Analyse MCMC de certains modèles de diffusion avec application au marché européen du carbone

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1 Analyse MCMC de certains modèles de diffusion avec application au marché européen du carbone Jean-François Bégin Département de Mathématiques et Statistiques Université de Montréal Montréal, Canada Août 2010

2 Résumé Cette analyse utilise une méthode d estimation de paramètres dans un processus de diffusion proposée par Bjørn Eraker (2001) (voir la référence [5] dans la bibliographie pour plus de détails). En utilisant des séries chronologiques discrètes issues du marché du carbone européen (titres EUA et CER de la deuxième phase), nous utilisons les méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) afin d augmenter les données, ce qui fait disparaître le biais de discrétisation du processus de diffusion. De plus, nous utilisons les méthodes MCMC et le cadre de l école statistique bayésienne afin de trouver des densités a posteriori empiriques pour chaque paramètre. Cette méthode est appliquée à trois modèles de la classe à élasticité constante de variance (en anglais, constant elasticity of variance) : processus de Orstein- Uhlenbeck, processus racine carrée et le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel. L analyse compare les valeurs obtenues à l aide de la méthode MCMC avec celles des estimateurs du maximum de vraisemblance (estimés par Godin (2010)). MOTS-CLÉS : Analyse bayésienne ; processus de diffusion ; échantillonneur de Gibbs ; MCMC ; Marché du carbone européen ; EUA ; CER.

3 Table des matières 1 Introduction 6 2 Modèle bayésien Théorème de Bayes Grandes lignes de l approche bayésienne Probabilités a priori et a posteriori Méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) Les chaînes de Markov, théorie Algorithme de Metropolis Algorithme de Metropolis-Hastings Échantillonnage de Gibbs Méthode d acceptation-rejet Algorithme AR-MH (acceptation-rejet Metropolis-Hastings) Processus de diffusion Introduction aux équations différentielles stochastiques Mouvement brownien ou processus de Wiener Classe de modèles à élasticité constante de variance Processus d Orstein-Uhlenbeck Processus racine carrée Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Marché européen des certificats d émission de carbone Historique Fonctionnement du marché européen Méthodologie Définitions des éléments clés Algorithme Applications et résultats European Union Allowance (EUA) Processus d Orstein-Uhlenbeck

4 7.1.2 Processus racine carrée Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Certified Emission Reductions (CER) Processus d Orstein-Uhlenbeck Processus racine carrée Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Comparaisons avec l expérience de Godin (2010) Comparaisons des modèles Conclusion 46 A Code MATLAB utilisé pour la simulation 47 B Utilisation de la régression linéaire dans l estimation des paramètres 49 2

5 Table des figures 7.1 Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des EUA Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des EUA Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des EUA Densité empirique a posteriori de σ pour le processus racine carrée des EUA Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus racine carrée des EUA Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus racine carrée des EUA Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des EUA Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des EUA Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des EUA Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des CER Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des CER Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck des CER Densité empirique a posteriori de σ pour le processus racine carrée des CER Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus racine carrée des CER Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus racine carrée des CER Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des CER Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des CER

6 7.18 Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des CER Un exemple de chemin emprunté par les processus d Orstein- Uhlenbeck des EUA Un exemple de chemin emprunté par les processus racine carrée des EUA Un exemple de chemin emprunté par les processus d Orstein- Uhlenbeck exponentiel des EUA Un exemple de chemin emprunté pour chaque processus des EUA à l aide des estimations de notre analyse

7 Liste des tableaux 7.1 Statistiques descriptives des prix des EUA Autocorrélations de la série chronologique des prix des EUA Statistiques descriptives des prix des CER Autocorrélations de la série chronologique des prix des CER Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck des EUA Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus racine carrée des EUA Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des EUA Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck des CER Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus racine carrée des CER Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des CER Les valeurs de K pour les trois modèles utilisés pour les données EUA

8 Chapitre 1 Introduction Le réchauffement climatique est une réalité d aujourd hui. Selon certains, c est même le plus grand défi de notre génération. Il est maintenant très accepté que l Homme est responsable ; du moins, c est ce que conclut le GIEC (Groupe d experts intergouvernemental sur l évolution du climat). Principalement, le dioxyde de carbone qui est émis essentiellement par nos moyens de transport est responsable. Ce réchauffement planétaire est susceptible d affecter plusieurs pays de différentes manières : sécheresse, inondations, tempêtes, ouragans, etc. Afin de réduire les émissions de gaz à effet de serre, et plus principalement les émissions de dioxyde de carbone, l Union européenne a mis sur pied un marché du carbone. Dans cette analyse nous traiterons deux titres, l EUA et le CER, transigés sur le marché du carbone européen, l EU ETS. L un des plus importants défis liés à ce marché est la modélisation mathématique des titres. De plus, il est important de noter que c est un marché en pleine croissance (le marché double à chaque année). L objectif ici sera d appliquer méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov à des modèles de diffusion de le classe à élasticité constante de variance (CEV) afin de modéliser les prix des titres EUA et CER. Pour ce faire, nous nous inspirerons du cadre présenté par Eraker (2001). C est dans le cadre d un stage d été en recherche du CRSNG co-supervisé par Madame Mylène Bédard et Monsieur Manuel Morales que nous vous présentons ce rapport. Il sera divisé en plusieurs sections. Les premiers chapitres traiteront des notions de base : l approche bayésienne, les méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov, les processus de diffusion et le marché du carbone européen. Ensuite, nous expliquerons la méthodologie utilisée pour produire l expérience. Puis, nous montrerons les résultats obtenus à l aide de nos simulations. Finalement, nous conclurons l analyse. 6

9 Chapitre 2 Modèle bayésien L essence de ce modèle et de cette école statistique nous provient du révérend Thomas Bayes. Toute la méthode de l approche bayésienne découle essentiellement du fameux théorème de Bayes. Dans cette section, nous ferons une brève introduction à l approche bayésienne : théorème de Bayes dans sa forme la plus simple, densité a priori et a posteriori. 2.1 Théorème de Bayes Le théorème de Bayes (ou originalement appelé de probabilité des causes) est un résultat de base en théorie des probabilités. Étant donné deux événements A et B, il nous permet de trouver la probabilité de A sachant B si l on connait la probabilité de A, de B et de B sachant A. Dans sa forme la plus simple, on a que P (A B) = P (A)P (B A). (2.1) P (B) 2.2 Grandes lignes de l approche bayésienne En premier lieu, cette approche considère les paramètres comme des variables aléatoires. Ainsi, ces paramètres ont toutes une distribution dite a priori de densité π(θ). Ensuite, on peut utiliser les règles de probabilité (i.e. le théorème de Bayes vu en (2.1)) pour déduire une distribution a posteriori à partir de la distribution a priori et des données observées. Finalement, il est important de comprendre que la distribution a priori est subjective. On devrait la choisir avant d observer les données. Chaque personne est libre de choisir sa propre densité a priori en fonction de ses croyances personnelles. Alors, on doit interpréter les probabilités dérivées à partir de cette approche comme un degré de croyances (ou de l anglais degree of belief ). Pour plus de détails sur l approche bayésienne, consulter la référence [2]. 7

10 2.3 Probabilités a priori et a posteriori D après ce qui a été décrit plus haut, on peut trouver finalement la distribution du paramètre qu on veut estimer sachant nos données (ou encore π(θ x)) en connaissant la distribution des données sachant le paramètre (ou f(x θ)) et la distribution de notre paramètre (ou densité a priori ou π(θ)). Ainsi, f(x θ)π(θ) π(θ x) =. (2.2) f(x θ)π(θ) dθ Θ Cette dernière est la fameuse densité a posteriori. Elle représente ce qu on sait par rapport au paramètre en considérant les données observées ; c est aussi la mise à jour de π(θ) après l observation de notre échantillon. 8

11 Chapitre 3 Méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC) Dans ce chapitre, nous nous intéresserons aux méthodes MCMC, ou Markov chain Monte Carlo. Cette famille de méthodes de simulation d une distribution arbitaire f (dans notre cas, la distribution a posteriori) a pour but de reproduire une chaîne de Markov avec une distribution stationnaire f. Ceci sera éclairci dans la page suivante. Alors, pour débuter, nous définirons ce qu est une chaîne de Markov et nous donnerons ses principales propriétés. Ensuite, nous expliquerons quelques algorithmes MCMC utiles dans l application qui nous intéresse. 3.1 Les chaînes de Markov, théorie Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires. Dénotons X t la valeur d une variable aléatoire au temps t. Ces variables aléatoires peuvent être vues comme évoluant dans le temps, avec une probabilité de transition dépendante de l état présent dans la chaîne. On peut définir un noyau de transition (ou transition kernel) comme une fonction qui détermine les transitions. Cette fonction est notée K et est définie sur χ B(χ) où χ est l espace des états (donc tous les états possibles). Si χ est discret, alors le noyau de transition est simplement une matrice où chaque élément est P inj = P (X n+1 = j X n = i n,..., X 0 = i 0 ) = P (X n = j X n 1 = i n 1 ) (3.1) j, i n 1,..., i 0 χ. Si toutefois χ est continu (comme ce sera le cas dans notre application) alors le noyau de transition est défini comme K(x, x ), où x est l ensemble de l état présent et x est l ensemble de l état vers lequel on transite. 9

12 Alors, étant donné un noyau de transition K, une séquence {X n } n 0 de variables aléatoires est une chaîne de Markov si pour tout k, on a que P (X k+1 A x 0, x 1,..., x k ) = P (X k+1 A x k ). (3.2) = K(x k, dx) Cette propriété est appelée la propriété de Markov. En résumé, l état suivant dépend uniquement de l état présent et non de l histoire de la chaîne. Une chaîne de Markov peut avoir une distribution stationnaire. Intuitivement, la distribution stationnaire est telle que si on part la chaîne dans la distribution stationnaire, alors, à l état prochain, la distribution de la chaîne sera encore la distribution stationnaire. Dans le cas des MCMC, on veut que cette distribution stationnaire soit la distribution a posteriori. Toutefois, pour que la distribution stationnaire soit unique et vrai peut importe le point de départ de la chaîne, cette dernière doit respecter quelques propriétés importantes. 1. Irréductibilité Premièrement, on dit que i communique avec j si n > 0 tel que la probabilité d aller à j à partir de i en n pas n est pas nulle. De plus, on dit que C est une classe d équivalence si i, j C, i communique avec j et j communique avec i. Alors, tous les états de cette classe sont du même type. Finalement, si une chaîne de Markov ne comporte qu une seule classe d équivalence, alors on dit que la chaîne est irréductible. Cette propriété se résume ainsi : A n > 0 t.q. P (X n = j X 0 = i) > 0 i, j. (3.3) 2. Apériodicité La période, notée d i, d un état i est le plus grand nombre qui divise tout n tel que la probabilité d aller de i à i en n pas est strictement positive. En d autres mots, d i = P GCD{n : P (n) ii > 0, n 1} (3.4) où le P GCD est le plus grand commun diviseur. Si d i = 1, on assume que l état est apériodique. On peut aussi voir que si la probabilité d aller à i à partir de i est non nulle, alors i est apériodique. Alors, si tous les états de la chaîne sont apériodiques, la chaîne est donc apériodique. Avec ces deux propriétés, notre chaîne de Markov est assurée de converger vers une loi stationnaire. À ceci, on peut ajouter une dernière propriété : la réversibilité. Toutefois, elle n est pas nécessaire ici. C est seulement une propriété qui nous aide à construire une chaîne de Markov avec la loi stationnaire voulue, f. 10

13 3. Réversibilité Une chaîne de Markov est réversible par rapport à f si la probabilité d aller de i à j en n pas est la même que d aller de j à i en n pas encore. Si on considère le cas discret, on a que : f i P (n) ij = f j P (n) ji (3.5) où f i est la valeur de la distribution stationnaire à l état i. Alors, ces propriétés nous permettent de construire notre chaîne de Markov dont la loi stationnaire converge vers la distribution que nous souhaitons (ici, la distribution a posteriori). Pour plus de détails et une introduction plus théorique, voir Robert et al. (2004). Ainsi, nous appliquerons les méthodes dites de Monte Carlo à ces chaînes de Markov pour construire nos algorithmes. 3.2 Algorithme de Metropolis Nous commencerons notre visite des algorithmes MCMC par celui de Metropolis, même si ce dernier n est pas utilisé directement dans l article d Eraker. La première version de cet algorithme a été décrite dans Metropolis et al. (1953) qui considérait le cas particulier de la distribution de Bolzmann, une distribution très utile en physique statistique. Depuis là, plusieurs autres applications ont été trouvées à cet algorithme (dont la finance). Notre but est de générer une chaîne de Markov qui converge vers la distribution souhaitée, disons ici f(x). Pour ce faire, nous avons besoin d une densité proposée arbitraire notée q. Cette loi instrumentale q doit être simulable rapidement (i.e. loi uniforme, normale, etc.) et doit être symétrique (i.e. q( x x) = q(x x)). L algorithme va comme suit : 1. Initialiser x (0), soit le premier élément de la chaîne. 2. Poser i Simuler un candidat qui dépend de la valeur précédente x (i 1). 4. Calculer la valeur x q( x (i 1) ) (3.6) α = min{1, 5. Accepter x avec la probabilité α telle que f( x) f(x (i 1) }. (3.7) ) x (i) = { x avec la probabilité α x (i 1) sinon. (3.8) En pratique, on peut utiliser une loi uniforme sur [0, 1] pour effectuer cette étape. 11

14 6. Changer la valeur de i à i i + 1 et aller en 3. Étant donné une période de burn-in suffisante, la chaîne devrait tendre vers la distribution stationnaire (ou dans notre cas, la distribution f que nous voulons simuler). La période de burn-in dépend de la valeur initiale choisie et du comportement de la loi instrumentale q. Toutefois, cette méthode n est pas sans défaut : elle ne génère pas d échantillons indépendants et identiquement distribués parce que la probabilité d acceptation dépend de la valeur précédente dans la chaîne. 3.3 Algorithme de Metropolis-Hastings En 1970, quelques années après les travaux de Metropolis et ses collaborateurs, Hastings (1970) s est penché sur le sujet. Il a étendu l application de l algorithme de Metropolis à des cas plus généraux. La grande différence entre l algorithme de Metropolis et celui dit de Metropolis-Hastings est essentiellement la relaxation de l hypothèse qui exige une distribution instrumentale symétrique (i.e. q( x x) = q(x x)). L algorithme, qui ressemble beaucoup à celui décrit un peu plus haut, va comme suit : 1. Initialiser x (0), soit le premier élément de la chaîne. 2. Poser i Simuler un candidat qui dépend de la valeur précédente x (i 1). 4. Calculer la valeur x q( x (i 1) ) (3.9) f( x) q(x (i 1) x) α = min{1, f(x (i 1) ) q( x x (i 1) }. (3.10) ) 5. Accepter x avec la probabilité α telle que x (i) = { x avec la probabilité α x (i 1) sinon. (3.11) En pratique, on peut utiliser une loi uniforme sur [0, 1] pour effectuer cette étape. 6. Changer la valeur de i à i i + 1 et aller en 3. Essentiellement, la différence pratique entre les deux algorithmes se trouve dans le calcul de α. Il est à noter qu il existe plusieurs autres algorithmes qui découlent de dernier. On peut penser à une variante du Metropolis-Hastings qui utilise une distribution instrumentale indépendante de x (i 1) (i.e. q( x)). On nomme cette variante le Independence Chain Metropolis-Hastings. 12

15 3.4 Échantillonnage de Gibbs On voit l échantillonnage de Gibbs comme étant un cas particulier de l algorithme de Metropolis-Hastings. On se sert de cet algorithme quand on veut échantillonner des valeurs d une fonction multidimensionnelle avec un nombre fixe de variables (i.e. f(x) où x = x 1, x 2,..., x N ). La densité conjointe n est pas nécessairement connue ; toutefois, toutes les distributions conditionnelles doivent être connues. C est dans cette optique que cette méthode semble être une bonne méthode pour faire l échantillonage d une distribution a posteriori dans l approche bayésienne. L algorithme va comme suit : 1. Initialiser x (0) = x (0) de la chaîne. 2. Poser i Simuler 1, x(0) 2,..., x(0) N, soit le premier vecteur d éléments x (i+1) 1 f( x (i) 2, x(i) 3 x (i+1) 2 f( x (i+1) x (i+1) N. 1, x (i) 3,..., x(i) N ),..., x(i) N ) f( x (i+1) 1, x (i+1) 2,..., x (i+1) N 1 ) (3.12) 4. Changer la valeur de i à i i + 1 et aller en 3. Ici, tous les candidats simulés sont acceptés contrairement aux deux algorithmes traités précédemment (i.e. α = 1). La raison pour laquelle α = 1 est qu on génère des valeurs des vraies distributions, alors nous n avons pas besoin de corriger avec une certaine probabilité d acceptation. Comme on peut le voir, cette méthode est très facile à implémenter. Toutefois, cette méthode a quelques problèmes connus dans certains cas particuliers. Premièrement, dans une distribution à grande dimension, si deux variables sont parfaitement corrélées, alors l échantillonneur restera pris et ne pourra pas changer les valeurs associées à ces variables. De plus, si une fonction est définie de telle sorte que tous les états ont une probabilité associée très près de zéro et qu un seul point de l espace a une très grande probabilité, alors l échantillonneur prendra trop de temps pour converger. Ceci occasionnera des erreurs dans la simulation (voir les références [19] et [3]). 3.5 Méthode d acceptation-rejet En premier lieu, l algorithme d acceptation-rejet (ou accept-reject) est une technique de simulation. Toutefois, ce n est pas une méthode MCMC car 13

16 elle n implique pas la contruction d une chaîne de Markov. On doit premièrement choisir une densité instrumentale notée q. Cette densité doit respecter cette propriété : f(x) Mq(x), x, M 1. (3.13) Le terme M q(x) est appelé l enveloppe ; normalement, l échantillonnage de cette distribution est facile. Le M sera déterminé en fonction que l équation (3.13) soit toujours valide. Ensuite, il nous reste qu à appliquer cet algorithme plutôt simple : 1. Poser i Simuler le candidat 3. Calculer la valeur avec M bien choisi. α = min{1, x q( ). (3.14) f( x) Mq( x) } (3.15) 4. Accepter x avec la probabilité α tel que x (i) = x. S il y a rejet, on retourne à l étape Changer la valeur de i à i i + 1 et aller en 2. Nous ne nous servirons pas de cet algorithme directement ; toutefois, il est important de saisir le concept pour pouvoir comprendre la prochaine méthode de simulation. 3.6 Algorithme AR-MH (acceptation-rejet Metropolis- Hastings) Le dernier algorithme que nous allons traiter dans le cadre de notre analyse est celui d acceptation-rejet Metropolis-Hastings. C est un algorithme hybride entre la méthode d acceptation-rejet et le Metropolis-Hastings décrit plus haut. Nous l utiliserons durant notre analyse. L algorithme va comme suit : 1. Initialiser x (0), soit le premier élément de la chaîne. 2. Poser i Simuler le candidat x q( ). (3.16) indépendant de l état actuel de la chaîne de Markov. 4. Calculer la valeur avec M bien choisi. α = min{1, f( x) Mq( x) } (3.17) 14

17 5. Accepter x avec la probabilité α. S il y a rejet, on retourne à l étape Calculer la valeur 1 si f(x (i 1) ) < Mq(x (i 1) ) α = f(x (i 1) ) Mq(x (i 1) ) min{1, si f(x (i 1) ) > Mq(x (i 1) ) et f( x) < Mq( x) f( x) q(x (i 1) ) f(x (i 1) ) q( x) } si f(x (i 1) ) > Mq(x (i 1) ) et f( x) > Mq( x) 7. Accepter x avec la probabilité α tel que. (3.18) x (i) = { x avec la probabilité α x (i 1) sinon. (3.19) 8. Changer la valeur de i à i i + 1 et aller en 3. Comme on peut le remarquer, cet algorithme est un cas particulier d un échantilloneur indépendant (Independence Chain Metropolis-Hastings). Ceci fait très bien le tour de toutes les techniques MCMC que nous utiliserons durant notre travail. 15

18 Chapitre 4 Processus de diffusion Ce chapitre traitera des processus de diffusion et des équations stochastiques différentielles. Essentiellement, nous ferons une introduction des concepts de base de cette théorie. Nous vous présenterons ensuite les trois modèles importants de notre analyse. 4.1 Introduction aux équations différentielles stochastiques Les équations différentielles stochastiques sont des équations différentielles qui contiennent un ou plusieurs termes qui est un processus stochastique. La solution de ces équations est un processus stochastique aussi. Nous nous intéresserons ici plus particulièrement au processus de diffusion. Normalement, les EDS (ou équations différentielles stochastiques) incorporent du bruit blanc qui ici peut être vue comme la dérivée d un mouvement brownien (sera introduit plus tard). Nos modèles ont cette caractéristique. En mathématiques financières, la notation est un peu différente si on la compare à celle vu en physique. Une équation typique utilisée, qui ressemblera à ce que nous verrons plus tard dans ce document est dy t = µ (Y t : θ) dt + σ (Y t : θ) dw t (4.1) où W t est le mouvement brownien (dit standard) en d dimensions. On pourrait aussi exprimer la même équation sous forme d intégrale : Y t+s Y t = t+s t µ (Y u : θ) du + t+s t σ (Y u : θ) dw u. (4.2) Pour s assurer de l existence et de l unicité de la solution de l équation différentielle stochastique, un théorème existe. On le connaît sous le nom de théorème général de l existence et de l unicité. Supposons les équations suivantes : dy t = µ (Y t : θ) dt + σ (Y t : θ) dw t (4.3) 16

19 avec Y 0 connu. Pour que l existence et l unicité soient respectées, on doit respecter ces trois contraintes (voir aussi la référence [10]) : 1. Les fonctions µ et σ sont des fonctions mesurables qui vérifient la condition de Lipschitz, soit (x 1, θ), (x 2, θ) R d Θ : µ(x 1 : θ) µ(x 2 : θ) C x 1 x 2, (4.4) σ(x 1 : θ) σ(x 2 : θ) C x 1 x 2, (4.5) avec C une constante positive quelconque. 2. Les fonctions µ et σ sont bornées linéairement telles que µ(x 1 : θ) 2 + σ(x 1 : θ) 2 C 2 ( 1 + x 1 2). (4.6) avec C une constante positive quelconque. Il est aussi à noter que. symbolise la norme euclidienne. 3. La valeur initiale Y 0 appartient à L 2 (Ω, I, P ) et est indépendante de la σ-algèbre σ(w t, t [0, T ]), alors, il existe une solution pour tout t [0, T ] appartenant à L 2 (Ω, I, P ), continu et unique sur l intervalle. Dans son article, Eraker fait part des deux premières conditions. Il ajoute aussi à ces deux conditions deux autres conditions. 1. σ (x : θ) σ (x : θ) doit être défini positif pour tout x R d. Il est a noter que définit la transposée de la matrice. 2. On a un échantillon d observations Y t,j pour t = 0, 1, 2,..., T, et j = 1, 2,..., d. Ces conditions sont citées pour d autres soucis que ceux mentionnés précédemment. La première condition est nécessaire pour avoir une fonction de vraisemblance bien définie. La deuxième condition ajoutée est présente pour la nous permettre d utiliser des données observables et non-observables. 4.2 Mouvement brownien ou processus de Wiener Le mouvement brownien est un processus stochastique. Un processus stochastique, c est un processus aléatoire qui est fonction du temps. En gros, le mot stochastique est, comme nous l explique N.N. Taleb dans son livre Fooled by randomness (voir référence [18]), une appellation huppée pour dire aléatoire (Stochastic is a fancy Greek name for random). Le mouvement brownien doit son nom au botaniste écossais Robert Brown ; ce dernier observait le pollen au microscope et a constaté la présence de très petites particules bougeant dans tous les sens. C est de là que vient le nom. Une manière d expliquer et de définir ce mouvement est le suivant : supposons une marche aléatoire symétrique telle que { 1 avec la probabilité 1 X i = 2 1 avec la probabilité 1. (4.7) 2 17

20 Ensuite, accélérons ce processus en prenant des pas de plus en plus petits (i.e. X 0) et en prenant des intervalles de temps de plus en plus petits (i.e. t 0). En passant à la limite, on obtient le mouvement brownien. Norbert Wiener a uniformisé cette théorie avec la rigueur mathématique nécessaire ; c est pour cela qu on entend parfois parler du processus de Wiener lorsque certains parlent du mouvement brownien. Supposons que W t est un processus de Wiener standard au temps t ; alors, W t répond à ces caractéristiques : 1. Z 0 = 0 ; 2. Z t+s Z t N (0, s) ; 3. Z t+s Z t est indépendant de Z t Z t r si r, s > 0 ; 4. Z t est continue ; 5. Z t+s Z t ne dépend pas de t. Les processus de diffusion et les équations différentielles stochastiques utilisés dans notre analyse contiennent des mouvements browniens, alors ceci sera sans doute utile. 4.3 Classe de modèles à élasticité constante de variance La classe des modèles CEV est un modèle à un facteur qui prend la forme suivante : ds t = (θ S + κ S S t )dt + σs β t dw t (4.8) où S t est le facteur du modèle, soit le prix du sous-jacent dans notre cas, W t est leprocessus de Wiener, β est l élasticité de la variance. La propriété de réversion à la moyenne peut être présente (si θ r et κ r sont bien choisis). Il est à noter que cette dernière écriture du modèle CEV est très générale et englobe plusieurs modèles particuliers de la classe CEV : si β = 0, on retrouve le processus d Orstein-Uhlenbeck (ou plus connu sous le nom de modèle de Vasicek en finance) et si β = 0.5, on retrouve le processus racine carrée (ou modèle le Cox, Ingersoll et Ross pour les taux d intérêt). Nous traiterons ces deux modèles dans les prochaines pages. Cette classe de modèles est facile à implémenter. Toutefois, Eraker (voir référence [5]) note dans son article que cette classe de modèle est incapable de reproduire la valeur élevée du coefficient d aplatissement observé. Cette observation était liée à une analyse menée sur les taux d intérêt. Dans une analyse portant cette fois sur les prix des certificats d émission en question (voir référence [7]), l auteur considère que le processus d Orstein-Uhlenbeck est le modèle qui donne les meilleurs résultats. La méthodologie de cet auteur est cependant très différente de la nôtre ; il utilise les maximums de vraisemblance afin de déterminer les valeurs des paramètres. Plus de détails sur ces modèles sont disponibles dans la référence [14]. 18

21 4.3.1 Processus d Orstein-Uhlenbeck Ce modèle à un facteur de la classe à élasticité constante de variance prend cette forme ds t = (θ S + κ S S t )dt + σdw t. (4.9) Dans le cas où θ S > 0 et κ S < 0, nous avons la propriété de réversion à la moyenne. : si le prix du sous-jacent devient trop élevé, la moyenne du processus devient négative et si le prix devient trop bas, alors la moyenne du processus devient positive. Un problème de ce modèle est que les prix des sous-jacents peuvent devenir négatifs (il n y a pas de contrainte pour empêcher ceci) ; nous ne souhaitons pas cela Processus racine carrée Ce modèle, toujours dans la classe à élasticité constante de variance, prend la forme suivante ds t = (θ S + κ S S t )dt + σ S t dw t. (4.10) Ce modèle permet aussi le retour à la moyenne. De plus, le problème majeur du processus d Orstein-Uhlenbeck, soit le fait que les prix peuvent devenir négatifs, n est plus un problème ici. La dérive du processus est maintenant proportionnelle à la racine carrée du prix du sous-jacent Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Ce modèle est dans la classe CEV. Il est très semblable au processus d Orstein-Uhlenbeck standard. Toutefois, il est exponentiel. Il prend la forme suivante : d (ln S t ) = (θ S + κ S (ln S t ))dt + σdw t. (4.11) La différence par rapport aux autres modèles, c est qu ici on considère le logarithme du prix et non le prix en tant que tel. Ce modèle permet encore le retour à la moyenne. Voilà ce qui conclut notre brève introduction aux modèles de diffusion que nous allons utiliser. 19

22 Chapitre 5 Marché européen des certificats d émission de carbone Dans ce chapitre, nous présenterons un bref historique du marché européen des certificats d émission de carbone. De plus, nous introduirons le fonctionnement du marché en question. 5.1 Historique Vers la fin des années 1980, plusieurs scientifiques et experts se sont mobilisés pour analyser la situation du réchauffement climatique et des gaz à effet de serre. Leurs conclusions furent très alarmantes : l état de la planète se détériore à vue d oeil. De plus, en 1995, le Groupe d experts intergouvernemental sur l évolution du climat écrit dans un rapport que l étude des preuves suggère une influence détectable de l activité humaine sur le climat planétaire. Ce rapport est le coup d envoi de toutes les démarches internationales qui ont précédé la signature en 1997 du plus important traité mondial visant la réduction des émissions des gaz à effet de serre : le protocole de Kyoto. C est dans le cadre de ce protocole que l Union européenne s est engagée à réduire ses émissions de gaz à effet de serre entre les années 2008 et 2012 de 8 % par rapport au niveau des années Pour ce faire, ils ont décidé d implanter un marché de certificats d émission de dioxyde de carbone (il est à noter que le dioxyde de carbone est le principal gaz à effet de serre produit par l activité humaine). Les consultations ont débuté en mars 2000 ; en 2003, les directives sur le marché des émissions européennes (European Emissions Trading Directive) ont été entérinées. Deux ans plus tard, en 2005, le marché européen du carbone, le European Union Emission Trading Scheme (EU ETS) a vu le jour. C est aujourd hui le plus grand marché de ce type au monde. 20

23 5.2 Fonctionnement du marché européen Le marché du carbone est basé sur le mécanisme du Cap and Trade (voir référence [6]) : on met un plafond d émissions possibles sur le territoire européen et on laisse les entreprises faire le travail (par l intermédiaire de bourses électroniques organisées). Les entreprises doivent acheter (ou vendre) des quotas supplémentaires pour ne pas dépasser leur quota permis. Ce quota se compte en terme de EUA (European Union Allowance), ou permis d émission de dioxyde de carbone. Chaque EUA détenue par une compagnie donne le droit d émettre une tonne de CO 2. Si la compagnie a émis plus de dioxyde de carbone qu elle ne détient de EUA, elle aura une pénalité à payer. Le EU ETS divise ces permis d émission en trois catégories selon le moment où l entreprise a le droit d émettre sa tonne de CO 2 : la première phase ( ), la deuxième phase ( ) et la troisième phase ( ). Si, par exemple, une compagnie a un EUA pour la première phase, alors elle peut émettre une tonne de dioxyde de carbone entre 2005 et Toutefois, en 2008, l EUA expire. L entreprise aura donc besoin d un EUA pour la deuxième période dans ce cas. De plus, les EUA d une phase sont émis, vendus ou donnés au début de la phase en question. Malheureusement, ce ne sont pas toutes les entreprises européennes qui sont soumises à la réglementation du EU ETS ; en 2007, environ 50% des émissions de la zone euro étaient légiférées. Afin d harmoniser le fonctionnement du marché du carbone européen avec les directives du protocole de Kyoto, l UE permet l émission de certificats alternatifs, ou CER (certified emission reductions). Ces certificats permettent aussi d émettre une tonne de dioxyde de carbone. Pour obtenir un tel certificat, une entreprise doit réaliser un projet qui permet la réduction d émissions des gaz à effet de serre à l étranger. Il existe plusieurs bourses électroniques européennes qui s occupent des échanges des titres CER et EUA tel que Bluenext, European Energy Exchange, Nord Pool, European Climate Exchange, etc. De plus, certaines bourses transigent des contrats à terme (pour la phase actuelle ou pour les phases futures) et des produits dérivés des titres EUA et CER. 21

24 Chapitre 6 Méthodologie Dans ce chapitre, nous décrirons en profondeur l algorithme utilisé. L algorithme implémenté ici est très semblable à celui qu Eraker a utilisé pour les taux d intérêt des bons du Trésor américain (voir Eraker (2001)). Toutefois, dans notre analyse, nous utiliserons un coefficient d élasticité de la variance, β, fixé à l avance (c est-à-dire 0 et 0, 5 pour les processus de Orstein- Uhlenbeck et racine carrée respectivement). Le fait de fixer le coefficient d élasticité de la variance n a pas vraiment d effet sur l expérience, selon Eraker. De plus, nous définirons une densité a priori, chose qui n a pas été faite explicitement par Eraker. 6.1 Définitions des éléments clés Pour débuter, nous allons définir une matrice, nommée Ŷ, qui contient les informations connues, S i (soient les prix des sous-jacents) et des informations inconnues, Ŝj (qui seront entre les données connues). On simulera ces dernières à l aide des méthodes MCMC ; le but ici est d augmenter les données hebdomadaire (soit les S j ) afin d avoir, entre chaque donnée connue, une, trois ou sept données simulées. Comme il a été mentionné un peu plus tôt dans cette analyse, le fait d estimer les paramètres d un processus à l aide de données très discontinue amène un certain biais (dit de discrétisation). Maintenant, en augmentant les données (c.-à.-d. en ajoutant des points entre chaque point connu de données), nous allons tenté de diminuer le biais de discrétisation à un niveau le plus minimal possible. La matrice Ŷ prend donc la forme suivante ] Ŷ = [S 1,t0 Ŝ 1,t1... S 1,tm Ŝ 1,tm+1... S 1,tn. (6.1) Cette matrice consiste en une matrice 1 (n+1) où n+1 est le nombre total de données (observées et non observées). Ce nombre dépend de m. Il est à noter que m 1 est défini comme le nombre de points ajouté entre deux 22

25 données observées et 1 m = t. Dans cette analyse, t = 1 est équivalent à une semaine. Dorénavant, nous noterons Ŷi la colonne i de la matrice Ŷ. Nous savons que la densité de l observation i sachant les paramètres du processus, θ = (θ S, κ s, σ), est p(ŷi θ) = 1 σŷ β i 1 exp 1 2 (Ŷi Ŷi 1 (θ S + κ S Ŷ i 1 ) t σ2ŷ 2β i 1 t ) 2 (6.2) pour des raisons évidentes liées aux propriétés du mouvement brownien standard (c est-à-dire W s W s t N (0, t)). Il est à noter que nous utiliserons p pour les densités normalisées et π pour les formes non normalisées. De plus, nous poserons que la fonction a priori des paramètres du processus est non informative. Elle prendra la forme p(θ) 1. (6.3) Cette densité a priori nous permet, comme son nom nous le dit, de n introduire aucune information supplémentaire. Ici, on ne connait pas les densités «naturelles» des paramètres du modèle (voir le chapitre 4.1 pour plus de détails sur ces fameux paramètres). Donc, en utilisant les bases de la méthodologie bayésienne (voir chapitre 2), on a que π(θ Ŷ ) n i=1 1 σŷ β i Algorithme exp 1 2 (Ŷi Ŷi 1 (θ S + κ S Ŷ i 1 ) t σ2ŷ 2β i 1 t ) 2. (6.4) L algorithme que nous utiliserons n est pas très compliqué. Il consiste en 6 étapes qui forment un échantillonneur de Gibbs (décrit au chapitre 3). Certaines étapes de cet échantillonneur sont directes ; d autres nécessitent de passer par des algorithmes MCMC plus complexes tel que le AR-MH (voir la section 3.6). Nous allons maintenant décrire chacune des étapes en détails. 1. On initialise toutes les données inconnues de la matrice Ŷ et tous les paramètres du processus. Les valeurs initiales des paramètres n ont pas vraiment d importance ; les MCMC finiront par converger vers les bonnes valeurs. Pour les Ŝi, on les initialise en utilisant une simple interpolation linéaire ; ici encore, ça n a pas beaucoup d importance. De plus, on pose h 1. La variable h comptera le nombre d itérations qu on fera. 2. Ensuite, pour tous les i, on utilise l algorithme hybride d acceptationrejet Metropolis-Hastings pour trouver les Ŷ (h) i Ŷ (h 1) \i, θ où Ŷ (h 1) \i 23

26 signifie la matrice Ŷ sans la colonne i à l itération h 1. La densité de cette dernière est assez compliquée : p (h) (Ŷ i Ŷ (h 1) ) \i, θ exp σŷ (h)β i 1 (h) (Ŷ i 1 σŷ (h)β i Ŷ (h) i 1 ( σ θ S + κ S Ŷ (h) ) 2Ŷ (h)2β i 1 ( (h 1) (Ŷ i+1 Ŷ (h) i σ t 2Ŷ (h)2β i i 1 θ S + κ S Ŷ (h) i t ) 2 t ) t ) 2. (6.5) Il est très difficile de tirer un échantillon directement à partir de cette densité ; c est pourquoi on utilise l algorithme de AR-MH (selon Eraker (2001), la convergence serait plus rapide avec ce genre d algorithme). On utilise une normale comme loi instrumentale : ( 1 (h) q N (Ŷ i Ŷ (h 1) i+1 ), 1 ) (h)β (σŷ i 1 2 )2 t. (6.6) La simulation d un échantillon pour chaque colonne de la matrice Ŷ devient alors très facile. Le choix de paramètres de la loi instrumentale est un peu naturel : la moyenne de la normale est la moyenne des deux points qui se trouve à côté du point qu on cherche à générer et la variance correspond à la variance du processus (estimée au point précédent). 3. Puis, on va cherche à estimer des valeurs moyennes pour les paramètres de notre processus à l aide d une régression linéaire. Ici, on doit définir le vecteur y et une matrice de design X. Les éléments du vecteur y sont définis comme une empilade de [ ] Ŷi Ŷi 1 y i = t (6.7) Ŷ β t pour chaque i. Pour la matrice de design X, les éléments [ X i = t t Ŷ β t ] Ŷ t t t Ŷ β t (6.8) sont empilés. Le but de cette étape est de faire une régression linéaire du vecteur y sur la matrice de design X. Nous allons évaluer deux choses : les estimateurs ( θ S, κ S ) et la moyenne du carré des résidus, notée s 2. Comme dans une régression, on évalue les estimateurs par θ = ( θ S, κ S ) = (X X) 1 (X y) (6.9) 24

27 où le X signifie la matrice transposée de X. La moyenne du carré des résidus se calcule ainsi : s 2 = 1 n n i=1 ( y i X i θ) 2. (6.10) Des informations supplémentaires concernant les arguments qui nous poussent à faire cette étape sont disponibles dans l annexe B de cette analyse. 4. Ensuite, on tire (θ S, κ S ) (h), les valeurs de θ S et κ S à l itération h à partir d une densité normale : (θ S, κ S ) σ, Ŷ N ( θ, σ 2 (X X) 1 ). (6.11) Le terme de variance de la normale multivariée est un résultat assez standard en régression linéaire. La loi des paramètres est alors une normale qui est très facile à simuler. 5. Puis alors, on tire σ (h), la valeur de σ à l itération h à partir d une densité chi-deux : σ 2 Ŷ χ2 (n 2) (n k) s 2. (6.12) Ici, nous n utilisons pas la méthode Eraker qui semble avoir des lacunes : manque de définition dans son article et manque de précision sur les densités a priori utilisées. Voir la référence [9] pour plus d informations sur les hypothèses qui nous permettent d utiliser la distribution chi-deux. 6. Finalement, on augmente la valeur de h et on retourne à l étape 2. En suivant ces 6 étapes, nous obtenons des densités empiriques pour chaque paramètre du modèle. De plus, nous obtenons des densités empiriques pour chaque donnée non observée de la matrice Ŷ. L analyse des prix des certificats d émission (EUA et CER) sera faite au chapitre suivant. Un exemple de code MATLAB est fourni à l annexe A. Il est aussi à noter que quand nous utiliserons le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel, nous considérerons le logarithme des prix, et non les prix. 25

28 Chapitre 7 Applications et résultats Dans ce chapitre, nous ferons part des résultats de l analyse MCMC pour les certificats d émission de type EUA et CER. Les données utilisées pour l analyse proviennent de la bourse Bluenext (http://www.bluenext.fr/ statistics/downloads.html). Pour les EUA, nous avons sélectionné les données pour la deuxième phase d émission, soit 26 février 2008 au 20 juillet Nous travaillerons avec les prix de fermeture à la fin de chaque semaine (du vendredi). Pour les CER, nous travaillerons aussi avec les données de la deuxième phase. Toutefois, les données sur la bourse Bluenext pour les CER sont disponibles uniquement à partir du 12 août Nous prendrons encore les prix de fermeture à la fin de la semaine pour notre analyse. Comme Eraker (voir la référence [5]), le but ici est d augmenter la quantité de données à l aide de simulation MCMC ; c est pourquoi nous n utiliserons pas toutes les données disponibles. Toutefois, il est à noter que les statistiques descriptives calculées ci-dessous proviennent de l ensemble des données disponibles sur la bourse Bluenext. Les tables 7.1 et 7.3 contiennent les statistiques descriptives pour les deux séries chronologiques de cette analyse. En moyenne, les CER valent moins que les EUA. De plus, la volatilité associée au EUA est plus élevée que celle des CER. Les tables 7.2 et 7.4 nous montre que les séries utilisées sont hautement autocorrélées. S i S i S i 1 Moyenne 16,5858-0,0108 Médiane 14,5500 0,0100 Écart type 4,9403 0,4073 Coefficient d asymétrie 0,8549-0,4937 Coefficient d applatissement 2,3849 4,5007 Table 7.1 Statistiques descriptives des prix des EUA 26

29 lag S i S i S i 1 1 0,9991 0, ,9982-0, ,9973 0, ,9964 0, ,9954 0,0139 Table 7.2 Autocorrélations de la série chronologique des prix des EUA S i S i S i 1 Moyenne 13,0646-0,0157 Médiane 12,5800 0,0000 Écart type 2,5629 0,3196 Coefficient d asymétrie 1,4893-0,5571 Coefficient d applatissement 6,061 4,8069 Table 7.3 Statistiques descriptives des prix des CER lag S i S i S i 1 1 0,9983 0, ,9966-0, ,9950 0, ,9932 0, ,9914-0,0015 Table 7.4 Autocorrélations de la série chronologique des prix des CER 27

30 σ κ S θ S t = 1 (m = 1) Moyenne 0,8671-0,0171 0,2296 Écart type 0,0569 0,0160 0,2766 t = 1 2 (m = 2) Moyenne 0,8673-0,0173 0,2326 Écart type 0,0567 0,0160 0,2765 t = 1 4 (m = 4) Moyenne 0,8677-0,0173 0,2331 Écart type 0,0562 0,0160 0,2771 t = 1 8 (m = 8) Moyenne 0,8681-0,0175 0,2357 Écart type 0,0552 0,0160 0,2763 Table 7.5 Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck des EUA 7.1 European Union Allowance (EUA) Nous nous pencherons maintenant sur la série des EUA. Pour chaque processus utilisé, nous donnerons les moyennes et les écarts types des distributions a posteriori de chaque paramètre Processus d Orstein-Uhlenbeck Pour ce processus utilisé avec les données des EUA, quelques informations relatives aux distributions a posteriori sont données dans la table 7.5. Les figures 7.1, 7.2 et 7.3 correspondent aux densités a posteriori des paramètres σ, κ S et θ S respectivement Processus racine carrée Les résultats pour le processus racine carrée sont résumés dans la table 7.6. Les densités a posteriori des paramètres σ, κ S et θ S sont visibles dans les figures 7.4, 7.5 et 7.6 respectivement Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Pour le processus d Orstein-Uhlenbech exponentiel utilisé avec les données des EUA, des informations relatives aux distributions a posteriori sont données dans la table 7.7. Les figures 7.7, 7.8 et 7.9 correspondent aux densités a posteriori des paramètres σ, κ S et θ S respectivement. 7.2 Certified Emission Reductions (CER) Maintenant, nous ferons la même chose. Toutefois, cette fois nous utiliserons la série chronologique contenant les prix de CER. 28

31 m=1 m=2 m=4 m=8 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 Figure 7.1 Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein-Uhlenbeck des EUA m=1 m=2 m=4 m=8-0,1-0,08-0,06-0,04-0,02 0 0,02 0,04 0,06 Figure 7.2 Densité empirique a posteriori de κ S d Orstein-Uhlenbeck des EUA pour le processus 29

32 m=1 m=2 m=4 m=8-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Figure 7.3 Densité empirique a posteriori de θ S d Orstein-Uhlenbeck des EUA pour le processus σ κ S θ S t = 1 (m = 1) Moyenne 0,2164-0,0247 0,3552 Écart type 0,0141 0,0176 0,2807 t = 1 2 (m = 2) Moyenne 0,2171-0,0239 0,3436 Écart type 0,0141 0,0179 0,2856 t = 1 4 (m = 4) Moyenne 0,2164-0,0235 0,3369 Écart type 0,0137 0,0177 0,2826 t = 1 8 (m = 8) Moyenne 0,2150-0,0235 0,3362 Écart type 0,0133 0,0176 0,2812 Table 7.6 Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus racine carrée des EUA 30

33 m=1 m=2 m=4 m=8 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25 0,27 0,29 Figure 7.4 Densité empirique a posteriori de σ pour le processus racine carrée des EUA m=1 m=2 m=4 m=8-0,12-0,1-0,08-0,06-0,04-0,02 0 0,02 0,04 0,06 Figure 7.5 Densité empirique a posteriori de κ S pour le processus racine carrée des EUA 31

34 m=1 m=2 m=4 m=8-1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 Figure 7.6 Densité empirique a posteriori de θ S pour le processus racine carrée des EUA σ κ S θ S t = 1 (m = 1) Moyenne 0,0574-0,0235 0,0619 Écart type 0,0037 0,0188 0,0523 t = 1 2 (m = 2) Moyenne 0,0574-0,0240 0,0633 Écart type 0,0037 0,0189 0,0525 t = 1 4 (m = 4) Moyenne 0,0572-0,0237 0,0623 Écart type 0,0036 0,0187 0,0519 t = 1 8 (m = 8) Moyenne 0,0573-0,0240 0,0632 Écart type 0,0573 0,0188 0,0522 Table 7.7 Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des EUA 32

35 m=1 m=2 m=4 m=8 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 Figure 7.7 Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des EUA m=1 m=2 m=4 m=8-0,12-0,1-0,08-0,06-0,04-0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 Figure 7.8 Densité empirique a posteriori de κ S d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des EUA pour le processus 33

36 m=1 m=2 m=4 m=8-0,2-0,15-0,1-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 Figure 7.9 Densité empirique a posteriori de θ S d Orstein-Uhlenbeck exponentiel des EUA pour le processus Processus d Orstein-Uhlenbeck Pour le processus d Orstein-Uhlenbeck, le résumé concernant les paramètres se situe à la table 7.8. Les graphiques des densités empiriques a posteriori sont aux figures 7.10, 7.11 et Processus racine carrée À la table 7.9, on peut voir le résumé des paramètres pour le processus racine carrée associé à la série des prix des CER. Pour les graphiques, consultez les figures 7.13, 7.14 et Processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel Pour le processus d Orstein-Uhlenbeck exponentiel, le résumé concernant les paramètres se situe à la table Les graphiques des densités empiriques a posteriori sont aux figures 7.16, 7.17 et Comparaisons avec l expérience de Godin (2010) Dans Godin (2010), l auteur fournit des estimateurs pour les paramètres des trois modèles étudiés ici ; pour ce faire, il utilise la méthode du maximum de vraisemblance. Les séries chronologiques utilisées par Godin sont les 34

37 σ κ S θ S t = 1 (m = 1) Moyenne 0,6899-0,0697 0,8344 Écart type 0,0502 0,0268 0,3572 t = 1 2 (m = 2) Moyenne 0,6893-0,0699 0,8361 Écart type 0,0487 0,0269 0,3585 t = 1 4 (m = 4) Moyenne 0,6891-0,0698 0,8316 Écart type 0,0483 0,0272 0,3622 t = 1 8 (m = 8) Moyenne 0,6867-0,0699 0,8349 Écart type 0,0462 0,0272 0,3626 Table 7.8 Estimation de moyenne et d écart type pour les densités a posteriori des paramètres avec le processus d Orstein-Uhlenbeck des CER m=1 m=2 m=4 m=8 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 Figure 7.10 Densité empirique a posteriori de σ pour le processus d Orstein-Uhlenbeck des CER 35

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