clsse C sur ], + [ et o D k Γ(x) = + (l t) k e t t x 1 dt Applictio : L foctio Γ iterviet ds de ombreuses formules grâce à ses propriétés, o l retrouve pr exemple ds le développemet e série des foctios de Bessel ( x ν + ( ) 1 x 2 J ν (x) = 2)!Γ( + ν + 1) 4 ds les foctios d Airy Ai (x) = 3 2/3 + = Bi (x) = 3 1/6 + = = x 3 + 9!Γ( + 2) x /3 9 3!Γ( + 4) 3 x 3 9!Γ( ) + 3 5/6 = + = et ds de ombreuses foctios spéciles. O ussi ue formule importte e théorie des ombres x! lim + x(x + 1)(...)(x + ) = Γ(x) x 3+1 9!Γ( ) et efi ue crctéristio clssique, l foctio Γ est l uique foctio de clsse C 2 de ], + [ sur ], + [ qui vérifie f(x + 1) = xf(x), f(1) = 1, l f covexe.

26 368 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Questios : (i) Soit J = ( 1 t ) t x 1 dt. Motrer que J = x! déduire Γ(x) = lim + x(x + 1)(...)(x + ). x! x(x + 1)(...)(x + ). E (ii) Prouver l crctéristio clssique de Γ (poser ϕ(t) = l f(t) où f de clsse C 2 sur ], + [ est covexe, f(x + 1) = xf(x), f(1) = 1 et l f covexe, puis prouver que f = Γ sur ], 1]). 6.3 tégrles doubles tégrles doubles sur u produit d itervlles Théorème Théorème de Fubii Lorsque A est u itervlle de R et que f est cotiue sur A [c, d] à vleurs complexes, lors pour tout segmet [, b] iclus ds A b Dém : Soit g(x) = H(X) = d c [ d d c c ] f(x, y) dy dx = f(x, y) dy, G(X) = d c X [ b ] f(x, y) dx dy. g(x) dx et h(x, y) = X f(x, y) dx, h(x, y) dy. f est borée cr c est ue foctio cotiue sur le compct [, b] [c, d], soit M ue bore de f. g est cotiue cr f est cotiue pr rpport à x (et ussi pr rpport à y), f(x, y) M qui est itégrble (!) sur [c, d], doc le théorème de cotiuité sous le sige itégrl s pplique. G est doc dérivble grâce u théorème fodmetl du clcul différetiel et G (X) = g(x) = d c f(x, y) dy. h est cotiue pr rpport à y (c est ecore le théorème de cotiuité sous le sige itégrl), dérivble pr rpport à X (théorème fodmetl) et h (X, y) = f(x, y). O peut ppliquer le théorème de Leibiz cr X h (X, y) = f(x, y) est cotiue pr rpport à X et pr rpport à y, X h (X, y) X M est itégrble sur [c, d]

27 6.3. NTÉGRALES DOUBLES 369 doc H est dérivble et H (X) = d c h (X, y) dy = X d c f(x, y) dy. O remrque lors que G (X) = H (X) et G() = H() = doc G = H, e prticulier G(b) = H(b) soit b [ d c ] f(x, y) dy dx = d c [ b ] f(x, y) dx dy Défiitio tégrle double L vleur commue obteue ds le théorème précédet est ppelée itégrle double de f sur [, b] [c, d] otée f. Remrque (i) O lors [,b] [c,d] f = [,b] [c,d] b [ d c ] f(x, y) dy dx = d c [ b (ii) L itégrle double est liéire, si f est positive lors f f si [, b ] [, b] et [c, d ] [c, d]. [,b ] [c,d ] Dém : O [,b] [c,d] [,b] [c,d] (λf + µg) = b b c d ] f(x, y) dx dy. [,b] [c,d] ( d ) [λf(x, y) + µg(x, y)] dy dx ( λ d = f(x, y) dy + µ c c b ( d ) = λ f(x, y) dy dx + µ c = λ f + µ g [,b] [c,d] d où l liérité de l itégrle double. d [,b] [c,d] f et ) g(x, y) dy dx b ( d ) g(x, y) dy dx Si f lors g(x) = f(x, y) dy pr coséquet o obtiet c G(b) = g(x) dx. [,b] [c,d] Efi, toujours si f lors ( d ) b f = f(x, y) dx dy [,b ] [c,d ] c d ( b c [,b] [c,d] ) f(x, y) dx dy f d c ( b c ) f(x, y) dx dy

28 37 CHAPTRE 6. (iii) Si f est positive lors [,b] [c,d] DÉRVATON ET NTÉGRATON f représete le volume de l prtie de l espce V = {(x, y, z) R 3 (x, y) [, b] [c, d], z f(x, y)}. Défiitio Foctio itégrble,itégrle d ue foctio itégrble Soit f cotiue sur où et sot 2 itervlles de R, positive, o dit que f est itégrble sur ssi déf il existe M R + tel que, pour tout segmet J coteu ds, tout segmet J coteu ds, f M. J J O ote lors f = sup J,J Remrque J J f. (i) Si pr hsrd et étiet des segmets, o retrouve vec cette défiitio l itégrle que l o vue u début de l sectio (e ps oublier que f ). Dém : Cf. remrque pge 349. Soit = [, b] et = [c, d]. Si J = [α, β] et J = [γ, δ] lors, comme f est positive, f J J ( b d )dx f(x, y) dy doc, e psst à l bore supérieure, c f ( b d )dx. f(x, y) dy c Comme et sot des segmets coteu ds et (...) lors ( b ) d f(x, y) dy dx f. c E combit les deux iéglités, o obtiet b ( d ) f = f(x, y) dy dx c (ii) Si (J m ) et (J ) sot deux suites croisstes de segmets de réuio respectives et lors lim + J J f = f (comme vec les itégrles simples, cf. théorème 6.7 pge 35). Dém : Soit J = [, b], J = [, b ] lors, comme = J m, il existe m N tq J m. De même il existe m b tel que b J mb. O pose m = mx(m, m b ) doc J J m. De même il existe (que l o peut predre m) tel que J J. O lors f = sup f = lim f (l suite est croisste) : N J J + J J e effet, J J f f doc l suite double est mjorée, si o ote M s bore supérieure, o M f. Esuite, vu ce que l o viet de fire, ε >, J, J f f ε J J doc il existe tel que J J f f ε i.e. M f et pr coséquet lim + J J f = f

29 6.3. NTÉGRALES DOUBLES 371 Théorème Critère d itégrbilité Soit f C(, R + ), si o les hypothèses x, f(x,.) L 1 ( ), x f(x,.) L 1 () lors f L 1 ( ) et o f = ( ) f(x,.). Dém : Soit J et J 2 itervlles coteus respectivemet ds et lors, grâce u théorème de Fubii ( ) f = f(x,.) J J J J ( ) f(x,.) cr f(x,.) L 1 () J ( ) f(x,.) cr x f(x,.) L 1 (). O e déduit que f L 1 ( ), f ( f(x,.) ). églité ds l utre ses : soit (J m ) et (J ) deux suites croisstes de segmets de réuio respective et. Comme f est itégrble, o sit que J m J f f. O pose lors f (x) = f(x,.) et o utilise le théorème de covergece domiée : J O sit (première hypothèse) que x, f(x,.) L 1 ( ) doc l suite (f (x)) C.S. dmet ue limite soit f ϕ où ϕ : x f(x,.), puis, comme f lors f (x) f(x,.) = ϕ(x) et pr hypothèse, ϕ L 1 () ce qui doe l hypothèse de domitio. O doc lim f = + J m J m ( ) f(x,.) f ( d où lim m + J m f(x,.) ) = ( f(x,.) ) f. Pr double iéglité o f = ( f(x,.) ) Remrque O peut éocer le même théorème e reverst les rôles des vribles x et y. Propositio Si f est itégrble sur lors f est itégrble sur et f = f. Dém :

30 372 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Soit J et J f L 1 ( ) et f f. lors J J f f pr coséquet Soit ε > lors il existe J et J segmets tels que J J f f ε/2. f étt cotiue sur J J, qui est compct, est borée pr ue costte A. O pred lors J 1 J tel que J 1, de même vec J 1 vérifit ire (J J \ J 1 J 1) ε/(2a). Si J = [, b], J = [c, d], o peut predre J 1 = [ 1, b 1 ], J 1 = [c 1, d 1 ] vec 1 = + ε, b 4A(d c) 1 = b ε, c 4A(d c) 1 = c + ε et d 4A(b ) 1 = d ε (où ε 4A(b ) est choisi ssez petit pour que b 1 > 1 et d 1 > c 1 ). Comme b > 1 > lors 1, de même pour b 1, c 1, d 1 i.e. J 1 et J 1. O obtiet le dessi suivt : d d 1 c 1 c L ire de chque rectgle du gere 1 [, 1 ] [c, b 1 d] bvut ε 4A qutre rectgles recouvre l esemble J J \ J 1 J 1. O lors f f f f J 1 J 1 J J J J \J 1 J 1 f ε 2 A.ire(J J \ J 1 J 1 ) f ε pour tout ε > doc f f. Pr double iéglité, o f = Propositio Pseudo-liérité f et l réuio de ces (i) Si les foctios f et g sot itégrbles sur lors f + g l est ussi et (f + g) = f + g. (ii) Si f L 1 ( ) et si λ R + lors λf L 1 ( ) et λf = λ f. Dém : O procède comme vec les itégrles simples, i.e. J J (f + g) = J J f + J J g et o psse à l limite, J J λf = λ J J f et o psse à l limite

31 6.3. NTÉGRALES DOUBLES 373 Théorème 6.3. Théorème de compriso, croissce Si f et g sot deux foctios cotiues, positives sur telles que f g, si g est itégrble lors f est itégrble et o f g. L pplictio qui à ue foctio itégrble fit correspodre so itégrle est croisste. Dém : J J f J J g g doc f L 1 ( ) et pr pssge à l limite o f = g Défiitio Foctios à vleurs complexes itégrbles Soit f cotiue sur à vleurs ds C, o dit que f est itégrble sur ssi déf f est itégrble. O ote L 1 ( ) l esemble des foctios itégrbles sur à vleurs réelles ou complexes (ou L 1 (, R), L 1 (, C) si écessire). Remrque Si f est à vleurs positives, l défiitio ci-dessus s pplique ss problème. Théorème Théorème de domitio Si f et g sot cotiues, si f g et si g est itégrble lors f est itégrble. Dém : mmédit vec le théorème précédet Théorème Foctios itégrbles de sige quelcoque Si f est cotiue à vleurs réelles lors f est sommble ssi f + et f le sot. Ds ce cs, o pose f = f + f. Dém : Comme vec les itégrles simples, o utilise l églité f = f + + f et les mjortios f + f, f f. O remrque ussi que, si (J m ) et (J ) sot deux suites croisstes de segmets de réuio et lors lim + J J f = f Théorème Foctios itégrbles complexes Si f est cotiue à vleurs complexes lors f est itégrble ssi Ref et m f le sot. Ds ce cs, o pose f = Ref + i m f. Dém : dem, o utilise les iéglités Ref f, mf f et f Ref + mf si f est complexe pour voir les équivleces. O remrque ussi que, si (J m ) et (J ) sot deux suites croisstes de segmets de réuio et lors lim + J J f = f Propositio Espce vectoriel des foctios itégrbles L esemble L 1 ( ) des foctios itégrbles sur est u sous-espce vectoriel de C( ) et l pplictio qui à f L 1 ( ) fit correspodre so itégrle est liéire.

32 374 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Dém : L foctio ulle est ds L 1 ( ) doc cet esemble est o vide. L iéglité λf + µg λ. f + µ. g motre que si (f, g) L 1 ( ) 2 et (λ, µ) (K) 2 lors λf + µg L 1 ( ) doc L 1 ( ) est bie u espce vectoriel. J J (λf + µg) = λ J J f + µ J J g et o psse à l limite qud +, d où (λf + µg) = λ f + µ J J g Théorème Soit { f ue foctio cotiue à vleurs complexes itégrble sur. Si x, f(x,.) : y f(x, y) L 1 ( ), g : x f(x,.) L 1 lors f = g. () Dém : Hors progrmme Théorème Formule de Fubii O repred les hypothèses du théorème précédet et o rjoute les hypothèses suivtes { : y, f(., y) : x f(x, y) L 1 (), h : y f(., y) L1 ( lors f = g = h. ) Dém : Hors progrmme Propositio Pssge e coordoées polires O retrouve l propositio pge 99. Soit f L 1 (, C) (o suppose ici que L = R 2 \ R lors, e psst e polires, o l formule : f(x, y) dx dy = f(r cosθ, r si θ)r dr dθ C( ) où C est l pplictio réciproque de P : (r, θ) (r cosθ, r si θ) défiie à l propositio pge 99. Dém : O utilise l formule doée pge 99 pour J J où (J ) et (J ) sot deux suites croisstes ( de segmets de réuio respectives ) et, f : x2 y vec C(x, y) = + y 2, 2 Arct x +, o x 2 + y 2 J J f(x, y) dx dy = f(r cosθ, r si θ)r dr dθ C(J J ) o psse à l limite qud + puis o éted l propriété u cs des foctios à vleurs réelles et complexes. Le seul eui ici est que, e géérl, C(J J ) est ps u produit de segmet, o dmet cepedt que ce résultt reste vlble Questios (i) Sur = = [, + [ ( > ), chercher u critère d itégrbilité pour l foctio f(x, y) = 1 x α y. β

33 6.3. NTÉGRALES DOUBLES 375 (ii) Même questio sur = =], ]. (iii) Motrer que (x, y) R 2 + e (x2 +y 2) L 1 (R 2 +). E fist u chgemet de + π vribles, motrer que e x2 dx = 2. (iv) Soit f C(R 2 +) telle que () t R +, f(., t) L 1 (R + ), t + f(x, t) dx L 1 (R + ) (b) x R +, f(x,.) L 1 (R + ), x + f(x, t) dt L 1 (R + ) + ( + ) + ( + ) motrer que f(x, t) dx dt = f(x, t) dt dx tégrles doubles sur ue prtie élémetire Défiitio Prtie élémetire Ue prtie A du pl R 2 est dire élémetire ssi déf elle dmet les 2 défiitios suivtes : A = {(x, y) R 2 x b, ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x)} A = {(x, y) R 2 c y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y)} où (ϕ 1, ϕ 2 ) C([, b]) 2 vérifiet ϕ 1 (x) < ϕ 2 (x) pour x ], b[ et (ψ 1, ψ 2 ) C([c, d]) 2 vérifiet ψ 1 (y) < ψ 2 (y) pour y ]c, d[. Propositio Si A est ue prtie élémetire lors, pour tout ε > il existe (α, β) deux foctios défiies et cotiues sur R 2, ulles e dehors d ue prtie borée et telles que α 1 A β et (β α) ε R 2 Dém : Soit η >, o prologe les foctios ϕ 1 et ϕ 2 sur l itervlle [ η, b + η] pr ϕ i (x) = ϕ i () sur [ η, ] et pr ϕ i (x) = ϕ i (b) sur [b, b + η]. O défiit les esembles C η = {(x, y) R 2 + η x b η, ϕ 1 (x) + η y ϕ 2 (x) η} et B η = {(x, y) R 2 η x b + η, ϕ 1 (x) η y ϕ 2 (x) + η}. O pose lors α(x, y) = d((x, y), A c ) d((x, y), C η ) + d((x, y), A c ), β(x, y) = d((x, y), Bη) c d((x, y), Bη c ) + d((x, y), A). O vérifie que les foctios α et β stisfot les 1ère coditios : Si (x, y) C η lors d((x, y), C η ) = doc α(x, y) = 1 et comme C η A, d((x, y), A) = o ussi β(x, y) = 1. Si (x, y) A \ C η lors α(x, y) 1 et β(x, y) = 1. Si (x, y) A c B η lors α(x, y) = et β(x, y).

34 376 CHAPTRE 6. DÉRVATON ET NTÉGRATON Efi, si (x, y) Bη c lors α(x, y) = β(x, y) =. { sur C η O β α = et β α sur Bη c 1 sur B η Cη c d où (β α) 1 2η(b ) + 4η[mx(ϕ 2 ) mi(ϕ 1 )] R 2 B η C c η et o pred η suffismmet petit e pese que cette démostrtio est ps réellemet exigible, il fut qud même rester risoble. ϕ 2 (x) B η C η ϕ 1 (x) O obtiet à peu près le dessi ci-cotre : b Théorème tégrle double sur A Soit f C(A) où A est ue prtie élémetire, f l foctio défiie sur R 2 obteue e prologet f pr sur le complémetire de A lors les itégrles ( ) ( ) f(x, y) dy dx et f(x, y) dx dy R R ot u ses et preet l même vleur. O défiit lors l itégrle double de f sur A pr pr exemple. R R A f = R ( R ) f(x, y) dy dx Dém : O commece pr le cs f, et o prologe f à ue foctio F cotiue sur R 2, ulle e dehors d u compct et telle que F.1 A = f = f.1 A (predre pr exemple f(x, y) si (x, y) A, f(x, ϕ 2 (x)) (ϕ 2 (x) + 1 y) si ϕ 2 (x) y ϕ 2 (x) + 1, x b F(x, y) = f(x, ϕ 1 (x)) ( ϕ 1 (x) y) si ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x) 1, x b F(b, y) (b + 1 x) si b x b + 1 F(, y) ( + x + 1) si 1 x illeurs) et o prouve que F est cotiue fire u dessi et F = f...). O lors αf f βf d où + α(x, y)f(x, y) dy ϕ2 (x) ϕ 1 (x) f(x, y) dy } {{ } =g(x) + β(x, y)f(x, y) dy.

35 6.3. NTÉGRALES DOUBLES 377 g est cotiue, positive, itégrble (cr elle est ulle e dehors d u compct) et αf R 2 g R βf et o fit de même vec h(y) = ψ 2 (y) R 2 ψ 1 f(x, y) dx ce qui (y) doe les iéglités αf R 2 h R βf. O fit lors les différeces d où R 2 R 2 (α β)f R g h R R 2 (β α)f i.e. ε >, R g R h ε f d où l églité. O géérlise lors u cs où f est réelle puis f complexe Là ussi, je pese que cette démostrtio est ps réellemet exigible, il fut qud même rester risoble. Défiitio Aire d ue prtie élémetire v 2 (A) = A 1 = R 2 1 A est ppelé ire de A (v 2 pour volume e dimesio 2). Défiitio Prtie simple Soit A u sous-esemble de R 2, o dit que A est ue prtie simple ssi déf A est l réuio fiie de prties élémetires dot les itérieurs sot 2 à 2 disjoits i.e. A = A i où A i est ue prtie élémetire et où i j A i A j =. i=1 Défiitio tégrle sur ue prtie simple Soit A ue prtie simple, o écrit A = A i où les A i sot des prties élémetires, i=1 f C(A), o défiit f = f et o dmet que cette défiitio est A i=1 A i idépedte du découpge de A e prties élémetires. Remrque Si A = A 1 A 2 est ue prtie simple et A 1, A 2 des prties élémetires lors 1 A = 1 A1 + 1 A2 1 A1 A 2. or A 1 A 2 est ue portio de courbe d ire ulle d où l défiitio suivte. Défiitio Aire d ue prtie simple Soit A ue prtie simple, A = A i où les A i sot des prties élémetires, o défiit l ire de A comme v 2 (A) = i=1 A 1 = i=1 A i 1 = v 2 (A). i=1 Propositio Si A est l réuio de prties simples B i, i [1, p] dot les itérieurs sot 2 à 2 disjoits lors v 2 (A) = p v 2 (B i ). i=1