Méthode de volumes finis pour l équation de Poisson : construction et analyse fonctionnelle discrète

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1 Construction du schéma discret Méthode de volumes finis pour l équation de Poisson : construction et analyse fonctionnelle discrète Université Montpellier 2 28 Avril 2011

2 Sommaire Construction du schéma discret 1 Construction du schéma discret 2

3 Sommaire Construction du schéma discret 1 Construction du schéma discret 2

4 Construction du schéma discret Objectif Construire une approximation de la solution exacte ū du problème de Poisson { ū = f sur Ω, ū = 0 sur Ω ; où : Ω est un domaine polygonal de R d ; f L 2 (Ω).

5 Un peu de chimie Construction du schéma discret ū : concentration d une espèce chimique U dans un milieu f : taux de production de U par le milieu j u : vecteur densité de courant de U Loi de Fick : j u = D ū

6 Un peu de chimie Construction du schéma discret ū : concentration d une espèce chimique U dans un milieu f : taux de production de U par le milieu j u : vecteur densité de courant de U Loi de Fick : j u = D ū Bilan de conservation (en régime permanent) : V, D ū n = f V = D ū = f V

7 Maillage Construction du schéma discret

8 Construction du schéma discret Construction du schéma On considère l équation ū = f. Bilan de conservation sur une maille K : ū n K,σ = σ arêtes de K où n K,σ = normale extérieure à K σ K f

9 Construction du schéma discret Construction du schéma On considère l équation ū = f. Bilan de conservation sur une maille K : ū n K,σ = σ arêtes de K où n K,σ = normale extérieure à K Approximation des flux : On suppose (x K x L ) σ σ K f σ ū n K,σ σ ū(x K ) ū(x L ) d(x K, x L )

10 Construction du schéma discret Construction du schéma Inconnues discrètes : famille (u K ) K destinée à approcher ū aux points (x K ) K. Flux discrets : F K,σ = σ u K u L d(x K, x L ) σ ū n K,σ

11 Construction du schéma discret Construction du schéma Inconnues discrètes : famille (u K ) K destinée à approcher ū aux points (x K ) K. Flux discrets : F K,σ = σ u K u L d(x K, x L ) σ ū n K,σ Problème continu Trouver une fonction ū telle que V Ω, ū = f V V

12 Construction du schéma discret Construction du schéma Inconnues discrètes : famille (u K ) K destinée à approcher ū aux points (x K ) K. Flux discrets : F K,σ = σ u K u L d(x K, x L ) σ ū n K,σ Problème continu Trouver une fonction ū telle que V Ω, ū = f V V Problème discret Trouver une famille u = (u K ) K telle que K, F K,σ = f σ arêtes de K K

13 Construction du schéma discret Construction du schéma Inconnues discrètes : famille (u K ) K destinée à approcher ū aux points (x K ) K. Flux discrets : F K,σ = σ u K u L d(x K, x L ) σ ū n K,σ Problème continu Trouver une fonction ū telle que V Ω, ū = f EDP elliptique V V Problème discret Trouver une famille u = (u K ) K telle que K, F K,σ = f σ arêtes de K système linéaire carré K

14 Sommaire Construction du schéma discret 1 Construction du schéma discret 2

15 Construction du schéma discret Cadre d étude continu : l espace H0 1(Ω) Espace : H0 1(Ω) = complété de C1 c (Ω) pour la norme u L 2 (Ω) Norme : u 2 = H0 1 Ω u 2

16 Construction du schéma discret Cadre d étude continu : l espace H0 1(Ω) Espace : H0 1(Ω) = complété de C1 c (Ω) pour la norme u L 2 (Ω) Norme : u 2 = H0 1 Ω u 2 Cadre d étude discret : l espace H M M maillage de Ω Espace : H M = {familles u = (u K ) K } = {fonctions u : Ω R constantes par mailles} Norme : u 2 M = σ entre K et L σ d(x K, x L ) u K u L 2

17 Construction du schéma discret Inégalité de Poincaré Proposition (Inégalité de Poincaré continue) Si u H0 1 (Ω), alors u L 2 diam(ω) u H 1 0

18 Construction du schéma discret Inégalité de Poincaré Proposition (Inégalité de Poincaré continue) Si u H0 1 (Ω), alors u L 2 diam(ω) u H 1 0 Proposition (Inégalité de Poincaré discrète) Si u H M, alors u L 2 diam(ω) u M

19 Construction du schéma discret Injections compactes Théorème (Rellich continu) Si une suite (u n ) n N est bornée dans H0 1 (Ω), alors elle admet une valeur d adhérence dans L 2 (Ω).

20 Taille d un maillage Construction du schéma discret Taille du maillage M : h M = max K M diam K

21 Rellich discret Construction du schéma discret On se donne : Une suite de maillages (M n ) n tq h Mn 0. Une suite de fonctions discrètes (u n ) n N tq n N, u n H Mn Proposition Si ( u n Mn ) n N est bornée, alors (u n ) admet une valeur d adhérence dans L 2 (Ω).

22 Démonstrations Construction du schéma discret Ingrédients continus (u n ) est bornée dans L 2 (Ω). (u n ) est équicontinue dans L 2 (Ω) : u n ( + η) u n L 2 η u n H 1 0 Ascoli version L 2

23 Démonstrations Construction du schéma discret Ingrédients continus (u n ) est bornée dans L 2 (Ω). (u n ) est équicontinue dans L 2 (Ω) : u n ( + η) u n L 2 η u n H 1 0 Ascoli version L 2 Ingrédients discrets (u n ) est bornée dans L 2 (Ω). (u n ) est équicontinue dans L 2 (Ω) : u n ( + η) u n 2 L 2 η ( η + Ch Mn ) u n 2 M n Ascoli version L 2

24 Estimations a priori Construction du schéma discret Problème continu Trouver ū H0 1 (Ω) telle que ū = f Si ū est solution, alors ū H 1 0 diam(ω) f L 2 Problème discret Trouver u = (u K ) K H M telle que K, F K,σ = f σ arêtes de K Si u est solution, alors u M diam(ω) f L 2 K

25 Convergence Construction du schéma discret On se donne une suite de maillages (M n ) n telle que h Mn 0. Suite de solutions discrètes (u n ) n N

26 Convergence Construction du schéma discret On se donne une suite de maillages (M n ) n telle que h Mn 0. Suite de solutions discrètes (u n ) n N Estimations a priori : ( u n Mn ) n N est bornée Rellich discret : u n ū fortement dans L 2 (Ω) Passage à la limite dans les équations discrètes : ū est solution du problème exact