CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle"

Transcription

1 CHAPITRE 19 Dérivation des fonctions d une variable réelle Sommaire 19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée Définitions Continuité et dérivabilité Calcul des dérivées Opérations élémentaires Dérivées des fonctions usuelles Fonctions C k Définition Opérations et dérivées n ièmes Dérivées d un produit Composée de fonctions C k Variation des fonctions Monotonie Extrema locaux Accroissements finis Téorème de Rolle Egalité des accroissements finis Application : prolongement d une application de classe C Fonctions de classe C 1 par morceaux Objectifs : Connaître la définition du nombre dérivé, de la dérivabilité en un point et sur un intervalle. Connaître la définition de la tangente en un point au grape d une fonction, savoir déterminer une équation cartésienne d une tangente. Connaître la définition de dérivée à droite et à gauce et la caractérisation de la dérivabilité en un point à partir de la dérivabilité à gauce et à droite. Connaître la définition de fonction dérivée et les dérivées des fonctions usuelles. Connaître les opérations sur les fonctions dérivables. Connaître la dérivée d une application réciproque. Connaître le lien entre nullité du nombre dérivé et extremum local. Connaître le téorème et l inégalité des accroissements finis. Connaître le lien entre sens de variation d une fonction et signe de la fonction dérivée. Connaître la définition de dérivée k ième d une fonction, la définition de fonction de classe C k. Connaître les opérations sur les fonctions k fois dérivables en particulier la formule de Leibniz. Dans tout ce capitre K désigne le corps R ou C, I est un intervalle de R, non vide et non réduit à un point. On désignera par f une fonction de I dans K et a un point de I.

2 Page 2/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle 19.1 Nombre dérivé et fonction dérivée Définitions Nombre dérivé et fonction dérivée Définition 1 On appelle nombre dérivé de f en a, la limite, si celle-ci existe du taux d accroissement f(a + ) f(a) quand tend vers 0, 0. On note alors ce nombre f (a) et on dit que f est dérivable au point a I. Définition 2 Si f est dérivable en tout point d un intervalle I de R, alors on définit la fonction f sur I par f : x f (x) qu on appelle fonction dérivée de f sur I. Définition 3 Si f est dérivable en a, on appelle tangente au point A de coordonnées (a, f (a)) la droite passant par A et de pente f (a). Notation 1 On note également df dx la fonction f. Interprétations grapique et cinématique On peut donner l équation cartésienne de la tangente à la courbe d équation y = f(x) au point a, si f est dérivable au point a. En effet, cette tangente a pour équation y = f(a) + f (a)(x a) f(a) 0 a Considérons un mobile M qui parcourt une certaine trajectoire, à caque instant t, il se trouve à un endroit précis de la trajectoire. La distance d parcourue par le mobile M depuis l instant de initial (noté t 0 ) est fonction du temps t, on a donc d = f(t) où f est une fonction. La vitesse moyenne donne juste une indication globale sur l allure du mobile entre t 0 et t 1 mais on ne peut S. Rénier Lycée François Arago ATS

3 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 3/17 pas affirmer que la vitesse a toujours été la même entre t 0 et t 1. On ne connait pas la vitesse instantanée à l instant t 0, cette vitesse peut très bien être inférieure, supérieure ou égale à la vitesse moyenne. Pour approcer cette vitesse instantanée, on va coisir un instant t le plus proce possible de t 0. Ainsi v instantanée (t 0 ) = lim t t0 f(t) f(t 0 ) t t 0 = f (t 0 ). Exemples Exemple 1 La dérivée de f : x x 2 est 2x. En effet, x R, f(x + ) f(x) = (x + )2 x 2 = 2x + 2 = 2x x Exemple 2 En utilisant la définition, retrouver les dérivées des fonctions suivantes : 1. f(x) = e x. 2. f(x) = ln x. 3. f(x) = sin x. Dérivées à gauce et à droite Définition 4 f(x + ) f(x) On dit que f est dérivable à droite en x si lim 0 >0 f d(x) ce nombre dérivé. Analoguement, on dit que f est dérivable à gauce en x si lim 0 <0 note alors f g(x) ce nombre dérivé. existe et est finie. On note alors f(x + ) f(x) existe et est finie. On Proposition 1 Une fonction f est dérivable en x si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauce en x et que ces dérivées sont égales. Exemple 3 Calculer le nombre dérivé à droite et à gauce, en 0 de la fonction valeur absolue. Cette fonction est-elle dérivable en 0?

4 Page 4/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Continuité et dérivabilité Proposition 2 Si la fonction f est dérivable en a alors elle est continue en a. f(a + ) f(a) Preuve : Si la fonction est dérivable en a alors la limite de existe et est finie. Ceci implique que le numérateur tend vers 0 car sinon cette fonction prendrait des valeurs infiniment grandes. D où lim f(a + ) f(a) = 0 et donc f est continue en a. 0 Remarque 1 La réciproque de cette proposition est fausse. Exemple 4 Montrer que les fonctions suivantes sont continues mais pas dérivables en 0. { R R 1. f : x x { R+ R 2. f : 3. f : x x R R x x sin 1 x si x Nous avons vu que l existence de la dérivée en un point permettait de trouver une tangente. Cette condition est suffisante mais pas nécessaire. Proposition 3 Soit une fonction f : I R et soit a I. Si f(a + ) f(a) lim = ± 0 0 alors la fonction f n est pas dérivable en a mais la courbe représentative de f admet une tangente verticale en a. S. Rénier Lycée François Arago ATS

5 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 5/17 Exemple 5 Les courbes représentatives des fonctions suivantes admettent-elles une tangente en 0? { R R 1. f : x x { R+ R 2. f : 3. f : x x R R x x sin 1 x si x Calcul des dérivées Opérations élémentaires Proposition 4 Soient f et g deux fonctions définies sur I et dérivables en un point a I, α R et β R. On a αf + βg est dérivable en a et (αf + βg) (a) = αf (a) + βg (a). fg est dérivable en a et (fg) (a) = f (a)g(a) + f(a)g (a). Si g(a) 0, le quotient f ( ) f g est dérivable en a et (a) = g(a)f (a) f(a)g (a) g (g(a)) 2. En particulier si g(a) 0, le quotient 1 ( ) 1 g est dérivable en a et (a) = g (a) g (g(a)) 2. Preuve : On évalue la limite quand 0 de : αf(a + ) + βg(a + ) αf(a) βg(a) f(a + ) f(a) g(a + ) g(a) = α + β. f(a + )g(a + ) f(a)g(a) dont la limite est f(a)g (a) + g(a)f (a). et la limite est = = f(a + )g(a + ) f(a + )g(a) + f(a + )g(a) f(a)g(a) g(a + ) g(a) f(a + ) f(a) = f(a + ) + g(a) f(a+) g(a+) f(a) g(a) = 1 f(a + )g(a) g(a + )f(a) g(a + )g(a) 1 f(a + )g(a) f(a)g(a) + f(a)g(a) g(a + )f(a) g(a + )g(a) = ( ) 1 f(a + ) f(a) g(a + ) g(a) g(a) f(a) g(a + )g(a) 1 (g(a)) 2 ( f (a)g(a) g(a)f (a) ).

6 Page 6/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Proposition 5 Si f définie sur I est à valeurs ( complexes et dérivable en a I alors f est dérivable en a et f) (a) = f (a). Re (f) et Im (f) sont dérivables en a et on a (Re (f)) (a) = Re (f )(a) et (Im (f)) (a) = Im (f )(a). Proposition 6 Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur des intervalles de R I et J telles que f(i) J. Si f est dérivable en a I et g est dérivable en f(a) alors g f est dérivable en a et (g f) (a) = f (a)g (f(a)). Exemple 6 Exprimer les dérivées des fonctions suivantes. ( ( 1 1. x R, sin x)) ( ). 2. x ]1; + [, ln x ( 3. x R, e x2). Dérivée d une fonction réciproque Rappel 1 Soit f : I J une bijection. L application réciproque de f (notée f 1 ) est l application de J dans I qui à tout élément y de J associe son unique antécédent x de I par la fonction f. C est à dire : x I, y J, x = f 1 (y) y = f(x). Rappel 2 Grapiquement, si f admet une fonction réciproque f 1 alors le grape de la fonction f 1 est symétrique à celui de f par rapport à la première bissectrice (droite d équation y = x). S. Rénier Lycée François Arago ATS

7 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 7/17 x (y, x) y (x, y) O y x C f 1 C f Figure 19.1 Une courbe d une fonction et la courbe de la fonction réciproque Téorème 1 Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I et dérivable en a I. On pose b = f(a). (i) Si f (a) = 0 alors f 1 n est pas dérivable en b. (ii) Si f (a) 0 alors f 1 est dérivable en b et (f 1 ) (f(a)) = 1 f (a) soit (f 1 ) (b) = 1 f (f 1 (b)). ( ) Preuve : f f 1 (b) = b, donc en dérivant (f 1 ) (b)f f 1 (b) = 1, ainsi (f 1 ) (b) = Exemple 7 On considère la fonction f : ] π 2 ; π [ 2 x tan x ] f est continue et strictement monotone sur π 2 ; π [. De plus, x 2 Donc f est bijective et sa fonction réciproque (arctan) a pour dérivée : y R(arctan y) = R 1 f (arctan y) = tan 2 arctan y = y 2. 1 f (f 1 (b)). ] π 2 ; π [, f (x) = 1 + tan 2 x > 0. 2 Exemple 8 Soit n N. Calculer la dérivée de f : { R + R + x x 1 n en utilisant la dérivée de x x n.

8 Page 8/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle O C f 1 C f Figure 19.2 Les tangentes à une courbe et à la courbe de la fonction réciproque Dérivées des fonctions usuelles Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée x α avec α R à discuter selon les valeurs de α αx α 1 x n avec n N R nx n 1 x n = 1 x n avec n N R nx n 1 = n x n+1 x p q avec p N, q N R si q est impair, premiers entre eux et p q 1 R p + si q est pair q x p q 1 x p q avec p N, q Z R si q est impair, premiers entre eux et p q < 1 p R + si q est pair q x p q 1 ln x R 1 + e x R e x sin x R cos x cos x R sin x tan x R \ { π 2 + kπ, k Z} 1 cos 2 x = 1 + tan2 x 1 arcsin x ] 1; 1[ 1 x 2 1 arccos x ] 1; 1[ 1 x 2 1 arctan x R 1 + x 2 sin x R cos x cos x R sin x tan x R 1 cos 2 x = 1 tan2 x S. Rénier Lycée François Arago ATS

9 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 9/ Fonctions C k Définition Définition 5 Soit n N, on définit la dérivée n ième de f par récurrence. C est la dérivée de la dérivée n 1 ième. On dit alors qu une fonction f est n fois dérivable si sa dérivée n ième existe. On dit que f est indéfiniment dérivable (ou infiniment dérivable) si pour tout n sa dérivée n ième existe. Notation 2 f est la dérivée seconde. On note f (n) la dérivée n ième de f. La notation dn f dx n est aussi possible pour la dérivée nième. Remarque 2 On convient que f (0) est la fonction f elle-même. Remarque 3 Il est tout à fait possible que les domaines de définition des dérivées successives soient distincts. Définition 6 On dit que f : I K est de classe C k si et seulement si f est k fois dérivable sur I et si f (k) est continue sur I. On note alors C k (I,K) l ensemble des fonctions de classe C k sur I à valeurs dans K. Définition 7 Si f est indéfiniment dérivable, on dit qu elle est de classe C et on note C (I,K) l ensemble des fonctions de classe C sur I à valeurs dans K. Remarque 4 L ensemble C 0 (I,K) est l ensemble des fonctions continues sur I à valeurs dans K. Remarque 5 Une fonction n fois dérivable sur I n est pas forcément de classe C n. Exemple 9 R R Prolonger par continuité en 0 la fonction f : x x 2 sin 1 x Montrer que f existe sur R mais que f C 1 (R,R). On note cette fonction également f.

10 Page 10/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Opérations et dérivées n ièmes Proposition 7 Soient n N, λ K, f et g deux fonctions n fois dérivables sur I. Alors f + g est n fois dérivable sur I et (f + g) (n) = f (n) + g (n). λf est n fois dérivable sur I et (λf) (n) = λf (n). Preuve : Par récurrence sur n. Proposition 8 Muni de l addition et de la multiplication externe, C k (I,K) (pour k N { }) est un K-espace vectoriel. Preuve : C est un sous espace de K I, non vide (car la fonction nulle est indéfiniment dérivable) et stable par combinaison linéaire, puisque (λf + g) (n) = λf (n) + g (n) Dérivées d un produit La formule suivante est appelée Formule de Leibniz, elle est à connaître. Téorème 2 Soit n N. Soient f et g deux fonctions n fois dérivables sur I. Le produit fg est n fois dérivable sur I et on a : ( ) n n (fg) (n) = f (k) g (n k) k k=0 Preuve : En exercice! (Utiliser une récurrence sur n). Exemple 10 Déterminer la dérivée n ième des fonctions { R R f 1 : x (x 3 + x 2 + 1)e x et f 2 : ] 1, 1[ R x 2x + 3 (x 1) 2 Proposition 9 Soit n N. Soient f et g deux fonctions n fois dérivables sur I, avec g ne s annulant pas. Le quotient f est n fois dérivable sur I. g S. Rénier Lycée François Arago ATS

11 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 11/17 Proposition 10 Soit n N. Soient f et g deux fonctions de classe C k sur I. Le produit fg est de classe C k sur I. Si g ne s annule pas sur I, le quotient f g est de classe Ck sur I Composée de fonctions C k Ce téorème est admis. Téorème 3 Soient I et J deux intervalles de R, k N {+ }, f C k (I,K), et g C k (J,K) telles que g(j) I alors f g C k (J,K) Variation des fonctions Dans ce paragrape, I désigne l intervalle I privé de ses extrémités Monotonie Proposition 11 Soit f : I R continue sur I et dérivable sur I, alors f est constante sur I si et seulement si f = 0 sur I. f est croissante sur I si et seulement si f 0 sur I. f est décroissante sur I si et seulement si f 0 sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points, alors f est strictement croissante sur I. Si f 0 sur I et ne s annule qu en un nombre fini de points, alors f est strictement décroissante sur I. En particulier on a : Si f > 0 sur I alors f est strictement croissante sur I. Si f < 0 sur I alors f est strictement décroissante sur I. Remarque 6 L ypotèse de travail sur un intervalle est rigoureusement indispensable. En effet, la fonction définie sur R x 1 possède une dérivée strictement négative, et pourtant elle n est absolument pas x décroissante.

12 Page 12/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Extrema locaux Téorème 4 Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans K et a I telle que f admet un extremum local en a. Si f (a) existe, alors f (a) = 0. Preuve : Supposons que f(a) soit un maximum pour f, on a donc pour un voisinage V a de a, x V a, f(x) f(a) f(x) f(a) ainsi est positif pour x < a et négatif pour x > a. La limite quand x tend vers a x a de ce quotient est f (a). Elle est positive à gauce et négative à droite, celle-ci est forcément nulle. La démarce est analogue quand f(a) est un minimum. Remarque 7 Grapiquement, cela signifie qu en un minimum ou maximum local, la courbe de f admet une tangente orizontale. Figure 19.3 Tangentes orizontales en extrema locaux Remarque 8 La réciproque est fausse. On peut par exemple étudier la fonction x x 3. Remarque 9 Le résultat est FAUX { si a est une extrémité de I. [0, 1] R Par exemple, f : x (x 3 + x 2 + 1)e x admet deux extrema sans que sa dérivée ne s annule. Remarque 10 En fait, si la dérivée s annule et cange de signe en un point, nous avons un extremum local. S. Rénier Lycée François Arago ATS

13 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 13/17 Remarque 11 Une application peut admettre un extremum local en un point, sans être dérivable en ce point. R R f : x x sin 2 1 x si x 0 est continue en 0, n est pas dérivable en 0, et admet un minimum 0 0 local en Accroissements finis Téorème de Rolle Le téorème de Rolle, admis, est à connaître. Téorème 5 Soient deux réels a et b tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b], dérivable sur ]a, b[ et telle que f(a) = f(b). Alors il existe c ]a, b[ tel que f (c) = 0. Remarque 12 Grapiquement, le téorème de Rolle affirme qu il existe un point de la courbe représentative de f d abscisse dans ]a, b[ où la tangente est orizontale. Le téorème assure l existence mais en aucun cas l unicité. Ce téorème n a de sens que pour les fonctions à valeurs réelles. Le téorème de Rolle peut s interpréter de manière cinématique. Figure 19.4 Illustration grapique du téorème de Rolle

14 Page 14/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Remarque 13 On suppose que f(t) désigne l abscisse d un point mobile sur un axe en fonction du temps t. L ypotèse f(a) = f(b) signifie que le point mobile par d un point donné au temps t = a et revient à ce point au temps t = b. Le téorème de Rolle nous dit que la vitesse de ce point mobile s annule à un instant t = c compris entre t = a et t = b (il fait demi-tour pour revenir à son point de départ) Egalité des accroissements finis L égalité des accroissements finis est bien sûr à connaître, mais la preuve n est pas à savoir. Ce téorème est facile à démontrer dès lors qu on connaît le téorème de Rolle. Téorème 6 Soient deux réels a et b tels que a < b et soit f : [a, b] R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que Preuve : On pose g(t) = f(t) Rolle et cela nous donne le téorème. Remarque 14 f(b) f(a) = f (c)(b a). f(b) f(a) t pour tout t [a, b], on peut lui appliquer le téorème de b a Grapiquement, le téorème des accroissements finis affirme qu il existe un point de la courbe représentative de f d abscisse dans ]a, b[ où la tangente est parallèle à la droite (AB) avec A(a, f(a)) et B(b, f(b)). Le téorème assure l existence mais en aucun cas l unicité. Ce téorème n a de sens que pour les fonctions à valeurs réelles. B A Figure 19.5 Illustration grapique de l égalité des accroissements finis Du téorème on peut déduire l Inégalité des accroissements finis. Corollaire 1 Soient deux réels a et b tels que a < b et soit f : [a, b] R, continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. On suppose que f est bornée sur ]a, b[ (M est la borne supérieure, m la borne inférieure). Alors on a : m(b a) f(b) f(a) M(b a). On peut de nouveau interpréter cette inégalité cinématiquement. S. Rénier Lycée François Arago ATS

15 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 15/17 Remarque 15 L inégalité des accroissements finis nous dit qu un point mobile dont la vitesse instantanée est toujours comprise entre v min et v max entre deux instants t 0 et t 1 parcourt entre ces deux instants une distance comprise entre v min (t 1 t 0 ) et v max (t 1 t 0 ). Exemple 11 Montrer les inégalités suivantes. x R, sin x x et x 0, 0 ln(1 + x) x. Remarque 16 L inégalité des accroissements finis peut être très utile dans l étude de suites définies par une relation de récurrence du type u n+1 = f(u n ), comme par exemple la suite (u n ) définie par u 0 = 1 et n N, u n+1 = u n Application : prolongement d une application de classe C 1 Proposition 12 Soient a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b] et de classe C 1 sur ]a, b]. Si f admet une limite finie l en a alors f est de classe C 1 sur [a, b] et f (a) = l. Preuve : Soit x ]a, b], on applique l égalité des accroissement finis sur [a, x] alors il existe un c x ]a, x[ (qui dépend de x) tel que f(x) f(a) = f (c x )(x a) soit f (c x ) = f(x) f(a) x a Lorsqu on fait tendre x vers a le membre de droite tend (par définition) vers f (a) = l. D autre part, on a dans ce cas c x qui tend également vers a. Par composition des limites on a finalement lim f (x) = l = f (a) x a ce qui prouve la continuité de f en a et permet de conclure. Proposition 13 Soient a et b deux réels tels que a < b, f : [a, b] R continue sur [a, b] et de classe C 1 sur ]a, b]. Si f admet une limite infinie en a, alors f n est pas dérivable en a mais le grape de f présente une demi tangente verticale au point de coordonnées (a, f(a)).

16 Page 16/17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle 19.6 Fonctions de classe C 1 par morceaux Définition 8 Soient a et b deux réels tels que a < b et f : [a, b] K. On dit que f est de classe C 1 par morceaux sur [a, b] si et seulement s il existe n N et une subdivision a = a 0 < a 1 <... < a n = b de [a, b] tels que i {0,..., n 1} la restriction de f à ]a i, a i+1 [ admette un prolongement à l intervalle [a i, a i+1 ] qui soit de classe C 1 sur [a i, a i+1 ]. Notation 3 On note C 1 m([a, b],k) l ensemble des fonctions de classe C 1 par morceaux sur [a, b]. Exemple 12 Les fonctions en escalier sont de classes C 1 par morceaux. Proposition 14 La somme, le produit de fonctions de classe C 1 par morceaux sur [a, b] sont de classe C 1 par morceaux sur [a, b]. Définition 9 Par extension, une fonction f définie sur R et T-périodique est C 1 par morceaux si sa restriction à un intervalle de la forme [a, a + T] est C 1 par morceaux. S. Rénier Lycée François Arago ATS

17 Capitre 19: Dérivation des fonctions d une variable réelle Page 17/17 Autoévaluation Objectifs principaux Compétences indispensables à acquérir sur ce capitre. Objectif Connaître la définition du nombre dérivé Connaître l interprétation du nombre dérivé Savoir que la dérivabilité entraîne la continuité Connaître les dérivées usuelles Savoir dériver une fonction donnée Etudier les variations à partir de la dérivée Retrouver les extrema d une fonction Evaluation Objectifs secondaires D autres points à connaître lorsque les bases sont acquises. Objectif Connaître la formule de la dérivée d une fonction réciproque Connaître la définition de fonction C k et C Connaître la formule de Leibniz Connaître et comprendre le téorème de Rolle Connaître et comprendre le téorème des accroissements finis Evaluation Perfectionnement Pour maîtriser complétement le capitre. Objectif Savoir prolonger une fonction C 1. Connaître la définition de fonction C 1 par morceaux Connaître la définition de fonction périodique C 1 par morceaux Evaluation

Limites, continuité, dérivabilité

Limites, continuité, dérivabilité Limites, continuité, dérivabilité (3) () Analyse 1 / 47 Plan 1 Un peu de vocabulaire 2 Limites 3 Opérations sur les limites 4 Relations de comparaison locale, notations de Landau 5 Continuité 6 Fonctions

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

Interprétations du nombre dérivé Exemples d utilisation du nombre dérivé

Interprétations du nombre dérivé Exemples d utilisation du nombre dérivé Elément de cours des exercices Nombre dérivé Soit I un intervalle ouvert non vide de R. On considère une application f définie sur I et à valeurs réelles et un point a de I. Définition du nombre dérivé

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a)

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques. m = y B y A f(b) f(a) 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre VII : Dérivation Notations : On reprend dans ce chapitre les notations

Plus en détail

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité

Cours de Mathématiques Continuité, dérivabilité, convexité Table des matières I Continuité....................................... 2 I.1 Continuité en un point............................ 2 I.2 Propriétés................................... 3 I.3 Continuité sur

Plus en détail

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S

Chap. 2 : Fonctions : limites, continuité, dérivabilité Mathématiques T S I Notion de continuité 1) Fonctions continues Définition 1 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a. Remarques : On dit que f est continue en a si lim f(x) = f(a) On dit que f est

Plus en détail

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle

Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle Maths PCSI Exercices Dérivation des fonctions numériques d une variable réelle 1 Aspects locaux 1 + x 1 x si x 0 Exercice 1 Etudier la dérivabilité en 0 de x x 1 sinon Exercice 2 Dériver x 1 + 2 + x. Recommencer,

Plus en détail

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles

Mathématiques - ECS1. Dérivation. et accroissements finis. 30 avenue de Paris Versailles Mathématiques - ECS 6 Dérivation et accroissements finis. Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris 78000 Versailles c 06, Polycopié du cours de mathématiques de première année. 6 Dérivation et accroissements

Plus en détail

Fonctions continues et dérivables

Fonctions continues et dérivables Capitre 2 Fonctions continues et dérivables 2.1 La notion de fonction 2.1.1 Definition Une fonction est une relation particulière entre deux variables. De façon précise, on dit qu une variable y est fonction

Plus en détail

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui

Remarque : une fonction continue sur un intervalle possède une représentation graphique qui Chapitre 6 : CONTINUITE - DERIVATION 1. CONTINUITE 1. 1 Continuité en un point Définition Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I de R, et a un élément de I (distinct des bornes de I)

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Dérivabilité 10 décembre 2016

Dérivabilité 10 décembre 2016 Dérivabilité 10 décembre 2016 1 Dans tout ce capitre f désigne une fonction définie sur un intervalle I et a 2 I. 1. Définitions et premiers résultats 1.1 Définitions On connait depuis le lycée la définition

Plus en détail

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions

CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions CHAPITRE 2 : Continuité, dérivabilité et étude de fonctions 1 Langage de la continuité... 2 1.1 Définition... 2 1.2 Illustration grapique... 2 1.3 Fonctions usuelles... 2 2 Téorème des valeurs intermédiaires...

Plus en détail

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité

Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre III : continuité Notations

Plus en détail

DÉRIVATION CHAPITRE 8. 1 Dérivée d une fonction. 1.1 Dérivabilité

DÉRIVATION CHAPITRE 8. 1 Dérivée d une fonction. 1.1 Dérivabilité CHAPITRE 8 DÉRIVATION Dans tout ce chapitre, sauf mention contraire, D, E, F désigneront des parties de R et I, J des intervalles de R On supposera donné, quand nécessaire, un repère du plan et l on notera

Plus en détail

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini

Notes de cours : Chapitre II : Limites. 1 Limite d une fonction en + ou. 1.1 Limite infinie en l infini 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2013-2014 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie Finance et Gestion L1-S1 : MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Notes de cours : Chapitre II : Limites Notations

Plus en détail

Dérivabilité d une fonction numérique.

Dérivabilité d une fonction numérique. 34 Chapitre 6 Dérivabilité d une fonction numérique. 6.1 Taux d accroissement Définition : Soient f une fonction numérique et I D f un intervalle ouvert. Soit c I, on appelle taux d accroissement de f

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Dérivabilité des fonctions réelles

Dérivabilité des fonctions réelles Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles La notion de dérivée est une notion fondamentale en analyse. Elle permet d étudier les variations d une fonction, de construire des tangentes à une courbe

Plus en détail

2 Fonctions : limites et continuité

2 Fonctions : limites et continuité capitre Fonctions : ites et continuité Activités (page ) ACTIVITÉ Dans le cas, f est continue sur [ ; ] puisqu elle est d un seul morceau. Dans le cas, f est discontinue en, donc n est pas continue sur

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Toutes les fonctions considérées dans ce chapitre seront des d une variable réelle (i.e. l ensemble de départ est R) à valeurs dans R ou C. 1 Généralités 1.1 Ensemble de

Plus en détail

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point

Dérivation. I. Nombre dérivé d une fonction en un point I. Nombre dérivé d une fonction en un point Dérivation Dans tout ce paragrape, on considère une fonction f définie sur un intervalle I et a un nombre réel de cet intervalle. ) Définition Le nombre dérivée

Plus en détail

maîtriser le cours (page 48)

maîtriser le cours (page 48) e) > donc la première inégalité équivaut à - sin N cos et sont strictement positis donc la seconde inégalité équivaut à cos N - sin et donc pour tout de sin cos N - N b) Le téorème d encadrement et le

Plus en détail

Nombre dérivé. Fonction dérivée.

Nombre dérivé. Fonction dérivée. Nombre dérivé. Fonction dérivée. 1. Nombre dérivé. 1.1. Introduction Activité 1 : D'après IREM Clermont Ferrand Activité 1 1.2.Taux d'accroissement. Limite en 0. Définition : Soit f une fonction définie

Plus en détail

Limite d une fonction en un point

Limite d une fonction en un point Limite d une fonction en un point Définiton Soit f une fct déf. sur un intervalle I de R, sauf p-ê en a I. l R est la limite de f en a si, quand x I se rapproche de a, f (x) se rapproche de l. Dans ce

Plus en détail

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée

I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION. 1) Du sens de variation au signe de la dérivée I- DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION 1) Du sens de variation au signe de la dérivée Théorème (admis) : soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I. o Si f est une fonction croissante sur I,

Plus en détail

ENSEMBLES ET APPLICATIONS

ENSEMBLES ET APPLICATIONS ENSEMBLES ET APPLICATIONS 1 Applications : définitions ensemblistes Définition 1.1 Application Soient E et F deux ensembles. On appelle application de E dans F un objet { mathématique f qui à tout élément

Plus en détail

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction

Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction Tangente à une courbe. Dérivées. Etude du sens de variation d une fonction On dit qu une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est définie sur I et admet en chaque point de I un nombre dérivé.

Plus en détail

Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle

Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle Chapitre 1 Suites numériques, Fonctions numériques de la variable réelle Notations. K désigne R ou C. S (K désigne l'ensemble des suites d'éléments de K et u, v des éléments de S (K. I, J désignent des

Plus en détail

Les dérivées. 4.1 Introduction. Vitesse et accélération. g lim. lim

Les dérivées. 4.1 Introduction. Vitesse et accélération. g lim. lim 4. Introduction Les dérivées Vitesse et accélération Lorsque l on considère le mouvement rectiligne d un point matériel M, la distance d parcourue par ce point à partir d une position initiale est liée

Plus en détail

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires

Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires Continuité d une fonction, Théorème des valeurs intermédiaires I) Notion de continuité 1) Définition On dit qu une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa courbe représentative

Plus en détail

Limites et continuité de fonctions

Limites et continuité de fonctions Chapitre 12 Limites et continuité de fonctions Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Limites et continuité de fonctions 1 / 53 Notations : On note, sauf

Plus en détail

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie

FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie FONCTIONS : Limites Continuité Dérivée Trigonométrie I) PRELIMINAIRES Voir activité II) LIMITE D UNE FONCTION EN + et ) Limite infinie en + et Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme

Plus en détail

I. Les fonctions de référence

I. Les fonctions de référence I. Les fonctions de référence. Fonctions affines, affines par morceau Une fonction affine est croissante lorsque., décroissante lorsque... Sa représentation graphique est la droite d équation y = a b,

Plus en détail

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues.

Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. DOCUMENT 23 Limite d une fonction en un point de R. Fonctions continues. 1. Introduction et notations Considérons la fonction f : x sin x définie sur R. La valeur 0 n appartient pas à x l ensemble de définition

Plus en détail

Dérivation. 2 Fonctions usuelles. 2.1 Fonction constante : f : x 7 C. 2.2 Fonction identité :f : x 7 x. 2.3 Fonction carré :f : x 7 x 2

Dérivation. 2 Fonctions usuelles. 2.1 Fonction constante : f : x 7 C. 2.2 Fonction identité :f : x 7 x. 2.3 Fonction carré :f : x 7 x 2 Dérivation Définition Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et soit a I. On dit que f est dérivable en a si la fonction x 7 admet une limite finie ` lorsque x tend vers a. x a Définition

Plus en détail

1.2 Plan d étude et exemples types.

1.2 Plan d étude et exemples types. Université de Rennes Licence Biologie Mathématiques Année 2008-2009.2 Plan d étude et exemples types..2. But Le but de ce chapitre est d étudier les fonctions comme celles données dans les exemples précédents.

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 2016-2017 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION - DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Dérivabilité, dérivée, Eercice 1 [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de

Plus en détail

Formules de Taylor. Applications.

Formules de Taylor. Applications. CAPES 27 Décembre 27 Oral Analyse Formules de Taylor. Applications. Remarques Le niveau naturel de cette leçon est celui du Deug. Pré-requis. Continuité, dérivabilité, inégalité des accroissements finis,

Plus en détail

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION

FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION FONCTIONS NUMÉRIQUES : DÉRIVATION Ph DEPRESLE 30 septembre 05 Table des matières Dérivée en un point Continuité et dérivabilité 3 Fonction dérivée 4 Sens de variation d une fonction dérivable 3 5 Dérivées

Plus en détail

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone.

LEÇON N 60 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. LEÇON N 6 : Image d un intervalle par une fonction continue, cas d un segment. Cas d une fonction continue strictement monotone. Pré-requis : I est un intervalle si a,b I a b, [a,b] I ; Toute partie non

Plus en détail

Fonction d une variable réelle

Fonction d une variable réelle Fonction d une variable réelle 1 Fonction d une variable réelle : généralités Définitions Fonctions et opérations Fonctions et ordre Propriétés particulières Monotonie Limites Limites et opérations Limites

Plus en détail

. b a. ( ) f ( a) Soit f une fonction, définie sur un intervalle contenant le réel a, et h un réel proche de zéro.

. b a. ( ) f ( a) Soit f une fonction, définie sur un intervalle contenant le réel a, et h un réel proche de zéro. Capitre 5 : Dérivation I Nombre dérivé et tangente 1 Taux d accroissement de entre a et b Déinition Soit une onction déinie sur un intervalle contenant les réels a et b Le taux d'accroissement de la onction

Plus en détail

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions

T.S L 2. Limite d une fonction. Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. I.1 Activités. I.2 Définitions T.S Limites de fonctions, continuité et dérivabilité. L 2 Le second degré, vu en classe de ère S, est à connaître IMPÉRATIVEMENT : solutions événtuelles d une équation du second degré, signe d une epression

Plus en détail

Dérivabilité, dérivée,

Dérivabilité, dérivée, Ai-Marseille Université 203-204 Analyse I PLANCHE 3 : DÉRIVATION Dérivabilité, dérivée, Eercice [Opérations sur les dérivées] Soit a < b, ]a, b[ et f, g deu applications de ]a, b[ dans R. On suppose que

Plus en détail

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch,

Cours de mathématique en TS d Eric ZERBIB, professeur au lycée Pardailhan à Auch, Un peu d histoire La notion de dérivée a vu le jour au XVII e siècle dans les écrits de Leibniz et de Newton qui la nomme fluxion et qui la définit comme «le quotient ultime de deux accroissements évanescents».

Plus en détail

1 Généralités sur les fonctions réelles

1 Généralités sur les fonctions réelles Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 016-017 1 Synthèse de cours sur l analyse réelle Dans tout le chapitre, I désigne un intervalle non réduit à un point. On note I l intervalle I auquel on a

Plus en détail

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle

Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle 7 Continuité, dérivabilité des fonctions d une variable réelle Pour ce chapitre I désigne un intervalle réel et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. 7. Continuité en un point,

Plus en détail

Chap V : De nouvelles fonctions de référence

Chap V : De nouvelles fonctions de référence Chap V : De nouvelles fonctions de référence Cours Chap V, page 1 sur 6 I) Le théorème des bijections réciproques Théorème Théorème des bijections réciproques Si f : I R est continue sur l intervalle I

Plus en détail

Continuité sur un intervalle

Continuité sur un intervalle Continuité sur un intervalle Bcpst 1 27 février 2017 Notations du chapitre Dans tout ce chapitre, et sauf mention contraire : I est un intervalle de non vide et non réduite à un point ; est un domaine

Plus en détail

LEÇON N 75 : 75.1 Extremums. Pré-requis : Notions de continuité et de dérivabilité ; Formule de Taylor-Young ; f continue m,m f([a,b]) [m,m].

LEÇON N 75 : 75.1 Extremums. Pré-requis : Notions de continuité et de dérivabilité ; Formule de Taylor-Young ; f continue m,m f([a,b]) [m,m]. LEÇON N 75 : Applications de la dérivation à l étude d extrémums éventuels d une fonction numérique d une variable réelle. Exemples. L exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à

Plus en détail

Fonctions de deux variables

Fonctions de deux variables MTB - ch5 Page 1/19 Fonctions de deux variables I Topologie de R 2 On note R 2 l'ensemble des couples de nombres réels. On assimile R 2 au plan usuel muni d'un repère, en confondant un point géométrique

Plus en détail

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50

Fonctions réelles de deux variables. () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 Fonctions réelles de deux variables () Fonctions réelles de deux variables 1 / 50 1 Fonctions de deux variables réelles à valeurs dans R 2 Calcul différentiel 3 Extrema d une fonction de deux variables

Plus en détail

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M "pour x assez grand"

Terminale S Chapitre 2 «Fonctions : limites, continuité et dérivabilité» Page 1. si pour tout M > 0, on a f x < M pour x assez grand Terminale S Capitre «Fonctions : ites, continuité et dérivabilité» Page I) Limites ) Limites à l infini a) Limite finie Définition : Etant donnée une fonction f et un réel α, on dira quelle tend vers α

Plus en détail

Fonctions trigonométriques

Fonctions trigonométriques Fonctions trigonométriques Jérôme Germoni Novembre 2 Première étude : par équation différentielle.. Définition On s inspire de la définition de l exponentielle vue en terminale. Théorème (admis) Il existe

Plus en détail

Fiche 10 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction

Fiche 10 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction Université Paris Est Créteil DAEU Fiche 10 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction 1 Taux de variation Dans cette fiche on découvre l outil qui permet d obtenir de manière directe les variations

Plus en détail

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS Définitions et premières propriétés Définition. Développement limité Soient f une fonction définie au voisinage de a R (éventuellement non définie en a) et n N. On dit que f possède

Plus en détail

Fiche 9 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction

Fiche 9 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction Université Paris Est Créteil DAEU Fiche 9 Taux d accroissement Dérivée Variations d une fonction 1 Taux de variation Dans cette fiche on découvre l outil qui permet d obtenir de manière directe les variations

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE :DERIVATION I. DERIVEE EN UN POINT. 1. Définition. 2. Interprétations

FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE :DERIVATION I. DERIVEE EN UN POINT. 1. Définition. 2. Interprétations FONCTIONS D UNE VARIABLE REELLE :DERIVATION I DERIVEE EN UN POINT Déinition Soit une onction déinie au voisinage d un réel ( c est à dire que D contient un intervalle du type ] α; α[ + ( + ( On dit que

Plus en détail

TS Limites de fonctions Cours

TS Limites de fonctions Cours TS Limites de fonctions Cours I. Limites à l infini. Limite infinie en + ( 3 ) Définition Une fonction f a pour limite + en + si pour toute valeur réelle A, on a f() > A pour assez grand c est à dire pour

Plus en détail

Dérivation. Hervé Hocquard. 5 novembre Université de Bordeaux, France

Dérivation. Hervé Hocquard. 5 novembre Université de Bordeaux, France Dérivation Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 5 novembre 2012 Nombre dérivé Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a un point de I. On dit que f est dérivable en a lorsque

Plus en détail

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE CHAPITRE 4 FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE On appelle fonction numérique une application définie sur une partie D de R, à valeurs dans R. 1 Bornes d une fonction Définition 4.1 Soient D R et f : D R. f

Plus en détail

Faculté des Sciences de Luminy Année Licence MASS1 Unité Mat18 Exercices d analyse

Faculté des Sciences de Luminy Année Licence MASS1 Unité Mat18 Exercices d analyse Faculté des Sciences de Luminy Année 20 202 Licence MASS Unité Mat8 Exercices d analyse A.BROGLIO TD : Révisions.. Domaine de définition. Déterminer pour chaque valeur de f ci-dessous le domaine de définition

Plus en détail

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé

Devoir de Mathématiques 1 : corrigé PCSI 0-04 Mathématiques Lycée Bertran de Born Devoir de Mathématiques : corrigé Exercice. Résolutions d inéquations (a) Disjonction de cas selon le signe de x. Si x [, ] alors x = x. Dans ce cas : x x

Plus en détail

I. Limites : 1. Limites usuelles : Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f.

I. Limites : 1. Limites usuelles : Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f. Fonctions numériques d une variable réelle Dans la suite, f est une fonction de R dans R et son ensemble de définition est noté D f. On note alors : D f = { R ; f() eiste} On note C f sa courbe représentative.

Plus en détail

GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES D UNE VARIABLE REELLE

GENERALITES SUR LES FONCTIONS NUMERIQUES D UNE VARIABLE REELLE Chapitre 2 GENERALITES SUR LES FNCTINS NUMERIQUES D UNE VARIABLE REELLE L étude générale d une fonction numérique de la variable réelle a été abordée en Terminale. Nous nous contenterons ici de brefs rappels

Plus en détail

Les fonctions réciproques

Les fonctions réciproques DOCUMENT 28 Les fonctions réciproques 1. Introduction et définition Pour tout ensemble E, il existe une loi de composition naturelle sur l ensemble des applications de E dans E qui est la composition des

Plus en détail

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité

Chapitre 2. Compléments sur les fonctions : limites, continuité, dérivabilité Chapitre. Compléments sur les fonctions : ites, continuité, dérivabilité I. Rappels de cours. Limites d une fonction Soit l R. (i) Limites en + et en On dit que f() tend vers l lorsque tend vers + quand

Plus en détail

Fonctions Numériques :

Fonctions Numériques : Fonctions Numériques : Dérivabilité et Applications.. Notion de dérivées. Dénitions, Opérations et Exemples. 2. Dérivées successives. Dénitions, Opérations et Exemples. 3. Théorème des Acroissements nis

Plus en détail

Etude de fonction : notion de continuité

Etude de fonction : notion de continuité Etude de fonction : notion de continuité Leur faire lire des rappels sur les fonctions pour le jour en question. Toutes les fonction considérées dans ce chapitre sont définies sur ou une partie de et sont

Plus en détail

Fonctions numériques : dérivation

Fonctions numériques : dérivation Fonctions numériques : dérivation Table des matières I Notion de tangente à une courbe Soit f une fonction définie sur un intervalle I de courbe représentative C f et soit A un point fixe de C f. Soit

Plus en détail

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions

Sommaire. Prérequis. Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Stépane PASQUET, 4 octobre 06 C Sommaire Limites aux infinis....................................... Limite en un nombre fini, ite à droite, ite à gauce d un nombre fini........

Plus en détail

Recherche des extremums d une fonction

Recherche des extremums d une fonction DOCUMENT 32 Recherche des etremums d une fonction 1. Introduction De nombreuses situations issues des mathématiques, des sciences epérimentales ou de la vie économique et sociale conduisent à la recherche

Plus en détail

et f(x) = Interprétation graphique : Une fonction est continue sur un intervalle, si on peut la dessiner d un seul trait sans lever le crayon.

et f(x) = Interprétation graphique : Une fonction est continue sur un intervalle, si on peut la dessiner d un seul trait sans lever le crayon. Continuité 1 Généralités 1.1 Continuité en un point Soit f une fonction d une variale réelle définie sur un intervalle I et x 0 I. En particulier, f est définie en x 0. Définition (Rappel) 1. Onditquef

Plus en détail

APPLICATIONS DE LA DERIVATION

APPLICATIONS DE LA DERIVATION APPLICATIONS DE LA DERIVATION 1 I. Sens de variation d une fonction ; extréma : 1) Cas d une fonction constante : On a vu que si f est une fonction constante définie sur un intervalle I de IR alors f (x)

Plus en détail

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x

(ln x) 3 + x. x+ 1 x. xe 1 x Calculs et entraînement. Eercice 1. [limites ] Calculer les limites suivantes : 1. lim + e + ln. lim + (ln ) 3 + sin 3. lim + 1 + + 4. lim + e 1 sin + cos 7. lim + + 1 1 10. lim + 1 13. lim 5. lim e 1

Plus en détail

Accroissements et dérivées

Accroissements et dérivées Aides matématiques 3 page / Il ne s agit pas d un cours de matématiques mais d aides pour comprendre comment les matématiques, leurs notions, leurs résultats et leurs notations sont utilisés avec succès

Plus en détail

Opérations sur les fonctions

Opérations sur les fonctions Chap 3 : Opérations sur les fonctions I. Vocabulaire 1) Courbe d une fonction Définition 1 : Soit f une fonction( définie sur un ensemble D. On appelle courbe représentative de f, dans un repère O ; i

Plus en détail

Fiche méthodologique Fonctions usuelles

Fiche méthodologique Fonctions usuelles Fiche méthodologique Fonctions usuelles BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: = Pelletier Sylvain On liste ici les fonctions à connaître et leur propriétés. Fonction puissance n-ième et racine n-ième { R R Fonction

Plus en détail

Limite et continuité de fonctions réelles

Limite et continuité de fonctions réelles Limite et continuité de fonctions réelles Denis Vekemans Introduction : on désigne par "fonction réelle" tout fonction d une variable réelle à valeurs réelles. 1 Limite finie 1.1 Définitions 1.1.1 Définition

Plus en détail

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [

I. Limite en et en 1. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ A. Limites d'une fonction I. Limite en et en. Limites finie et infine Dans ce paragraphe, nous considèrerons des fonctions définies sur un intervalle de la forme [ a; [ où a R. DÉFINITIONS Soit l un réel.

Plus en détail

2 Calcul différentiel - Lisser, simplifier, approximer

2 Calcul différentiel - Lisser, simplifier, approximer Option Mats Année 2016-2017 2 Calcul différentiel - Lisser, simplifier, approximer ttp ://www.academie-en-ligne.fr/ressources/7/ma02/al7ma02tepa0113-sequence-02.pdf ttp ://uel.unisciel.fr/pysique/outils

Plus en détail

Généralités sur les fonctions

Généralités sur les fonctions Généralités sur les fonctions Limite d une fonction à l infini. Limite finie à l infini Définition : Dire qu une fonction f a pour ite le nombre réel l en + signifie que tout intervalle ouvert contenant

Plus en détail

Limite à l infini. Branches infinies

Limite à l infini. Branches infinies DOCUMENT 25 Limite à l infini. Branches infinies 1. Introduction et notations Considérons les trois fonctons réelles f, g et h définies par : f() = + 1 + e, g() = sin, h() = 1/ 2 et donnons de grandes

Plus en détail

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12

Terminale S Chapitre 1 : Fonctions, variations et limites Page 1 sur 12 Terminale S Chapitre : Fonctions, variations et ites Page sur I) Dérivation Ce que dit le programme : Nouveautés par rapport à la première : Dérivée de la composée et écriture différentielle (pour la physique)

Plus en détail

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction.

FONCTIONS USUELLES. Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. A 00-0 FONCTIONS USUELLES Objectifs Connaître les fonctions usuelles classiques. Connaître des nouvelles fonctions usuelles. Savoir étudier une fonction. Exponentielles, logarithmes, puissances. Exponentielle

Plus en détail

Exercices : Fonctions Dérivables

Exercices : Fonctions Dérivables Exercices : Fonctions Dérivables Exercice Déterminez l ensemble de dérivabilité des fonctions suivantes et calculez leur dérivée. ) f : x x 2 + x 2 2) f : x x + cos( x ) 3) f : x arctan( xe x ) 4) f :

Plus en détail

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction

Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction Chapitre 3. Continuité, dérivation et limite d une fonction I. Continuité Définition : Continuité d une fonction Dire que f est continue en a signifie que f a une limite finie en a ; cette limite est alors

Plus en détail

Feuille 7 : Etude locale des fonctions, développement. Fonctions usuelles.

Feuille 7 : Etude locale des fonctions, développement. Fonctions usuelles. Feuille 7 : Etude locale des fonctions, développement limités. Fonctions usuelles. Préparation au CAPES de mathématiques - Analyse Conseils Lors de la prochaine séance nous corrigerons l exercices 12 de

Plus en détail

La fonction puissance

La fonction puissance La fonction puissance Table des matières Fonction puissance. Définition.................................. Propriétés.................................. Eercices.................................. Etude de

Plus en détail

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S

Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Fonctions - Dérivabilité Cours maths Terminale S Dans ce module, retour sur la notion de nombre dérivé vue en première. La classe de terminale s attardant plus longuement sur le problème de la dérivabilité

Plus en détail

Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-2015/2016

Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-2015/2016 Cours sur les limites de fonctions et la continuité M. HARCHY TS 2 -Lycée Agora-205/206 Limite d une fonction. Limite à l infini.. Limite finie d une fonction à l infini Définition Soit f une fonction

Plus en détail

Cours PCSI( ) Limites et continuité d'une fonction réelle Lycée Baimbridge

Cours PCSI( ) Limites et continuité d'une fonction réelle Lycée Baimbridge Table des matières Introduction...2 I- Limite d'une fonction en un point...3 1- s...3 a- Limite réelle...3 b- Limite infinie...4 c- a est égal à plus ou moins l'infini...4 d- Limites à gauche, limites

Plus en détail

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions

REVISIONS POUR LES VACANCES. Généralités sur les fonctions Année 2016-2017 PCSI ( Baggio ) REVISIONS POUR LES VACANCES Vous devez connaître parfaitement tous les résultats donnés ici sur les généralités de fonctions, sur les fonctions exponentielles et logarithmes

Plus en détail

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako

Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lycée Technique Bamako Fonctions Numériques Site MathsTICE de Adama Traoré Lcée Technique Bamako A- / Ensemble de définition d une fonction : - / Définition : Soit f : A B une fonction. On appelle ensemble de définition D f

Plus en détail

Limites et continuité

Limites et continuité TD3 Limites et continuité Limites de fonctions Eercice Déterminer les limites suivantes (si elles eistent) : a) lim + ( ln(+ + )) e 3 + + 7 b) lim + e + e c) lim d) lim + + 3 + 7 3 [ ] e) lim + (e + e

Plus en détail

Continuité et dérivabilité des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles

Continuité et dérivabilité des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles Continuité et dérivabilité des fonctions d une variable réelle à valeurs réelles Denis Vekemans 1 Condition de Lipschitz - Continuité Soient A une partie de R et f : A R. On dit que f est lipschitzienne

Plus en détail

Corrigé du TD n o 11

Corrigé du TD n o 11 CPP 03/04 Fonctions réelles J. Gillibert Corrigé du TD n o Exercice Soient f et g deux fonctions continues R R. On suose que : x Q, f(x = g(x Montrer que f = g. Réonse : Raelons d abord le résultat suivant

Plus en détail

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal

Cours de Terminale S / Fonctions : limites et continuité. E. Dostal Cours de Terminale S / Fonctions : ites et continuité E. Dostal Août 204 Table des matières 2 Fonctions : ites et continuité 2 2. Limites.............................................. 2 2.2 Théorèmes.............................................

Plus en détail

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité

Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Chapitre II : Limites de fonctions et continuité Cité Scolaire Gambetta Année scolaire 0-03 I Limite à l infini : ) Limite finie en Définition : Dire qu une fonction f a pour limite le réel l en signifie

Plus en détail