Chapitre 3 : Statistiques

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1 Chapitre 3 : Statistiques En mathématiques, la notion de statistique est utilisée depuis l Antiquité afin de faire des recensements de la population. Aujourd hui, elle aide beaucoup afin d interpréter des résultats. La statistique permet de rendre lisible (grâce au calcul de paramètres) les valeurs d un caractère. I. Vocabulaire Les statistiques utilisent un langage bien précis qu on va commencer à détailler. Définition : Population / Individu On appelle une population tout ensemble soumis à une étude statistique et individu un élément de la population. Exemple : Les notes d une interrogation d une classe de seconde. La population est.l individu est. Définition : Caractère / Modalité L aspect ou le trait auquel va porter l étude statistique s appelle le caractère. Les valeurs ou les modalités sont les valeurs prises par le caractère. On les notes x i. Exemple : Les moyens de transport emprunté par les élèves afin d aller au lycée. Les caractères sont. Les modalités sont :. Il existe deux types de caractères : Définition : Quantitatif / Qualitatif Un caractère est dit quantitatif si les modalités/valeurs sont des nombres, sinon le caractère est dit qualitatif. Exemple : Les moyens de transport emprunté par les élèves afin d aller au lycée. Le caractère est En revanche, il y a deux types de caractères quantitatifs : Définition : Discret / Continue Un caractère quantitatif est dit discret lorsque les valeurs sont isolées, c est-à-dire qu on peut compter les valeurs possibles. Sinon le caractère quantitatif est dit continue. Exemple 1 : L année de naissance des élèves dans une classe de seconde. Les caractères sont les années :, Le caractère est. Exemple 2 : La taille des élèves dans une classe de seconde. Les caractères sont les tailles possibles compris entre 150 et 190 ([150; 190]) Le caractère est. 1

2 Définition : Classe et Centre Lorsque le caractère est quantitatif continue, on peut effectuer des regroupements par classe. Et on appelle le centre c i le centre de la classe, le milieu des valeurs de la classe. Exemple : La taille des élèves dans une classe de seconde. Les caractères sont les tailles possibles compris entre 150 et 190 ([150; 190]) Classes [150 ; 160[ [160 ; 170[ [170 ; 180[ [180 ; 190[ Centres c i II. Effectifs et fréquences Les sondages est une forme de statistique où l on s intéresse à des effectifs ou à des fréquences. Définition : Effectif et fréquence Dans une série statistique : - L effectif d une valeur est correspondant à cette valeur. On la note. La somme de tous les effectifs des valeurs est appelée. On la note N. - La fréquence d une valeur est On peut mettre la fréquence en pourcentage %, simplement en multipliant par 100. On peut souvent représentant cela sous forme de tableau. Exemple : En lançant 10 fois un dé, on obtient : 2; 4; 6; 6; 3; 4; 4; 5; 3; 6. L effectif total est Valeurs x i Effectifs n i Fréquence f i Définition : Effectif et fréquence cumulé (croissant) Dans une série statistique, l effectif cumulé (croissant) est En pratique, on cumule «pas à pas» les effectifs en partant à gauche du tableau. De même pour une fréquence cumulée (croissant). 2

3 III. Graphiques Le choix d un graphique dépend du type de série et de ce que l on veut montrer. - Un diagramme en bâton (pour des valeurs discrètes ou qualitatives) et un histogramme (pour des valeurs numériques regroupées en classes) représentent les effectifs ou fréquences pour chaque valeur ou classe. - Un diagramme circulaire montre la part relative de chaque valeur ou classe. On utilisera aussi les graphiques suivants (relatifs à l exemple en partie II) 3

4 IV. Indicateurs de position On se repère souvent à l aide de la moyenne afin de se représenter une série de valeur. Définition : Moyenne Dans une série statistique, on note les valeurs x i, l effectif n i et la fréquence f i. La moyenne x de cette série statistique est Remarque :. Exemple : On considère le tableau des salaires mensuels d une entreprise. Salaire brut ( ) x i Effectifs n i Effectif cumulé Définition : Médiane Dans une série statistique de n valeurs ordonnées, la médiane Me est : - Si n est impair, - Si n est pair, Dans une classe de seconde, on s intéresse à la médiane de trois petites interrogations orales faite dans la journée sur quelques élèves. Exemple 1 : , ici n = 5 (impair) donc Me = Exemple 2 : , ici n = 5 (impair) donc Me =. Exemple 3 : , ici n = 4 (pair) donc Me = 4

5 Exemple 4 : On considère le tableau des salaires mensuels d une entreprise. Salaire brut ( ) x i Effectifs n i Effectif cumulé Remarque : On constate que au moins 50% des valeurs de la série est inférieure (ou supérieure) ou égale à la médiane Me. Moyenne et médiane renseigne sur la tendance centrale d une série. V. Indicateurs de dispersion On s intéresse souvent sur la répartition des valeurs dans une série, par exemple avec les notes des élèves les enseignants aiment savoir si la classe est hétérogène ou homogène. Définition : Les quartiles L étendue d une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série (notées Max et Min). L écart interquartile est la différence Q 3 Q 1 où : Q 1 est le premier quartile, c est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 25% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Q 3 est le troisième quartile, c est la plus petite valeur de la série telle qu au moins 75% des valeurs lui soient inférieures ou égales. Exemple 1 : Soit la série statistique 6; 9; 11; 23; 54; 65; 135; 143; 248; 305 d effectif total N = 10. 5

6 Remarque 1 : Prendre 25% d une série de valeurs, c est prendre un quart des valeurs, d où le nom «1 er quartile». Prendre 75% d une série de valeurs, c est prendre les trois quarts des valeurs, d où le nom de «3 ième quartile». Remarque 2 : L intervalle [Q 1 ; Q 3 ] est appelé intervalle interquartile. Sa longueur est Q 3 Q 1. Plus cet écart est grand, plus la série est dispersée, d où le mot hétérogène. Inversement plus cet écart est petit, plus la série est resserré sur la médiane, d où le mot homogène. Remarque 3 : On constate qu il n y a pas de 2 ième quartile puisqu il s agirait de la plus petite valeur de la série telle qu au moins 50% des valeurs lui soient inférieures ou égales. C est exactement le rôle de la médiane. Remarque 4 : On a défini le quartile en prenant des quarts de valeurs de la série. Or on pourrait aussi définir le décile en prenant 1/10 ième des valeurs de la série soit 10%. Exemple 2 : On considère le tableau des salaires mensuels d une entreprise. Salaire brut ( ) x i Effectifs n i Effectif cumulé VI. Diagramme en boîte (Boîte à moustache) On peut résumer graphiquement une série statistique par un diagramme en boîte (boxplot en anglais), ou figurent les indicateurs Min, Q 1, Me, Q 3 et Max. On parle aussi de boîte à moustache. Construit au-dessus d un axe gradué, ce diagramme en boîte est constitué : D une boîte délimitée par les 1 er et 3 e quartiles et partagée par la médiane. De deux traits (moustaches) qui relient les quartiles aux valeurs extrêmes de la série. La construction au-dessus d un même axe de plusieurs diagrammes en boîte se révèle pertinente pour comparer des séries associées à un même caractère sur des populations différentes. 6

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