Calculer une enveloppe convexe

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1 Calculer une enveloppe convexe Préparaton à l agrégaton opton Calcul formel Antone Chambert-Lor (verson revue par Mchel Coste) 1. Introducton Sot A une parte du plan ; de nombreux problèmes géométrques requèrent de détermner l enveloppe convexe de A, de manère auss effcace que possble. Ce texte se veut une ntroducton au sujet ; l est pour l essentel ssu du lvre de Preparata et Shamos, Computatonal geometry, an ntroducton (Sprnger-Verlag, 1985). Quelques défntons pour commencer. L enveloppe convexe d une parte A de R n sera notée conv(a) ; c est la plus pette parte convexe de R n qu content A. C est auss l ntersecton des dem-espaces affnes de R n qu contennent A (Hahn-Banach). Sot C une parte convexe de R n ; la dmenson de C est par défnton la dmenson du plus pett sous-espace affne E de R n qu content C. De plus, C est d ntéreur non vde dans E. Sot C une parte convexe de R n. Un pont x C est dt extrémal s l n exste pas de couple (y, z) de ponts de C tel que x ]y, z[. Sot ϕ une forme lnéare sur R n qu est postve ou nulle sur C. L ntersecton de C avec l hyperplan d équaton ϕ = 0 est une parte convexe de R n dont les ponts extrémaux sont des ponts extrémaux de C. Cela permet de démontrer un théorème de Choquet qu affrme qu une parte convexe compacte de R n est l enveloppe convexe de ses ponts extrémaux. Un polytope P est l enveloppe convexe d un ensemble fn A de ponts de R n ; c est une parte compacte de R n. Ses ponts extrémaux sont appelés sommets ; ls appartennent à A. Une face F de P est une parte non vde F de P qu est l ntersecton de P avec un dem-espace fermé dont l ntéreur est dsjont de P. C est une parte convexe. Une face F de P est l enveloppe convexe d une parte de l ensemble des sommets de P. Un smplexe est l enveloppe convexe de n + 1 ponts de R n qu ne sont pas stués dans un même hyperplan affne. Supposons que dm(p) = n. Pour chaque face F de dmenson n 1 (facette), sot ϕ F une équaton de l hyperplan F qu est postve sur P. Alors, P est l ntersecton des dem-espaces ϕ F 0. Inversement, sot P une parte compacte de R n, ntersecton d un nombre fn de dem-espaces. On peut démontrer que P est un polytope. Détermner l enveloppe convexe d un ensemble fn A de ponts de R n sgnfera donc en détermner les sommets et les faces.

2 2 ANTOINE CHAMBERT-LOIR (VERSION REVUE PAR MICHEL COSTE) 2. Détermner les sommets de l enveloppe convexe Sot A une parte fne de R n et sot C son enveloppe convexe. On supposera à l occason que C est de dmenson n. Voc un moyen smple, mas pas très effcace, de détermner les sommets de A. En effet, un pont x A est un sommet de conv(a) s l n exste pas n + 1 ponts a 0,..., a n A \{x} tels que x appartenne au smplexe conv(a 0,..., a n ). (Démontrer cec en utlsant le théorème de Carathéodory.) De plus, cette condton est assez facle à tester, par exemple en résolvant le système lnéare x = n =0 λ a, n =0 λ = 1, en n + 1 varables λ 0,...,λ n. Dans le cas où les a sont affnement ndépendants, le pont x appartent à leur enveloppe convexe s et seulement s tous les λ sont postfs. Quelle est la complexté de cet algorthme? Supposons que A at N éléments. Il faut parcourr, pour chaque élément x de A, les ( N 1 n+1) partes de A \ {x}, résoudre le système lnéare et élmner le pont x s ce n est pas un sommet. C est donc en gros un algorthme en O(N n+2 ). 3. Enveloppe convexe d une étole (Graham scan) Une étole (centrée en l orgne O) est un polygone a 1... a N du plan R 2 tels que les angles ( Ox,Oa ) prs dans [0,2π[ forment une sute crossante (à permutaton crculare des a près). Dans la sute de ce paragraphe, on défnra a m pour m Z comme a r, où r est l unque enter de {1,..., N} tel que m r (mod N). Un polygone convexe a 1... a N est une étole centrée en chacun de ses ponts ntéreurs. Sot A un ensemble fn du plan ; sot O un pont de l ntéreur de l enveloppe convexe de A, par exemple l sobarycentre des ponts de A. Qutte à trer les angles ( Ox,Oa), pour a A, (vore leurs tangentes y a /x a ), on peut supposer que A = {a 1,..., a N }, où a 1... a N est une étole centrée en O. Notons que l enveloppe convexe de A est celle de la réunon des trangles Oa a +1, pour 1 N. Alors, l enveloppe convexe de A peut être détermnée grâce au résultat suvant : s l angle a 1 a a +1 est sallant, a appartent au trangle Oa 1 a +1, donc a n est pas un sommet et l enveloppe convexe de A est celle de A \ {a }. La méthode consste à parcourr la lste a 1,..., a N en partant de = 1. Ensute, on tente d enlever a : s l angle a 1 a a +1 est rentrant, on passe au pont suvant ; snon, on enlève a de la lste et on fat un pas en arrère en revenant au pont a 1. Pour programmer convenablement l algorthme, l convent de supposer que a 1 est un sommet ; on peut par exemple prendre le pont le plus à gauche. La complexté de cet algorthme est lnéare en le nombre N de ponts, une fos qu l est ordonné de sorte à former une étole. Le tr des angles a quant à lu une complexté en O(N 2 ) avec un algorthme dot, ou en O(N log N) avec un algorthme optmal. Varante. Sot A un ensemble fn du plan ; sot C son enveloppe convexe. Sot a un pont d abscsse mnmale et b un pont d abscsse maxmale, choss d ordonnée maxmale s nécessare. Ce sont des sommets de C. On tre les ponts au-dessous de

3 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE 3 a 1 a 5 a 3 a 2 a 4 O a 7 a 6 FIGURE 1. Détermnaton de l enveloppe convexe d une étole (ab) par abscsses crossantes (en gardant le pont d ordonnée maxmale s pluseurs ponts ont même abscsse). On obtent ans une sute a 1,..., a n. Dre l angle a 1 a a +1 est sallant (ou encore que a n est pas au-dessous de la drote (a 1 a +1 )) sgnfe exactement que la pente de (a a +1 ) n est pas supéreure à celle de (a 1 a ). On détermne ans asément les sommets de C au-dessous de (ab), ordonnés de sorte à former un polygone convexe aa 1... a k b. On fat de même avec la parte supéreure. Remarque. Le len entre le problème de l enveloppe convexe et celu du tr est ben ms en évdence par cet algorthme, au mons dans un sens : trer permet de calculer l enveloppe convexe. Inversement, sot x 1,..., x n une sute de nombres réels. Sot A l ensemble des ponts de coordonnées (x, x 2 ). Quelle est l enveloppe convexe de A? En dédure que s l on sat calculer effcacement une enveloppe convexe, on sat trer tout auss effcacement une sute de nombres réels. 4. Dvser pour régner Sot encore A une parte fne du plan et sot C son enveloppe convexe. Un algorthme de calcul de C de type «dvser pour régner» se décrrat de la façon suvante : On décompose A en deux sous-ensembles A 1 et A 2 qu en forment une partton et on en calcule les enveloppes convexes, C 1 et C 2, de manère récursve ; On calcule l enveloppe convexe de C 1 C 2. Les subtltés de l algorthme provennent ans de deux ponts : Trouver une partton effcace. En pratque on chost les deux partes A 1 et A 2 approxmatvement de même cardnal ; Calculer de manère effcace l enveloppe convexe de la réunon de deux convexes.

4 4 ANTOINE CHAMBERT-LOIR (VERSION REVUE PAR MICHEL COSTE) Concentrons-nous sur ce derner aspect. En pratque, détermner une enveloppe convexe C sgnfe avor calculé un polygone convexe P dont l ntéreur est C. En partculer, les sommets de P (donc de C) sont ordonnés de sorte à former une étole. L algorthme récursf fournt ans des polygones P 1 et P 2 dont les ntéreurs sont les enveloppes convexes C 1 et C 2 de A 1 et A 2. Sot O un pont ntéreur à P 1 ; par exemple son centre de gravté. Le pont O sera ntéreur à C, mas on dot dstnguer deux cas, suvant que O appartent à C 2 ou pas. Pour décder dans quel cas on se trouve, l faut regarder les angles ( Ox,Oa), pour a parcourant les sommets de P 2 dans le sens trgonométrque. (1) S ls forment une sute crossante (modulo 2π), le pont O appartent à C 2. On peut alors ordonner la réunon des sommets de P 1 et de P 2 de sorte à obtenr une étole E centrée en O. Cec se fat avec une complexté lnéare en le nombre de ponts (fuson de deux lstes trées). L enveloppe convexe de l étole E est égale à C. (2) Snon, ces angles sont comprs entre deux valeurs dfférant d au plus π et le polygone P 2 est contenu dans un secteur angulare agu de sommet O. Notons a et b les deux sommets de P 2 tels que P 2 sot contenu dans le secteur angulare aob. Sot alors E l étole obtenue en parcourant, dans le sens trgonométrque, les sommets de P 2 entre a et b pus ceux de P 1 dans le secteur complémentare. Son enveloppe convexe est C. Une fos obtenue une étole, on calcule son enveloppe convexe par la méthode du paragraphe précédent. Analysons la complexté T (N) de l algorthme obtenu, où N est le nombre de ponts. Une fos obtenus P 1 et P 2, le polygone P est obtenu avec une complexté O(N) pour la fuson des lstes et O(N) pour le calcul de l enveloppe convexe d une étole. La complexté T (N) vérfe ans l négalté dont la soluton est T (N) O(N log N). T (N) 2T (N/2) + O(N), 5. Deux applcatons Calcul du damètre d une parte du plan. Sot A une parte fne du plan. Supposons qu on dove détermner le damètre de A et, plus précsément, deux ponts a et b de A dont la dstance est maxmale. L approche naïve consste à parcourr toutes les pares de ponts et à en sélectonner la plus grande dstance. Cela fournt un algorthme en O(N 2 ), s N est le nombre de ponts. Toutefos, la parte A a même damètre que son enveloppe convexe (le démontrer...). Supposons cette dernère calculée, ce qu on peut fare en O(N log N). Le nombre n de sommets de l enveloppe convexe de A est ben sûr majoré par N, et en général beaucoup plus pett. S a 1... a n est un polygone convexe, on dra que deux ponts a et a j sont antpodaux s l y a deux drotes d appu parallèles du polygone passant respectvement par a et a j. Alors le damètre du polygone convexe est égal à la dstance maxmale entre sommets antpodaux. Le nombre total de pares de sommets antpodaux ne peut pas excéder

5 CALCULER UNE ENVELOPPE CONVEXE 5 3n/2. On peut décrre de manère magée comment énumérer toutes ces pares : on trouve une premère pare de ponts antpodaux en «posant le polygone sur une drote horzontale» et en cherchant le sommet le plus haut. Ensute on trouve les autres pares (en tournant toujours dans le même sens) en «fasant rouler le polygone» sur la drote horzontale. On peut obtenr de la sorte un algorthme détermnant le damètre du polygone convexe en O(n). De la sorte, on obtent un algorthme en O(N log N) qu calcule le damètre d une parte fne du plan. Régresson monotone. On dspose d une sute de données (expérmentales) x R, pour {1,...,n}. L objectf est de détermner une nouvelle sute (x ) crossante (au sens large) pour laquelle l expresson n =1 (x x )2 sot mnmale (mondres carrés). Dans certans cas, on peut avor des pods w > 0 pour = 1,...,n et chercher à mnmser n =1 w (x x )2, toujours avec la condton de crossance sur les x. Ce problème équvaut à la recherche d une «enveloppe convexe nféreure» telle qu on l a explquée dans la varante du Graham scan. Posons s 0 = 0 et s = j x j pour 1 n. Sot alors C l «enveloppe convexe nféreure» de l ensemble A des ponts de coordonnées (,s ), pour 0 n. Sot A A l ensemble des sommets de C. La foncton contnue affne par morceaux s qu vaut s en s (,s ) appartent à A est convexe ; S s est la foncton contnue affne par morceaux qu vaut s en pour tout, s est la plus pette foncton convexe, affne par morceaux et contnue qu sot nféreure ou égale à s. Pour = 1,...,n, sot x = s () s ( 1) (c est la pente du graphe de s sur l ntervalle numéro de l axe des abscsses). On peut démontrer que la sute (x ) est soluton du problème posé (avec pods tous égaux à 1 ; dans le cas de pods w quelconques, l faut remplacer les n ntervalles de longueur 1 sur l axe des abscsses par des ntervalles de longueurs w, et les x sont les pentes au-dessus de chacun des ntervalles de la foncton convexe affne par morceaux s ). Du pont de vue pratque, on peut résoudre le problème de régresson monotone avec pods 1 en bouclant la transformaton suvante sur les vecteurs (x 1,..., x n ) de R n : on regroupe les coordonnées successves en un paquet s elles sont égales. S le premer endrot où la condton de crossance est volée se stue entre les paquets x = x +1 =... = x +p 1 et x +p = x +p+1 =... = x +p+q 1, on remplace les deux paquets par un seul où toutes les coordonnées valent px + qx +p (cet algorthme est connu sous le nom p + q de PAVA, pour Pool Adjacent Volators Algorthm).

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