TS Intégration et lois à densité Cours

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1 TS Intégrtion et lois à densité Cours I. Notion d intégrle Soit f une fontion ontinue et positive sur un intervlle [ ; ]. C f est l oure représentnt f dns un repère orthogonl ( O ; I, J).. Définition On ppelle : unité d ire ( u..) : l ire du retngle OIKJ. Domine sous l oure :domine délimité pr l oure C f, l xe des sisses, et les droites d éqution x = et x = ( ) L intégrle de à de l fontion f est l ire du domine D situé sous l oure C f On l note : f( x )dx Remrque : l intégrle d une fontion ontinue et positive sur [ ; ] est un nomre réel positif Voulire - Nottion. et sont les ornes de l intégrle 2. f( x )dx se lit «somme de à de f(x)dx» ou «intégrle» 3. x est une vrile muette, elle n intervient ps dns le résultt : f( x )dx = f( t )dt = f( u )du Exemples :. On donne l représenttion suivnte d une fontion f sur [-2 ; 3 ] et les mesures : OI = 2m et OJ = 3 m Cluler l unité d ire 3 2 f(x)dx puis l ire en m²

2 . Cluler 0 xdx et 3 ( 2t + )dt Utilistion de l lultrie : x²dx 0 Csio : OPTN >> Cl puis TI : MATH >> fnint(x², x,0, ) Exeries : 6,7 pge 20 ; 43, 46 pge 2 2. Endrement de l intégle d une fontion positive Pour déterminer une pproximtion de l intégrle d une fontion ontinue, monotone et positive sur [; ],on peut prtger l intervlle [; ] en n sous- intervlles de même mplitude h = n Sur hque intervlle [x i ; x i+ ], l ire sous l oure de f est omprise entre les ires de deux retngles, l un de huteur f(x i ) et l utre de huteur f(x i+ ) Ces retngles ont pour ire h f(x i ) et h f(x i+ ) L ire de l surfe située sous l oure représenttive de f sur [; ] peut lors être endrée pr l somme S des ires des n retngles inférieurs et l somme S des ires des n retngles supérieurs Exemple : On donne i-ontre un lgorithme. Déterminer une vleur pprohée à 0,0 près de l vleur S ffihée pr l lgorithme 2. Construire l représenttion grphique de l fontion rine rrée sur [0;] puis donner une interpréttion grphique du résultt ffihé Vriles : S, x, h reéls i entier Initilistion : S prend l vleur 0 x prend l vleur 0 h prend l vleur 0,2 Tritement : Pour i vrint de à 5 S prend l vleur S + h x x prend l vleur x + h FinPour Sortie : Affiher S Exeries : 07, 08 pge 28 Remrque : définition inémtique de l intégrle Pour un moile se déplçnt surune trjetoire à l vitesse v(t) positive ou nulle, l distne d prourue pr le moile entre les instnts t et t 2 est : d = 2 t 2 t v(t)dt

3 3. Propriétés f(x)dx = 0 Reltion de Chsles : Pour tous nomres réels, et tels que f(x)dx + f(x)dx = f(x)dx Pour tout nomre réel k : kf(x)dx = k f(x)dx ( dmis pour l instnt ) Exeries : 8 pge 20 ; 4 pge 2 II. Loi de proilité à densité Dns le préédent hpitre de proilités, les vriles létoires prenient des vleurs isolées : nomre de oules tirées, nomre de»pile»otenu pour un lner de pièes Prfois il peut être intéressnt d étudier des vriles létoires prennt des vleurs dns R ou dns un intervlle de R : temps d ttente à l rrêt de us, durée de on fontionnement d un ppreil életronique. on dit lors que l vrile létoire X est ontinue. Pour une telle vrile létoire, les évènements intéressnts sont du type X < 400, X 200 ou 200 < X < 400, est-à-dire des évènements qui orrespondent à des intervlles.. Fontion de densité Définition Soit I un intervlle ( orné ou non ) de R. On ppelle densité de proilité sur I toute fontion f définie sur I telle que f est ontinue et positive sur I L ire sous l oure C f est égle à u. 3

4 Exemple : φ et f représentées i-ontre sont des densités de proilités sur R 2. Loi à densité Définition Soit f une densité de proilité définie sur un intervlle I Dire qu une vrile létoire X suit l loi de densité f signifie qu à tout intervlle J inlus dns I on ssoie l proilité : P(X J) = ire(d j ) où D j est le domine sous l oure C f sur l intervlle J. On dit lors que X est une vrile létoire ontinue ou une vrile létoire suivnt une loi de proilité à densité. Conséquenes : Pour tout intervlle [ ; d] inlus dns, d P( X d) = f(t)dt Pour tout nomre réel I : P(X = ) = 0 P( X d) = P(x < X < d) = P( < X d) = P( X < d) 4

5 Exemple : III. Loi uniforme L loi uniforme est l loi des phénomènes ontinus uniformément réprtis sur un intervlle. Définition Une vrile létoire X suit une loi uniforme sur l intervlle [ ; ] lorsque s densité de proilité f est une fontion onstnte sur [ ; ] Propriété L loi de proilité de l loi uniforme est l fontion définie sur [ ; ] pr f(x) = Preuve : L lrgeur du retngle est. L huteur doit don être Propriété: pour que l ire soit égle à Preuve : Soit X une vrile létoire qui suit l loi uniforme sur [ ; ] Pour tout intervlle [ ; d] inlus dns [ ; ] : P( X d) = d f(t)dt = d 5 d

6 Exemple : On hoisit un nomre u hsrd dns l intervlle [0 ;5]. Cluler : P(X = 2), P(X > 3), P( X < 4) 2. Espérne mthémtique Définition L espérne d une vrile létoire X de densité f sur [ ; ] est le nomre réel : E(X) = tf(t)dt Propriété Preuve : Soit X une vrile létoire qui suit l loi uniforme sur l intervlle [ ; ] ( < ) L espérne mthémtique de X est E(X) = + 2 E(X) = t dt = ( )(+) = ( ire d un trpèze ) Exemple: Jenne dit qu elle psserit hez Jen entre 8h et 20h30. Quelle est l proilité qu elle rrive pendnt qu il mnge entre 9h et 9h30? 6