où h o et h w sont des termes sources dûs aux puits. On a ensuite les relations reliant les vitesses au gradient de la pression :

Transcription

1 Itrodutio. O s itéresse ii à la simulatio umérique de la réupératio des hydroarbures piégés das u réservoir pétrolier dot les aratéristiques sot oues. Ce type de simulatio est utilisé par les ompagies pétrolières afi d optimiser leur pla de produtio (où reuser, ommet ijeter, et...). O peut déomposer e travail e 3 parties : Elaboratio d u modèle mathématique. Développemet de méthodes umériques pour la résolutio approhée du modèle préédet. Eriture d u ode iformatique. Si le modèle est doé sas réelle justifiatio, les méthodes umériques sot effetivemet utilisées das la plupart des simulateurs de réservoirs des ompagies pétrolières. Bie sûr, o tiet à préiser que les aratéristiques du réservoir sot simplifiées. I. Modèle iformatique. Das ette partie, o doe brièvemet les paramètres dérivat les milieux poreux et les paramètres dérivat le fluide oupat la partie poreuse. Milieu poreux : il est supposé fixe (il e hage pas ave le temps). Il est aratérisé par sa perméabilité absolue K (failité pour le fluide à se déplaer), et par sa porosité Φ (volume des pores par rapport au volume total). Fluide : le fluide oupat les pores est ostitué de 3 phases : «eau», «hydroarbures sous forme liquide» et «hydroarbures sous forme gaz». Pour simplifier, ous allos seulemet osidérer les phases «eau» et «hydroarbures sous forme liquide». De la même faço, il y a plusieurs ostituats das la phase hydroarbure, mais ous osidéreros que ous avos qu u seul ostituat. Nous allos maiteat doer les équatios. Les ioues sot la saturatio, la pressio et la vitesse de filtratio de haque phase. Elles serot otées s w, s o, p w, p o, v w, v o (où w désige la phase eau, et o la phase hydroarbure). Nous avos do les 2 équatios suivates : (Φ * s w ) / t + div (v w ) = h w (Φ * s o ) / t + div (v o ) = h o das Ω x ],T[ das Ω x ],T[ où h o et h w sot des termes soures dûs aux puits. O a esuite les relatios reliat les vitesses au gradiet de la pressio : v w = - f w (s w ) * K * (grad(p w ) ρ w * g) v o = - f o (s w ) * K * (grad(p o ) ρ o * g) où ρ est la masse volumique et g le veteur de gravité. Ce sot do es 4 équatios que ous allos utiliser pour les méthodes umériques.

2 II. Méthodes umériques. O s itéressera ii diretemet au as que ous allos étudier, est à dire le as bidimesioel. Le domaie du réservoir Ω = ],L x [ x ]O,L y [ où L x et L y représetet la gradeur du réservoir das haue des diretios. O défiit do u pas de maillage (ostat) e espae : h x = L x / x, h y = L y / y où x et y sot les ombres de mailles das haque diretio. Le pas de temps, quat à lui, est alulé à haque temps pour respeter ue otraite de stabilité. Pour fiir, o ote x i = i * h x h x / 2, et do x i+/2 = i * h x. Bie sûr, o fait de même pour l autre dimesio.. Disrétisatio d u as simplifié. Das u premier temps, o e tiet pas ompte de la gravité, de la pressio apillaire et des puits. O suppose aussi que le milieu poreux est homogèe. O doit do résoudre les équatios suivates : (Φ * s) / t + div (v w ) = (Φ * ( s)) / t + div (v o ) = v w = -f w (s w ) * K * grad(p) v o = -f o (s w ) * K * grad(p) O pred f w lipshitziee roissate telle que f w () =. f o lipshitziee déroissate telle que f o () =. f o + f w est otiue, stritemet positive sur [,]. O remplaçat v w et v o das les 2 premières équatios, o obtiet les équatios disrétisées suivates : h x * h y * Φ * (s i,j + s i,j ) / k + Σ F = - h x * h y * Φ * (s i,j + s i,j ) / k + Σ G = O va maiteat doer des approximatios pour les quatités F et G e distiguat les flux itérieurs et extérieurs. a) Flux itérieurs. Pour les flux itérieurs, o utilise es approximatios : F = h y * (f w ) * K * (p i,j + p i+,j + ) / h x G = h y * (f o ) * K * (p i,j + p i+,j + ) / h y où (f w ) et (f o ) sot des approximatios déetrées de f w (s) et f o (s), ave (f w ) = f w (s i,j ) et (f o ) = f o (s i,j ) si p i,j > p i+,j (f w ) = f w (s i+,j ) et (f o ) = f o (s i+,j ) si p i,j < p i+,j b) Flux extérieurs. Pour les flux extérieurs, il y a 3 as possibles : Coditio de flux ul. Cette oditio est : F = G = Coditio de flux imposé. Cette oditio est :

3 F = - a, G = où a orrespod au flux d eau retrat. Coditio à pressio imposée. Cette oditio est : F = h y * (f w ) * K * (p i,j + p ) / h x /2 G = h y * (f o ) * K * (p i,j + p ) / h x /2 où p est ue pressio doée et (f w ) et (f o ) sot des approximatios déetrées de f w (s) et f o (s), ave : (f w ) = f w (s i,j ) et (f o ) = f o (s i,j ) si p i,j > p (f w ) = f w (s i+,j ) et (f o ) = f o (s i+,j ) si p i,j < p ) Calul de la pressio. O ajoute les 2 équatios disrétisées et o obtiet : Σ (F + G) = Ce système est iversible si il y a au mois ue oditio aux limites à pressio imposée. d) Calul de la saturatio. O utilisat la première équatio disrétisée, o obtiet : s i,j + = s i,j k / (h x * h y * Φ)* Σ F O oaît les valeurs de p i,j +, do o oaît les valeurs de F. O peut do aluler les valeurs de la saturatio. Il faut maiteat hoisir u pas de temps de maière à respeter des otraites de stabilité du shéma umérique. Typiquemet, o pred : k = γ * ħ où ħ déped des doées et γ s appelle «CFL». 2. Prise e ompte des puits. Das les mailles oteat les puits, il faut «remplaer» le zéro des équatios disrétisées par des valeurs q w,l et q o,l. Ces quatités sot les flux d eau et d hydroarbure. Si q w,l >, il y a ijetio d eau. Si q w,l <, il y a produtio d eau. Là eore, il y a deux types de puits. a) Puits à débit imposé. O appelle q l le débit total. Il y a 2 as. Cas q l >. O suppose que l o ijete uiquemet de l eau et do : q w,l = q l, q o,l = Cas q l <. O produit alors u mélage d eau et d hydroarbure : q w,l = f w (s i,j ) / (f w (s i,j ) + f o (s i,j )) * q l q o,l = f o (s i,j ) / (f w (s i,j ) + f o (s i,j )) * q l b) Puits à pressio imposée. Là aussi, o remplae (après de logs aluls) : q w,l = I l * f w (s i,j ) * (p l p i,j + )

4 q o,l = I l * f o (s i,j ) * (p l p i,j + ) ave p l doée et I l doé par (r p est le rayo du puits) : I l = K / (- /4 + /2π * l(h / r p ) E fait, o rajoute es 2 équatios à elles que l o oaît déjà. Pour aluler la pressio, o utilise la même méthode que das le as simplifié. O obtiet alors : Σ (F + G) = q w,l + q o,l Ce système est iversible si il y a au mois ue oditio aux limites à pressio imposée ou si il y a au mois u puits à pressio imposée et que l idie de e puits est stritemet positif. III. Code iformatique et résultats.. Code iformatique. O herhe, pour aluler la pressio, à résoudre u système du type A*U = B. (remarque : la matrie A est très reuse, elle otiet beauoup de ). O va utiliser la méthode de Cholewski : o herhe L telle que : A = L * L t. Esuite, o alule : L * v = B (étape appelé «desete») puis L t * u = v (étape appelé «remoté») Typiquemet, la struture du ode est le suivat : O «remplit» A O «remplit» B O alule la pressio grâe à la méthode de Cholewski. O alule la saturatio e utilisat la relatio vue das la partie méthodes umériques e parourat les mailles e distiguat les arêtes itérieures et extérieures (4 as au total : vertiale itérieure, horizotale itérieure, vertiale extérieure, horizotale extérieure). 2. Résultats. a) Test. Perméabilité absolue : Id Perméabilités relatives : s (eau) et ( s) (huile) Visosités : (eau) et (huile) Coditio iitiale : s = Coditios aux limites : flux ul e y = et y =, débit d eau retrat ostat et égal à e x =, pressio égale à e x = Ave es oditios, le hamp de pressio est idépedat du temps. Nombre de mailles e x : 5 Nombre de mailles e y : 5 Résultats obteus au temps T =.45 ave CFL = 3/4.

5 pressio,2,8,6 pressio,4,2,5,5 saturatio,2,8,6,4,2,,3,25,37,49,6,73,85,97 saturatio b) Test 2. Perméabilité absolue : Id Perméabilités relatives : s² (eau) et ( s)² (huile) Visosités : (eau) et 4 (huile) Coditio iitiale : s = Coditios aux limites : flux ul e y = et y =, débit d eau retrat ostat et égal à e x =, Pressio égale à e x = Pour e test, le hamp de pressio déped du temps. Nombre de mailles e x : 5 Nombre de mailles e y : 5 Résultats obteus au temps T =.429 ave CFL =.

6 saturatio,9,8,7,6,5,4,3,2, -,,5,5 saturatio pressio 3,5 3 2,5 2,5,5,5,5 pressio ) Test 3. Perméabilité absolue : Id Perméabilités relatives : s² (eau) et ( s)² (huile) Visosités : (eau) et 4 (huile) Coditio iitiale : s = Coditios aux limites :. Par la réuio des bords bas et gauhe de la maille e bas à gauhe (maille (,)) o impose u flux d eau etrat égal à. 2. Sur les bords haut et droit de la maille e haut à droite (maille (x,y)) o impose ue pressio ulle. 3. E dehors des bords dérits i dessus, o impose u flux ul. Pour e test, le hamp de pressio déped du temps. Nombre de mailles e x : 2, Nombre de mailles e y : 2. Résultats obteus au temps T =.7 ave CFL = sur la diagoale du arré, du poit (, ) au poit (, ).

7 saturatio,9,8,7,6,5,4,3,2, saturatio,25,75,325,475,625,775,925 pressio pressio 4 2,3,3,23,33,43,53,63,73,83,93 d) Test 4. Perméabilité absolue : Id Perméabilités relatives : s² (eau) et ( s)² (huile) Visosités : (eau) et 4 (huile) Coditio iitiale : s = Coditios aux limites :. Flux ul sur tout le bord sauf sur la moitié iférieure du bord droit. Sur ette moitié iférieure du bord droit, la oditio aux limites est pressio ulle imposée ave s = à l extérieur du domaie (il e peut do retrer que de l eau). 2. Das la maille bas - gauhe se trouve u puits ijeteur. Le rayo du puits est. et la pressio est égale à. 3. Das la maille haut - droit se trouve u puits produteur. Le rayo du puits est. et la pressio est égale à. Nombre de mailles e x : 2, Nombre de mailles e y : 2. Résultats obteus au temps T =.23, sur la diagoale du arré, du poit (, ) au poit (, ).

8 saturatio,2,8,6,4,2 saturatio,25,75,325,475,625,775,925 pressio,5,5 Série -,5,3,3,23,33,43,53,63,73,83,93 - -,5 Nombre de mailles e x : 4, Nombre de mailles e y : 4.Résultats obteus au temps T =.348, sur la diagoale du arré, du poit (, ) au poit (, ).

9 saturatio,2,8,6 Série,4,2,,,2,3,4,5,6,7,8,9 pressio,5,5 Série -,5,,,2,3,4,5,6,7,8,9 - e) Test 5. O simule ii u as ave des doées réelles. Le domaie est u arré de 5 m sur 5 m. La porosité est partout de.2. Perméabilité absolue : Les m supérieurs sot oupés par du sable de perméabilité mdary ( mdary est égal à 5 m2). Les 4 m iférieurs sot oupés par de l argile de perméabilité 2 mdary. Il s agit do d exploiter u gisemet très peu perméable. Perméabilités relatives : s² (eau) et ( s)² (huile). Visosités : etipoise pour l eau et 5 etipoises pour l huile ( etipoise est égal à 3 Pa.s). Coditio iitiale : s = Coditios aux limites : Flux ul sur les bords haut, gauhe et droit. Sur le bord bas, la pressio est imposée à 2 bars ( bar est égal à 5 Pa) ave s = à l extérieur du domaie (il e peut do retrer que de l eau).

10 Au poit (5m, 5m) se trouve u puits ijeteur. Le rayo du puits est de m et la pressio est égale à 35 bars. Au poit (45m, 45m) se trouve u puits produteur. Le rayo du puits est m et la pressio est égale à 5 bars. Nombre de mailles e x : 55, Nombre de mailles e y : 55. Les solutios (saturatio et pressio) sot doées sur la diagoale du arré, du poit (, ) au poit (5, 5). Saturatio,2,8,6,4,2 4, ,999 3, , , , , , ,999 Pressio 495,45455 Série , ,999 3, , , , , , , ,45455 Série Chagemet de la perméabilité absolue : E preat les 4 m supérieurs oupés par du sable de perméabilité mdary et les m iférieurs oupés par de l argile de perméabilité 2 mdary (le gisemet est alors très perméable) et e oservat 35 bars au puits ijeteur. Nombre de mailles e x : 55, Nombre de mailles e y : 55. Les solutios (saturatio et pressio) sot doées sur la diagoale du arré, du poit (, ) au poit (5, 5).

11 Saturatio,2,8,6,4,2 4, ,999 3, , , , , , ,999 Pressio 495,45455 Série , ,999 3, , , , , , , ,45455 Série