1 ère S 2004/2005. Ch.12. Applications de la dérivation. A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N.

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1 1 ère S 4/5 Ch1 Applications de la dérivation J TAUZIEDE A P P L I C A T I O N S D E L A D É R I V A T I O N I- DERIVEE ET SENS DE VARIATION D UNE FONCTION 1 ) Sens de variation et dérivées Théorème liant monotonie de la onction et signe de la dérivée Soit une onction dérivable sur un intervalle I i- Si est croissante sur I alors, pour tout réel I on a ( ) ; ii- Si est décroissante sur I alors, pour tout réel I on a ( ) ; iii- Si est constante sur I, alors pour tout réel I on a ( ) = Démonstration Soit une onction déinie et dérivable sur un intervalle I que l on va supposer croissante sur I avec a I et h un réel non nul tel que a + h I On va raisonner par disjonction des cas, en supposant dans un premier temps h > puis dans second temps h < Si h >, comme est supposée croissante sur I alors, ( a + h a) ( ( a + h) ( a) ) ( ( a + h) ( a) ) ( a + h) ( a) Et puisque h > alors De plus, est dérivable en a donc ( a) h ( a + h) ( a) eiste et on a lim = ( a) h h Si h < h>, comme est supposée croissante sur I alors, a + h a ( a + h) ( a) a + h h< ( a + h) ( a) Et puisque h < alors h ( a + h) ( a) eiste et on a lim = ( a) h h h> On vient de démontrer que pour tout I Si est croissante sur I alors, pour tout réel ( ) ( ( ) ( a) ) a, ( ) I on a ( ) De plus, est dérivable en a donc ( a) a Remarque : les cas ii) et iii) se traitent de la même açon (Entraînez-vous ) Attention : Si la onction est strictement monotone sur I (strictement croissante ou strictement décroissante) alors les inégalités restent larges dans la dérivée (La onction 3 est strictement croissante sur IR et pourtant sa dérivée : 3 n est que positive sur IR car la dérivée s annule en : ( ) = 3 ( ) = ) Eemple Soit une onction dérivable sur IR dont la courbe représentative est donnée ci-dessous En justiiant votre raisonnement donner le signe de la onction dérivée de selon les valeurs de - 1 -

2 4 3 Pour moi : y = D après le théorème liant monotonie de la onction et signe de la dérivée, sur les intervalles où est croissante, la dérivée est positive et sur les intervalles où la onction est décroissante, la dérivée est négative Sur ] ; ] et sur [ ;1] la onction est décroissante donc, pour tout ] ; ] [ ;1 ] on a ( ) Sur [ ;] et sur [ 1 ; la onction est croissante donc, pour tout [ 1; + ] [ 1; on a ( ) On peut dresser le tableau suivant : ( ) - -

3 1 ère S Ch1 Applications de la dérivation ) Le théorème réciproque liant signe de la dérivée et monotonie de la onction Théorème de Lagrange Soit une onction dérivable sur un intervalle I de IR i- Si la dérivée ' est strictement positive sur I, sau peut-être en un nombre ini de points où elle s annule, alors est strictement croissante sur I ii- Si la dérivée ' est nulle sur I alors est constante sur I iii- Si la dérivée ' est strictement négative sur I, sau peut-être en un nombre ini de points où elle s annule, alors est strictement décroissante sur I Remarques i- Ce théorème est admis ii- Il permet d étudier les variations d une onction dérivable à partir du signe de sa dérivée iii- L hypothèse I est un intervalle est essentielle, car si I n est pas un intervalle mais une réunion disjointe d intervalles, les conclusions peuvent ne plus être les mêmes ; donnons à ce titre l eemple suivant : : 1 est déinie sur IR* et a pour dérivée ' ' ( ) = 1 qui est strictement négative sur IR* ; cependant n est pas strictement décroissante sur IR* car par eemple 1 < mais ( 1) = 1 1 n est pas plus grand que ( ) = On devra donc dire : est décroissante sur ;+ Eemple ] ;[ et sur ] [ On donne ci-contre la courbe représentative de la dérivée d une onction déinie et dérivable sur IR A la lecture de ce graphique, donner en justiiant votre raisonnement, les variations de la onction Si on ne veut que de la monotonie (au sens large) : Pour tout réel ] ; 1] [ 3; on a ( ) 1;3 D après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction, ; 1 ;+ et pour tout réel [ ] on a ( ) La onction est décroissante sur les intervalles ] ] et [ 3 [ et est croissante sur [ 1;3 ] Si on veut de la stricte monotonie, comme la dérivée s annule en 1 et 3, on a : Pour tout réel ] ; 1[ ] 3; on a ( ) < et pour tout réel ] 1;3 [ on a ( ) > D après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction, ; 1 3 et est La onction est strictement décroissante sur les intervalles ] ] et [ ; strictement croissante sur [ 1;3 ] - 3 -

4 3 ) Etude des variations d une onction a- Avec une onction polynomiale 3 Considérons la onction : Domaine de déinition La onction est une onction polynomiale donc D = IR Justiication de la dérivabilité et calcul de la dérivée est dérivable sur IR comme onction polynomiale avec ' = = pour tout réel, ( ) ( )( ) Etude du signe de la dérivée On a, pour tout réel, ( ) = 3( + 1)( 3) D après le théorème sur le l étude du signe d un trinôme du second degré : Il y a deu açons de lire le théorème : Soit on veut de la monotonie, soit de la stricte monotonie Si on veut juste de la monotonie, on peut ermer les crochets en les valeurs ou la dérivée s annule c'est-à-dire que l on peut ermer les crochets en ( 1) et 3 Dans ce cas, la dérivée peut donc s annuler puisque ( 1 ) = et ( 3 ) = La conclusion est alors : Si ] ; 1] [ 3; alors ( ) et si [ 1;3 ] alors ( ) Si on veut de la stricte monotonie, dans ce cas, on ouvre les crochets en les valeurs ou la dérivée s annule Comme ( 1 ) = et ( 3 ) = 1 et 3 dans ( ) La conclusion est alors : ; 1 3; +, dans ce cas on ouvre les crochets en ( ) Si ] [ ] [ alors ( ) > et si ] 1;3 [ alors ( ) < Etude de la monotonie de On cite le nom du théorème, en disant juste : D après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction : Si on veut juste de la monotonie : (les crochets qui étaient ermés en ( 1) et 3 dans la dérivée restent ermés) mais le symbole union lui est interdit car la réunion de deu intervalles n est pas orcément un intervalle On conclut : La onction est croissante sur ] ; 1] et sur [ 3 ; et est décroissante sur [ 1;3 ] - 4 -

5 1 ère S Ch1 Applications de la dérivation Si on veut de la stricte monotonie, dans ce cas, on erme quand même les crochets en les valeurs ou la dérivée s annule Pourquoi, car pour la stricte monotonie, ce que l on ne veut pas, c est que la dérivée s annule! mais pour la onction, qui est une autre onction, celle-ci est déinie sur IR (voir le domaine de déinition) et les valeurs ( 1) et 3 sont dans le domaine de déinition de Le symbole union reste toujours interdit quand on parle de monotonie On conclut : La onction est strictement croissante sur ] ; 1] et [ ; [ 1;3] 3 est strictement décroissante sur b- Avec une onction rationnelle Considérons la onction : + 1 (Le aire) Domaine de déinition La onction eiste si et seulement si D = ; ; + donc ] [ ] [ Justiication de la dérivabilité et calcul de la dérivée ; ; + comme quotient de deu onctions dérivables sur ; + ; ; + est dérivable sur ] [ ] [ ] ; [ ] [, le dénominateur ne s annulant pas sur ] [ ] [ Pour tout ] ;[ ] ;, ( ) ( ) ( + 1) ( 1) = + 1 ( ) = 1 ( ) = (on ne s arrête pas là! on actorise) ( 1)( + 1) ; ; + = Pour tout ] [ ] [, ( ) Etude du signe de la dérivée ; ; +, > 1 +1 On a, Pour tout ] [ ] [ le même que le signe de ( )( ) donc, le signe de ( ) sur ] [ ] ; ; est pour tout réel, ( ) = 3( + 1)( 3) trinôme du second degré, ( ) est de signe positi à l etérieur des racines que sont ( 1) D après le théorème sur le l étude du signe d un et 3 Conclusion su le signe de la dérivée : (on era attention que est une valeur interdite!) Pour de la monotonie : Si ] ; 1] [ 3; alors ( ) et si [ 1;[ ] ;3] alors ( ) D après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction : La onction est croissante sur ] ; 1] et [ 3 ; est décroissante sur [ 1;[ et ] ;3] - 5 -

6 Pour de la stricte monotonie : ; 1 3; + Si ] [ ] [ alors ( ) > et si ] 1;[ ] ;3[ alors ( ) < D après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction : La onction est strictement croissante sur ] ; 1] et [ ; [ 1;[ et ] ;3] En, ; les crochets restent toujours ouverts car c est une valeur interdite 3 est strictement décroissante sur II- EXTREMA D UNE FONCTION 1 ) Notion d etrema locau Déinition Soit une onction déinie sur un intervalle I contenu dans D et soit I On dit que ( ) est un maimum (minimum) local de sur I s il eiste un intervalle ouvert J avec J J tel que ( ) soit le maimum (minimum) de sur J et I Remarque Ceci signiie que, «localement», au voisinage de, la onction ne prend que des valeurs inérieures (respectivement supérieures) à ( ) On appelle etremum local un maimum ou un minimum local Eemple : Sur le graphique ci-dessus, lorsqu on reste proche de, les valeurs prises par restent inérieures à 4 Déinition d un etremum absolu Soit une onction déinie sur un intervalle I et soit I On dit que admet un maimum absolu (respectivement minimum absolu) en si, pour tout réel I, on a ( ) ( ) ) (respectivement ( ) ( ) Sur le graphique tracé précédemment, la onction n admet pas de maimum absolu - 6 -

7 1 ère S Ch1 Applications de la dérivation ) Lien avec la dérivée Théorème de Fermat : condition nécessaire Si est une onction dérivable sur un intervalle ouvert I de local en I ' = alors ( ) D et si admet un etremum Remarque 1 La réciproque de ce théorème est ausse ; la dérivée peut s annuler en un point 3 qui n est pas un etremum Considérons la onction : est déinie sur IR et y est dérivable de dérivée, IR : ' ( ) = 3 qui s annule en = ; pourtant ( ) = n est pas un etremum de car est strictement croissante sur IR Démonstration Soit une onction dérivable sur un intervalle ouvert I de D et soit I lequel se produit l etremum par eemple un etremum Pour tout { } ( ) ( ) Si, on a Si, on a ( ) ( ) et donc ' ( ) = I un point en Remarque Ce théorème signiie que si admet un etremum local en I alors la tangente au point de coordonnées ( ; ( )) à la courbe représentative de la onction est horizontale Théorème condition suisante Soit une onction dérivable sur un intervalle ouvert I de s annule en en changeant de signe alors ( ) D contenant Si la dérivée de est un etremum local de sur I Remarque 3 Une onction non dérivable en un point peut avoir un etremum en ce point Par eemple la onction n est pas dérivable en et pourtant IR, ( ) prouvant que est un minimum de sur IR - 7 -

8 III- RESOLUTION D EQUATIONS ( ) = k AVEC k IR Lorsque l on demande de résoudre une équation ( ) =, on ne sait pas toujours à l avance si elle admet des solutions et comment les trouver ; par eemple : sin = Le problème de l eistence et de l unicité de la solution sur un intervalle sont donnés par le théorème qui suit, quant à la résolution de l équation, plusieurs méthodes peuvent être mises en jeu dont des méthodes d approimation et notamment celle de la dichotomie 1 ) Localisation d une solution Théorème Soit a et b deu réels avec a<b et une onction de domaine de déinition D i- Si est une onction dérivable sur l intervalle I=[a;b], ii- Si est strictement monotone sur un intervalle I=[a;b], Alors, pour tout réel k compris entre (a) et (b), alors il eiste un unique réel c [a;b] solution de l équation ()=c Observons le graphique ci-contre La condition i) du théorème implique (et non équivaut) à dire que l on peut tracer la courbe représentative de la onction sur l intervalle [a;b] de açon «continue» c est à dire sans «lever le crayon» ou encore que la courbe n a pas de «trou» sur l intervalle [a;b] Ainsi, pour tout k réel tel que, (a) k (b), comme est strictement croissante sur l intervalle [a ;b], la droite d équation y=k rencontre une ois et une seule la courbe C sur l intervalle [a;b] en un point d abscisse c avec c [a;b] Remarques : La condition i) du théorème implique (et non équivaut) à dire que la courbe représentative de la onction peut être tracer de açon «continue» sur l intervalle [a;b] c est à dire «sans lever le crayon» ou encore que la courbe n a pas de «trou» Avec la condition, pour tout k réel compris entre (a) et (b), ces deu conditions assurent l eistence de la solution La condition ii) du théorème assure l unicité de la solution c Interprétation graphique Ce théorème signiie que la courbe représentative de la onction, notée d équation y=k en un unique point d abscisse contenue dans [a;b] C coupe la droite - 8 -

9 1 ère S Ch1 Applications de la dérivation Eemple On considère la onction déinie par ( ) = ) Déterminer le domaine de déinition D de la onction ) Etudier les limites de ( ) au bornes du domaine de déinition 3 ) Montrer que est dérivable sur D et calculer sa dérivée ; en déduire les variations de sur D puis construire le tableau de variations = 4 ) Montrer que l équation ( ) admet une unique solution sur l intervalle [ 1;1 ] 1 ) La onction est déinie sur IR comme onction polynomiale, ainsi D = IR ) En l inini, la limite d une onction polynôme est égale à celle de son monôme de plus 3 3 haut degré donc lim ( ) = lim = et lim ( ) = lim = ) La onction est dérivable sur IR comme onction polynomiale avec pour tout réel : '( ) = 3 3 = 3( 1)( + 1) Comme pour tout réel, ' ( ) >, sau pour un nombre ini de points (ici =), d après le théorème liant signe de la dérivée et monotonie de la onction, on en déduit que est strictement croissante sur IR On obtient alors le tableau de variations () La courbe représentative de la onction est la suivante : ) Résolvons l équation ( ) = (ici, k=) La onction est dérivable sur l intervalle [ 1;1 ] et strictement décroissante sur [ 1;1 ], comme [ 1;3], d après le théorème de localisation des On a ( 1 ) = 3 et ( 1) = 1 solution d une équation, il eiste une unique un unique réel c appartenant à l intervalle [ 1;1 ] solution de l équation ( ) = - 9 -

10 On a alors : 1 < c < 1 Pourquoi peut-on prendre les inégalités strictes? ) Valeur approchée d une solution d équation ( ) = : méthode de la dichotomie On le ait sur l eemple précédent L unique solution notée c de l équation ( ) = étant située dans l intervalle ] 1;1 [ cherche un intervalle plus petit contenu dans l intervalle ] 1;1 [ Pour cela, = 1+ 1 or ( ) = 1 > donc c ] ;1 [, = + 1 =,5 or (,5) = 1,875 > donc α ],5;1 [,,5 + 1 = =,75 et (,75) = 1,31 > donc α ],75;1 [ 3, = = 1875 et (,1875) = > donc α ],1875;1 [ 4 1, ,436 5 = 1,46 et ( 1,46),6 < donc α ] 1,46;1,436[ 1 On a une première valeur approchée à 1 près de cette racine α avec α 1, 4 1 =, on - 1 -

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