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1 AVERTISSEMENT Ce documet est le fruit d u log travail approuvé par le jury de souteace et mis à dispositio de l esemble de la commuauté uiversitaire élargie. Il est soumis à la propriété itellectuelle de l auteur au même titre que sa versio papier. Ceci implique ue obligatio de citatio et de référecemet lors de l utilisatio de ce documet. D autre part, toute cotrefaço, plagiat, reproductio illicite etraîe ue poursuite péale. Cotact SCD INPL : scdipl@ipl-acy.fr LIENS Code de la propriété itellectuelle. Articles L.4 Code de la propriété itellectuelle. Articles L 335. L

2 Istitut Natioal Polytechique de Lorraie Ecole doctorale Ressources, Procédés, Produits, Eviroemet Ecole Natioale Supérieure d Electricité et de Mécaique Laboratoire Eviroemet Miéralurgie UMR 7569 CNRS THESE Présetée e vue de l obtetio du grade de Docteur de l Istitut Natioal Polytechique de Lorraie Spécialité : Géie Electrique Par Clémet LORIN Igéieur ENSEM Théorie de la microgravité magétique. Coceptio, dimesioemet et cotrôle de dispositifs d eviroemet microgravitatioel. Souteue publiquemet le : 7 ovembre 008 Directeur de thèse Pr. Alai MAILFERT Présidet de jury : Daiel BEYSENS, directeur de recherche CEA (Greoble) et ESPCI (Paris) Rapporteurs : Jérôme DELAMARE, professeur INPG (Greoble) Jea FAUCHER, professeur INPT (Toulouse) Examiateurs: Jea-Luc DUCHATEAU, directeur de recherche CEA (Cadarache) Alai MAILFERT, professeur INPL (Nacy) Ezio TODESCO, chef de sectio CERN (Geève) Frédéric VILLIERAS, directeur de recherche CNRS (Nacy)

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4 Remerciemets : Je ties tout d abord à remercier profodémet mo directeur de thèse, Mosieur Alai Mailfert, pour m avoir proposé u sujet passioat. A la croisée des domaies du magétisme et du spatial ce sujet m a fait rêver durat trois aées. Par so optimisme, so ethousiasme, Alai Mailfert a su me trasmettre so egouemet pour la recherche. Je ties égalemet à lui faire savoir que j ai fortemet apprécié os radoées e motage. Je souhaite qu il y e ait d autres! Mes remerciemets vot égalemet à Mosieur Daiel Beyses pour m avoir fait l hoeur de présider mo jury et pour m avoir doé de so précieux temps e acceptat de travailler avec moi. Je le remercie tout simplemet de m avoir fait cofiace. Je souhaite remercier Mosieur Deis Chatai de m avoir ilassablemet ouvert les portes du Service des Basses Températures du CEA-Greoble afi que je puisse participer aux campages de maipulatios. Je le remercie sicèremet pour la getillesse qu il a maifestée à mo égard durat ces trois aées. Je remercie Mosieur Jacques Yvo, directeur du Laboratoire Eviroemet Miéralurgie, de m avoir accueilli au sei de cette istitutio. Messieurs Jérôme Delamare et Jea Faucher ot accepté d être les rapporteurs de ce mémoire de thèse et de faire partie de mo jury, je les e remercie. Je remercie égalemet Messieurs Jea-Luc Duchateau et Ezio Todesco qui ot accepté de juger mo travail e participat à mo jury de thèse. J espère travailler u jour à leurs côtés. Mosieur Frédéric Villiéras m a aidé et ecouragé au momet de ma souteace de thèse dot il a accepté de faire partie du jury, je l e remercie. Je remercie mes parets, que cette thèse soit la cocrétisatio de leur éducatio. Pour leur assistace morale, leur comportemet jovial, leur amitié, je remercie : Félicie d être ma grade soeur, Jérémy et Michaël pour ces vigt ciq derières aées, Thibaut pour le bab, Floret pour les sagliers, Julie L. pour l iformatique, Nicolas pour ses passes sur l aile, Mélaie pour le chalet à Pelvoux, Ophélie pour so aglais, Julie D. pour la atatio et caal+, Virgiie pour so frac parlé, Julie H. pour le fromage, Damie pour ses vaes, Marc pour sa folie, Julie pour ses idées politiques, Adelie pour so rire, Camille A. pour sa vélocité pogistique, Thomas pour l Ukraie, Sylvai pour mo légioaire, Camille L. pour ses boutos, Sarah pour me remettre e questio, Alexadre pour ses reprises de volée, Carolie pour sa boe humeur, Guillaume pour le bab J exprime tout mo amour à Paulie pour avoir supporté mes sautes d humeur foctio des aléas de la recherche, j espère qu elle sera ecore à mes côtés quad l heure de la retraite aura soée Je remercie mo cousi Maxime d être perpétuellemet à mes côtés me permettat de surmoter toutes les épreuves.

5 Sommaire : Chapitre I : Itroductio... 0 I-) La micropesateur... I-.) Quelles problématiques spatiales?... I-..) E physique... I-..) E biologie... 3 I-.) Quels moyes d accès à la micropesateur?... 3 I-.3) Coclusio de la sectio I I-) Quelle lévitatio magétique?... 6 I-.) Lévitatio par champs statiques... 6 I-..) Matériaux magétiques... 6 I-..) Forces magétiques... 6 I-...) Stabilité... 7 I-...) Lévitatio paramagétique et diamagétique... 7 I-...3) Lévitatio ferromagétique... 8 I-.) Coclusio de la sectio I I-3) Les gradeurs fodametales... 0 I-3.) La force magétique... 0 I-3.) Le vecteur ihomogééité... I-3.3) Le potetiel magéto-gravitatioel... I-4) Problématique... 3 Référeces bibliographiques :

6 Chapitre II : Outils théoriques et méthode... 7 II-) Le potetiel magéto-gravitatioel Σ L et so applicatio à l iterprétatio d expérieces... 8 II-.) Défiitio... 8 II-.) Expérieces... 9 II-..) Hydrogèe... 9 II-...) Logueur capillaire effective II-...) Observatios... 3 II-.3) Coclusio de la sectio II II-) Méthode géérale d aalyse harmoique des champs de forces II-.) Impossibilité de décompositio harmoique du vecteur G II-.) Méthode géérale II-..) Expressio de G foctio des harmoiques du champ magétique II-..) Coditios d homogééité... 4 II-.3) Coclusio de la sectio II Référeces bibliographiques : Chapitre III : Géométrie cylidrique III-) Electro-aimat «classique» III-.) Aalyse théorique III-..) Etude aalytique de la forme des pôles III-..) Cas =3/... 5 III-..3) Saturatio... 5 III-..4) Ifluece du circuit magétique III-.) Simulatio III-..) Cas III-..) Cas III-..3) Re-dimesioemet zoe de travail III-.3) Coclusio de la sectio III III-) Méthode harmoique e géométrie cylidrique

7 III-.) Défiitio de la géométrie III-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G III-.3) Détermiatio de G pour trois familles d harmoiques III-.3.) Mise e équatio des trois coditios d homogééité III-.3..) Première famille de solutios III-.3..) Deuxième famille de solutios III-.3..3) Troisième famille de solutios III-.3.) Calcul des harmoiques, de G et de Σ L pour chaque famille III-.3..) Première famille de solutios cas circulaire III-.3..) Deuxième famille de solutios cas horizotal III-.3..3) Troisième famille de solutios cas «vertical» III-.4) Détermiatio de la appe de courat III-.4.) Desité surfacique (A.m - ) III-.4.) Desité volumique (A.m - ) III-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique... 7 III-.5.) Choix des paramètres de simulatio... 7 III-.5.) Simulatios cas horizotal et vertical et trocature à 3 harmoiques... 7 III-.5.3) Simulatios cas circulaire et ivariace par déphasage α des harmoiques III-.5.3.) Cas circulaire III-.5.3.) Ivariace : vecteur homogééité fixe et liges de champ tourates III ) Deux premiers harmoiques du champ fixes, ε tourat III ) Coclusio III-.6) Lévitatio de l oxygèe et de l hydrogèe par les techologies actuelles III-.6.) Relatios théoriques etre les différetes gradeurs III-.6.) Applicatios umériques III-.6..) Multipôles J-PARC III-.6..) Dispositifs dérivés des dipôles LHC... 8 III-.7) Coclusio de la sectio III III-3) Compesatio magétique et force cetrifuge III-3.) Positioemet du problème III-3..) Géométrie III-3..) Force cetrifuge III-3.) Force magétique egedrée par u champ quadrupolaire, et force cetrifuge e apesateur III-3.3) Force magétique permettat de simuler sur terre ue force cetrifuge existat e apesateur sur des matériaux paramagétiques III-3.3.) Expressios de G et de ε III-3.3.) Relatio etre champ magétique et fréquece de rotatio III-3.3.3) Décalage du cetre de la rotatio simulée... 9 III ) Forme de équiσ L... 9 III ) Forme du vecteur ihomogééité ε III ) Simulatios de rotatio III ) Applicatios umériques III-3.4) Associatio de forces magétique et cetrifuge permettat d obteir sur la terre la compesatio parfaite de la pesateur pour les corps diamagétiques III-3.4.) Compesatio exacte de pesateur sur matériaux diamagétiques III-3.4.) Simulatio, au sol, de rotatio, e apesateur, sur les matériaux diamagétiques

8 III-3.5) Coclusio de la sectio III III-4) Coclusio du chapitre III Référeces bibliographiques :... 0 Chapitre IV : Géométrie axisymétrique... 0 IV-) Méthode harmoique e géométrie sphérique axisymétrique IV-.) Défiitio de la géométrie IV-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G IV-.3) Détermiatio de trois (plus ue) familles d harmoiques IV-.3.) Mise e équatio des trois (plus ue) coditios d homogééité IV-.3..) Cas «vertical» IV-.3..) Cas «horizotal» IV-.3..3) Cas «sphérique» IV-.3.) Résolutio des systèmes d équatios, et obtetio des familles d harmoiques IV-.3..) Cas «vertical» IV-.3..) Cas «horizotal»... 0 IV-.3..3) Cas «sphérique»... 0 IV-.3..4) Cas elliptique... IV-.4) Détermiatio de la appe de courat... IV-.4.) Desité surfacique de courat... IV-.4.) Desité volumique... IV-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique... 4 IV-.5.) Simulatio avec 3 harmoiques des différetes cofiguratios de lévitatio 4 IV-.5.) Validatio de la trocature à 3 harmoiques... 5 IV-.6) Coclusio de la sectio IV IV-) Iserts... 8 IV-.) Gééralités sur les iserts... 8 IV-..) Quels matériaux?... 8 IV-..) Modélisatio des iserts... 8 IV-..3) Isert pour la lévitatio... 9 IV-.) Soléoïde 0T avec isert... 0 IV-..) Hydrogèe... 0 IV-..) Eau... IV-..3) Hélium... 3 IV-.3) Coclusio de la sectio IV IV-3) Dimesioemet d ue statio de lévitatio : applicatio à l oxygèe

9 IV-3.) Cotraites et méthode... 6 IV-3.) Large Oxyge Levitatio Apparatus (LOLA)... 7 IV-3..) Premier bobiage : «B»... 7 IV-3..) Secod bobiage : «G»... 9 IV-3..3) Troisième bobiage : Σ L IV-3..4) Présetatio de la statio... 3 IV-3..5) Résultats umériques IV-3..5.) Variatio spatiale de l accélératio IV-3..5.) Variatio temporelle de l accélératio IV-3..6) Précisio de positioemet IV-3..6.) Méthode IV-3..6.) Impact sur la décompositio harmoique IV ) Impact sur la zoe à % IV-3.3) Statio de lévitatio d oxygèe plus performate IV-3.3.) Premier bobiage : «B» IV-3.3.) Secod bobiage : «G»... 4 IV-3.3.3) Troisième bobiage : «Σ L»... 4 IV-3.3.4) Présetatio de la statio IV-3.3.5) Variatio spatiale de l accélératio IV-3.4) Coclusio et perspectives de la sectio IV IV-4) Coclusio du chapitre IV Référeces bibliographiques :... 5 Chapitre V : Compesatio magétique dyamique... 5 V-) Compesatio magétique trasitoire : OLGA V-.) Iteractio mutuelle V-.) Dimesioemet d ue alimetatio spécifique V-.3) Qualificatio de l alimetatio Bouhik V-.4) Evolutio de la gravité résiduelle... 6 V-.5) Impact des madris et de la cellule V-.5.) Madris V-.5.) Cellule V-.5..) E cuivre V-.5..) E saphir V-.5..3) E iox V-.6) Coclusio de la sectio V V-) Trasitoire avec décompositio harmoique

10 V-.) Deux harmoiques : géométrie cylidrique V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio exacte V-...) Modificatio de l harmoique Λ V-...) Modificatio de l harmoique Λ V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio variable... 7 V-...) Modificatio de l harmoique Λ... 7 V-...) Modificatio de l harmoique Λ... 7 V-.) Deux harmoiques : géométrie axisymétrique V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio exacte V-...) Modificatio de l harmoique C V-...) Modificatio de l harmoique C V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio variable V-...) Modificatio de l harmoique C V-...) Modificatio de l harmoique C V-...3) Modificatio simultaée des harmoiques V-.3) Coclusio de la sectio V Référeces bibliographiques : Coclusio et perspectives Aexes Aexe A : Oxygèe diphasique proche du poit critique et iterprétatio de l iterface e terme d équipotetiels magéto-gravitatioelles équiσ L au sei de OLGA Aexe B : Expressio du gradiet à l itérieur d u sphéroïde (ellipsoïde de révolutio) allogé e foctio des harmoiques sphéroïdaux Aexe C : Problème de coceptio et modificatio de la décompositio harmoique Aexe D : Effets des problèmes de coceptio sur la taille de la zoe de lévitatio à %.. 0 Aexe E : Décompositio du sous-esemble créat le champ dipolaire Aexe F : Dimesioemet du sous-esemble créat le champ quadrupolaire... 3 Aexe G : Décompositio harmoique d u soléoïde à sectio rectagulaire suivat u poit de so axe de symétrie Aexe H : Dimesioemet du sous-esemble créat le champ hexapolaire Aexe Đ : Théorèmes e géométrie cylidrique

11 Nomeclature Bibliographie Persoelle

12 Chapitre I : Itroductio Sommaire I-) La micropesateur... I-.) Quelles problématiques spatiales?... I-..) E physique... I-..) E biologie... 3 I-.) Quels moyes d accès à la micropesateur?... 3 I-.3) Coclusio de la sectio I I-) Quelle lévitatio magétique?... 6 I-.) Lévitatio par champs statiques... 6 I-..) Matériaux magétiques... 6 I-..) Forces magétiques... 6 I-...) Stabilité... 7 I-...) Lévitatio paramagétique et diamagétique... 7 I-...3) Lévitatio ferromagétique... 8 I-.) Coclusio de la sectio I I-3) Les gradeurs fodametales... 0 I-3.) La force magétique... 0 I-3.) Le vecteur ihomogééité... I-3.3) Le potetiel magéto-gravitatioel... I-4) Problématique... 3 Référeces bibliographiques :

13 Le terme de microgravité s emploie e pricipe seulemet lorsque la résultate des forces uiquemet gravitatioelles auxquelles est soumis u corps est très faible par rapport à la pesateur à la surface de la Terre. E raiso de l existece de différets corps célestes, la microgravité e peut exister qu e certaies régios de l espace. Le terme de micropesateur est utilisé par ailleurs lorsque la résultate de l esemble des forces d origies gravitatioelle et iertielle, auxquelles est soumis u corps, est très faible par rapport à la pesateur à la surface de la Terre [ARR]. La micropesateur se recotre par exemple das u satellite e orbite autour d ue plaète. Das cet ouvrage, la défiitio de microgravité sera galvaudée et le ses du terme de micropesateur sera prêté à celui de microgravité. Nous préciseros plus loi (p.6) l utilisatio du terme de lévitatio. I-) La micropesateur Expérimeter e micropesateur reviet e quelque sorte à péétrer das u mode étrage où les phéomèes physiques habituellemet recotrés sur Terre semblet s être totalemet déréglés. Nombre de phéomèes sot complètemet modifiés voire aihilés par l absece de gravité faisat apparaître des mécaismes iitialemet sous-jacets et imperceptibles. Sas faire ue liste exhaustive de tous les phéomèes trasformés par l absece de pesateur, quelques-us vot être présetés ci-dessous. I-.) Quelles problématiques spatiales? I-..) E physique E apesateur, le comportemet des fluides e présece d u gradiet de température chage puisque le trasport de chaleur par mouvemet covectif disparaît. A l approche des coditios de micropesateur la taille des bulles, das u fluide e ébullitio, augmete cosidérablemet à cause de la prédomiace de la tesio de surface par rapport à l accélératio (Fig. ). La vitesse ascedate des bulles est raletie et leur détachemet de la paroi est de mois e mois fréquet. Il e résulte ue ébullitio sous forme de film. E effet, le détachemet des bulles de grades dimesios du pla chauffat e s effectuat plus, ce derier est isolé de la phase liquide par u film de vapeur : c est la crise d ébullitio, qui se produit pour des flux thermiques plus faibles que sur Terre. Il est importat de compredre les trasferts de masse et de chaleur associés à ce comportemet. FIG.. Illustratio de la dimiutio de gravité sur la taille des bulles (gravité terrestre=g o ). Résultats obteus par compesatio magétique de la pesateur par le Service des Basses Températures du CEA au sei de la statio OLGA avec de l oxygèe diphasique [PIC]. Comme autre exemple, la combustio, lieu de gradiets thermiques élevés, est gouverée sous gravité terrestre par les phéomèes coductifs et covectifs. Il suffit d observer la silhouette effilée d ue flamme de bougie sur Terre (Fig. a). Par cotre, e microgravité, les trasferts radiatifs devieet prédomiats, la forme d ue flamme e est complètemet modifiée et deviet quasimet sphérique (Fig. b). Mais si le combustible à la forme d ue plaque plae,

14 la flamme aura tedace à s alloger le log de celle-ci e coditio de micropesateur. Il coviet aussi de bie caractériser les suies dot le rôle radiatif est cosidérable. (a) (b) FIG.. Forme d ue flamme (a) sur Terre et (b) e apesateur das la avette spatiale Columbia [NAS] La combustio des brouillards a motré e microgravité des phéomèes remarquables de propagatio par pulsatios (Fig. 3). FIG. 3. Propagatio pulsatoire, e microgravité, de la combustio d u brouillard de polyméthylméthalacrylate réalisée das la tour à chute libre de 500m du Japa Microgravity Ceter à Hokkaïdo [HAN] Das les émulsios, par exemple de type eau das huile, la coalescece des gouttes d eau est pricipalemet due, sur Terre, au phéomèe de sédimetatio. E absece de pesateur ces émulsios gaget e stabilité. Mais ue coalescece raletie des gouttes existe toujours. Elle est due à d autres mécaismes, éclipsés sur Terre par cette sédimetatio. L absece de pesateur met à jour des phéomèes habituellemet cachés par ceux produits par la gravité. U autre exemple de phéomèes cachés est celui de l effet pisto [ZAP]. A l'approche du poit critique certaies gradeurs s'évaouisset, tel que la diffusivité thermique, et d'autres diverget, comme le coefficiet de compressibilité. Aisi u fluide critique, coteu das ue cellule e coditio d'apesateur et chauffé par ue paroi, se dilate fortemet au iveau de celle-ci, das la couche limite thermique au cotact de la paroi. Ue ode de pressio se propage alors au sei de la cellule iduisat ue compressio adiabatique de la totalité du fluide, qui après u temps caractéristique de relaxatio "court", aura chauffé l'esemble du fluide. La diffusivité thermique état quasi-ulle et la covectio iexistate, o aurait pu s'attedre à ue élévatio très "lete" de la température du fluide. Ce phéomèe est totalemet escamoté sur Terre par ue violete covectio due à la divergece du coefficiet de dilatatio isochore pour les fluides critiques.

15 I-..) E biologie Les problèmes de compréhesio du comportemet de la matière e absece de pesateur impliquet des difficultés ecore plus grades quat à la maîtrise du comportemet du vivat das ces mêmes coditios puisque le vivat est le siège de multiples phéomèes physiques ou physico-chimiques. Das le domaie des scieces de la vie [APP], les expérimetatios, e micropesateur, doivet apporter des coaissaces sur la biologie gravitatioelle. Celleci cocere l étude des systèmes végétaux, e particulier la trasductio et traductio du sigal gravitropique et aisi la morphogeèse végétale e microgravité. Les modificatios ou o des mécaismes physiologiques sot égalemet u sujet préoccupat, das le développemet préatal et postatal, au iveau du système sesorimoteur et des foctios cogitives, sur l altératio des tissus osseux et musculaire, ou bie ecore à propos des systèmes cardio-vasculaire et pulmoaire [ZAP]. I-.) Quels moyes d accès à la micropesateur? A l heure actuelle, divers moyes existet e recherche spatiale pour réaliser des expérieces e microgravité. Les différetes plates-formes, e service, offrat u accès aux coditios de micropesateur sot pricipalemet dédiées aux expérieces s itégrat das u cotexte de missio iterplaétaire. Ces plates-formes compreet les statios orbitales comme actuellemet la statio spatiale iteratioale ISS (Fig. 4), ou par le passé la statio Mir (Fig.5) et, avat celle-ci, Skylab (Fig. 6). Les coditios de micropesateur y sot extrêmemet itéressates e terme de temps et d accélératios résultates (0-4 g à 0-6 g selo le type de vol). Mais l accès y est restreit et le coût des missios très élevé. FIG. 4. Statio Spatiale Iteratioale (ISS) 3

16 FIG. 5. MIR (Paix e russe) FIG. 6. Skylab Il existe égalemet des fusées sodes permettat des temps d expérimetatio de l ordre de la quizaie de miutes telles que les fusées MAXUS (Fig. 7) ou les avettes spatiales avec ue accélératio résiduelle d eviro 0-4 g. Les campages de vol sot rares et le prix égalemet élevé ; la figure a été réalisée durat ce type de vol. Les tours à chute libre peu ombreuses permettet certaies expérimetatios rapide, par exemple pour la combustio (Fig. 3), mais offre pas des temps de microgravité suffisammet log, seulemet quelques secodes, pour ombre d expérimetatios. Les vols paraboliques e avio (KC 35, A300 ou II-76 respectivemet sur les figures 8, 9 et 0) permettet aussi u accès à la micropesateur avec des temps de microgravité d eviro 5s avec ue accélératio résiduelle de l ordre de 0 - g. FIG. 7. Fusée sode : MAXUS I FIG. 8. KC-35 zéro-g (Boeig 707) I-.3) Coclusio de la sectio I- L éumératio faite e costitue pas ue liste exhaustive des problématiques spatiales liées à la microgravité, mais elle révèle l étedue des recherches relatives à ce domaie. O voit que la demade scietifique, pour accéder aux plates-formes de mise e coditio de micropesateur, est largemet supérieure aux capacités d accueil de celles-ci. Le coût des campages de vols de fusées sodes est importat, l accès à la statio spatiale iteratioale 4

17 égalemet limité et très coûteux. Les tours à chute libre e permettet pas des temps d expérimetatios suffisammet log, ce qui est égalemet le cas des vols paraboliques. C est das ce cotexte d accès à l espace ou tout du mois aux coditios de microgravité que otre étude viet se positioer. La lévitatio par champ magétique apparue comme ue curiosité scietifique [BEA][BER] a ouvert la voie aux études biologiques ou physiques e apesateur [CHA][WUN]. Elle e remplace pas les plates formes existates. Elle complète cet évetail grâce à ses atouts tels qu u temps d expérimetatio quasi illimité, des cotraites e termes de sécurité et d accès aux coditios de micropesateur faibles et u coût de foctioemet peu élevé. So utilisatio semble parfaitemet adaptée aux expérieces de microgravité sur les fluides cryogéiques das des coditios ormales ou critiques, dot u exemple est motré figure. FIG. 9. Airbus zéro-g (A300) FIG. 0. Ilyushi-76 MDK zéro-g (II-76) 5

18 I-) Quelle lévitatio magétique? Il existe différets types de lévitatios par champs magétiques, c est à dire que différets phéomèes physiques peuvet coduire à la lévitatio d objets, tous e coduisat pas à des coditios de micropesateur. Aussi, ous présetos uiquemet la lévitatio magétique par champs statiques permettat de simuler des coditios locales de micropesateur, c est à dire dot la force magétique compese pour chaque molécule la force gravitatioelle. La lévitatio électrodyamique par courats de Foucault, utilisée par exemple pour certais trasports ferroviaires [DON], e permet qu ue compesatio globale et o locale de la pesateur, certais préférerot parler de sustetatio. Nous aborderos pas cette techique peu adaptée à l objectif de simulatio d apesateur. De même ous e parleros pas de la lévitatio des supracoducteurs, qui existet pas à l état fluide. I-.) Lévitatio par champs statiques La compréhesio de ce type de lévitatio passe par la coaissace phéoméologique des matériaux magétiques, car les comportemets variés des matériaux soumis à u champ magétique produiset des effets totalemet différets. Nous allos succictemet décrire trois des pricipaux types de matériaux magétiques que sot les diamagétiques, les paramagétiques et les ferromagétiques. Il existe d autres phéomèes comme l hélimagétisme, l atiferromagétisme, le ferrimagétisme se rapprochat du ferromagétisme car résultat d effets collectifs des momets magétiques [TRE]. I-..) Matériaux magétiques -Le diamagétisme caractérise des matériaux ou molécules dot les atomes e sot pas porteurs de momet magétiques permaet. L aimatatio iduite par applicatio d u champ magétique est très faible et opposée à celui-ci. Ces matériaux sot «repoussés» par les champs magétiques forts. -Le paramagétisme caractérise des matériaux possédat des atomes ou molécules avec des momets magétiques iteragissat pas etre eux. Lorsqu u champ magétique est appliqué, ue aimatatio apparaît de même ses que ce derier. Ces matériaux sot «attirés» par les champs magétiques forts. -Le ferromagétisme décrit les matériaux possédat des atomes avec des momets magétiques iteragissat etre eux, aisi ue aimatatio existe spotaémet e deçà d ue certaie température dite de Curie. Cepedat le matériau de taille suffisate est divisé e domaies de Weiss. Chaque domaie a ue aimatatio globale, mais d u domaie à l autre l aimatatio varie. Aisi d u poit de vue macroscopique le matériau peut paraître désaimaté. Ce type de matériau, soumis à u champ magétique, acquiert ue aimatatio macroscopique, car les domaies de Weiss s aliget avec le champ. E fait les parois se déplacet pour e laisser place, e champ fort, qu à u seul domaie aimaté das le même ses que le champ auquel il est soumis. Ces matériaux sot fortemet attirés par les champs magétiques. I-..) Forces magétiques 6

19 Avat de poursuivre il faut préciser que la force magétique egedrée s applique directemet sur chacu des atomes ou chacue des molécules du matériau soumis au champ magétique. Pour atteidre les coditios de micropesateur il faut que la force magétique s oppose à la force de gravité. L équilibre etre force magétique et de pesateur s effectue e chaque poit du matériau. Cet équilibre peut être cosidéré comme local aux échelles où le matériau est cosidéré comme cotiu. Les fortes valeurs de champ vot attirer les para- et ferro-magétiques alors qu elles vot repousser les diamagétiques. Cette remarque amèe à se poser la questio de la stabilité de la lévitatio par champ magétique statique e foctio des matériaux cosidérés. I-...) Stabilité La première persoe ayat étudier ces problèmes de stabilité est Samuel Earshaw au milieu du XIX ème siècle. E réalité, il travaillait à l époque sur l iteractio des forces agissat au sei d u système de particules «détachées» représetat «l éther lumiifère». L objectif était de motrer sous quelles coditios ces particules restet uiformémet dispersées et peuvet vibrer de maière isotrope pour propager la lumière. Mais e itroductio de so papier [EAR], qu il aurait pu, selo ses propos, appeler "A ivestigatio of the Nature of the Molecular Forces, which regulate the Iteral Costitutio of Bodies", il précise que so étude e se restreit pas uiquemet à la costitutio de l éther mais s éted à tous les corps puisque sa démarche aalytique e tiet compte d aucue particularité de l éther. "For, i this attempt to discover the laws of molecular actio of the ether, amogst the experimetal properties, assumed as the basis of aalytical ivestigatio, are, I believe, oe which are peculiar to the lumiiferous ether.". Ces travaux ot lieu das la période pré-relativiste ue tretaie d aées avat les travaux e 873 de James Clerk Maxwell et avat la découverte par Joseph Joh Thomso de l électro ("corpuscule" comme il le omme lui même) e 897 [THO]. Le travail de S. Earshaw est deveu célèbre grâce à J.C. Maxwell qui le cite das so traité sur l électricité et le magétisme [MAX], "Earshaw s Theorem. A electrified body placed i a field of electric force caot be i stable equilibrium" [BAS]. Effectivemet, Samuel Earshaw motre que pour ue distributio fixée de particules chargées aucue positio stable e peut être trouvée pour ue autre particule, si les forces d iteractios etre celles-ci sot iversemet proportioelles au carré de la distace. C est à dire qu aucue combiaiso de forces électrique, magétique et gravitatioelle statiques e peut fourir à ue particule chargée ue positio d équilibre stable. E tout poit où la combiaiso des forces est ulle, le potetiel e peut être qu à u maximum. De ce théorème découle l impossibilité d effectuer avec des matériaux para- et ferro-magétique de la lévitatio stable. Ce résultat e s applique pas aux matériaux diamagétiques. I-...) Lévitatio paramagétique et diamagétique O e cosidère pas das ce paragraphe la lévitatio des supracoducteurs, dot certais ( ère espèce), sous certaies coditios de température et de champ, sot cosidérés comme des diamagétiques parfaits de susceptibilité magétique χ m = -. Le paragraphe suivat fait état de l évolutio de la lévitatio para- et dia-magétique pour les matériaux à l état ormal. La première expériece de lévitatio sur des matériaux faiblemet magétiques est réalisée par Werer Braubeck e 939. Il accomplit la lévitatio de petits morceaux de graphite (carboe pyrolytique) et de bismuth à l itérieur d u électroaimat [BRA]. Puis cette expériece est de ouveau réalisée par Boerdjik e 956 simplemet à l aide d aimats 7

20 classiques [BOE]. Les matériaux lévités sot les plus forts diamagétiques existats hors matériaux supracoducteurs. Il faut esuite attedre 99, pour que Beaugo et Tourier lévitet d autres matériaux [BEA]. Les matériaux sot placés à l itérieur d u électroaimat soléoïdale hybride (supracoducteur/résistif) das ue cellule cylidrique de 5 cm de diamètre à la température ambiate. Le soléoïde utilisé délivrat jusqu à 8T est celui apparteat au Laboratoire des Champs Magétiques Iteses de Greoble. Aisi à l aide de ce dispositif, des matériaux tels que l atimoie, le bois, le plastique, l éthaol, l acétoe et surtout l eau ot été mis e état de micropesateur magétique. Cette expériece a réellemet ouvert la voie de la lévitatio magétique. Depuis, le ombre d expérieces das ce domaie s est cosidérablemet accru. Ue troisième expériece, celle de Berry et Geim e 997, a marqué l évolutio de la lévitatio magétique. Au moye d ue bobie de Bitter géérat u champ de plus de 6T, ils réaliset la lévitatio magétique du premier être vivat, ue greouille [BER]. Par la suite, la techique de lévitatio par champs magétiques a été appliquée à l étude de plusieurs phéomèes e coditios d apesateur, par exemple la cristallisatio d eau avec phéomèe de surfusio jusqu à 0 C [MOT][TAG]. Elle a égalemet été utilisée pour la solidificatio de verre [KIT] ou de plastique [TAK]. Elle est souvet utilisée das le domaie de la croissace cristallie pour s affrachir des problèmes liés à la pesateur. Différets matériaux ot été cristallisés sous coditios d apesateur magétique, tel que le chlorure d ammoium [MOT][HAM] ou le lysozyme [MAK] que l o trouve das le blac d œuf. Mais la microgravité magétique a surtout permis de simuler et compredre le comportemet e apesateur de fluides utilisés das l espace comme propergols. Par exemple, l effet de vibratios à hautes fréqueces sur la ciétique de trasitio de phase de l hydrogèe liquide près de so poit critique a été étudié e micropesateur magétique [BEY][CHA], ou bie simplemet le comportemet de l hydrogèe liquide près de so poit critique [WUN]. Le comportemet thermique de l oxygèe liquide/gaz e coditio de micropesateur magétique a été observé, et la crise d ébullitio a même pu être simulée sur Terre [PIC]. La lévitatio magétique d hélium superfluide à,5k a égalemet été accomplie, et égalemet l étude au sol de la ciétique de coalescece des bulles e micropesateur [WEI][WEI]. Des travaux origiaux ot été opérés sur la coceptio de lévitateurs magétiques afi de réaliser des cibles de deutérium-tritium parfaitemet sphériques pour la fusio par cofiemet iertiel [CHA][QUE]. La covectio thermique «aturelle» das ces fluides état u phéomèe dû à la pesateur, la compesatio de pesateur partielle ou totale permet aussi de modifier voire cotrôler la covectio [BRA][KHA][QUE]. Il faut ajouter à tous ces travaux expérimetaux d autres plus théoriques portat sur la coceptio de dispositifs dédiés à la lévitatio magétique [KIY][BIR][OZA], ou sur la compréhesio et la coaissace théorique de la force magétique elle-même [QUE3][GEI]. L utilisatio de champs magétiques a par ailleurs permis de réaliser la flottatio das u liquide paramagétique de matériaux tels que l or, le platie ou le diamat [CAT][CAT][MUR][DUN]. La lévitatio de l eau a aisi pu être réalisée das ue atmosphère pressurisée e air ou oxygèe à l aide d u soléoïde e produisat pas plus de 0T [IKE]. Mais das ces expérieces la lévitatio est pas locale, car, à la force magétique volumique viet s ajouter à la surface du matériau lévité ue force qui est le pedat magétique de la poussée d Archimède pour la gravité. Cette partie motre l étedue des domaies pour lesquels la lévitatio magétique permet u accès aux coditios de micropesateur et doc tout l itérêt de cotiuer à travailler sur celle-ci. I-...3) Lévitatio ferromagétique 8

21 Certaies techologies à l heure actuelle utiliset ce pricipe de lévitatio avec des matériaux ferromagétiques e lui doat u caractère stable grâce à des boucles de régulatios du champ magétique. U exemple est le trai allemad Trasrapid développé par les firmes Siemes et Thyssekrupp. Ce trai circule à Shagaï depuis le er javier 004, où il relie la gare à l aéroport e atteigat ue vitesse commerciale de poite de 43km/h. Bie sûr la lévitatio sur l esemble du trai s effectue de maière globale et o locale : les voyageurs restet soumis à leur propre poids, compesé par la force de réactio du placher du wago e lévitatio! I-.) Coclusio de la sectio I- Il existe différetes sortes de lévitatios magétiques. La lévitatio statique produite par ue force volumique permet de simuler l apesateur e tout poit du matériau. La lévitatio électrodyamique qui est pas réalisée à l aide d ue force volumique, mais avec ue force appliquée e surface sur la profodeur de péétratio du champ magétique das le matériau, e peut permettre e aucu cas de simuler la microgravité e tout poit d u matériau. Les problèmes de stabilité itrisèques à la ature des matériaux et la lévitatio ferromagétique e sot pas traités das cet ouvrage où le fluide à léviter est toujours coteu das ue cellule close. Notre travail de thèse eglobe l esemble de la lévitatio para- et dia-magétique car il repose e grade partie sur l étude de la force magétique qui s exerce sur les matériaux fluides. Les applicatios faites de ces études coceret plus particulièremet les fluides cryogéiques que sot l oxygèe et l hydrogèe diphasiques. 9

22 I-3) Les gradeurs fodametales I-3.) La force magétique La desité de force magétique (N.m -3 ) itere aux matériaux liéaires paramagétiques et diamagétiques s exprime sous la forme : df dv dµ H = grad(n o ) (I-) dn où N est le ombre de molécules par uité de volume, µ la perméabilité du matériau liéaire (H.m - ) et H o le champ local (A.m - ). La variatio de perméabilité par ombre de molécules, dµ, est égale à la variatio de susceptibilité par ombre de molécules, dχ m, à la dn dn susceptibilité du vide près µ o. De plus la susceptibilité χ m varie liéairemet avec le ombre de molécules par uité de volume pour les matériaux cosidérés et pour des champs magétiques «suffisammet faibles». Aisi l expressio de la desité de force vaut : df dv = grad(h ) µ oχm o (I-) Il faut faire l hypothèse que grad(h ) grad(h o = ), où H=B/µ o est le champ magétique e absece de matériau, pour obteir l expressio classiquemet utilisée : df = grad(b ) dv χm (I-3) µ o où B est l iductio magétique (T) de la distributio de champ e absece de substace magétique. Les fluides cosidérés sot liéaires et isotropes. Nos études théoriques porterot sur le vecteur G (T.m - ) car la force magétique lui est directemet proportioelle : G= grad(b ) (I-4) L autre force à cosidérer das la compesatio magétique de pesateur est le poids dû à la gravité. A l échelle du laboratoire et doc celle des maipulatios, la gravité peut être cosidérée comme costate, puisque, si o cosidère u volume sphérique d u litre, la variatio relative de gravité etre le cetre et les extrémités de ce litre est de l ordre de 0-8. Il serait aberrat de teir compte de cette faible variatio, car ombre de phéomèes, eviroat les maipulatios, pourraiet être la cause d accélératios bie supérieures. Ceci justifie pleiemet le fait que l o puisse cosidérer la gravité comme u champ de vecteur costat. Aisi, o obtiet la compesatio parfaite de la pesateur lorsque la somme des forces de pesateur et magétique volumiques est égale à zéro. Le vecteur G vérifiat cette égalité est otée G : 0

23 v µ ρ o v G =.g χ (I-5) m où ρ est la masse volumique du matériau à léviter (kg.m -3 ). Selo que les matériaux sot paramagétiques (χ m >0) ou diamagétiques (χ m <0), le vecteur G doit être opposé ou de même ses que la gravité. Das le tableau I est reportée la valeur de sa orme G pour quelques fluides. Les valeurs sot fouries à température doée car masse volumique et susceptibilité magétique évoluet de maières différetes e foctio de celle-ci. Fluides Caractéristiques G (T.m - ) O 90K, liquide, para 8 NO 8K, liquide, para 56 H 0K, liquide, dia 986 HO 93K, liquide, dia 77 N 78K, gazeux, dia 4578 Xe 93K, gazeux, dia 566 Tableau I : Valeurs de G permettat la compesatio exacte de pesateur I-3.) Le vecteur ihomogééité Des travaux atérieurs à cette thèse et effectués au sei de otre équipe ot prouvé qu il était strictemet impossible d obteir u champ de vecteur G uiforme das u volume tridimesioel [QUE3]. La déductio gééralemet faite de ce théorème, sous l hypothèse que la gravité est costate, est qu il est impossible de compeser la pesateur das u domaie 3D. Cette remarque peut porter à discussio car est-il possible de trouver ue distributio de matière créat u champ de force gravitatioelle costat? De plus si la précisio sur la force magétique était, tout comme le poids, de 0-8 sur u volume de L, pourrait-o ecore parler d impossibilité de compesatio exacte de la gravité grâce à ce théorème? Comme ous allos le voir par la suite, il est impossible d obteir de telles précisios sur le vecteur G. Aisi, il semble raisoable de parler, das l état actuel des choses, d impossibilité de compesatio exacte de pesateur. De cette coclusio aît le besoi d exprimer et de jauger la précisio de la compesatio magétique de pesateur. U vecteur ihomogééité relative de la compesatio, ommé ε, avait alors été mis e place lors des mêmes précédets travaux : v = G v v ε (I-6) G G où G est la valeur algébrique de G. Ce vecteur représete l écart relatif etre la compesatio effective G au poit cosidéré et la compesatio exacte G. La orme de ce vecteur est gééralemet exprimée e pourcetage. Le vecteur ε est directemet lié à l accélératio résultate g* au sei du fluide lévité : g * = g.ε v (I-7)

24 L accélératio résultate au sei d ue statio orbitale ou d ue fusée sode est de l ordre de 0-4 g, pour u vol parabolique e avio d eviro 0 - g. Das otre étude l objectif est d obteir des accélératios égales ou iférieures à 0 - g, mais égalemet de les cotrôler et aisi de les coaître cotrairemet au cas des autres plates-formes d accès aux coditios d apesateur. Il faut que la orme du vecteur ε soit iférieure à 0 -. Cette compesatio magétique est aisi dite compesatio à % près. I-3.3) Le potetiel magéto-gravitatioel La derière gradeur itéressate à coaître lors de maipulatios utilisat la lévitatio magétique est le potetiel magéto-gravitatioel désigé par Σ L. Comme les forces magétiques et de pesateur dérivet toutes deux d u potetiel, le vecteur ihomogééité dérive égalemet d u potetiel puisqu il est leur somme à ue costate près dépedat du matériau. Les equipotetielles magéto-gravitatioelles permettet ue visualisatio rapide de l homogééité du système, leur expressio est la suivate : r B Σ = h L G (I-8) où h est la hauteur (m) au poit cosidéré. Si u fluide statique, proche de so poit critique, c est à dire avec ue tesio de surface proche de zéro, est soumis uiquemet à la gravité et à la force magétique, alors sa surface libre est décrite par ue équipotetielle équiσ L. L accélératio résultate est das tous les cas perpediculaire aux équiσ L. Cette gradeur est très importate à maîtriser lors des expérieces sur les fluides critiques comme ous le motros das la suite de ce travail de thèse. Elle s apparete à ue éergie potetielle globale au facteur ρg près. Ce potetiel magéto-gravitatioel sera au cœur de la thèse, e particulier car l aalyse que ous feros des différetes sources de champ s appuiera sur des cosidératios liées à ce potetiel Σ L.

25 I-4) Problématique Nous avos costaté avat de commecer ce travail de thèse que la plupart des travaux de recherche portat sur la lévitatio magétique étaiet expérimetaux. La lévitatio magétique était pas l objet d étude e soi de ces travaux, mais plutôt u «outil» permettat d atteidre des coditios de microgravité afi d observer d autres phéomèes. Afi de développer «l outil» lévitatio magétique et compredre ses possibilités et ses limites ous avos développé l aalyse des champs de forces résiduelles. Ces champs de forces avaiet été défiis précédemmet [QUE4]. Il a été mis e évidece au cours de la thèse qu il était avatageux d itroduire et de maipuler le potetiel Σ L (I-8) associé à ces champs de forces. L autre élémet de la problématique iitiale était de trouver des méthodes de coceptio de sources de champ permettat de créer des champs de forces obéissat à certais critères rustiques (% das u volume doé par exemple). O a mis e évidece que le cahier des charges pouvait iclure des critères beaucoup plus précis (distributios spatiales des forces résultates). Plus précisémet les questios posées étaiet : Les expérieces de lévitatio magétique réalisées sur de l hydrogèe proche de so poit critique ot motré des déformatios importates du fluide. Ces déformatios restet à être iterprétées. Commet relier ces déformatios aux cofiguratios de champs magétiques? Quels paramètres itervieet et caractériset ces déformatios? Est-il possible de les cotrôler? Les champs de forces magétiques géérés jusqu à maiteat sot obteus par des cofiguratios de champs magétiques prédéfiies. Est-il possible de mettre au poit ue méthode de détermiatio directe? Autremet dit, est-il possible de se fixer des coditios sur les champs de forces et d obteir esuite les distributios de champs magétiques capables de les géérer? Des choix d homogééités peuvet-ils être faits puis trascrits sur la distributio du champ magétique? Les travaux effectués jusqu ici coceret uiquemet la combiaiso de la force gravitatioelle et de la force magétique. Est-il imagiable et réalisable d itroduire d autres forces afi d établir de ouvelles possibilités et perspectives pour la lévitatio magétique? Les expérieces de lévitatio magétique s occupet seulemet de la compesatio de gravité, c est à dire d ue compesatio statique. Est-ce que des simulatios dyamiques de phases d accélératio ou de décélératio autour de ce poit de compesatio sot evisageables? Au-delà de la maîtrise et de la coaissace de la force résiduelle, ous avos e repesat l approche mathématique de la lévitatio magétique réussi à e faire u atout pour certais types d expérieces. Nous avos établi ue puissate méthode aalytique. Cette méthode géérale permet u ajustemet des harmoiques du champ magétique afi de géérer des accélératios résultates variées. Nous avos aussi approfodi l utilisatio de la gradeur ommée potetiel magéto-gravitatioel offrat ue visualisatio itéressate de l iterface gaz/liquide pour les expérimetatios portat sur les fluides diphasiques proches de leur poit critique. La coceptio de dispositifs de lévitatio magétique au sol a été réalisée e 3

26 s appuyat sur la méthode d aalyse harmoique. Ces dispositifs présetet ue grade souplesse d utilisatio pour la réalisatio d expérieces de compesatio variable de gravité. 4

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29 Chapitre II : Outils théoriques et méthode Sommaire II-) Le potetiel magéto-gravitatioel Σ L et so applicatio à l iterprétatio d expérieces... 8 II-.) Défiitio... 8 II-.) Expérieces... 9 II-..) Hydrogèe... 9 II-...) Logueur capillaire effective II-...) Observatios... 3 Sas compesatio magétique... 3 Compesatio magétique à T=T c -0mK... 3 Compesatio magétique à T=T c -500mK Logueur capillaire II-.3) Coclusio de la sectio II II-) Méthode géérale d aalyse harmoique des champs de forces II-.) Impossibilité de décompositio harmoique du vecteur G II-.) Méthode géérale II-..) Expressio de G foctio des harmoiques du champ magétique II-..) Coditios d homogééité... 4 II-.3) Coclusio de la sectio II Référeces bibliographiques :

30 II-) Le potetiel magéto-gravitatioel Σ L et so applicatio à l iterprétatio d expérieces Nous avos vu que la force magétique e pouvait être costate et uiforme das u domaie tridimesioel de l espace, empêchat aisi la compesatio de pesateur au moye de seules forces magétiques. Cette ihomogééité de la compesatio etraîe, lors des expérieces de compesatio magétique de gravité sur des fluides, des déformatios de ces deriers. Ces déformatios peuvet être mises à profit lors de ces expérieces, mais doivet être, avat tout, comprises et maîtrisées. Aisi, das cette sectio, ous défiissos mathématiquemet le potetiel magéto-gravitatioel. Puis ous motros qu il est mis e évidece par certaie expériece de compesatio magétique de pesateur sur des fluides proche des coditios critiques. Cette sectio a pour but de souliger l importace des équipotetielles magétogravitatioelles das les expérieces de lévitatio magétique de fluides critiques. Nous motreros plus loi commet ce paramètre peut être pris e compte e vue du dimesioemet des dispositifs de lévitatio par champs magétiques, qu ils soiet dédiés à l étude de fluides proches de leur poit critique ou à d autres applicatios. II-.) Défiitio Le vecteur ihomogééité de la compesatio est proportioel à la résultate des forces magétique et de pesateur toutes deux dérivat d ue éergie. O peut dissocier le terme magétique du terme gravitatioel : v v v G G ε = G (II-) G d où il viet directemet e remplaçat G par so expressio : v ε = grad G B gradz (II-) O obtiet aisi immédiatemet l expressio du potetiel magéto-gravitatioel dot dérive le vecteur ihomogééité ( v ε =gradσ ): Σ = z G B L (II-3) L ce potetiel est défii à ue costate près. Il est exprimé e mètre, B est l iductio magétique [T], G est la orme du vecteur compesatio exacte [T /m] et z est la cote ou hauteur, au poit cosidéré. Cette sectio présete ue iterprétatio possible des iterfaces gaz/liquide pour des fluides proches de leur poit critique lors d expérieces de compesatio de pesateur par champs magétiques. L iterprétatio se fait à l aide des équipotetielles magéto-gravitatioelles 8

31 (équiσ L ) défiies présetemet. Celles-ci de par leur expressio simple et la précisio des résultats présetés par la suite, leur cofèret u itérêt tout particulier. II-.) Expérieces La force résultate, lors d expérieces de lévitatio magétique, a pas u impact évidet lorsqu o effectue la lévitatio de matériaux o déformables. Mais lorsque l o souhaite faire léviter des fluides diphasiques, cette ihomogééité de la compesatio apparaît très clairemet par l itermédiaire de la déformatio de l iterface gaz/liquide. Des expérieces réalisées à l aide de la bobie HYLDE (HYdroge Levitatio DEvice) au sei du Service des Basses Températures du CEA Greoble sur de l hydrogèe diphasique proche de so poit critique vot permettre de révéler cette ihomogééité de la compesatio. La déformatio iterfaciale de ce fluide est ue des représetatios physiques du potetiel magétogravitatioel. E Aexe A ous utilisos les équiσ L afi de prévoir les déformatios iterfaciales de l oxygèe diphasique proche de so poit critique. Ces expérieces sot, aujourd hui, programmées au sei de la statio OLGA (Oxyge Low Gravity Apparatus). Pour obteir parfaitemet l iterface gaz/liquide il faudrait teir compte des forces capillaires [CHA]. Or la tesio de surface s évaouit (et doc les forces capillaires) lorsque les liquides sot approchés de leur poit critique. Les équiσ L décrivet alors exactemet l iterface gaz/liquide. Das ce cas particulier des coditios critiques les forces résultates dérivet d u potetiel et vot permettre de mettre e évidece le potetiel magétogravitatioel pour tous les dispositifs créat u champ magétique. L itérêt de cette gradeur réside das la simplicité de so expressio (II-3) qui permet so calcul. De plus elle peut être largemet utilisée puisque plusieurs travaux importats ot été réalisés sur de l hydrogèe liquide proche de so poit critique [BEY][WUN], et d autres sot actuellemet e cours sur de l oxygèe diphasique «critique». Il faut, pour appliquer cette méthode de détermiatio iterfaciale des fluides diphasiques, être das des régimes dits «de gravité» ([GEN] page 39), c est à dire que la logueur capillaire doit être très iférieure à la zoe de cofiemet du liquide comme ous allos le voir. Deux paramètres ifluet de faço opposée pour atteidre le régime de «gravité» : la température, car lorsque la température se rapproche du poit critique la logueur capillaire s évaouit, le champ magétique, car la compesatio magétique de pesateur permet de dimiuer la gravité apparete et aisi d augmeter la logueur capillaire à température doée. Nous allos maiteat passer à l iterprétatio d expérieces faites sur l hydrogèe, dot le poit critique est Tc=33K et Pc=,98 bar. II-..) Hydrogèe Nous cosidéros que le liquide est à l équilibre avec sa vapeur. La forme de l iterface fiale miimise les éergies capillaire et potetielle pour u volume de liquide doé. Quad les forces capillaires devieet suffisammet égligeables à l approche du poit critique, l iterface décrit ue équipotetielle magéto-gravitatioelle. 9

32 II-...) Logueur capillaire effective La précisio de détermiatio de la forme de l iterface peut être exprimée e terme de logueur capillaire effective. Elle est dite effective car elle tiet compte de la compesatio magétique de pesateur par l itermédiaire de la orme de l ihomogééité ε : l c = (II-4) ( ρl ρv ) gε σ cette logueur doit être très petite par rapport à l échelle de logueur de la cellule L pour que l iterprétatio e terme d équiσ L soit réalisable. Das cette expressio, σ représete la tesio de surface liquide/gaz et, ρ L et ρ V les masses volumiques respectivemet du liquide et de la vapeur. Le comportemet e température de ces deux gradeurs (tesio de surface (N.m - ) et masse volumique (kg.m -3 )) est décrit par des lois puissace : σ = σ τ.6 0 (II-5) ρ ρ L V = βτ ρ c 0.35 (II-6) où T T c = T τ où T est la température et T c la température au poit critique, ρ c est la masse c volumique critique, σ o et β sot des valeurs particulières (cf. Tableau I). Alors l expressio (II-4) peut être écrite de la maière suivate : σ l = τ c βεgρ (II-7) c Pour que la coditio l c <<L soit satisfaite, la température doit être comprise etre T c et la température seuil T o, c est à dire vérifier la relatio suivate : T T << c ( T T ) c 0 = T c βεgρ c L σ 0.4 (II-8) Les expérieces de compesatio magétique décrites das la suite ot été réalisées sur de l hydrogèe dot les paramètres utiles sot reportés das le tableau I. Il est itéressat de voir que pour ces expérieces avec ue cellule de dimesios millimétriques L=mm remplie d H, le seuil de température correspodat à ue ihomogééité de l ordre de 0,0g est de T o =T c -80mK. Le réglage e température lors des expérieces das la statio HYLDE atteigait le millième de Kelvi e terme de précisio. 30

33 ρ c a) T c a) p c a) η b) σ 0 d) β a) (Kg.m -3 ) (K) (MPa) (Pa.s) (N.m - ) 3,4 33,0,98, ,7 0-3,6 Tableau I : Doées critiques sur le p-h [WUN], viscosité η du p-h [DIL] et tesio de surface de référece σ o [MOL]. II-...) Observatios La statio HYLDE est décrite e détail das la référece [WUN]. La cellule remplie d hydrogèe est de forme axisymétrique de faible épaisseur (Fig.), avec l axe de révolutio orthogoal à celui-ci du soléoïde HYLDE. So épaisseur e est de mm, so diamètre Φ est de 8mm. La cellule est e cuivre avec deux feêtres e saphir. L étachéité etre ces deux parties est assurée par écrasemet de joits e idium. La cellule est placée das la partie haute du soléoïde HYLDE développat 0T au poit où la orme du vecteur G est maximale. Le bobiage supracoducteur est réalisé e NbTi refroidi pour cette expériece à,7k. La compesatio a lieu pour u courat d eviro I=64A. La régulatio e température se fait au millième de Kelvi. La résolutio optique est de 0µm et la profodeur de champ de 500µm. La mise au poit est faite sur la feêtre de sortie de la lumière, celle la plus proche de la caméra. Φ e FIG.. Cellule de cofiemet de l hydrogèe diphasique Sas compesatio magétique Quad il y a pas de compesatio magétique de la pesateur (I=0A), le méisque est icurvé si o est loi de la température critique T c (Fig. a) avec ue courbure représetat la logueur capillaire (l c <L). A l approche du poit critique T c le méisque s aplatit et ted à disparaître (l c <<L), il est situé au milieu de la cellule (Fig. b). E effet le volume de vapeur V g est égal à celui du liquide V l lorsqu o se situe à proximité du poit critique. (a) (b) FIG.. Deux différets aspects de l iterface sas compesatio magétique de pesateur. (a) T c -T = 3 K, l c =,55 mm et (b) T c -T = 3 mk, l c = 0,03 mm. 3

34 Compesatio magétique à T=T c -0mK Sur les figures 3a, 4a, 5a et 6a sot reportées plusieurs photographies de l iterface gaz/liquide pour différetes valeurs de compesatio magétique de la pesateur (courats différets). Les iterfaces preet des formes complexes difficiles à iterpréter à première vue à mois d utiliser le cocept des équipotetielles magéto-gravitatioelles équiσ L. Pour détermier les différetes formes iterfaciales possible, ous utilisos l équatio (II-3) et u logiciel d élémets fiis commercial COMSOL Multiphysics. O modélise avec ce logiciel la bobie HYLDE et la positio de la cellule cylidrique das laquelle o visualise différetes équiσ L. Pour chaque valeur de courat (I=6,A, I=63,5A, I=63,75A, I=63,9A), o effectue ue simulatio umérique ous doat le vecteur ihomogééité ε et quelques équiσ L à partir des équatios II- et II-3. Les résultats sot obteus e géométrie D axisymétrique et doc das u pla coteat l axe du soléoïde. Ue visualisatio e 3D des équiσ L peut être obteue par des surfaces axisymétriques, dot l itersectio avec le pla coteat l axe fourit les courbes des simulatios umériques (Fig. 3b, 4b, 5b et 6b). L iterface gaz/liquide e correspod bie etedu qu à ue seule des équipotetielles magéto-gravitatioelles, celle partageat la cellule e deux volumes égaux (V g /V l =) puisqu o est au poit critique. Das les photographies de la cellule (Fig 3a, 4a, 5a et 6a), les liges représetet la projectio du méisque das la directio d observatio. La logueur capillaire est petite das chaque cas, l c < 500 µm pour ε=,% valeur moyee du cas I=63,9A où la logueur capillaire est la plus grade. Aisi, la forme de l iterface liquide/gaz sur le hublot de la cellule apparaît comme ue lige oire ette au iveau du hublot de sortie (pla focal) et comme ue lige floue au iveau du hublot d etrée de la lumière (pas das le pla focal). Ces deux liges peuvet être visualisées comme l itersectio d ue équiσ L avec les hublots d etrée (lige floue) et de sortie (lige ette). (a) (b) (c) FIG. 3. T-Tc=0mK et compesatio effective au cetre g*=0,055g (I=6,A), photo cellule avec iterface (a) et simulatio de plusieurs équiσ L das u pla coteat l axe magétique de face (b) et côté droit (c). 3

35 (a) (b) (c) FIG. 4. T-Tc=0mK et compesatio effective au cetre g*=0,05g (I=63,5A), photo cellule avec iterface (a) et simulatio de plusieurs équiσ L das u pla coteat l axe magétique de face (b) et côté droit (c). (a) (b) (c) FIG. 5. T-Tc=0mK et compesatio effective au cetre g*=0,005g (I=63,75A), photo cellule avec iterface (a) et simulatio de plusieurs équiσ L das u pla coteat l axe magétique de face (b) et côté droit (c). (a) (b) (c) FIG. 6. T-Tc=0mK et compesatio effective au cetre g*=0g (I=63,9A), photo cellule avec iterface (a) et simulatio de plusieurs équiσ L das u pla coteat l axe magétique de face (b) et côté droit (c). 33

36 Ue comparaiso détaillée etre les résultats expérimetaux et les simulatios umériques motre que la cellule remplie d H est pas correctemet cetrée sur l axe magétique du soléoïde, comme décrit sur la figure 8. Par des cosidératios géométriques simples, il est possible de motrer que l axe de révolutio du système magétique, lequel coïcide automatiquemet avec l axe de révolutio des équiσ L (croix verte), est éloigé selo l axe x d ue distace d eviro 850 µm du cetre de la cellule (croix rouge). Il existe égalemet u léger décalage selo l axe y. La surface grisée représete la partie où la lumière arrivat sur la caméra a traversé à la fois du liquide et du gaz (Fig. 7). Les expérimetateurs, auteurs de ces résultats, ot cofirmé après coup la possibilité d u tel décalage [CHA]. x z y y V V equiσ L L L V L L V cellule A V V V L V L L V V V V L V L L V (a) (b) (c) FIG. 7. Mise e évidece du décalage de la cellule par rapport à l axe magétique du soléoïde pour trois des quatre photos (a) I=63,9A, (b) I=63,75A et (c) I=63,5A. Remarque : Le cas I=6,A est pas étudié car la proximité des liges ette et floue e permet ue précisio suffisate das les tracés géométriques. Si la cellule est correctemet positioée, pour le cas de compesatio totale (au mois au cetre de la cellule), l iterface correspodat à l équiσ L serait celle tracée sur la figure 8. Sur cette figure les deux liges symétriques au cetre devraiet être ettes (hublot de sortie) et les deux autres floues (hublot d etrée). V L V V L V FIG. 8. Iterface recostituée théoriquemet pour ue cellule correctemet positioée (I=63,9A) Sachat que l iterface liquide/gaz est portée par l équiσ L scidat la cellule e deux volumes égaux, ous allos vérifier si otre iterprétatio corrobore ce fait. Nous allos estimer le volume total de liquide pour chacue des compesatios, celui-ci devat représeter la moitié 34

37 du volume de la cellule V c (r=4mm, e=mm): c 3 V = π r e 00.5mm. Le volume de liquide doit être de l ordre de 50mm 3. Nous calculos par des cosidératios géométriques simples la surface de liquide S l das la cellule pour différetes hauteurs z. Aisi, il e reste plus qu à itégrer cette foctio S l (z) sur la hauteur totale de la cellule afi d obteir le volume total de liquide au sei de cette derière. Nous allos illustrer ces propos avec la cellule où la compesatio magétique est exacte au cetre (I=63,9A). Les différetes hauteurs, plas horizotaux pour lesquels la surface de liquide est détermiée, sot umérotées de à sur la vue de face de la cellule (Fig. 9). Le rectagle bleu représete l itersectio de l itérieur de la cellule avec le pla horizotal désiré respectivemet 5, 6 et pour les figures 9a, 9b, 9c. Le disque rose est délimité par u cercle qui est l itersectio du pla cosidéré ( 5, 6 ou ) avec l iterface gaz/liquide ou l équiσ L qui la porte. O obtiet de cette maière, das la partie violacée, la surface de liquide au sei de la cellule pour u pla doé, c est à dire pour ue hauteur doée. O peut doc reporter la surface e foctio de la hauteur (Fig. 0, et ) et itégrer sur la hauteur totale de la cellule. (a) (b) (c) FIG. 9. Tracés de la surface de liquide S l pour trois hauteurs différetes z das le cas le la compesatio exacte de pesateur au cetre de la cellule (I=63,9A) Remarque : Nous avos choisi de représeter ces trois itersectios avec les plas 5, 6 et car elles représetet les trois différets cas de tracés recotrés lors de ce travail. Rappelos que pour défiir u cercle il faut 3 poits. Le tracé de la surface 5 se fait facilemet, ous avos suffisammet de doées (4 poits bie positioés pour défiir u cercle) pour reproduire l itersectio du pla 5 avec l iterface (équiσ L ) et aisi obteir la surface de liquide au sei de la cellule. Le tracé de la surface 6 e peut se faire qu e coaissat le cetre des équiσ L ( poits seulemet pour défiir u cercle), ous coservos doc le cetre obteu pour la surface 5, ce qui permet esuite de tracer la surface. Le tracé de la surface pose u autre problème puisque le système e semble pas axisymétrique (aucu cercle e passe par les 4 poits), ceci implique que l équiσ L tracée e coupe pas exactemet la face avat de la cellule à l edroit souhaité (voir cercles rouges de la figure 9c). Lorsqu u tel problème se présete, ous faisos alors le choix de caler l équiσ L sur la partie droite de la figure (voir cercles verts de la figure 9c) et coserver le même cetre pour les équiσ L que les tracés précédets. 35

38 FIG. 0. S l (z) pour I=63,5A O obtiet par itégratio sur la hauteur de la cellule etre 0mm et 8mm, u volume de liquide V l = 56,8mm 3 ce qui représete 56,5% du volume de la cellule. FIG.. S l (z) pour I=63,75A O obtiet par itégratio V l = 54,5mm 3 ce qui représete 54,% du volume de la cellule. FIG.. S l (z) pour I=63,9A 36

39 O obtiet V l = 5,4mm 3 ce qui représete 5,% du volume de la cellule. Remarque : Le cas I=6,A est pas étudié car la proximité des liges ette et floue e permet ue précisio suffisate das les tracés géométriques. Malgré la discrétisatio et la simplicité des cosidératios géométriques utilisées, ces résultats sot e bo accord avec le ratio escompté (50 %). Compesatio magétique à T=T c -500mK Ue série d expérieces similaires a été réalisée à la température T c -500mK. L iterprétatio des formes de méisques e terme d équiσ L est plus valide car les forces de capillarité e sot plus égligeables e comparaiso des forces magéto-gravitatioelles résultates. Quad le courat varie autour de la valeur de compesatio (Fig. 3), la phase vapeur apparaît comme ue bulle légèremet aplatie sur le haut de la cellule (Fig. 3a). Puis lorsque la compesatio magétique de pesateur augmete, et que la gravité réduite g* ted vers zéro, la bulle deviet de plus e plus sphérique et se décale vers le côté gauche de la cellule (Fig. 3b et 3b). Cette situatio décetrée est iévitable car la positio de la bulle de gaz au cetre est istable. L hydrogèe état u diamagétique, le liquide a tedace à se positioer au cetre, où a lieu la compesatio de pesateur exacte et où le champ est le plus faible. (a) (b) (c) (d) FIG. 3. Photographies de la cellule à T c -500mK, avec u courat de (a) I = 6,A et g* =0,055g, (b) I=63,5A et g* =0,05g, (c) I = 63,75A et g* =0,005g, (d) I = 63,9A et g* =0g. Logueur capillaire A titre de cofirmatio de ces hypothèses, la logueur capillaire a été simulée umériquemet à l itérieur de la cellule pour les températures T c 0 mk et T c mk quad la compesatio parfaite est atteite au cetre de la cellule (Fig. 4). Sur la figure 4a pour T c 0 mk o obtiet l c <0,mm das la quasi-totalité de la cellule. Cette valeur est 0 fois iférieure à l épaisseur de la cellule, aisi les forces capillaires sot égligeables et l iterprétatio e terme de potetiel magéto-gravitatioel Σ L de l iterface gaz/liquide est valable. Par cotre, das la figure 4b pour T c 500 mk, o obtiet 0,6mm<l c <mm das l esemble de la cellule, ceci est plus égligeable e comparaiso des dimesios de la cellule. 37

40 (a) (b) FIG. 4. Carte de la logueur capillaire (mm) au sei de la cellule à (a) T c 0 mk et (b) T c mk pour I = 63,9A (compesatio exacte g* = 0 m.s - ) II-.3) Coclusio de la sectio II- Cette partie soulige l importace du potetiel magéto-gravitatioel Σ L das les expérieces utilisat la compesatio magétique de pesateur. Nous motros que l iterprétatio de l iterface gaz/liquide près des coditios critiques est possible à l aide des équiσ L, os propos se sot appuyés sur le cas de l hydrogèe. La complexité des formes du méisque est bie le résultat de l ihomogééité de la compesatio par champs magétiques. Ces expérieces révèlet ce potetiel qui permet de parfaitemet caractériser les problèmes d ihomogééités. Aisi ous pouvos à l aide de ce potetiel aticiper la forme de l iterface gaz/liquide pour de futures expérieces sur des fluides proches du poit critique par exemple sur l oxygèe (Aexe A) ou les mélages oxygèe-azote. Ue réflexio est à approfodir sur la réalisatio d ue cellule d épaisseur fie avec u large diamètre remplie de fluide près de so poit critique. Cette cellule serait ue sorte de sode permettat d obteir ue cartographie des équipotetielles magéto-gravitatioelles. Elle pourrait permettre de révéler certais problèmes de coceptio de maière fie et qualifier ou o u dispositif de lévitatio magétique au momet de sa réceptio. Cette partie permet de motrer clairemet le besoi de coaître cette gradeur das ue statio de lévitatio magétique e vue de l expérimetatio sur des fluides proches des coditios critiques. 38

41 II-) Méthode géérale d aalyse harmoique des champs de forces II-.) Impossibilité de décompositio harmoique du vecteur G Le champ magétique vérifie l équatio de Laplace das le vide. Il peut aisi y être décomposé e harmoiques spatiaux. Selo le système de coordoées choisi ces harmoiques sot dits cylidriques, zoaux, sphériques, ellipsoïdaux Cette approche harmoique est très utile pour les physicies car chacu des harmoiques a des caractéristiques particulières. Das le domaie de l imagerie par résoace magétique, les cocepteurs souhaitet obteir u champ uiforme, c est à dire costitué seulemet du premier harmoique, les harmoiques de rags supérieurs devat être tous uls. Das le domaie des accélérateurs de particules, le champ magétique est utilisé pour courber la trajectoire des particules ou pour focaliser le faisceau de particules. La courbure de la trajectoire est réalisée à l aide d u champ uiforme costitué uiquemet du premier harmoique (champ dipolaire). Quat à la focalisatio, elle est obteue par u champ o uiforme costitué uiquemet du deuxième harmoique (champ quadrupolaire). Il est évidemmet impossible d obteir des systèmes réels géérat des champs purs, uiquemet costitués d u seul harmoique. Mais les cocepteurs s efforcet de costruire des systèmes de plus e plus précis e terme de décompositio harmoique, où les harmoiques idésirables de rags différets de celui désiré sot toujours plus faibles. Il est même possible d auler par des cofiguratios astucieuses de bobiages certais de ces harmoiques idésirables. La décompositio e harmoiques est doc depuis bie logtemps maîtrisée et surtout utilisée das les domaies relatifs aux champs magétiques. Nous ous sommes alors iterrogés sur la possibilité de décompositio e harmoique de la force magétique et plus particulièremet du vecteur G. De précédets travaux ot déjà motré que la force magétique e peut être uiforme das u domaie tridimesioel. Si le vecteur G était décomposable e harmoiques, il vérifierait l équatio de Laplace est aisi, il pourrait être costat das u domaie tridimesioel. Pour se covaicre du fait que le vecteur G e vérifie pas l équatio de Laplace, il suffit de le motrer pour u cas particulier, par exemple celui d u sextupole. A l itérieur d u sextupole, l iductio magétique e coordoées polaires est de la forme : v B.r.si(3θ) = 3 B.r.cos(3θ) B 3 (II-9) D où l o tire facilemet le carré de sa orme et so gradiet, c est à dire le vecteur G : v G= 4B 0 3.r 3 (II-0) Le Laplacie vectoriel vaut aisi : 39

42 G= 3B.r 3 0 (II-) Ce cotre exemple permet aisi d affirmer que la force magétique e peut être décomposable e harmoiques. Cette remarque, ous amèe, o pas à décomposer le vecteur G e harmoiques, mais à l exprimer à l aide des harmoiques du champ magétique. L objectif sous-jacet est de coaître l effet de chacu des harmoiques sur les distributios de forces magétiques. Aisi la coceptio de lévitateurs magétiques demadat des qualités de champs importates avec ue grade précisio pourra se faire e utilisat l aalyse harmoique des bobiages. II-.) Méthode géérale II-..) Expressio de G foctio des harmoiques du champ magétique Nous avos développé ue méthode géérale de détermiatio du champ de vecteurs G qui fourit beaucoup de souplesse. Elle cosiste à partir d ue décompositio e harmoiques du potetiel magétique scalaire V dot dérive le champ d iductio magétique B das l espace utile supposé sas courat et de perméabilité égale à celle du vide. Nous e déduisos la décompositio e harmoiques du champ magétique, par des méthodes bie coues de séparatio de variables. Puis ous calculos la valeur de G e foctio de ces harmoiques. Les coditios fixées sur G ou ε (vecteur ihomogééité de la compesatio), selo les aisotropies des compesatios désirées, sot doc directemet trascrites sur les harmoiques de champ. La détermiatio des sources de champ correspodates s obtiet pour fiir par résolutio du problème iverse de la magétostatique, s appuyat sur la détermiatio des harmoiques spatiaux de différetes catégories de courats sources. Nous e parleros das les chapitres III et IV sur des exemples cocrets. Rappelos tout de même maiteat que les problèmes iverses de la magétostatique comportet toujours ue ifiité de solutios, cette «ifiité» pouvat être réduite par la prise e compte de cotraites diverses. L équatio de Laplace du potetiel magétique scalaire est résolue das u système de coordoées, ce système état associé à la géométrie étudiée (cylidrique chapitre III, axisymétrique chapitre IV). La résolutio se fait par la méthode classique de séparatio des variables. Le potetiel magétique scalaire das chacu des domaies, itérieur ou extérieur (sas courat), limités par ue surface fermée portat les courats supposés superficiels, s obtiet sous forme d ue décompositio harmoique. L expressio du potetiel scalaire, e tout poit de l espace hormis la surface coteat les courats, coduit aux expressios du champ magétique et de l iductio, sous forme d ue somme d harmoiques. Aisi, e géométrie cylidrique, l expressio du champ magétique, suivat e r et e θ, e foctio des harmoiques cylidriques du champ de part et d autre d u cercle de rayo R 0 vaut : H it (r, θ).r =.r. Λ.si(θ + α ), r<r 0 (II-). Λ.cos(θ + α ) 40

43 H ext (r, θ).r.r (+ ) = (+. Λ'.si( θ + α' ) ), r>r 0 (II-3). Λ'.cos( θ + α' ) E géométrie axisymétrique, l expressio du champ magétique e coordoées sphériques suivat e r et e θ et e foctio des harmoiques sphériques s exprime, de part et d autre d ue sphère de rayo R 0, sous la forme :.C.r.P (cosθ) (r, θ) = (II-4) C.r.P (cosθ) H it H ext C' (+ )..P (cosθ) + (r, θ) = r C' (II-5).P (cosθ) + r Ces expressios serot exploitées plus loi respectivemet das les chapitres III et IV. U calcul fastidieux permet d obteir le carré de l iductio magétique sous la forme de sommes de produits de séries dot les termes sot les harmoiques du champ magétique. Le calcul du gradiet G s effectue e cosidérat que les séries sot uiformémet covergetes et aisi qu il est possible de dériver terme à terme par rapport à la variable cosidérée. L étape suivate de la méthode cosiste à rechercher quelles coditios réalistes peuvet être fixées à la distributio du vecteur G, c'est-à-dire à la distributio de ε, qui puisset coduire à la détermiatio algébrique des coefficiets des différets harmoiques du champ H. II-..) Coditios d homogééité Das os études le domaie tridimesioel das lequel les gradeurs relatives à la lévitatio sot calculées (G, ε, Σ L ) peut se rameer à u domaie bidimesioel par ivariace suivat ue des coordoées (traslatio-chapitre III ou rotatio-chapitre IV). La gravité est prise classiquemet suivat la verticale et dirigée vers le bas. Les coditios d homogééité sot détermiées à l itérieur du domaie réduit. La géométrie du domaie D réduit choisi possède de plus ue symétrie par rapport à u pla vertical et égalemet à u pla horizotal, ce qui ous amèe à cosidérer l homogééité ou plutôt le vecteur ihomogééité suivat ces axes de symétrie. Ue coditio est tout d abord fixée sur G. Il doit, e tout poit de l axe de symétrie vertical, e posséder qu ue composate verticale, coditio tacite pour u système ivariat par rotatio où la symétrie axiale est portée par l axe vertical. Le vecteur ihomogééité suivat l axe vertical ε e possède qu ue seule composate verticale ε y d après la coditio fixée sur G. Suivat l axe horizotal ε possède par cotre deux composates ue verticale ε y et ue horizotale ε x (Fig. 5). 4

44 ε ε FIG. 5. Ihomogééité sur les axes vertical et horizotal du domaie D réduit Nous pouvos imposer ue ifiité de coditios d homogééité, mais ous ous sommes limités das ce travail à trois d etre elles que l o peut cosidérer comme des cas limites particulièremet itéressats. Cette méthode permet o pas de fixer la valeur de l ihomogééité qui déped directemet de la valeur de l iductio au cetre du domaie, mais uiquemet de maîtriser sa forme (directio et ses). Les trois coditios cosistet respectivemet à auler strictemet ou faire tedre vers zéro le vecteur ihomogééité suivat l axe vertical (ε 0), à auler strictemet ou faire tedre vers zéro le vecteur ihomogééité suivat l axe horizotal (ε 0) ou à égaliser le vecteur ihomogééité suivat les axes vertical et horizotal (ε y =ε x ). Le vecteur ihomogééité pred alors différetes cofiguratios que ous qualifios de verticale, horizotale ou cetrale das le domaie réduit (Fig. 6). Selo les ivariaces dues à la géométrie du système, le résultat sur l accélératio das le domaie tridimesioel est pas le même. FIG. 6. Différetes cofiguratios d accélératios résultates obteues das le domaie D réduits La compesatio de pesateur est exacte sur les parties e rouge des trois cofiguratios d accélératios résultates (Fig. 6.). Das la géométrie cylidrique, la compesatio recherchée sera exacte e tout poit des plas vertical (cofiguratio verticale) ou horizotal (cofiguratio horizotal), ou suivat l axe 4

45 horizotal de la cofiguratio (cofiguratio circulaire). U esemble de théorèmes doées e Aexe Đ démotrera l exactitude de ces résultats. Das la géométrie axisymétrique, la cofiguratio recherchée sera exacte e tout poit de l axe de la structure (cofiguratio verticale) ou e tout poit du pla média orthogoal à l axe (cofiguratio horizotale) ou seulemet au poit cetral (cofiguratio sphérique). II-.3) Coclusio de la sectio II- Au commecemet de ce travail de thèse, le domaie de la lévitatio magétique avait été défii par l impossibilité d obteir u vecteur G uiforme das u domaie tridimesioel et par le vecteur ihomogééité ε. Mais les relatios etre l ihomogééité de la compesatio et la cofiguratio de sources étaiet isuffisammet établies. Il fallait doc mettre e place des outils et méthodes spécifiques à la lévitatio magétique. La méthode exposée ici est le cœur de cet ouvrage. Nous motros das la suite de ce travail doctoral qu elle fourit das différetes géométries d excellets résultats. Au lieu de travailler sur l expressio de la force magétique, cette démarche à l avatage de trascrire les cotraites directemet sur le champ magétique, dot la coaissace est bie plus approfodie, par l itermédiaire de ses harmoiques. Elle permet à la fois ue souplesse théorique das la cofiguratio de la force magétique par des coditios imposées au vecteur ihomogééité, mais surtout ue simplificatio pratique das la coceptio de dispositif de lévitatio magétique de par la compréhesio de l effet des harmoiques du champ sur la force magétique. Les chapitres III et IV sot ue applicatio théorique directe de la méthode aux cas des géométries cylidrique et axisymétrique. Das l aexe B, elle est e partie appliquée aux coordoées sphéroïdales. Das le chapitre IV, elle est mise à profit pratiquemet pour la coceptio d u lévitateur magétique d oxygèe liquide. Cette méthode est cetrale das ce travail de thèse. 43

46 Référeces bibliographiques : [BEY] Beyses D., et al. High-frequecy drive capillary flows speed up the gas-liquid trasitio i zerogravity coditios, Physical Review Letters, 95, (005) [CHA] Chatai, D. et al. Usig magetic levitatio to produce cryogeic targets for iertial fusio eergy: experimet ad theory, Cryogeics, 4, pp53-6 (00) [CHA] Chatai, D., commuicatio persoelle. [DIL] Diller D.E., Measuremets of the viscosity of parahydroge, Joural of Chemical Physics 4, 089 (965) [GEN] De Gees P-G., et al. Gouttes, bulles, perles et odes, Ed. Beli (00) ISBN [MOL] Moldover M.R., Iterfacial tesio of fluids ear critical poits ad two-scale-factor uiversality, Physical Review A, 3, 0, (985) [WUN] Wueberger R., et al. Magetic compesatio of gravity forces i (-p) hydrogeear its critical poit: Applicatio to weightless coditios, Physical Review E, 6,, pp (000) 44

47 Chapitre III : Géométrie cylidrique Sommaire III-) Electro-aimat «classique» III-.) Aalyse théorique III-..) Etude aalytique de la forme des pôles III-..) Cas =3/... 5 III-..3) Saturatio... 5 III-..4) Ifluece du circuit magétique III-.) Simulatio III-..) Cas III-..) Cas III-..3) Re-dimesioemet zoe de travail III-.3) Coclusio de la sectio III III-) Méthode harmoique e géométrie cylidrique III-.) Défiitio de la géométrie III-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G III-.3) Détermiatio de G pour trois familles d harmoiques III-.3.) Mise e équatio des trois coditios d homogééité III-.3..) Première famille de solutios

48 III-.3..) Deuxième famille de solutios III-.3..3) Troisième famille de solutios III-.3.) Calcul des harmoiques, de G et de Σ L pour chaque famille III-.3..) Première famille de solutios cas circulaire III-.3..) Deuxième famille de solutios cas horizotal III-.3..3) Troisième famille de solutios cas «vertical» III-.4) Détermiatio de la appe de courat III-.4.) Desité surfacique (A.m - ) III-.4.) Desité volumique (A.m - ) III-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique... 7 III-.5.) Choix des paramètres de simulatio... 7 III-.5.) Simulatios cas horizotal et vertical et trocature à 3 harmoiques... 7 III-.5.3) Simulatios cas circulaire et ivariace par déphasage α des harmoiques III-.5.3.) Cas circulaire III-.5.3.) Ivariace : vecteur homogééité fixe et liges de champ tourates III ) Deux premiers harmoiques du champ fixes, ε tourat III ) Coclusio III-.6) Lévitatio de l oxygèe et de l hydrogèe par les techologies actuelles III-.6.) Relatios théoriques etre les différetes gradeurs III-.6.) Applicatios umériques III-.6..) Multipôles J-PARC III-.6..) Dispositifs dérivés des dipôles LHC... 8 III-.7) Coclusio de la sectio III III-3) Compesatio magétique et force cetrifuge III-3.) Positioemet du problème III-3..) Géométrie III-3..) Force cetrifuge III-3.) Force magétique egedrée par u champ quadrupolaire, et force cetrifuge e apesateur III-3.3) Force magétique permettat de simuler sur terre ue force cetrifuge existat e apesateur sur des matériaux paramagétiques III-3.3.) Expressios de G et de ε III-3.3.) Relatio etre champ magétique et fréquece de rotatio III-3.3.3) Décalage du cetre de la rotatio simulée... 9 III ) Forme de équiσ L... 9 III ) Forme du vecteur ihomogééité ε III ) Simulatios de rotatio III ) Applicatios umériques III-3.4) Associatio de forces magétique et cetrifuge permettat d obteir sur la terre la compesatio parfaite de la pesateur pour les corps diamagétiques III-3.4.) Compesatio exacte de pesateur sur matériaux diamagétiques III-3.4.) Simulatio, au sol, de rotatio, e apesateur, sur les matériaux diamagétiques III-3.5) Coclusio de la sectio III III-4) Coclusio du chapitre III Référeces bibliographiques :

49 La plupart des dispositifs de lévitatio magétique étudiés ou réalisés jusqu ici présete ue cofiguratio axisymétrique, i.e. D ivariate par rotatio [BEA] [BER] [BRA] [IKE] [BEY] [WUN]. Ces expérieces de lévitatio magétique mettet e jeu des champs magétiques égaux ou supérieurs à 0T. Il est doc écessaire d utiliser soit des électroaimats coducteurs à champ très itese, refroidis à l eau, soit des électroaimats supracoducteurs, soit des systèmes hybrides associat ces deux techiques. Das le cas le plus itéressat écoomiquemet de l utilisatio de supracoducteurs seuls, la réalisatio de systèmes de lévitatio très performats obéit à des cotraites proches de celles imposées à la coceptio des bobies de champ das les dispositifs d Imagerie par Résoace Magétique (IRM). Le développemet de grads bobiages supracoducteurs a été redu écessaire égalemet par celui des accélérateurs de particules tels que le Relativistic Heavy Io Collider (RHIC) ou le Large Hadro Collider (LHC) [ROS][ANE][ROS]. Les grads accélérateurs écessitet pour le guidage du faisceau de particules des bobiages «multipolaires» type dipôle, quadrupôle, etc e géométrie cylidrique, i.e. D ivariate par traslatio sur ue grade partie de leur logueur [ROS3][FEL][SAR]. Rares sot les études ou projets de dispositifs de lévitatio magétique e géométrie Dcylidrique utilisat des bobiages de type accélérateurs de particules. Quelques études théoriques effectuées das otre équipe de recherche portet sur la lévitatio magétique du deutérium ou de l eau das cette géométrie cylidrique [QUE] [VIN], sas qu elles aiet pu coduire à des réalisatios effectives. Le préset chapitre est cosacré à l approfodissemet des coaissaces sur les possibilités offertes par la lévitatio magétique e géométrie D-cylidrique. L étude de la modificatio d u électroaimat classique (o supracoducteur) utilisat ue culasse magétique est d abord présetée. Ce travail traite du dimesioemet de pôles magétiques et des possibilités aisi offertes e terme de lévitatio magétique par l utilisatio d u dispositif e demadat aucue istallatio particulière de refroidissemet. Puis ue secode partie, plus coséquete, traitera de l applicatio aux coordoées cylidriques de la méthode géérale d aalyse harmoique. Cette secode partie itroduira égalemet d étoats résultats produits par la combiaiso de champs de forces d origie gravitatioelle, magétique mais aussi cetrifuge. 47

50 III-) Electro-aimat «classique» Nous proposos de dimesioer des pôles à géométrie cylidrique pour l électroaimat préseté sur la figure, das la zoe de l etrefer. Ce dispositif comporte deux bobiages de 50 spires (N=500) répartis de part et d autre de l etrefer et parcourus par u courat omial de 60A (I=60A). Il comporte ue culasse magétique e fer doux. FIG.. Vue «d artiste» des pôles de l électroaimat L objectif est d obteir l effet des différetes gradeurs liées à l électroaimat (Nombre d Ampère.tours, taille de l etrefer, forme des pôles) sur celles liées à la lévitatio magétique au sei de l etrefer (iductio B, gradiet G, homogééité ε). Das u premier temps ous effectuos ue approche aalytique sous certaies hypothèses. Esuite ous complétos par des simulatios umériques teat compte de la saturatio et de la logueur fiie des pôles du dispositif. Pour ce faire, ous utilisos le potetiel magétique complexe ζ( z) = λ.z, avec comme objectif de défiir ue zoe de travail assez large, où peut réger u vecteur G suffisammet importat et le plus homogèe possible. III-.) Aalyse théorique Nous travaillos das le repère xoy comme défii sur la figure. Et ous cherchos à lier le vecteur ihomogééité à la forme des pôles et à la taille de l etrefer. Nous itroduisos tout d abord le potetiel magétique complexe, puis e déduisos le champ magétique et le gradiet, pour fialemet exprimer les composates ε x et ε y e foctios de certais paramètres défiissat la forme des pôles. Nous partos de la défiitio mathématique du potetiel magétique complexe ζ(z) [DUR], où λ et sot des ombres réels : ζ (z) = λ.z = F+ i.v (III-) et z= r.e jθ = x+ jy (III-) 48

51 avec j l uité imagiaire, A z F= où A µo z est l uique composate du potetiel vecteur das la géométrie cosidérée et V le potetiel magétique scalaire, dot ue équipotetielle peut être défiie de la maière suivate : V = λ.r.si(θ) (III-3) Le champ magétique se déduit de l équatio précédete et s exprime e coordoées cylidriques : r H H r =. λ.r.si( θ ) r = grad(v ) = H =. λ.r.cos( θ ) θ H z = 0 (III-4) L expressio du vecteur G pred la forme : r ( 3) r G= µo. λ..( ).r.e (III-5) r Rappelos la défiitio du vecteur ε, sigifiat la précisio relative de la compesatio, et cherchos à approximer les composates de ce vecteur : r r r G G r ε = (III-6) G où G désige le vecteur compesatio effective e u poit et G le vecteur compesatio exacte au poit O. Aisi, pour ue zoe circulaire de rayo R autour du poit O de compesatio exacte, ue approximatio de la composate verticale du vecteur ε (Fig. ) est obteue par : ε = R. dg y G dy (III-7) O Pour la zoe cylidrique de rayo R autour du poit O, l équatio fodametale qui lie le gradiet, l iductio et les composates du vecteur ihomogééité s écrit [QUE]: G.R = ( ε x+ y) (III-8) B ε Cette relatio permet d estimer la composate horizotale du vecteur ε : 49

52 G.R ε = ε x y (III-9).B Des équatios précédetes, o tire les ratios etre les composates du vecteur ihomogééité ε et le rayo R de la zoe utile : ε y = 3 R r et ε R x = r (III-0) III-..) Etude aalytique de la forme des pôles Les équipotetielles magétiques V vot représeter les limites de l etrefer, c est à dire que les pôles aurot la forme de ces équipotetielles (Fig. ). La hauteur à laquelle est défiie la forme du pôle iférieur vaut δ 0. Le pôle supérieur est défii pour ue hauteur de δ 0 +δ, avec δ la taille d etrefer. O se place das l hypothèse où l o églige les chutes de potetiel magétique das le fer. Nous allos fixer arbitrairemet l ue des équipotetielles V par rapport à l équipotetielle V=0, avec ue première valeur de δ 0, soit e θ = π (selo l axe y Fig. ): 0 V =λ. δ (III-) E choisissat l axe y comme axe de symétrie et sachat que l axe x est défii e θ=0, o fait subir ue rotatio das le ses trigoométrique, pour >, de l esemble des équipotetielles d u agle : θ = ( ) mi. π (III-) Sio l axe de symétrie des équipotetielles serait défii par l agle π θ mi. FIG.. Positio du problème 50

53 Si o se doe la valeur des ampères.tours ΝΙ, etre les deux équipotetielles V et V, et δ la taille de l etrefer etre ces deux équipotetielles, il viet e θ = π (selo l axe y): o V = V NI = λ.( δ + δ) (III-3) Et o trouve, e faisat le rapport de (III-3) par (III-): 0 δ0 V ( δ +δ) = V (III-4) D où l o déduit la taille de l etrefer δ e foctio des autres paramètres : δ = δ [( + NI ) ] 0 (III-5) λ. δo la taille de l etrefer dimiue lorsque δ ο augmete (>) à NI et λ doés. E se plaçat au cetre de l etrefer au poit P ( 0, δ + δ ), et e preat comme valeur de R 0 (rayo de la zoe utile) la moitié de l etrefer, les ihomogééités s écrivet, pour =3/ : ε = x. δ + δ et ε 0 y = (III-6) et (III-7) o III-..) Cas =3/ Pour ue valeur de G=G doée et =3/, ous obteos d après (III-5) : λ= G 3. µ (III-8) 0 aisi V est fixé, ce qui fixe V par la relatio (III-3). Soit pour ε x : ε = x ( δo 3 + NI ) λ 3 + δo (III-9) Cette relatio motre que ε x décroît lorsque δ 0 ou NI croît. Par cotre ε x croît avec λ, c est à dire avec G. Das ce cas, des relatios (III-4) et (III-5), il viet : B = G.r (III-0) 5

54 III-..3) Saturatio Pour ue valeur doée de l etrefer miimal, das le cas de =3/ et G costat, la relatio (III-0) permet de défiir ue valeur limite de l iductio magétique B lim à ue distace r max au iveau de l etrefer selo : B < B = G., soit : lim r max Blim rmax < G (III-) r max dimiue avec B lim à G doé. Là aussi, pour raiso de sur-saturatio du circuit magétique, seules les petites valeurs de limites sot plus réalistes. FIG. 3. r max foctio de G et B lim pour =3/ Et e s imposat ue valeur r max, o a pour =3/ : ε x R = G.B lim (III-) ε La gradeur x R varie liéairemet e foctio de G pour ue iductio de saturatio doée. Cette gradeur est d autat plus faible que B lim est grad (Fig.4). La taille de la zoe de travail das l etrefer, délimitée par δ o et r max, déped tout d abord des ε valeurs souhaitées de G et de x. Mais, elle est égalemet liée à B lim, puisque cette valeur doit R être relativemet faible (<T pour du fer) pour e pas trop saturer la partie ferromagétique du circuit, ce qui aurait pour effet de redre caduque l assimilatio de la surface des pôles à des équipotetielles magétiques, et de perturber la distributio harmoique du champ. 5

55 FIG. 4. ε x foctio de G et B lim pour =3/ R III-..4) Ifluece du circuit magétique Le circuit magétique est costitué de la culasse, des pôles et de l etrefer (Fig.5). Les réluctaces de la culasse R fer et des pôles R pole sot très saturables. D après le schéma magétique équivalet de la figure 5, la différece de potetiel magétique V aux bores de l etrefer est : Re V = NI R + R + R (III-3) fer e pole où R e est la réluctace de l etrefer. L expressio (III-3) s exprime e réalité sous la forme (III-3). Les simulatios umériques effectuées par la suite tieet compte de la saturatio des matériaux. Nous présetos simplemet, das cette sectio, les calculs permettat d obteir les gradeurs utilisées das l expressio (III-3). FIG. 5. Schéma magétique équivalet La réluctace de la culasse est très facile à calculer selo : R fer = µ o. µ l fer fer.l p.e p (III-4) 53

56 où µ fer est la perméabilité relative du fer, l fer est la logueur moyee du circuit ferromagétique, e p so épaisseur et l p sa largeur. Par cotre pour détermier celles de l etrefer et des pôles, il faut d abord détermier la largeur de pôles e pole d après la figure 6 : e pole =.r cosθ (III-5) max Cette doée permet de calculer la réluctace des pôles selo la relatio : Rpole = µ o. µ l pole pole.l p.e pole (III-6) où µ pole est la perméabilité relative des pôles, l pole est la logueur moyee des pôles, e p leur épaisseur et l p leur largeur. E première approximatio, ous égligeos les frages au iveau de l etrefer (cette hypothèse est vérifiée que si la largeur de l etrefer miimale est petite devat les autres dimesios des pôles). Estimos le flux d φ traversat l élémet dl selo ue logueur l p des pôles (Fig.6), soit : d 0.H..ds r r φ= µ (III-7) avec ds = l p.dl et comme r H // r r dφ= µ. H.l.dl (III-8) 0 p : FIG. 6. Elémets de calcul du flux d etrefer Estimos l élémet dl au iveau de l équipotetielle supérieure, soit : dr( θ) dl= dl( θ) = r ( θ) + ( ). dθ dθ (III-9) 54

57 Après calcul, o obtiet : dl( θ) = r( θ). dθ si(( θ θ )) (III-30) mi D où le flux traversat la surface du pôle supérieur : π φ = dφ (III-3) soit : θ 0 p [ g(( θ θ )] φ= µ.l.( V ).cot (III-3) mi π θ Das ce cas, il viet pour la perméace (réluctace iverse) d etrefer : Λ = µo.l.ta(( π θ )) e p (III-33) III-.) Simulatio Le but de la simulatio umérique est, das ce cas, d obteir des résultats plus proche de la réalité que le précédet calcul aalytique exécuté sous certaies coditios. Les gradeurs telles que l iductio B, le vecteur G ou l ihomogééité ε de la compesatio vot être obteues au sei de la zoe de travail coteue das l etrefer. Les pôles preet des dimesios réelles cotrairemet aux calculs théoriques où ils sot supposés ifiimet logs, ous avos travaillé e fait sur les équipotetielles et o les pôles. Le logiciel de simulatios umériques utilisé est u logiciel d élémets fiis du commerce COMSOL Multiphysics TM. La valeur du gradiet G = 8T /m est fixée de sorte qu elle correspode à celle de l oxygèe liquide (90K, Atm). Pour les deux structures de pôles qui vot être étudiées, ous devos alors appliquer 6330 At etre les pôles, soit etre V et V (cas ), soit etre V 0 et V (cas ) (Fig. ), et ous ous limitos à B lim =0,7T. Les pôles ot das les deux cas les mêmes dimesios suivat les axes x et y. Nous observos l évolutio des composates du vecteur ihomogééité ε, suivat la taille de l etrefer, au sei de la zoe cylidrique représetat ue coupe de la cellule d oxygèe placée das l etrefer. Nous cosidéros qu au cetre de cette cellule la compesatio est exacte. III-..) Cas La figure 7 fourit la carte de l iductio obteue grâce à ue simulatio par élémets fiis. L etrefer a ue épaisseur de,5mm. Le cercle représete ue coupe de la cellule d oxygèe de forme cylidrique à base circulaire. Les tracés des composates ε x et ε y du vecteur ihomogééité ε sot doc réalisés à l itérieur de ce derier. 55

58 FIG. 7. Iductio das u etrefer de,5mm avec R=5mm. La figure 8 présete la orme de l iductio B au cetre de l etrefer. La chute de force magéto motrice (f.m.m.) pour obteir ces valeurs est de l ordre de 7%, ceci e preat ue iductio d etrefer B e =0,59T. Cette valeur cofirme l itérêt du paragraphe..4. Notos égalemet que l iductio das cette zoe est iférieure à B lim. Sur les figures 9 et 0 sot respectivemet reportées les composates verticale et horizotale du vecteur ihomogééité. Les deux composates sot atisymétriques par rapport à l axe x=0. O costate que la composate horizotale varie etre ±%. Quat à la composate verticale, elle est légèremet plus faible et comprise etre 9% et 6%. FIG. 8. Iductio suivat l axe vertical au cetre de l etrefer 56

59 FIG. 9. ε y das la zoe de travail de rayo R=5mm / FIG. 0. ε x das la zoe de travail de rayo R=5mm III-..) Cas Das ce cas, l équipotetielle iférieure est prise égale à zéro. Et la taille de l etrefer est augmetée d après la relatio (III-5) puisque δ o =0. L etrefer fait maiteat 5mm d épaisseur. La figure doe la carte d iductio magétique das cet etrefer. FIG.. Iductio das l etrefer de 5mm d épaisseur et R= 5mm 57

60 FIG.. Iductio suivat l axe y das l etrefer La figure présete l iductio das l etrefer. La chute de f.m.m. pour obteir ces valeurs est seulemet d eviro 3% (cf..4), e preat comme iductio d etrefer moyee B e =0,3T. L iductio das cette zoe est iférieure à B lim. La valeur de la composate verticale ε y de l ihomogééité est légèremet meilleure (Fig. 3). Par cotre la composate horizotale ε x doée par la figure 4 est ettemet dégradée par rapport au cas, puisqu elle varie etre ± 37%. Ce résultat est totalemet prévu par (III-6). FIG. 3. ε y das la zoe de travail avec R=5mm / FIG. 4. ε x das la zoe de travail avec R=5mm III-..3) Re-dimesioemet zoe de travail Das le cas où l o souhaite travailler avec les mêmes coditios que das le cas (valeur d iductio et chute de f.m.m. faible) et avec les mêmes valeurs d ihomogééité ε x et ε y que das le cas, quelles sot les dimesios de la zoe de lévitatio cylidrique à base circulaire susceptible d accueillir de l oxygèe liquide? La taille de l etrefer doit rester la même que das le cas (5mm), ce qui implique d après la relatio (III-0) que si o veut coserver la même homogééité il faut que la zoe de travail ait u rayo de,7mm. La carte d iductio est celle de la figure. 58

61 FIG. 5. ε y das la zoe de lévitatio / FIG. 6. ε x das la zoe de lévitatio La figure 5 motre que la composate verticale de G est homogèe à quasimet 99% das la cellule. La figure 6 motre que ε x obteue par la simulatio a quasimet les mêmes valeurs extrêmes que celles présetées à la figure 0. Les faibles différeces résultet du fait que la formule (III-0) est obteue à partir d u développemet limité. III-.3) Coclusio de la sectio III- La lévitatio de fluides demade de faibles valeurs d ihomogééités. La valeur gééralemet fixée se situe aux aletours de %. Pour obteir de très petites valeurs de ε x, les pôles doivet être réalisés e accord avec le cas : c est à dire avec δ 0 le plus grad possible. Mais la taille de l etrefer et doc de la zoe de travail décroisset das le même rapport. E appliquat 6330At das cet électroaimat classique, ous motros que la lévitatio d oxygèe liquide (à 90K) est accessible du fait de sa forte susceptibilité. La compesatio verticale peut das ue zoe de 3,4 mm de diamètre être iférieure à %, mais la compesatio horizotale reste d eviro 0%. E utilisat les résultats théoriques de la première partie et e appliquat sur u électroaimat équivalet 3800At, il devrait être possible de réaliser la lévitatio d oxygèe liquide à 90K avec des ihomogééités iférieures à % das ue zoe de cm d épaisseur. Du fait de la taille importate de l etrefer, la dégradatio des valeurs d ihomogééité due à la largeur fiie des pôles doit être bie évaluée. Mais l électroaimat étudié e permet pas d atteidre plus de 30000At et, de plus, la largeur des pôles est limitée à cm. Pour les plus hautes valeurs de G le diamètre de la zoe de travail dimiue à ε x doé. Par exemple G=50T /m à % doe ue zoe de travail de 3,mm de diamètre. E coséquece, seules quelques substaces iorgaiques peuvet être lévitées magétiquemet das de tels dispositifs. Il serait théoriquemet possible avec u électroaimat classique de compeser la gravité sur de l eau (77T /m) mais les zoes de travail devieet très petites. Par exemple, o e peut sur ce type d électroaimat avoir mieux pour de l eau qu ue ihomogééité de 0% das ue zoe de 580µm de diamètre! Das la suite, les dispositifs que ous cosidéreros, destiés à réaliser la lévitatio de fluides das des zoes de travail coséquetes, utiliserot des bobies supracoductrices afi de créer des iductios plus importates que celles des électro-aimats classiques. 59

62 III-) Méthode harmoique e géométrie cylidrique Das cette secode partie, ous appliquos la méthode de décompositio harmoique au cas des coordoées cylidriques (ivariates par traslatio), ou plus particulièremet aux coordoées polaires puisque ous ous plaços das u espace D ivariat par traslatio. Cette méthode a été développée, afi de cotrôler et de maîtriser les cofiguratios d accélératios résiduelles. Elle permet de compredre l effet de chacu des harmoiques du champ magétique sur la compesatio magétique de pesateur. Elle peut trouver so itérêt quelque soit la ature des sources de champs (électro-aimats avec culasse, bobiages supracoducteurs de types multipolaires). Cette méthode est particulièremet bie adaptée aux multipôles d accélérateurs. Des simulatios umériques, de compesatio magétique de pesateur pour l oxygèe liquide, illustret les résultats théoriques et permettet de visualiser les possibilités offertes par cette méthode. Mais tout d abord rappelos les gradeurs et expressios fodametales (force magétique, accélératio résiduelle et équipotetielles magéto-gravitatioelles) défiies das le début de cet ouvrage. III-.) Défiitio de la géométrie Défiissos avat tout la géométrie du système. Le problème cosidéré possède ue ivariace par traslatio suivat l axe z, le système est doc idépedat de cette variable. FIG. 7. Coordoées cylidriques D La pesateur est supposée dirigée suivat l axe x (Fig. 7): g = g.e x (III-34) Les expressios de la force magétique, du vecteur ihomogééité relative ε de la compesatio et du potetiel magéto-gravitatioel Σ L sot celles du chapitre I (cf. expressios (I-3), (I-6) et (I-8)). La compesatio magétique sera choisie exacte au cetre du dispositif (r=0) pour u vecteur G=G défii par l expressio (I-5). La orme de l iductio au cetre du système est prise égale à B. III-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G 60

63 Le domaie cosidéré e coteat pas de courat, le champ magétique dérive d u potetiel scalaire V qui se mesure e ampère : H = gradv (III-35) Le potetiel scalaire V vérifie, e dehors de tout courat, l équatio de Laplace et peut doc être décomposé e harmoiques cylidriques : V( = 0 r, θ ) = ( A".r + B".r ).( C" si( θ ) + D" cos( θ )) (III-36) Où A '', B '', C '' et D '' sot des costates détermiées e foctio des coditios aux limites (r=0 et r ). Aisi, o détermie u potetiel itérieur et u potetiel extérieur à u cylidre (cercle e D) de rayo R 0. Ce potetiel scalaire peut être créé par ue appe superficielle de courat répartie sur ce cylidre de rayo R 0 : V V (r, ) = r.(c si(θ) + D cos(θ)) it = 0 ext θ, r<r 0 (III-37) = 0 (r, θ ) = r.(c' si(θ) + D' cos(θ)), r>r 0 (III-38) où C = A".C", D = A".D", C ' B".C" = et D ' = B".D", ce qui doe, d après (III-35), l expressio e coordoées polaires (Fig. 7) des harmoiques cylidriques du champ de part et d autre du cercle de rayo R 0 : H H it ext (r, θ) (r, θ) où Λ,.r.r =.r.r (+ ) = (+ Λ ', α et. Λ.si(θ + α ), r<r 0 (III-39). Λ.cos(θ + α ). Λ'.si( θ + α' ) ), r>r 0 (III-40). Λ'.cos( θ + α' ) α ' sot des costates fixées par les coditios d homogééité désirées sur le vecteur G, l idice est relatif au -ième harmoique. A partir des expressios du champ magétique (III-39) et (III-40), ous calculos le vecteur G, qui représete la force magétique. O cherche tout d abord l expressio du carré de la orme de l iductio magétique à l itérieur du cylidre. Nous e ous itéressos qu aux gradeurs itérieures, comme das le cas de la coceptio de multipôles d accélérateurs de particules, tels que les dipôles, quadrupôles ou ecore sextupôles, où le champ magétique das la zoe utile est réalisé par des bobiages extérieurs à cette zoe. Il existe égalemet u vecteur G extérieur, a priori sas itérêt pour la microgravité. Remarque : Toutes les gradeurs serot désormais des gradeurs itérieures au système sauf cotre-idicatio, ous e préciseros plus «it» e idice : X it X 6

64 = = = = = 0 p p p p 0 0 p p p p 0 0 ) cos(p. p.r ). cos(..r ) si(p. p.r ). si(..r. ) (r, B α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ µ θ (III-4) L expressio du champ de vecteur G dérive de l expressio précédete (III-4). La relatio (III-4) permet aisi de coaître l expressio de G e coordoées polaires (Fig. 7) e tout poit du domaie directemet e foctio des harmoiques du champ. = = = = = = = = = 0 p p p p 0 0 p p p p 0 0 p p p p 0 0 p p p p 0 0 ) p.si(..r p ).cos(..r ). p.cos(..r p ).si(..r ) p.cos(. r ). p.(p ).cos(..r ) p.si(. r ). p.(p ).si(..r. ) G(r, α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ α θ Λ µ θ r (III-4) Ue coditio est imposée au vecteur G, il est uiquemet porté par e r e θ=0, c'est-à-dire que sa composate tagetielle G θ sur l axe θ=0 doit être ulle, G θ (r,0)=0. Cette égalité se traduit e foctio des harmoiques de champ par : 0 ).si(...r.p 0 0 p p p 3 p = = = + α α Λ Λ (III-43) ue solutio triviale apparaît α α α = = p N, p ), ( Selo (III-39), la forme du champ magétique itérieur au domaie deviet : ).cos(..r ).si(..r ) H (r, α θ Λ α θ Λ θ + + = (III-44) La orme de l iductio au cetre O vaut B (Fig. 7), d où la valeur du premier harmoique : H o B = = µ Λ (III-45) Le carré de la orme de l iductio e déped pas du déphasage α, s il est le même pour tous les harmoiques. Aisi G est idépedat de α, cette propriété importate sera illustrée plus loi par des simulatios umériques. = = = = = = = = + = 0 p p p 0 0 p p p 0 0 p p p 0 0 p p p 0 0 ).si(p..r p ).cos(..r ).cos(p..r p ).si(..r ).cos(p. ).r p p.( ).cos(..r ).si(p. ).r p p.( ).si(..r. ) G(r, θ Λ θ Λ θ Λ θ Λ θ Λ θ Λ θ Λ θ Λ µ θ (III-46)

65 La forme géérale du gradiet est aisi détermiée das le cas d ue géométrie cylidrique. Pour obteir cette forme, o suppose que tous les harmoiques de champ ot le même déphasage α. La famille des harmoiques de champ (Λ ) N qui coduit à G θ (r,0)=0 e sera pas uique, ous allos préseter trois familles possibles de solutios idetiques à celles idiquées sectio. du chapitre II. Ces familles dépedet directemet des coditios d homogééité fixées sur le gradiet. Ces coditios d homogééité sot imposées sur le vecteur ihomogééité, et sot esuite trascrites sur les dérivées successives du gradiet. III-.3) Détermiatio de G pour trois familles d harmoiques L étude a été restreite aux trois coditios d homogééité idiquer au chapitre II, c'est-à-dire des coditios portat sur le vecteur ε, fourissat respectivemet trois familles d harmoiques, mais ue ifiité d autres familles existet, décrivat des coditios d homogééité itermédiaires. La première famille d harmoiques détermiée permet d obteir u vecteur ihomogééité cetral dot la orme varie liéairemet avec le rayo [LOR], la derière partie de ce chapitre lui est cosacrée. La secode famille d harmoiques permet de créer u gradiet G costat suivat u pla horizotal défii par x=0 (Fig. 7), pour cette distributio le vecteur ihomogééité est ul suivat ce pla. La derière famille étudiée das ce papier permet d obteir u gradiet G costat suivat u pla vertical défii par y=0 (Fig. 7), das cette cofiguratio le vecteur ihomogééité est ul suivat ce pla. III-.3.) Mise e équatio des trois coditios d homogééité Le vecteur G répod toujours aux deux coditios fixées précédemmet, i.e., il compese parfaitemet la pesateur au poit O, doc e tout poit de l axe Oz (axe du cylidre), et il est coliéaire à e r suivat l axe θ=0. III-.3..) Première famille de solutios Le vecteur ihomogééité est cetral, la composate orthoradiale, i.e. ormale à u rayo, ε θ (r,θ) doit être ulle. Cette coditio se traduit par la relatio (III-47) tirée de l expressio du vecteur ihomogééité : G ( r, θ ) = G. siθ (III-47) θ III-.3..) Deuxième famille de solutios Le vecteur G doit être le plus uiforme possible suivat le pla r ( π r, ) π θ = π ε et ε θ ( r, ) vers zéro, ce qui se traduit par la double coditio (III-48) :, aisi il faut faire tedre π π Gr( r, ) Gθ ( r, ) N, = = 0 r r 0 = r r = 0 (III-48) 63

66 Cette double coditio peut être imposée car la foctio Gr(r, π ) est u polyôme impair e r π et la foctio Gθ ( r, ) est u polyôme pair e r. III-.3..3) Troisième famille de solutios Le vecteur G doit être le plus uiforme possible suivat le pla θ=0, aisi il faut faire tedre ε vers zéro, ce qui se traduit par la coditio (III-49) : r ( r,0 ) Gr( r,0 ) N, = 0 r r = 0 (III-49) Pour détermier les harmoiques pour chacue des trois familles de solutios, il faut coaître les expressios de ( r,0 ) Gr, Gr( r, ) π π, et G ( r, ). A partir de la forme géérale du gradiet (III-46), il suffit de remplacer les cosius et les sius par leur valeur e = 0 θ θ ou Le secod harmoique se déduit e foctio du premier à partir de l expressio de Gr (r,0) deuxième harmoique fixe la valeur du gradiet au cetre O du dispositif (fig.7) : G Λ = (III-50) 4µ o Λ E remplaçat le premier harmoique par sa valeur (III-45), o obtiet : π θ =.. Ce G Λ = (III-5) 4µ ob Les valeurs de Λ et Λ sot valables quelque soit la famille d harmoiques cosidérée, elles e dépedet e aucu cas des coditios d homogééité mais uiquemet des valeurs, au cetre, d ue part du champ magétique et d autre part du gradiet du carré du champ magétique. III-.3.) Calcul des harmoiques, de G et de Σ L pour chaque famille III-.3..) Première famille de solutios cas circulaire Les coefficiets harmoiques Les valeurs des deux premiers harmoiques sot coues, (III-45) et (III-5). O déduit Gθ ( r, θ ) à partir de (III-46) et la coditio (III-47) peut aisi s écrire : p 3 + p,p + p 3. µ o..p. Λ Λ.si(( p). θ).r = G. siθ (III-5) 64

67 La valeur du troisième harmoique est obteue e preat la dérivée de l expressio (III-5) e r=0 (lorsque +p=4): Λ 3 = 0 (III-53) Ue récurrece (voir Aexe Đ : Théorème 3) permet d obteir l esemble des harmoiques de rags supérieurs (tous uls) et aisi pour le cas circulaire : = B Λ µ o G Λ = 4µ ob 3, Λ = 0 (III-54) Gradiet G et potetiel complexe associé du champ magétique ζ Les harmoiques de champ de rags supérieurs à deux état uls, le gradiet s écrit : v G v v ( r, θ ) = G.cosθ + G.( ).r.er G.siθ. e θ (III-55) B G ou, v G v v G= G.( (III-56) ).r.e + G. e r x B Le vecteur ihomogééité peut s écrire à partir de l expressio (III-56) : v G v ε ( r, θ ) = ( ).r.e r (III-57) B ou bie, v G v G v ε ( x, y ) = ( (III-58) B ).x.e x + ( ).y. e y B 65

68 FIG. 8. Zoe utile das le domaie du potetiel magétique complexe et défiitio des coordoées polaires Il est possible de démotrer (voir Aexe Đ : Théorème 5) que cette expressio (III-55) du vecteur G est associé à u potetiel magétique complexe ζ [DUR], lié à u autre repère cetré e O (Fig. 8), de la forme : c. z ζ = β (III-59) où la valeur de β c vaut : G = Λ (III-60) β = c 4µ ob et la logueur OO (fig. 8), otée r c, déped de l iductio B et du gradiet G au poit O. B r c = (III-6) G Pour ce potetiel magétique complexe, le gradiet à pour expressio : v G v G = r r (III-6) r. e c Le vecteur G doit esuite être exprimé das le repère cetré e O avec les coordoées de ce repère (r,θ), aisi celui-ci pred la forme suivate : v r v v = G.cosθ + G..er G.siθ. eθ (III-63) rc G expressio idetique à l expressio (III-55). U vecteur ihomogééité puremet radial, voir (III-57) peut aisi être obteu avec l utilisatio du potetiel magétique complexe (III-59). Ce 66

69 potetiel complexe peut être obteu pratiquemet par u bobiage quadrupolaire pur, la zoe utile état située hors de l axe magétique du quadrupôle. Equipotetielles magéto-gravitatioelles Σ L L expressio des équipotetielles magéto-gravitatioelles peut aisémet être obteue, e calculat l expressio du carré de l iductio magétique : B G Σ L = +. r (III-64) G 4B Les equipotetielles «magéto-gravitatioelles», équiσ L, sot des cercles cetrés e O (Fig. 8). La différece de potetiel «magéto-gravitatioel», etre l origie (compesatio exacte) et u poit de rayo r, croît comme le carré du rayo r. III-.3..) Deuxième famille de solutios cas horizotal Les coefficiets harmoiques D après la coditio (III-48), les coefficiets pairs sot fouris par l aulatio des termes du π polyômes Gθ ( r, ) et les coefficiets impairs sot fouris par l aulatio des termes du π polyôme Gr( r, ). Par récurrece sur les coefficiets pairs et esuite sur les coefficiets impairs, il est possible de démotrer (voir Aexe Đ : Théorème ) que les coefficiets harmoiques s écrivet sous la forme : G N, Λ =!B 3 (III-65) µ o Les relatios (III-45) et (III-5) vérifiet bie la coditio pour = et =. Gradiet G et potetiel complexe associé du champ magétique ζ La forme du gradiet se détermie e réijectat das l expressio (III-46) l expressio des harmoiques (III-65), puis e exprimat ce gradiet e foctio des vecteurs e x et e y. Des calculs fastidieux (voir Aexe Đ : Théorème 4) permettet de démotrer que : K = 3 K K 6 K 3 G x G x =. (III-66) B ( K 3 )! et, G y = 0 (III-67) L expressio (III-66) fait apparaître le développemet e série etière de la foctio expoetielle, le gradiet s écrit sous la forme : 67

70 v G v G = G (III-68).exp(.x ). e x B Il est possible de motrer que cette expressio du vecteur G est associée à u potetiel magétique complexe ζ, lié au même repère, cetré e O (Fig. 8), de la forme : ζ = β.exp( π h.z) (III-69) λ où β h (e Ampère) et λ (e mètre) sot des costates foctio des valeurs de l iductio B et du gradiet G au poit O. π µ o.. βh = B (III-70) λ 4πB λ = (III-7) G L expressio du gradiet obteue (III-7) est bie similaire à l expressio (III-68) : v G v G = G.exp( (III-7).x ). e x B La costate λ (III-7) déped des deux premiers harmoiques : Λ λ =. π (III-73) Λ Ce potetiel magétique complexe (III-69) peut être obteu pratiquemet par ue répartitio siusoïdale de courat, de logueur d ode λ (III-7), suivat le pla horizotal x=0 (Fig. 7). Equipotetielles magéto-gravitatioelles Σ L Les équiσ L preet pour expressio : B G Σ =.exp(.x) x L G (III-74) B ce qui implique que les équipotetielles magéto-gravitatioelles sot des plas horizotaux d équatio x=costate (Fig. 7). III-.3..3) Troisième famille de solutios cas «vertical» Les coefficiets harmoiques 68

71 A partir de la coditio (III-49) et d ue démostratio par récurrece (voir Aexe Đ : Théorème ), o motre que les coefficiets harmoiques s écrivet sous la forme : Λ = B µo Λ = G 4µoB ( ) ( 5)!G 3, Λ = 4!( 3)!µo.B 3 (III-75) Gradiet G v et potetiel complexe associé du champ magétique ζ U vecteur G répodat à la coditio (III-49) [VIN] peut être obteu à partir d u potetiel magétique complexe de la forme : v. z 3 ζ = β (III-76) Ce potetiel magétique complexe, lié au repère (O,r,θ ), permet d obteir u vecteur G, das le repère (O,r,θ), de la forme : v G= Go.(cosθ + r ) r v = 0 ( r ) ( ) r v v P (cosθ).e Go.siθ r. = 0 ( r ) ( ) r v v P (cosθ).e θ (III-77) avec comme valeur de r v (Fig. 8) : r B v= (III-78) G Nous supposeros qu e itroduisat les harmoiques (III-75) das l expressio du gradiet (III-46), le gradiet s exprime sous la forme (III-77), avec :. G β = 3. o (III-79) h µ Ceci est qu ue cojecture car ous avos pas réussi à démotrer explicitemet ce résultat. Nous avos éamois vérifié (par calcul formel) que les termes, jusqu au rag =0, du polyôme obteu de cette maière sot idetiques à ceux du polyômes de l expressio (III- 77). 69

72 Equipotetielles magéto-gravitatioelles Σ L La forme des équipotetielles magéto-gravitatioelles deviet extrêmemet simple, e calculat l expressio du carré de l iductio et e exprimat les équiσ L das le repère (O,r,θ ), o obtiet : Σ = r.( cosθ ) + r (III-80) L v III-.4) Détermiatio de la appe de courat Das cette partie, ous résolvos u problème iverse de magéto-statique [VIN]. Ce problème cosiste à trouver ue répartitio de courat surfacique ou volumique produisat à l itérieur d u volume, circoscrit aux courats, la répartitio de champ désirée. Ce type de problème possède ue ifiité de solutios, il faut doc se fixer des coditios supplémetaires. O impose aux distributios cherchées d être superficielles et situées sur u cylidre à base circulaire de rayo R 0 doé. La appe de courat aisi obteue est uique à u courat costat près. Mais pour u problème physique où ce courat costat est ul, le problème a ue solutio uique. III-.4.) Desité surfacique (A.m - ) A partir de la coaissace des harmoiques de champ, les trois appes de courat théoriques réparties sur u cylidre de rayo R 0 vot être détermiées. Ces trois répartitios de courat permettet de créer les trois distributios de force précédetes à l itérieur du cylidre de rayo R 0. L utilisatio de la cotiuité de la composate ormale du champ H Nit =H Next e r=r 0, l égalité du champ tagetiel itérieur et extérieur e r=r 0 aux courats près H Tit -H Text = xk =e r xk où est le vecteur ormal sortat et K l harmoique de rag de la desité surfacique de courat (A.m - ) et l utilisatio des expressios du champ (III-39) et (III-40) avec α ' α = α, permettet d obteir tous les harmoiques du courat : = 0 0 K (R, θ ) = R. Λ cos(θ + α). e z (III-8) III-.4.) Desité volumique (A.m - ) Ue répartitio volumique, où l o cosidère que le courat e déped pas du rayo mais seulemet de θ, est détermiée. Aussi l expressio du courat (III-8) doe u champ tagetiel e r=r 0 de la forme : H T it 0 (R, θ ) =. Λ.R.cos( θ + α) 0 (III-8) Soit la répartitio surfacique de courat e r=r, v K' (R, θ ) =.R. Λ''.cos(θ + α). e z qui doit me créer e r=r 0 u champ tagetiel H Tit (R 0,θ)=H Tit (R 0,θ), il suffit pour cela que Λ ' = Λ. Puisque l o cosidère que la desité de courat volumique e déped pas du rayo, posos : ' 70

73 J (R, θ )dr = j(r ).cos(θ + α) (III-83) Si o égalise les élémets de courats, puis que l o réitroduit le champ tagetiel ous obteos : R (R, θ)dr= dk' (R, θ) =.( ).dh (R, θ) R T (III-84) it J 0 0 e itégrat sur la couroe (Fig. 9) d u rayo itérieur a jusqu à u rayo extérieur b ous obteos le champ tagetiel e u rayo r=r 0 produit par l esemble de la couche volumique de courat : H Tit b R0 (R, θ ) =. J (R, θ).( ). dr 0 R (III-85) a FIG. 9. Couroe de coducteur or ous coaissos le lie etre la desité de courat (III-8) et le champ tagetiel (III-8) d où : b R = 0 K (R, θ ) 0 J (R, θ).( ). dr R (III-86) a ous désiros avoir j (R ) = cst(), aisi pour la desité volumique de courat : K (R, θ) J ( θ) =. R 0 0 b R a d où la forme géérale dr K ( θ) J ( θ) =. R 0 b a = où l itégrale pred ue forme particulière (III-87) quelque soit le rag de l harmoique sauf pour K ( θ) J ( θ ) =.. R l( b 0 ) a 7

74 L expressio de chacu des harmoiques est fourie ci-dessous : * N { }, J ( θ) = Λ. b a J ( ) = G θ..cos( + ) µo.b l( ) b θ α a.cos(θ + α) (III-88) Les simulatios umériques, présetées par la suite, sot réalisées e utilisat ue desité surfacique de courat de la forme (III-8) avec les familles (Λ ) N associées à chacue des cofiguratios d homogééité (III-54), (III-65) et (III-75). III-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique III-.5.) Choix des paramètres de simulatio Das cette partie, sot umériquemet simulées les trois distributios d accélératios résultates. La desité de courat surfacique, correspodat à chacu des cas, est répartie sur u cylidre de rayo arbitrairemet fixé à 50 cm. Les répartitios du vecteur ihomogééité ε sot obteues à l itérieur d u cylidre de 40cm de rayo cocetrique à celui qui porte la desité surfacique de courat. La valeur du gradiet G qu il ous faut compeser déped du fluide à léviter. Comme os recherches ot pricipalemet porté sur l oxygèe et que la méthode (géérale) a été développée das l optique de faire léviter litre d oxygèe liquide avec ue ihomogééité iférieur à %, ous predros doc celui-ci comme exemple G =8T /m (à 90K). La forte susceptibilité de l oxygèe permet d obteir des résultats tout à fait remarquables sur la valeur de l ihomogééité, l itérêt porte égalemet et surtout sur les différetes cofiguratios d accélératios résultates susceptibles d être obteues. Les supracoducteurs e NbTi à,8k permettet d atteidre des iductios supérieures à 0 T. Cette limite techologique ous fait choisir pour les simulatios ue iductio au cetre du système d ue valeur B =8T. Das les simulatios (Fig. 0,, 4-6, 7-3) sot représetées : -le vecteur ihomogééité ε (flèches oires), -la orme de ε e % (barre de couleur), -les équiσ L (liges bleutées). III-.5.) Simulatios cas horizotal et vertical et trocature à 3 harmoiques Cette partie permet de visualiser les résultats théoriques précédets (Fig. 0 et ). Les simulatios sot effectuées e utilisat das l expressio du courat (8) uiquemet les trois 7

75 premiers harmoiques des familles (III-54), (III-65) et (III-75). Des tracés de résultats aalytiques motret que la trocature à 3 harmoiques du champ affecte pas sigificativemet la répartitio de la force magétique (Fig. et 3). FIG. 0. et. Simulatio avec seulemet les trois premiers harmoiques des cas horizotal (gauche) et «vertical» (droite). Ces simulatios sot réalisées avec les boes valeurs des 3 premiers harmoiques tirées des relatios (III-65) et (III-75), les harmoiques de rags supérieurs sot tous mis à zéro. O compred mieux avec ces figures l emploi des qualificatifs «horizotal» et «vertical» pour ces deux familles de coefficiets harmoiques. La trocature au troisième harmoique est maiteat comparée avec ue trocature au dixième harmoique pour chacu des cas vertical et horizotal afi de vérifier que l impact sur la répartitio du vecteur G est faible. La comparaiso se fait e calculat et traçat (fig. et 3) la orme du vecteur G diff. Le vecteur G diff représete la différece etre le vecteur G 0h, expressio (III-46) avec les dix premiers harmoiques tirés de (III-65) et (III-75) et le vecteur G 3h, expressio (III-46) avec les trois premiers harmoiques tirées égalemet de (III-65) et (III-75). L échelle verticale fourit la orme du vecteur G diff (T /m) tracée à l itérieur du cylidre de 40cm de rayo (échelle des axes horizotaux). O costate que la variatio du gradiet etre ue trocature au troisième harmoique et au dixième harmoique est faible. Das le cas vertical, elle est iférieure à par rapport à la valeur de G recherchée au cetre. Das le cas horizotal, elle est iférieure à 0,4 de G. 73

76 FIG.. et 3. Tracés de G diff pour les cas horizotal (gauche) et vertical (droite) Cosidérer uiquemet les trois premiers harmoiques est doc suffisat pour le dimesioemet d u système de lévitatio performat. Les deux premiers harmoiques sot équivalets quelque soit le cas, le réglage des équipotetielles (et doc de la distributio du vecteur ihomogééité au sei du système) se fera uiquemet par le réglage du courat créat le troisième harmoique grâce à u évetuel sextupole [LOR]. Cette géométrie de bobiages est celle utilisée das les accélérateurs de particules. U système de lévitatio pour l oxygèe liquide est evisageable, il pourrait être costitué d u assemblage de bobiages co-axiaux combiat u dipôle, u quadrupole et u sextupole. E cas de coceptio d u dispositif réel il faudrait avat tout maîtriser l impact des têtes de bobies au iveau de la répartitio du champ magétique et des évetuelles modificatios egedrées sur la répartitio des forces magétiques. III-.5.3) Simulatios cas circulaire et ivariace par déphasage α des harmoiques Das u premier temps, ue simulatio du cas circulaire est effectuée. Puis la simulatio du cas horizotal, avec 0 harmoiques, illustre l ivariace du vecteur G par déphasage d u même agle α de tous les harmoiques de champ. Ce résultat illustre la relatio (III-50) où G e déped pas de α. Les remarques effectuées sur cette ivariace sot évidemmet valables égalemet pour les cas circulaire et vertical. III-.5.3.) Cas circulaire La simulatio du cas circulaire fourit bie le vecteur ihomogééité cetral prévu par les calculs. La valeur maximale de la orme (pour ue même surface, ici, u disque de 40 cm de diamètre) est plus petite que pour les cas verticaux et horizotaux (Fig. 0 et ). La orme de ε est par simulatio iférieure à 3,3%, alors que l expressio (III-6) doe ue valeur de,5%. Cette écart est du à l imprécisio sur les bords du domaie de la simulatio umérique. 74

77 FIG. 4. Simulatio umérique cas circulaire ( harmoiques) Le cas circulaire est particulièremet itéressat, puisque la force résultate obteue, qui est coliéaire et proportioelle au vecteur ihomogééité ε, varie liéairemet avec le rayo. Elle permet doc de simuler sur Terre ue force cetrifuge exercée das l espace, par exemple la force cetrifuge à laquelle est soumis l oxygèe liquide das les réservoirs spatiaux [LOR]. D autres particularités de cette cofiguratio sot détaillées das la troisième partie de ce chapitre. III-.5.3.) Ivariace : vecteur homogééité fixe et liges de champ tourates Lorsqu o effectue des expérieces de micro-gravité par champ magétique, il peut être itéressat de coaître et maîtriser l orietatio du champ magétique par rapport au système à étudier. E itroduisat le même déphasage α das tous les harmoiques, le calcul motre que le vecteur G et doc le vecteur ihomogééité e variet pas, alors que le champ magétique est spatialemet décalé de cet agle α. FIG. 5. et 6. Déphasage d u agle α = 0 (gauche) et α = π (droite) 6 75

78 FIG. 7. et 8. Déphasage d u agle α = π (gauche) et α = π (droite) 3 Les simulatios umériques des figures 5 à 8 cofirmet que les liges de champ peuvet être modifiées, par rotatio d u agle α, tout e laissat ivariate la cofiguratio du vecteur ihomogééité. III ) Deux premiers harmoiques du champ fixes, ε tourat Ce cas est pas l iverse du cas précédet même si visuellemet les simulatios umériques pourraiet le laisser peser. La gravité est toujours dirigée suivat Oy. O peut e maiteat fixes les deux premiers harmoiques du champ faire tourer das l espace la distributio de l accélératio résultate, e modifiat seulemet la phase spatiale α du troisième harmoique. Ce résultat sera valable e première approximatio, das le cas d ue lévitatio où le rayo de la zoe de travail est assez petit devat B / G : G.R 0 (III-89) B ce qui peut être réalisé facilemet pour l oxygèe puisque G est relativemet faible comparé à des matériaux diamagétiques comme l hydrogèe ou l eau. L approche aalytique de ce problème s effectue e partat du calcul du vecteur ihomogééité pour le cas horizotal avec trois harmoiques. D après (III-4) et (III-65), o obtiet : 4 4 G G.cos( [ θ + α) +.r ] + 3..cos( θ + α).r v B 8 B ε(r, θ) = G G.si(θ + α).r+.si( θ + α).r B 8B G + B 3 6.r 3 (III-90) avec α le déphasage appliqué à l harmoique 3. Avec les valeurs de B =8T et G =8T /m cette relatio deviet : 76

79 .cos( [ θ + α) + ] v.r+.cos( θ + α).r + ε(r, θ) = 6 5.si(θ + α).r+.si( θ + α).r r 3 (III-9) Le rayo r état iférieur à 40cm (rayo maximal de la zoe de travail), ous pouvos liéariser l expressio précédete :.cos( [ θ + α) + ] v.r ε(r, θ) 6.si(θ + α).r 6 (III-9) Le calcul de la orme du vecteur ihomogééité à partir de cette approximatio fourit : v ε.r. 6 cos(θ + α) + (III-93) La orme doit être ulle suivat des droites (des plas puisque ous travaillos e géométrie cylidrique) d équatio : θ = π α = ϕ (III-94) Ce résultat est cofirmé par les simulatios (Fig. 9-3) où α est le déphasage du troisième harmoique et φ est l agle suivat lequel la orme est ulle. E réalité la orme est pas exactemet ulle suivat ces plas, e raiso de la cotributio des termes e r et r 3 das l expressio exacte des composates du vecteur ihomogééité ε. FIG. 9. et 30. Couple α = 0 et ϕ= π (gauche) et couple α= π et 4 ϕ= 3π (droite) 8 77

80 FIG. 3. et 3. Couple α= π et ϕ= π (gauche) et couple α = π et ϕ = 0 (droite) 4 Il semble doc possible de cette faço de passer de maière cotiue du cas horizotal au cas vertical, sas passer par le cas circulaire. La réalisatio pratique de cette techique écessite la mise e place d u dispositif spécial de créatio de l harmoique 3 : par exemple rotatio mécaique du bobiage affecté à l harmoique 3, ou (plus réaliste) créatio de cet harmoique au moye de deux bobiages fixes, décalés das l espace de π/6, et traversés par des courats d amplitude judicieusemet choisie. L autre méthode pour passer du cas horizotal au cas vertical cosiste à faire varier la valeur du troisième harmoique de sa valeur du cas vertical [=3 das (III-75)] à sa valeur opposée [=3 das (III-65)] e passat par zéro, c est à dire que la distributio de l ihomogééité passe alors par le cas circulaire, que ous allos étudier plus e détail das la suite de ce chapitre [LOR] [LOR4]. III ) Coclusio ) La directio du champ et la directio de la force de gravité sot idépedates, c est à dire que l o peut compeser la gravité au moye d ue iductio de directio quelcoque, ) Les résultats e ε tourat ouvret des potetialités iexploitées de créatio de champs de forces iteres das u fluide e lévitatio magétique. Ces forces ot ue distributio qui peut être aisémet modifiée par variatio du courat das le système de bobiage créat le troisième harmoique du champ. 78

81 III-.6) Lévitatio de l oxygèe et de l hydrogèe par les techologies actuelles Das cette sectio va être vérifiée la faisabilité techologique de dispositifs de lévitatio d oxygèe ou d hydrogèe. Deux techologies de multipôles, les dipôles du LHC [ROS] et les aimats combiés dipôle+quadrupôle de J-PARC (Japa - Proto Accelerator Research Complex) [NAK][NAK], vot servir de base à cette vérificatio. Les résultats théoriques précédets, combiaiso d u simple champ dipolaire avec u champ quadrupolaire (cas circulaire), sot mis e relatio avec ces systèmes préexistats. Le but est de savoir si la réalisatio de dispositifs de lévitatio d oxygèe et d hydrogèe peut fortemet s appuyer sur des études déjà accomplies. Nous ous appuieros sur les coaissaces des cocepteurs et spécialistes des multipôles d accélérateurs [TOD]. Ue hypothèse est faite pour réaliser cette étude ; o cosidère que deux multipôles sot techologiquemet équivalets si leur champ magétique maximum s exerçat sur le coducteur («peak field») et leur ouverture (diamètre de la zoe cetrale à base circulaire) sot semblables. III-.6.) Relatios théoriques etre les différetes gradeurs Le «peak field» B p (T) est lié au champ dipolaire B et au «gradiet» de champ quadrupolaire B par u coefficiet λ adimesioel : =λ.(b B.r) (III-95) B + p Remarque : Pour u dipôle seul (B p =λb ) les cocepteurs cherchet à faire tedre λ vers e jouat sur les caractéristiques géométriques. Pour u quadrupôle pur o e peut espérer ue valeur iférieure à, de ce coefficiet [TOD][ROS3]. où B =µ o.λ est le terme dipolaire (T), B =.µ o.λ est le terme quadrupolaire (T/m), r représete la demi-ouverture de l aimat (m). Das le cas de la lévitatio magétique e géométrie cylidrique où seuls les deux premiers harmoiques itervieet (cas circulaire) o peut relier l ihomogééité ε, B, G le gradiet magétique (T /m) et R le rayo de la zoe utile par ue relatio dérivat de l expressio vectorielle (III-57) : G ε =.R (III-96).B Le rayo de la zoe utile R est relié à celui de la demi-ouverture r par u coefficiet k iférieur à (R=kr). E effet, le liquide lévité est coteu das ue cellule aisi les rayos R et r e peuvet être cofodus. Ce coefficiet permet d ajuster égalemet l ouverture de l aimat e foctio des choix d homogééité de la compesatio magétique. De plus, le gradiet de lévitatio vaut G =B B (T /m). Aisi la formule (III-96) pred la forme suivate : B ε =.k.r B (III-97) 79

82 Si o élimie r etre les expressios (III-97) et (III-95) o obtiet directemet l harmoique exprimé e foctio du «peak field» : Bp B =.( ε (III-98) λ + ) k Puisque G = B B, o peut égalemet obteir B e foctio du «peak field» : G. λ B =.(+ ε ) B k (III-99) p O obtiet R e réijectat la valeur de B das la formule (III-96) : p.b R=. ε.g ( ε (III-00) λ + ) k A partir de cette relatio, o obtiet le volume par uité de logueur de multipôle, ou surface lévitée. Cette surface est tracée e foctio de l ihomogééité pour de l oxygèe et de l hydrogèe pour différets dispositifs multipolaires (Fig. 33b, 34b, 35b et 36b). Les volumes que les cocepteurs d expérieces de lévitatio (CEA/SBT) souhaitet léviter sot cylidriques à base circulaire et de rapport hauteur sur diamètre variat de à 3. Aisi 3 sur la base d u rapport uitaire (cylidre «cubique»), le volume vaut V = π.r. Le volume lévitable e foctio uiquemet de l ihomogéété ε, du gradiet de lévitatio G et du «peak field» B p est alors doé par la formule suivate : 3 B p V 6.. = π ε.g ( ) + ε (III-0) λ k La variatio V(ε) est représetée sur les figures 33a, 34a, 35a et 36a. III-.6.) Applicatios umériques III-.6..) Multipôles J-PARC Les deux articles [NAK][NAK] coceret la coceptio d aimats combiat u dipôle et u quadrupôle pour u accélérateur de particules. Les valeurs pricipales du dispositif sot : -Le champ dipolaire : B =,59 T -Le gradiet de champ quadrupolaire : B =8,7 T/m -Le champ maximum sur le coducteur ou «peak field» : B p =4,7 T -L ouverture de l aimat ou diamètre itere du dispositif : 73,4 mm (r=86,7 mm) 80

83 A partir de ces gradeurs, o détermie le coefficiet λ. O remplace das la formule (III-95) les variables B p, B, B et r par leurs valeurs, o obtiet alors λ=, pour ce dispositif. Cette valeur de λ sera coservée pour toutes les applicatios umériques. Il apparaît das les formules (III-98), (III-99), (III-00) et (III-0) le rapport k ε. Pour u fluide doé, si o fixe l ouverture du dispositif alors ce rapport l est aussi. Pour de l oxygèe liquide (8T /m) le rapport k ε vaut 0,0 car l ouverture du dispositif est de r=86,7mm. Aisi l ihomogééité doit être iférieure à % car k<. Das ces coditios la figure 33a représete la variatio du volume d oxygèe e foctio de ε. (a) (b) FIG. 33. (a) Volume «cubique» et (b) volume par uité de logueur d oxygèe lévitable e foctio de l ihomogééité pour u dispositif avec B p et ouverture équivalets à ceux de l aimat du Japa Proto Accelerator Reseach Complex (J-PARC)[NAK][NAK] Le champ dipolaire de ce dispositif vaut B =4,T et le «gradiet» de champ quadrupolaire vaut B =0,97T/m avec ue ouverture r=86,7mm et u «peak field» B p =4,7T. Le litre d oxygèe lévité est atteit avec ue ihomogééité de,3% et le volume pour % d ihomogééité est de 470 cm 3. Ce type de dispositif semble parfaitemet coveir à la lévitatio d oxygèe liquide. III-.6..) Dispositifs dérivés des dipôles LHC Il est possible d atteidre des ihomogééités bie meilleures, à volume d oxygèe fixé, au sei de dispositifs dérivés des dipôles du LHC. Ces dipôles créet u champ de 8,33T das ue ouverture r=56mm [ROS], ous predros u «peak field» B p =8,5T. Pour de l oxygèe liquide, le rapport k ε vaut maiteat 0,004. Aisi l ihomogééité doit être iférieure à 0,4% car k<. 8

84 (a) (b) FIG. 34. (a) Volume «cubique» et (b) volume par uité de logueur d oxygèe lévitable e foctio de l ihomogééité pour u dispositif avec B p et ouverture équivalets à ceux des dipôles du LHC Le champ dipolaire de ce dispositif vaut B =7,55T et le champ quadrupolaire vaut B =0,53T/m avec ue ouverture r=56mm et u «peak field» B p =8,5T. Le litre d oxygèe lévité est atteit avec ue ihomogééité de 0,38%. Ce type de dispositif permettrait d obteir d excelletes ihomogééités pour de l oxygèe liquide pour des volumes de l ordre du litre du fait de so fort ratio B. B Pour de l hydrogèe liquide (000T /m) et u B p =8,5T o e peut obteir u rapport k ε permettat d avoir ue ouverture de r=56mm. L ouverture maximale accessible est de r=8,80mm pour u rapport k ε de. O e peut cosidérer le dispositif ecore équivalet au dipôle du LHC selo la défiitio susmetioée. Les volumes d hydrogèe lévités sot ici doés e mm 3. (a) (b) FIG. 35. (a) Volume «cubique» et (b) volume par uité de logueur d hydrogèe lévitable e foctio de l ihomogééité pour u dispositif avec B p équivalet à celui des dipôles du LHC et ue ouverture de 8,80mm 8

85 Le champ dipolaire de ce dispositif vaut B =3,79T et le «gradiet» de champ quadrupolaire vaut B =3,76T/m avec ue ouverture r=8,80mm et u «peak field» B p =8,5T. Les volumes sot faibles car l ouverture du dispositif est trop grade. Pour augmeter le volume d hydrogèe lévité, il faudrait pouvoir ecore dimiuer la taille de l ouverture du système et aisi augmeter le ratio B /B. Des problèmes d ecombremet sot alors à predre e compte. (a) (b) FIG. 36. (a) Volume «cubique» et (b) volume par uité de logueur d hydrogèe lévitable e foctio de l ihomogééité pour u dispositif avec B p équivalet aux dipôles du LHC avec ouverture de 9,5mm Le champ dipolaire de ce dispositif vaut B =6,90T et le champ quadrupolaire vaut B =7,47T/m avec ue ouverture r=9,5mm et u «peak field» B p =8,5T. Le ratio B /B de ce dispositif ayat augmeté, les volumes lévités sot plus importats. Avec ue ihomogééité de %, 4% et 5%, le volume «cubique» est respectivemet de 5,5mm 3, 347mm 3 et 677mm 3. Rappelos que das la statio HYLDE de 0T du SBT, 00mm 3 d hydrogèe avaiet été lévités avec ue ihomogééité de 4% (cf. chapitre II). III-.7) Coclusio de la sectio III- Nous détermios, das cette partie, à l aide de la méthode géérale appliquée aux coordoées cylidriques et plus particulièremet polaires (géométrie D) la forme géérale du vecteur G, i.e., l expressio géérale de la force magétique e foctio des harmoiques du champ magétique. Ue judicieuse mise e équatio des coditios d homogééité souhaitées, sur la force magétique, permet la détermiatio des différets harmoiques de champ. Esuite u calcul simple doe de maière uique la appe de courat, disposée sur u cylidre de rayo fixé, qui amèe aux distributios de champ magétique désirées. Puis des simulatios umériques de lévitatio d oxygèe liquide à 90K, permettet de visualiser les différetes cofiguratios d accélératios résultates obteues par la méthode précédemmet décrite. O costate que l utilisatio des trois premiers harmoiques du champ suffit à ue boe descriptio des cofiguratios. Trois phéomèes liés au déphasage ou à la variatio e amplitude des harmoiques sot présetés : 83

86 Le déphasage idetique de tous les harmoiques de champ magétique fait varier la carte du champ magétique sas modifier celle de la force magétique. Cette propriété est démotrée théoriquemet. La faible valeur du rayo de la zoe de travail devat le rapport B /B ou G /B permet de passer, par simple déphasage du troisième harmoique, de la cofiguratio verticale à la cofiguratio horizotale pour les équipotetielles magéto-gravitatioelles, sas passer par la cofiguratio circulaire ; les distributios de la force magétique subisset alors ue rotatio spatiale. La variatio de l amplitude du troisième harmoique d ue valeur à so opposée, permet ue modificatio des cofiguratios d accélératios du cas vertical au cas horizotal e passat, lorsque l amplitude est ulle, par le cas circulaire. Ces résultats mettet e évidece l effet du troisième harmoique sur la créatio de champs de forces magétiques e géométrie cylidrique. Ils sot étedus plus loi aux géométries axisymétriques [LOR][LOR3]. Ils balayet les multiples possibilités qu offre e terme de dyamique l associatio de champs magétiques et de la gravité. Les calculs présetés amèet à ue optimisatio des champs de forces magétiques pour la compesatio de pesateur, mais ils ouvret aussi d importates possibilités de simulatios expérimetales des champs de forces variés recotrés das les egis spatiaux e apesateur. La méthode présetée, basée sur le cotrôle du vecteur ε, permet d obteir de très ombreuses cofiguratios d accélératios résultates. Elle est appliquée, ici, à trois cas fourissat d itéressats résultats. Par exemple u fluide e rotatio e apesateur est soumis à u champ de forces puremet cetrifuges, qui peut être exactemet reproduit sur Terre sous l actio de la gravité et de champs magétiques, c est le cas circulaire [LOR], ous allos y reveir das la partie suivate. Les cas verticaux ou horizotaux semblet bie adaptés à la simulatio sur terre de propriétés d échages thermiques das des fluides moo- ou diphasiques. Les résultats sot obteus e géométrie cylidrique, ce qui permet, à l image des multipôles d accélérateurs (LHC, RHIC ), de réaliser des dispositifs de logueur importate, et d obteir des volumes lévités cosidérables. Le lie créé, par la méthode géérale, etre les harmoiques du champ magétique et l accélératio résultate facilitera certaiemet la coceptio théorique de dispositifs magétiques permettat de réaliser la simulatio expérimetale dyamique de phéomèes pouvat se recotrer e apesateur. D ailleurs ces dispositifs pourrot s appuyer sur les techologies préexistates, par exemple les multipôles J-PARC, offrat des possibilités de lévitatio itéressates. 84

87 III-3) Compesatio magétique et force cetrifuge Nous allos examier les possibilités offertes par la combiaiso de forces magétiques, de forces de pesateur, et, origialité, de forces cetrifuges, sur des fluides homogèes. Ces fluides peuvet être diamagétiques comme l eau ou l hydrogèe, ou paramagétiques comme l oxygèe meat, selo leurs propriétés magétiques, à des résultats différets. Après avoir rappelé la géométrie du système cosidéré et l expressio de la force cetrifuge volumique, ous motros qu ue distributio de champ magétique quadrupolaire fourit ue force magétique qui varie proportioellemet à la distace à l axe. Doc e coditios de micro-pesateur (vol spatial réel, sas rotatio) u fluide paramagétique soumis à ce champ aura u comportemet mécaique similaire à celui produit par la force cetrifuge due à ue rotatio uiforme. U fluide diamagétique subira ue force cetripète, semblable à la force que subirait e rotatio uiforme u matériau (imagiaire!) à masse égative. Puis ous étudios la compesatio de pesateur au sol e utilisat la distributio de champ magétique coduisat au vecteur ε orthoaxial et axisymétrique das la zoe de travail (cas circulaire précédemmet décrit). Nous démotros la possibilité de simuler, au moye d expérieces fixes au sol, le comportemet de fluides paramagétiques ou diamagétiques e coditios d apesateur et soumis e outre à ue force cetrifuge (rotatio uiforme d u egi spatial par exemple). L oxygèe liquide sera pris comme exemple. Nous étudios esuite, au sol, l effet de cette même distributio de champs magétiques sur des substaces diamagétiques uiquemet, à l itérieur d ue cellule e rotatio uiforme. O peut alors auler strictemet la somme des forces, magétique, de pesateur et cetrifuge. Le fluide peut aisi se trouver, das des expérieces au sol, e coditios de simulatio parfaite de l apesateur e tout poit de la zoe de travail. Les valeurs des paramètres coduisat à ces coditios serot doées pour l hydrogèe liquide. III-3.) Positioemet du problème III-3..) Géométrie Les combiaisos de forces sot étudiées das u domaie (zoe de travail) cylidrique circulaire à axe horizotal (Fig. 37). Nous utilisos soit les coordoées cartésiees D (x,y) soit les coordoées cylidriques D ivariat par traslatio (r,θ) défiies sur la figure 37. Le repère est défii par so origie O, cetre du disque, et l axe Ox est choisi e ses cotraire de la gravité g. La zoe de travail représetée par le cylidre horizotal (Fig. 37) cotiet le fluide dia- ou para-magétique étudié. 85

88 g O x y z g e x x O e y M θ r e r e θ y FIG. 37. Défiitio de la géométrie, coordoées polaires et gravité Pour assurer les coditios de compesatio de la pesateur, les sources de champ magétique sot des bobies multipôlaires (dipôles et quadrupoles uiquemet) d axe Oz, qui peuvet être supracoductrices, similaires aux bobies de guidage du faisceau de particules des accélérateurs [DEV]. III-3..) Force cetrifuge O suppose e outre que la zoe de travail peut être aimée d u mouvemet de rotatio uiforme autour de l axe Oz. La force cetrifuge volumique appliquée e chaque poit du fluide est alors proportioelle à la distace à l axe Oz : d F c = ρω re dv r (III-0) où ω la vitesse agulaire de rotatio (rad/s) et ρ la masse volumique (kg/m 3 ). III-3.) Force magétique egedrée par u champ quadrupolaire, et force cetrifuge e apesateur Das cette partie ous allos détermier le champ magétique quadrupolaire permettat de simuler das u egi spatial (microgravité) sas rotatio ue force magétique équivalete à ue force cetrifuge. Nous partos de l expressio e coordoées polaires d u champ quadrupolaire : r. Λ.si(θ) H = r. Λ.cos( θ) (III-03) où Λ est l harmoique de la décompositio e harmoique cylidrique d u champ magétique, appelé e physique des accélérateurs de particules «gradiet du quadrupole». La valeur de ce gradiet est détermiée par l ouverture du quadrupole et par les courats parcourat les bobiages. Les valeurs de Λ obteues das les quadrupoles d accélérateurs [ROS3] (Rayo d ouverture de l ordre de 50mm) sot d eviro : 00 T/m. O déduit de (III- 03) : B = µo.r. Λ (III-04) 86

89 D où le vecteur G e coordoées polaires (Fig. 37) : Λ G= µo r (III-05) 0 La force volumique magétique obteue avec ce vecteur G (III-05), est équivalete à ue force volumique cetrifuge à la vitesse agulaire de rotatio ω du fluide (III-0), quad la relatio suivate (force magétique = force cetrifuge) est satisfaite :.(r.µo Λ e. ) re. m r r χ = ρω µ o (III-06) Cette coditio e peut être remplie que pour u matériau paramagétique car la susceptibilité doit être positive. La costate Λ est réglable par la valeur des courats du bobiage quadrupolaire. Elle est proportioelle à la vitesse de rotatio simulée : ρ Λ = ω µo. χ (III-07) m Les composates polaires du champ magétique créées par le quadrupole doivet être : ρ r. ω.si(θ) µ o. χm H = (III-08) ρ r. ω.cos(θ) µ o. χ m Aisi, la rotatio das l espace, à la fréquece de 0,0Hz, d u réservoir de rayo 0,m coteat de l oxygèe liquide à 90K peut être simulée par la créatio d u champ magétique quadrupolaire de valeur maximale 4mT (valeur du champ sur l eveloppe du réservoir). Das cette cofiguratio de champs magétiques, le potetiel des forces magétiques est costat sur tout cylidre à base circulaire d axe Oz. Notos que des choix de multipôles d ordre plus élevé (sextupôle, octupôle, etc.) permettet de créer des forces dot les équipotetielles sot aussi des cylidres à base circulaire, mais avec des variatios suivat r du potetiel magétique scalaire de puissace plus élevée (respectivemet r 3 pour u sextupôle, r 4 pour u octupôle, etc.). O costate aisi que les champs magétiques doet u outil de gestio des fluides e apesateur, mais leur créatio écessite des sources embarquées (bobiages ou aimats permaets) dot le poids doit être évalué. III-3.3) Force magétique permettat de simuler sur terre ue force cetrifuge existat e apesateur sur des matériaux paramagétiques O va maiteat étudier la simulatio au sol, das ue istallatio immobile, de la force cetrifuge qui s applique à u fluide coteu das u réservoir cylidrique, e rotatio 87

90 uiforme et das l espace. Cette simulatio e fait iterveir que les forces magétiques obteues par des sources de champ fixes, et bie sûr la pesateur. Les forces magétiques créet, e tout poit du domaie, à la fois ue compesatio parfaite de la pesateur, et des forces ayat la distributio de forces cetrifuges. Ce calcul s applique uiquemet à des fluides (ou autres matériaux homogèes) paramagétiques, et il a ue solutio exacte. Cette étude peut s étedre aux matériaux diamagétiques mais avec u système plus complexe, ous y reviedros das la suite. III-3.3.) Expressios de G et de ε Nous allos cosidérer ue source de champ magétique à géométrie cylidrique d axe Oz, composée de l associatio d u champ dipolaire et d u champ quadrupolaire de même axe (cas circulaire). Cette source peut être réalisée à l aide de bobiages dérivés des multipôles J- PARC par exemple. La zoe de travail coteat le fluide paramagétique est située à l itérieur de l ouverture itere des bobiages. Le champ magétique (III-44) compreat uiquemet les deux premiers harmoiques, Λ et Λ, a pour valeur e tout poit à l itérieur de la zoe de travail e coordoées polaires: Λ.si( θ).r. Λ.si(θ) H = Λ.cos( θ).r. Λ.cos(θ) (III-09) O obtiet : B = µ o.( Λ + 4.r. Λ + 4rΛ Λ cos( θ)) (III-0) D où la valeur du vecteur G : v v G= 8rµ o Λ.e + 4µ o Λ Λ.e (III-) r x O pred maiteat e compte la pesateur et la coditio de compesatio exacte pour le ρ milieu cosidéré ( G = µ o g ). χm v La compesatio exacte de pesateur est fixée à l origie ce qui implique G (r= 0) = G d après (III-), o retrouve l expressio (III-50) de l harmoique Λ : G Λ = (III-) 4.µo. Λ E fixat l iductio au cetre du dispositif B(r=0)=B, o retrouve les expressios (III-45) et (III-5) des deux premiers harmoiques. O costate que pour cette valeur, le vecteur G doé par (III-) est la somme d u vecteur costat, qui aule exactemet e tout poit la pesateur, et d u vecteur puremet radial, idépedat de θ et qui varie liéairemet avec le rayo r, comme ue force cetrifuge. et 88

91 G v.r.er G. e v G = + x (III-3) B E écrivat le vecteur ihomogééité à l aide de l expressio du gradiet (III-3), o retrouve exactemet l expressio (III-57) de ce vecteur ihomogééité ε. G v ε =.r. er (III-4) B La force cetrifuge qui serait appliquée das l espace par rotatio uiforme d u réservoir, peut être aisi simulée sur terre par combiaiso de la pesateur et de la force magétique que ous avos idetifiée, résultat de la superpositio d u champ dipolaire et d u champ quadrupolaire de même axe horizotal Oz. Rappelos que cette cofiguratio peut égalemet être obteue par ue zoe de travail décetrée par rapport à u quadrupole pur (cf..3..). III-3.3.) Relatio etre champ magétique et fréquece de rotatio Nous allos calculer la vitesse agulaire (ou pulsatio) de la force cetrifuge aisi simulée. Cette pulsatio est foctio des paramètres B et G. L égalité des forces volumiques réelles sur terre (magétique et de pesateur), ou simulée (cetrifuge) doe : χ G. µ o m ω + ρ.g = ρ..r. er (III-5) E utilisat la relatio (I-5) : χ m G. µ o m χ G. = ρ. ω.r. er µ o (III-6) O fait apparaître le vecteur ihomogééité et so expressio (III-4) fourit : χ G m ( µ o B Et efi:.r). er= ρ. ω.r. er (III-7) χ.g m = ω B 4µ oρ (III-8) La susceptibilité doit être positive pour que la relatio (III-8) soit vérifiée, et doc cette méthode e peut être appliquée qu aux matériaux paramagétiques homogèes, tels que l oxygèe liquide. Il est remarquable que l équilibre des forces soit réalisé pour toute valeur de r, c est à dire qu il e déped pas du rayo de la zoe de travail. Les limites de celui-ci e dépedet que des valeurs de B et G, c'est-à-dire des limites de la techologie de créatio des champs dipolaires ou quadrupolaires. 89

92 E teat compte de la coditio de compesatio parfaite, o remplace G par so expressio, et o obtiet comme valeur du produit B ω ue costate caractéristique de chaque matériau : ρ B. ω= g. µ o χ (III-9) m Soit e itroduisat la fréquece de rotatio f e Hertz (= tr/s). g ρ B.f =. µ o π χ (III-0) m Le tableau suivat doe les valeurs obteues pour quelques substaces paramagétiques : Substaces (P = bar) G (T /m) B *f (T.Hz) O (90K) +8 KO (93K) +43,3 NO (8K) Nb (93K) ,4 Al (93K) +3 0 Tableau I : Produit caractéristique iductio par fréquece pour des paramagétiques Les valeurs de G sot obteues à partir des susceptibilités molaires relevées das le «Hadbook of chemistry ad physics 98». Le iobium et l alumiium sot des solides aux températures idiquées, ils sot reportés ici car la lévitatio magétique peut aussi être employée pour des substaces graulaires. La valeur maximale du champ B créée par le bobiage dipolaire doe pour chaque matériau la valeur miimale de la fréquece de rotatio qui peut être simulée. Avec les valeurs réalisables à l heure actuelle (par exemple B =8,3T pour les dipôles supracoducteurs du LHC, avec des amélioratios possibles à 4T), ce tableau motre qu il est possible de simuler pour de ombreux matériaux les forces cetrifuges obteues par des fréqueces de rotatio miimales de l ordre de Hz. La fréquece maximale qui peut être simulée est pour chaque matériau proportioelle au coefficiet Λ, le gradiet du champ quadrupolaire à µ o près. Les fréqueces miimale et maximale de rotatio simulables sot tirées des relatios (III-0) et (III-) : G.g =. πb (III-) f mi max f max.µo. Λmax g =. π. G (III-) Ue valeur limite de G est doée par l expressio suivate dérivat directemet de (III- ) : 90

93 G 4.µo. Λ. B max max max < (III-3) Le tableau doe les valeurs miimale et maximale des fréqueces pour les substaces précédetes et la techologie du LHC : Substaces (P = bar) fmi (Hz)/B max =8,3T fmax (Hz)/µo.Λ max =00T/m O (90K) 0, 49,85 KO (93K) 0,8,50 NO (8K) 0,96 6, Nb (93K),6 4,76 Al (93K),4,49 Tableau II : Plage des fréqueces simulables d après les expressios (III-) et (III-) où G max <330T /m La figure 38 doe la variatio de l iductio B écessaire pour simuler das l oxygèe liquide à 90 K différetes fréqueces de rotatio. O costate que la fréquece obteue pour B =8T est de 0,5 Hz. Das ue telle expériece de simulatio magétique effectuée au sol das ue cellule statique, l oxygèe est doc soumis aux mêmes forces que s il était das l espace aimé d u mouvemet de rotatio uiforme d u huitième de tour par secode (=7,5 tours/mi). Le gradiet de champ du quadrupole écessaire est de 0,5T/m FIG. 38. Variatio B (f) pour l oxygèe liquide Nous avos pas étudié les possibilités techologiques de réaliser les bobies supracoductrices écessaires, bie que les valeurs des paramètres reteues pour l iductio du dipole et le gradiet de champ du quadrupole ous semblet techologiquemet réalisables. Nous avos das cette sectio obteu la simulatio d ue rotatio sur les matériaux paramagétiques dot le cetre était égalemet celui du dispositif (axe Oz de la zoe de travail cylidrique). Ce résultat est du au fait que le dispositif compese e so cetre exactemet la gravité sur le paramagétique cosidéré. Nous allos maiteat voir le cas où la compesatio e se fait pas au cetre du dispositif. 9

94 III-3.3.3) Décalage du cetre de la rotatio simulée III ) Forme de équiσ L Quelle est la forme des équiσ L associées au matériau pour lequel la compesatio exacte est atteite pour G=G par rapport à u dispositif où le gradiet au cetre de celui-ci vaut G=G o (c est à dire que la compesatio exacte a pas lieu au cetre du dispositif) et le champ magétique au cetre B=B? Nous avos vu que das le cas où G =G o alors les équiσ L sot des cercles de cetre le poit de compesatio exacte (cf.3..). Il faut e premier lieu calculer le carré de la orme de l iductio. O itroduit alors la valeur du gradiet du carré du champ magétique au cetre du dispositif, G o =4µ o Λ Λ, das l expressio (III-0) du carré de l iductio, o obtiet aisi : Go B = B + r + G.r.cosθ o (III-4) 4B E itroduisat cette expressio (III-4), trascrite e coordoées cartésiees (x,y), das celle du potetiel Σ L, et e faisat attetio au fait que le fluide cosidéré lévite pour u G=G G o la valeur au cetre du système, o obtiet pour celui-ci : B G G o o Σ = +.(x + y ) +.x x L G (III-5) B G G Nous allos chercher la forme des équiσ L pour le matériau (G ) cosidéré. Il suffit d exprimer à partir de l expressio précédete le potetiel sous la forme : B.G G G + + B o o Σ =.. y x+ (G G ) L o (III-6) Go Go 4G B Go Aisi les équipotetielles équiσ L sot des cercles de cetre, le poit C (Fig. 39), de coordoées x c et y c, par rapport au cetre du dispositif poit O : B x =.(G G ) C o G (III-7) o y = 0 C 9

95 e x O e y FIG. 39. Zoe de travail circulaire avec équipotetielles e forme de cercles de cetre C associées au matériau de gradiet G Le poit O représete le cetre du dispositif au sei duquel le champ magétique a deux composates, ue dipolaire Λ et ue autre quadrupolaire Λ. Les équipotetielles magéto-gravitatioelles, pour ue valeur de G=G, das ce dispositif, où la compesatio e se fait pas au cetre, sot bie des cercles, c est à dire que le vecteur ihomogééité ε est u vecteur radial. C III ) Forme du vecteur ihomogééité ε Est ce que le vecteur ihomogééité est toujours proportioel au rayo das le repère cetré sur C? Autremet dit, est ce qu ue force cetrifuge das l espace peut ecore être simulée, sur Terre, par combiaiso de la gravité et d ue force magétique? Les vecteurs et dimesios associées au repère cetré e O serot otés X, et celles associées au repère cetré sur C serot otées X. Il ous faut pour calculer le vecteur ihomogééité coaître l expressio du vecteur G e tout poit du dispositif, celui-ci a ue expressio simple obteue à partir de la relatio (III-4) : o G v v G =.r.e G. e r + o x (III-8) B Le vecteur ihomogééité doit être exprimé das le repère ayat pour cetre le poit C cetre des équipotetielles. O exprime alors le vecteur G, tout d abord, e coordoées cartésiees das le repère cetré e O, puis esuite o effectue u chagemet de cetre e passat de O à C, ceci ous fourit le résultat suivat : v Go v G = G.e '.r'.e ' x + r (III-9).B La forme obteue est similaire à celle exprimée das le repère O. O obtiet compesatio exacte pour u matériau G au cetre des équiσ L, et la composate radiale de ce vecteur va égalemet permettre de reproduire ue force cetrifuge. La forme du vecteur ihomogééité se déduit de (III-9) de maière triviale : G o v ε =.r'.e ' r (III-30).B.G o 93

96 Ce vecteur est bie radial et est proportioel au rayo, ous allos pouvoir maiteat calculer la pulsatio de la rotatio qui peut être simulée. III ) Simulatios de rotatio Quelle force cetrifuge peut être exercée par combiaiso d ue force magétique et de la pesateur sur u matériau paramagétique? Et quelle rotatio peut être simulée das u dispositif doé (B,G o ) ou (Λ,Λ ) pour u matériau doé G? O suppose que la somme de la force magétique et de la pesateur est égale à ue force de type cetrifuge, ce qui permet d écrire : χ v v v G+ ρg= ρω r'e ' (III-3) µ r o E remplaçat G et g par leurs expressios e foctio des paramètres Λ et Λ, o obtiet la valeur de la pulsatio : g ω= µ. Λ o G (III-3) Quelles valeurs de Λ et Λ sot écessaires pour que le dispositif puisse permettre de simuler ue force cetrifuge de pulsatio ω à ue distace R du cetre de rotatio pour u matériau lévitat pour G=G? O sait que la pulsatio s exprime e foctio de Λ (III-3), ous savos que le cetre de rotatio, qui est le cetre des équiσ L, se trouve à ue distace x C du cetre du dispositif (III- 7), c est à dire que la distace R est égale à x c, esuite la taille de la zoe d observatio déped de la taille du dispositif, c est à dire de la valeur de Λ. o G g ω = (III-33).B G B R= (G G ) o (III-34) G o Le produit du carré de la pulsatio par le rayo, c est à dire l accélératio cetrifuge, doe : G G = o ω R g (III-35) G O obtiet facilemet la valeur de Λ grâce à l expressio (III-3) : 94

97 G Λ = ω. µ g (III-36) o L expressio (III-34) permet d obteir Λ e foctio de Λ et de la distace R au cetre de rotatio : G Λ = Λ (III-37).R. 4µo Λ III ) Applicatios umériques O veut maiteat simuler le comportemet de l oxygèe liquide (G = 8 T /m), au iveau de la paroi d u réservoir de R=3 m de rayo e rotatio e apesateur à f=0,hz. O obtiet d après (III-36) la valeur de Λ =3975 A/m, ce qui équivaut à u gradiet de champ au cetre de µ o Λ = 0,80 T/m, puis o détermie avec (III-37) la valeur de Λ = 0588 A/m, ce qui équivaut à ue iductio au cetre de B = µ o Λ =,58 T. Si o suppose que l iductio sur les coducteurs doit être iférieure à B p =T avec λ=, µ. Λ.r+ µ. Λ )*. ), o peut estimer le rayo limite de la zoe de travail à 9,5m, ce qui ( T ( o o implique que ce dispositif semble être réalisable pour cette applicatio umérique. Le fait de décaler la zoe de travail e permet pas d augmeter la plage de fréquece des rotatios simulables pour u matériau détermié. Par cotre ce dispositif peut être comparé à ue loupe qui se déplacerait au dessus d u dispositif e rotatio géat (par exemple u réservoir de fusée) et permettrait d observer le comportemet du fluide à ue distace quelcoque du cetre de rotatio. Notre dispositif respecterait les limites techologiques imposées par les techologiques supracoductrices. III-3.4) Associatio de forces magétique et cetrifuge permettat d obteir sur la terre la compesatio parfaite de la pesateur pour les corps diamagétiques III-3.4.) Compesatio exacte de pesateur sur matériaux diamagétiques Il est établi qu il est impossible de compeser exactemet la pesateur e tout poit de la zoe de travail cylidrique cosidérée, au moye de seules forces magétiques [QUE]. Le vecteur ihomogééité de la compesatio, das le cas de champs magétiques obteus par superpositio d u champ dipolaire et d u champ quadrupolaire, est u vecteur cetral de orme proportioelle à r. Ce vecteur est dirigé vers l extérieur pour des fluides paramagétiques (oxygèe) mais vers l itérieur pour des fluides diamagétiques (hydrogèe). 95

98 Il semble doc possible de compeser exactemet la pesateur das tout le domaie cylidrique coceré, grâce à l associatio de forces magétiques bie choisies et de forces cetrifuges proveat d ue rotatio à vitesse costate de la zoe de travail. Le calcul des coditios sur le champ magétique et sur la rotatio écessaires se déduit immédiatemet de os résultats précédets. Il suffit d auler la somme des forces magétique, de pesateur et cetrifuge pour le fluide coceré. L équatio d équilibre est la suivate : χ G..g..r. er 0 m + ρ + ρ ω µ o = (III-38) Ce qui ous coduit i fie à l expressio : χ.g m 4µ oρ = ω B (III-39) La coditio (III-08) est doc la coditio de compesatio exacte de la pesateur das u domaie cylidrique d axe Oz horizotal, e rotatio autour de so axe à la pulsatio de rotatio ω, et soumis à u champ magétique dot ous avos défii la distributio. La relatio e peut être vérifiée que si la susceptibilité magétique est égative, et doc cette méthode e peut être appliquée qu aux fluides diamagétiques (hydrogèe liquide par exemple) E teat compte de la forme de G, o obtiet : ρ B. ω= g. µ o χ (III-40) m Soit : g B.f. o = ρ π µ (III-4) χ m Le produit B f, où f est la fréquece de rotatio e Hertz (= tr/s), est ue costate e dépedat que des caractéristiques du matériau diamagétique cosidéré. Les relatios précédetes (III-39), (III-40) et (III-4) pour les matériaux diamagétiques sot équivaletes aux relatios (III-8), (III-9) et (III-0) pour les matériaux paramagétiques. Le tableau III doe les valeurs du produit B f pour des substaces diamagétiques : Substaces (P= bar) G (T /m) B *f (T.Hz) Pyrolytic carbo (93K) -36 4, H (0K,l) -993, Water (93K,l) -75 8,4 Xe (93K,g) ,6 Hg (93K) , Au (93K) ,4 Tableau III : Produit caractéristique iductio par fréquece pour des diamagétiques 96

99 La figure 40 doe la variatio B (f) pour l hydrogèe liquide. Avec par exemple u champ dipolaire de 8T, la fréquece de rotatio de la zoe de travail est,4hz, le gradiet de champ du quadrupole associé est de 6T/m. Ces valeurs semblet techologiquemet réalisables avec des bobies supracoductrices. Par cotre la zoe de travail sera petite puisque µ. Λ.r+ µ. Λ )*. T et doc r doit être iférieure à 3, cm. Ceci est ue première ( o o approximatio. FIG. 40. Variatio B (f) pour la compesatio de pesateur das l hydrogèe liquide. III-3.4.) Simulatio, au sol, de rotatio, e apesateur, sur les matériaux diamagétiques Si, lorsque la coditio (III-39) est respectée, o augmete la vitesse de rotatio pour la faire passer de ω à ω =ω+ ω, sas modifier le champ magétique, alors l équatio (III-38) deviet : χ m G. µ o m + ρ.g + ρ. ω.r. er= χ G. + ρ.g + ρ. ω.r. er+ ρ.(. ω. ω+ ω ).r. er= ρ.(. ω. ω+ ω ).r. er (III-4) µ o La force résultate simulée est ue force cetrifuge pure de vitesse de rotatio ω :.. ω = ω ω+ ω (III-53) O peut doc égalemet simuler exactemet sur Terre le comportemet des fluides diamagétiques e apesateur soumis à ue rotatio pure, mais le système est plus statique comme il l est pour les matériaux paramagétiques, puisqu il doit être mis e rotatio. III-3.5) Coclusio de la sectio III-3 97

100 Nous avos das cette sectio examié les possibilités théoriques de compesatio de la pesateur offertes par l associatio de forces magétiques créées das des dispositifs cylidriques et de forces cetrifuges. Les zoes d expérimetatio das lesquelles sot disposés les fluides dia ou para magétiques sot cylidriques d axe horizotal. Cette structure permet d utiliser des sources de champ de techologie voisie de celle des bobiages d accélérateurs de particules (dipôles ou quadrupoles) Les pricipaux résultats théoriques obteus coceret : La simulatio exacte au moye d expérieces statiques, au sol, du comportemet de fluides paramagétiques (oxygèe liquide) coteus das l espace (apesateur vraie) das des réservoirs e rotatio uiforme sur eux-mêmes, avec u cetre de rotatio évetuellemet hors de la zoe de travail. La simulatio exacte au moye d expérieces dyamiques, au sol, du comportemet de fluides diamagétiques (hydrogèe liquide) coteus das l espace (apesateur vraie) das des réservoirs e rotatio uiforme sur eux-mêmes. La compesatio exacte au sol de la pesateur, pour des fluides diamagétiques (hydrogèe liquide), au moye de forces magétiques associées à des forces cetrifuges dues à la rotatio uiforme de la cellule coteat le fluide. Ce résultat permet d outrepasser le résultat théorique atérieur iterdisat au sol la compesatio magétique parfaite de la pesateur das u domaie tridimesioel. La créatio évetuelle das l espace (apesateur vraie) au moye de sources de champ magétique embarquées, de champs de forces magétiques semblables à u champ de forces cetrifuges pour des fluides paramagétiques ou cetripètes pour des fluides diamagétiques. La détermiatio de sources de champ produisat les forces magétiques écessaires. Les caractéristiques pricipales de ces sources ot été établies e relatio avec les fréqueces de rotatio effectives ou simulées das les différets cas cosidérés. Cet esemble de résultats, présetés pour la lévitatio de fluides, est particulièremet adapté à l étude des propergols liquides utilisés das l espace. Quoique os résultats semblet rigoureux et que les dispositifs (e particulier supracoducteurs) semblet réalisables, aucue expérimetatio a été effectuée qui permettrait la validatio de cette approche, sas doute totalemet ouvelle. 98

101 III-4) Coclusio du chapitre III La lévitatio de fluides demade pour représeter les coditios spatiales de faibles valeurs d ihomogééités. La valeur gééralemet fixée se situe aux aletours de %. Pour obteir de telles homogééités das des volumes suffisats la valeur de l iductio doit gééralemet être de plusieurs teslas et aisi l utilisatio de matériaux supracoducteurs est écessaire. Nous avos tout de même das la première partie de ce chapitre regardé les possibilités de lévitatio qu u électroaimat o supracoducteur, à culasse ferromagétique, peut fourir e jouat sur les dimesios de ses pôles ferromagétiques. Il semble possible grâce à ce type de dispositif d obteir des zoes de travail de l ordre du cm 3 pour des matériaux avec ue susceptibilité magétique assez élevée comme l oxygèe liquide (8T /m). Par cotre les faibles valeurs d iductio iterdiset so utilisatio pour des matériaux faiblemet magétiques comme l eau (77T /m). E coséquece, seules quelques substaces iorgaiques peuvet être lévitées magétiquemet das de tels dispositifs. Das la deuxième partie, ous avos développé la méthode géérale d aalyse harmoique, et obteu l expressio géérale de la force magétique (vecteur G) e foctio des harmoiques du champ magétique. Les différetes coditios d homogééité ot permis de détermier les familles harmoiques répodat à chacue des différetes cofiguratios spatiales de l accélératio résultate désirée. Nous avos égalemet relié ces décompositios harmoiques au potetiel magétique complexe associé, et détermié les équipotetielles magétogravitatioelles egedrées. Esuite u calcul simple a permis de doer de maière uique la appe de courat, disposée sur u cylidre de rayo fixé, qui amèe aux distributios de champ magétique désirées. Ces différetes cofiguratios ot été visualisées par simulatio umériques sur de l oxygèe liquide à 90K. Seuls les trois premiers harmoiques du champ sot écessaires pour ue boe descriptio des cofiguratios d accélératios résultates. Le champ magétique ressemblat fortemet à celui d u dipôle à cause de la prédomiace du premier harmoique, il semble itéressat de pouvoir cotrôler l orietatio du champ magétique par rapport à la force magétique, pour, lors d expérieces, dissocier l impact du champ de celui de la force. Cette propriété est démotrée théoriquemet et est géérée par u déphasage idetique de l esemble des harmoiques. Sous certaies coditios (rayo de la zoe de travail faible devat le rapport G /B ), le déphasage de l harmoique 3 uiquemet egedre le passage de la cofiguratio verticale à la cofiguratio horizotale pour les équipotetielles magéto-gravitatioelles, sas passer par la cofiguratio circulaire ; les distributios de la force magétique subisset alors ue rotatio spatiale. Pratiquemet ce système de déphasage de l harmoique 3, peut être réalisé de maière statique par ue combiaiso de bobiage créat u harmoique 3 tourat comme il est courammet utilisé das la coceptio de machies électriques. La variatio e amplitude (sas déphasage) de ce troisième harmoique permet ue modificatio des cofiguratios d accélératios du cas vertical au cas horizotal e passat lorsque l amplitude est ulle par le cas circulaire. Ces résultats mettet e évidece l impact du troisième harmoique sur la créatio de champs de force magétiques. Cette partie a permis de balayer les multiples possibilités qu offre e terme de dyamique l associatio de champs magétiques et de la gravité. Nous avos das la derière sectio examié les possibilités théoriques de compesatio de la pesateur offertes par l associatio de forces magétiques, de pesateur et évetuellemet de forces cetrifuges. Cette structure permet d utiliser des sources de champ de techologie voisie de celle des bobiages d accélérateurs de particules (dipôles ou quadrupôles). Cette géométrie red possible la simulatio exacte au moye d expérieces statiques, au sol, du 99

102 comportemet de fluides paramagétiques (oxygèe liquide) coteus das l espace (apesateur vraie) das des réservoirs e rotatio uiforme sur eux-mêmes, avec u cetre de rotatio évetuellemet hors de la zoe de travail. La simulatio exacte au moye d expérieces dyamiques, au sol, du comportemet de fluides diamagétiques (hydrogèe liquide) coteus das l espace (apesateur vraie) das des réservoirs e rotatio uiforme sur eux-mêmes est égalemet réalisable. Il est aussi possible de compeser exactemet au sol la pesateur, pour des fluides diamagétiques (hydrogèe liquide), au moye de forces magétiques associées à des forces cetrifuges dues à la rotatio uiforme de la cellule coteat le fluide. Ce résultat permet d outrepasser le résultat théorique atérieur iterdisat au sol la compesatio magétique parfaite de la pesateur das u domaie tridimesioel. Pour les systèmes embarqués das l espace, il est possible de créer au moye de sources de champ, des champs de forces magétiques semblables à u champ de forces cetrifuges pour des fluides paramagétiques ou cetripètes pour des fluides diamagétiques. Et ous avos aussi détermié les sources de champ produisat les forces magétiques écessaires. Les caractéristiques pricipales de ces sources ot été établies e relatio avec les fréqueces de rotatio effectives ou simulées das les différets cas cosidérés. Cet esemble de résultats, présetés pour la lévitatio de fluides, est doc particulièremet bie adapté à l étude des propergols liquides utilisés das l espace. La lévitatio magétique, das des géométries de type cylidriques ivariates par traslatio, avait été jusque maiteat très peu étudiée. Nos travaux [LOR4] motret qu elle offre u ombre cosidérable de possibilités d expérimetatio, ce qui devrait attirer l attetio des expérimetateurs sur de tels dispositifs utilisat des techologies maîtrisées par les cocepteurs d accélérateurs de particules. 00

103 Référeces bibliographiques : [ANE] Aerella, M. et al. The RHIC maget system, Nuclear Istrumets ad Methods i Physics Research A, 499, pp80-35 (003) [BEA] Beaugo, E. ad Tourier, R. Levitatio of orgaic materials, Nature, 7, p470 (99) [BER] Berry, M.V. ad Geim, A. K. Of flyig frogs ad levitros, Europea Joural of Physics, 8, pp30-33 (997) [BEY] Beyses, D. et al. High-frequecy drive capillary flows speed up the gas-liquid trasitio i zerogravity coditios, Physical Review Letters, 95, (005) [BRA] Braithwaite, D. et al. Magetically cotrolled covectio i paramagetic fluid, Nature, 354, pp34-36 (99) [DEV] Devred A., Gourlay S. A., Yamamoto A., Future Accelerator Maget Needs, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, vol 5 (), pp. 9-99, 005. [DUR] Durad, E. Magétostatique, Masso et C ie, Paris, p5 (968) [FEL] Felice, H. et al. Desig ad test of a Nb 3 S subscale dipole maget for traiig studies, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, 7,, pp44-48 (007) [IKE] Ikezoe, Y. et al. Makig water levitate, Nature, 393, pp (998) [LOR] Lori, C. ad Mailfert, M. Magetic compesatio of gravity ad cetrifugal forces, Microgravity Sciece ad Techology, (008) [LOR] Lori, C., Mailfert, M. ad Chatai, D. Computatio of a Large Oxyge Magetic Levitatio Apparatus, CEFC 008 submitted to Microgravity Sciece ad Techology, (008) [LOR3] Lori, C. ad Mailfert, M. Magetic compesatio of gravity by usig supercoductig axisymmetric coils: Spherical Harmoics Method, Joural of Physics: Coferece Series, 97, 099 (008) [LOR4] Lori, C. ad Mailfert, A. Magetic levitatio i two-dimesioal geometry with traslatioal ivariace, Joural of Applied Physics, 04, 03904, (008) [NAK] Nakamoto T. et al. Desig of supercoductig combied fuctio magets for the 50 GeV proto beam lie for the J-PARC eutrio experimet, IEEE Trasactios o applied supercoductivity, 4, pp66-69, (004) [NAK] Nakamoto T. et al. Developmet of a prototype of supercoductig combied fuctio maget for the 50 GeV proto beam lie for the J-PARC eutrio experimet, IEEE Trasactios o applied supercoductivity, 5, pp44-47, (005) [QUE] Quettier, L. et al. New desig of a supercoductig maget for geeratio of quasi-uiform magetic force field IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, 3,, pp608 6 (003) [QUE] Quettier, L. et al. Magetic compesatio of gravity forces i liquid/gas mixtures: surpassig itrisic limitatios of a supercoductig maget by usig ferromagetic iserts, Europea Physical Joural Applied Physics, 3, pp67-75 (005) [ROS] Rossi, L. State-of-the-art supercoductig accelerator magets, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity,,, pp9-7 (00) [ROS] Rossi, L. The LHC mai dipoles ad quadrupoles toward series productio, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, 3,, pp-8 (003) [ROS3] Rossi, L. ad Todesco, E. Electromagetic desig of supercoductig quadrupoles, Physical review special topics Accelerators ad Beams, 9, 040, (006) [SAR] Sarma, P.R. Ideal coil shape for combied fuctio supercoductig magets, Joural of Physics D : Applied Physic, 40, pp , (007) [TOD] Discussio privée avec Ezio Todesco du CERN (0/06/008). [VIN] Vicet-Viry O. et al. Micro-gravity: curret distributios creatig a uiform force field, Eur. Phys. J. AP 3, -3 (00) [VIN] Vicet-Viry O. Cotributio méthodologique à la sythèse de sources e magétostatique, applicatios au stockage d éergie et à la levitatio magétique, Thèse INPL, (00) [WUN]Wueberger, R. et al. Magetic compesatio of gravity forces i (-p) hydroge ear its critical poit: Applicatio to weightless coditios, Physical Review E, 6,, pp (000) 0

104 Chapitre IV : Géométrie axisymétrique Sommaire IV-) Méthode harmoique e géométrie sphérique axisymétrique IV-.) Défiitio de la géométrie IV-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G IV-.3) Détermiatio de trois (plus ue) familles d harmoiques IV-.3.) Mise e équatio des trois (plus ue) coditios d homogééité IV-.3..) Cas «vertical» IV-.3..) Cas «horizotal» IV-.3..3) Cas «sphérique»

105 IV-.3.) Résolutio des systèmes d équatios, et obtetio des familles d harmoiques IV-.3..) Cas «vertical» IV-.3..) Cas «horizotal»... 0 IV-.3..3) Cas «sphérique»... 0 IV-.3..4) Cas elliptique... IV-.4) Détermiatio de la appe de courat... IV-.4.) Desité surfacique de courat... IV-.4.) Desité volumique... IV-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique... 4 IV-.5.) Simulatio avec 3 harmoiques des différetes cofiguratios de lévitatio 4 IV-.5.) Validatio de la trocature à 3 harmoiques... 5 IV-.6) Coclusio de la sectio IV IV-) Iserts... 8 IV-.) Gééralités sur les iserts... 8 IV-..) Quels matériaux?... 8 IV-..) Modélisatio des iserts... 8 IV-..3) Isert pour la lévitatio... 9 IV-.) Soléoïde 0T avec isert... 0 IV-..) Hydrogèe... 0 IV-..) Eau... IV-..3) Hélium... 3 IV-.3) Coclusio de la sectio IV IV-3) Dimesioemet d ue statio de lévitatio : applicatio à l oxygèe... 6 IV-3.) Cotraites et méthode... 6 IV-3.) Large Oxyge Levitatio Apparatus (LOLA)... 7 IV-3..) Premier bobiage : «B»... 7 IV-3..) Secod bobiage : «G»... 9 IV-3..3) Troisième bobiage : Σ L IV-3..4) Présetatio de la statio... 3 IV-3..5) Résultats umériques IV-3..5.) Variatio spatiale de l accélératio IV-3..5.) Variatio temporelle de l accélératio IV-3..6) Précisio de positioemet IV-3..6.) Méthode IV-3..6.) Impact sur la décompositio harmoique IV ) Impact sur la zoe à % IV-3.3) Statio de lévitatio d oxygèe plus performate IV-3.3.) Premier bobiage : «B» IV-3.3.) Secod bobiage : «G»... 4 IV-3.3.3) Troisième bobiage : «Σ L»... 4 IV-3.3.4) Présetatio de la statio IV-3.3.5) Variatio spatiale de l accélératio IV-3.4) Coclusio et perspectives de la sectio IV IV-4) Coclusio du chapitre IV Référeces bibliographiques :

106 Les systèmes utilisés jusqu ici pour simuler les coditios d apesateur par champs magétiques et répertoriés das la littérature possèdet tous ue symétrie de révolutio. Ils sot gééralemet costitués d u simple soléoïde (supracoducteur [IKE], résistif [BRO][BRO], ou hybride [KIT]), avec ue zoe de lévitatio située pour les matériaux paramagétiques comme l oxygèe [PIC] das la partie iférieure du soléoïde. Quat aux matériaux diamagétiques, qui regroupet la majorité des matériaux, dot fot partie l eau [BEA] ou l hydrogèe [WUN][CHA], la lévitatio est réalisée das la partie haute du soléoïde. Il semble doc tout à fait justifié d approfodir les coaissaces sur la lévitatio magétique faite à l aide de dispositifs axisymétriques afi d e améliorer les capacités. Das ce chapitre, la méthode géérale de décompositio harmoique sera appliquée au cas d ue géométrie ivariate par rotatio associée à u système de coordoées sphériques. Cette sectio permettra de bie saisir l effet des différets harmoiques sphériques (zoaux e géométrie axisymétrique) sur la force magétique. Esuite ous détailleros l étude d u isert axisymétrique situé das u champ magétique suffisammet fort pour le saturer. Cet isert doit permettre d atteidre des compesatios de pesateur sur des matériaux faiblemet magétiques (diamagétiques) avec des bobies délivrat des champs magétiques de l ordre de 0T, ce qui reste bie iférieur aux valeurs d iductios habituellemet écessaires à la lévitatio de tels matériaux. Efi, ous préseteros deux dimesioemets magétiques de statios de lévitatio costituées d u esemble de bobies. Ces dispositifs permettet de compeser la pesateur sur u litre de d oxygèe près de so poit critique avec ue homogééité de la compesatio supérieure à 99%. Comme ous le verros, ue grade souplesse d utilisatio est permise par ces lévitateurs magétiques. La coceptio de ces dispositifs d u gere ouveau est basée sur la décompositio harmoique que ous allos maiteat développer. 04

107 IV-) Méthode harmoique e géométrie sphérique axisymétrique La méthode d aalyse harmoique appliquée à la géométrie cylidrique, das le chapitre III de cet ouvrage, est maiteat utilisée e géométrie axisymétrique pour compredre l effet des différets harmoiques de champ magétique sur la force magétique. IV-.) Défiitio de la géométrie Le problème cosidéré possède ue symétrie axiale, c est à dire ue ivariace par rotatio autour de l axe défii par θ=0 ou θ=π (axe Ox), autremet dit, le système est idépedat de la variable φ. La gravité g est défiie comme état dirigée suivat l axe x, das le ses des x décroissats : g e x x φ O e y M θ r e r e θ y FIG.. Coordoées sphériques et géométrie du système Les expressios de la force magétique, du vecteur ihomogééité relative ε de la compesatio et du potetiel magéto-gravitatioel Σ L sot celles du chapitre I (cf. expressios (I-3), (I-6) et (I-8)). La compesatio magétique sera choisie exacte au cetre du dispositif (r=0) pour u vecteur G=G défii égalemet au chapitre I (I-5). La orme de l iductio au cetre du système est prise égale à B. IV-.) Détermiatio de la forme géérale du vecteur G La résolutio de l équatio de Laplace doe ue forme géérale pour le potetiel scalaire, e dehors de tout courat. Ce potetiel scalaire peut être gééré par ue appe de courat répartie sur ue sphère de rayo r=r 0. E cosidérat les coditios aux limites (r=0 et r ), le potetiel scalaire pred ue forme différete de part et d'autre de la sphère de rayo r=r 0 parcourue par les courats surfaciques. Le potetiel scalaire s exprime à l aide des 0 polyômes de Legedre d ordre 0 et de degré, P (cosθ) = P (cosθ) : V V it ext (r, ( cosθ ) = θ ) C.r.P, r<r 0 (IV-) =0 = 0 ' + C (r, θ ) =.P ( cosθ ), r<r 0 (IV-) r 05

108 où C ' et C sot des costates détermiées e foctio des coditios aux limites. Puisque le champ magétique dérive de ce potetiel, il est obteu e calculat so gradiet. O e déduit immédiatemet les harmoiques de champ e faisat iterveir les polyômes de Legedre d ordre et de degré, P (cosθ). Les harmoiques s exprimet e foctio des vecteurs uitaires e r et e θ défiis figure :.C.r.P (cosθ) (r, θ) = (IV-3) C.r.P (cosθ) H it H ext C' (+ )..P (cosθ) + (r, θ) = r C' (IV-4).P (cosθ) + r La orme de l iductio au cetre O (Fig. ) vaut B, aisi, o obtiet immédiatemet la valeur du premier coefficiet harmoique : = B µo (IV-5) C so expressio est similaire à celle du cas cylidrique (III-45). A partir des expressios du champ magétique (IV-3) et (IV-4), ous calculos le vecteur G, qui représete la force magétique. Il s obtiet e calculat tout d abord l expressio du carré de la orme de l iductio magétique à l itérieur de otre sphère. Nous e ous itéressos qu aux gradeurs itérieures, comme das le cas de la coceptio de bobiages d IRM, où le champ magétique das la zoe utile est réalisé par des bobiages extérieurs à cette zoe. Il existe égalemet u vecteur G extérieur, mais celui-ci est pas itéressat pour la microgravité. Le carré de la orme de l iductio pred alors la forme suivate : B (r, θ ) = µ 0 =.C.r.P (cosθ). p= p.c p.r p.p (cosθ) + µ p 0 = (IV-6) C.r.P (cosθ). p= C p.r p p.p (cosθ) O peut calculer le champ de vecteur G porté par e r et e θ e tout poit itérieur à la sphère, qui dérive de cette gradeur : G(r, θ) = µ. 0 = =.C.r.C.r.P (cosθ).p (cosθ). p= p= p p.(p ).C.r.P (cosθ) + p p p p.c.r.p (cosθ) + p p C.r = = (IV-7) C.r.P (cos.p (cos θ). p= θ). p.c p= p (p ).C.r.r p p p.p (cosθ) p P (cosθ) p où dp (cosθ) P (cosθ) = dθ et P(cosθ ) = dθ d P (cosθ) 06

109 Si o calcule la valeur du vecteur G=G au cetre du dispositif, o obtiet : v v v G= G = 4µo.C.C.e (IV-8) x Cette expressio est logique, puisque état e géométrie axisymétrique, les vecteurs de l axe sot soit uls soit portés par e x. D après les expressios (IV-5) et (IV-8), o détermie la valeur du deuxième harmoique : G C = 4µoB (IV-9) so expressio est similaire à celle du cas cylidrique (III-5). La force magétique est maiteat coue e foctio des harmoiques du champ magétique. Trois familles d harmoiques vot maiteat être détermiées, meat à trois cofiguratios de forces magétiques, c est à dire à trois types d accélératios résultates particulièremet itéressats d u poit de vue pratique. IV-.3) Détermiatio de trois (plus ue) familles d harmoiques Les coditios d ihomogééités défiisset les valeurs des harmoiques de champ (C ) N par l itermédiaire de relatios sur des dérivées -ième du vecteur G. Trois coditios distictes vot être étudiées, défiissat chacue ue ihomogééité, ou accélératio résultate différete. Le vecteur accélératio résultate sera, soit orthoaxial par rapport à l axe de révolutio du système, c est à dire cetral das chaque pla perpediculaire à l axe (Fig. a), soit orthogoal par rapport au pla yoz (Fig. b), soit cetral (Fig. c) : (a) (b) (c) FIG.. Distributios schématiques des accélératios résultates Nous itroduiros égalemet ue quatrième cofiguratio dite elliptique par u choix simple d harmoiques. 07

110 IV-.3.) Mise e équatio des trois (plus ue) coditios d homogééité IV-.3..) Cas «vertical» Pour obteir u vecteur accélératio résultate orthoaxial (Fig. a), ous faisos tedre ε r (r,0) vers zéro, sachat que ε θ (r,0)=0 par symétrie axiale du système. Le vecteur G obteu est aisi le plus costat possible suivat l axe θ=0. Cette coditio se traduit par l aulatio des dérivées -ièmes de G r (r,0) par rapport à r e r=0 : Gr( r,0 ) r r = 0 N, = 0 (IV-0) IV-.3..) Cas «horizotal» Pour obteir u vecteur accélératio résultate orthogoal par rapport au pla horizotal (Fig.b), ous faisos tedre ε r (r,π/) et ε θ (r,π/) vers zéro. Cette double coditio se traduit par l aulatio des dérivées -ièmes de G r (r,π/) et G θ (r,π/) par rapport à r e r=0 : Gr(r, π ) G (r, π ) N, θ = = 0 r r 0 = r r= 0 (IV-) O peut imposer ces deux coditios simultaémet car la foctio G r (r,π/) est u polyôme impair (IV-4) et la foctio G θ (r,π/) est u polyôme pair (IV-5), car p N, P p(cos( π )) = 0 et p N, P p (cos( π + )) = 0. Ces deux relatios se démotret assez facilemet à partir des relatios suivates : N, z [,], P (0) 0 et z ). P (z) zp (z) P (z) + ( = [ANG]. = d dz IV-.3..3) Cas «sphérique» Pour obteir u vecteur accélératio résultate cetral, ous cherchos à égaliser ε r (r,π/) et ε r (r,0). Cette coditio se traduit par l égalisatio des dérivées -ièmes de G r (r,π /) et G θ (r,0) par rapport à «r» e r=0 : Gr(r,0) Gr(r, π ) N, = r r 0 = r r= 0 (IV-) Pour détermier les harmoiques pour chacue des trois familles de solutios, il faut coaître les expressios de G r (r,0), G r (r,π/) et G θ (r,π/), lesquelles sot obteues relativemet aisémet à partir de la relatio (7) : 08

111 p+ 3.p.(p ).C.C. r 0 p p,= 0 Gr (r,0) = µ (IV-3) Gr(r, π ) = µ. 0 p,m= 0 4pm.(p ).r ce polyôme est impair e r. (p+ m).c p.c m.p p (0).P m (0) + p.c (IV-4) p+.c m+ m+ (0).P p+.p (0).r.r (p+ m) 3 (p+ m ) G (r, π ) = µ. C C.P + m+ (0). p.p (0) + P 0 m p p p(0). r θ (IV-5) p,m= 0 ce polyôme est pair e r. IV-.3.) Résolutio des systèmes d équatios, et obtetio des familles d harmoiques IV-.3..) Cas «vertical» L applicatio de la relatio (IV-0) fourit pour chaque valeur de ue équatio. Appliquée aux premières dérivées, elle permet aisi d obteir u système d équatios, dot la résolutio fourira les + premiers harmoiques puisque les deux premiers harmoiques sot déjà cous (IV-5) et (IV-9). Par exemple, lorsque =, o obtiet ue relatio etre les trois premiers harmoiques du champ, coaissat déjà les deux premiers o obtiet le troisième de maière triviale. Le système obteu est u système triagulaire. Ceci sigifie que l harmoique de rag se déduit des harmoiques de rag strictemet iférieur à. O peut aisi par récurrece obteir l esemble des harmoiques répodat à la coditio (IV-0). Par exemple, si =[,,3,4], o obtiet avec les expressios (IV-5) et (IV-9), le système cidessous : B C = µ o 4µ CC 0 = G C + 3CC 3 = 0 CC 4 + 3C3C = 0 9C3 + 6CC4 + 0CC 5 = 0 3CC 6 + 5C5C + 6C3C4 = 0 E résolvat ce système, o peut détermier les 6 premiers harmoiques permettat d avoir u vecteur G le plus uiforme possible, c est à dire tedat vers G suivat l axe de symétrie de la zoe de travail sphérique de rayo R 0 : 09

112 C C C 3 C 4 C 5 C 6 B G µ o 4 ob G µ 3 4µ ob G 3 64µ ob 5 G 4 8µ ob Tableau I : Expressios des six premiers harmoiques du cas «vertical» 7 7G 5 536µ ob 9 IV-.3..) Cas «horizotal» L applicatio à la relatio (IV-) de =[,,3,4] et les expressios (IV-5) et (IV-9) fourisset le système suivat : B C = µ o 4µ CC 0 = G C 3CC 6CC 4 = 0 3 = 0 9C3 CC4 + 5CC 5 = 0 45CC 6 5C5C + 8C3C4 = 0 La résolutio de ce système doe les valeurs des harmoiques permettat d avoir u vecteur G le plus uiforme possible, c est à dire tedat vers G suivat le pla horizotal passat par le cetre de la zoe de travail : C C C 3 C 4 C 5 C 6 B G G G G µ o 4µ ob µ ob 3840µ ob 46080µ ob Tableau II : Expressios des six premiers harmoiques du cas «horizotal» 9 IV-.3..3) Cas «sphérique» L applicatio à la relatio (IV-) de =[,,3,4] et les expressios (IV-5) et (IV-9) fourisset le système suivat : B C = µ o 4µ CC 0 = G C + 3CC 3 = 0 CC 4 + 3CC3 = 0 7C3 + 70CC4 + 5CC 5 = 0 30CC C5C + 60C3C4 = 0 La résolutio de ce système doe les valeurs des harmoiques permettat d avoir u vecteur ε dot la orme au sei d ue zoe sphérique cetrée e r=0 est la plus faible possible : 0

113 C C C 3 C 4 C 5 C 6 B G G G 4G 3G µ o 4µ ob µ ob 8µ ob 6400µ ob 7680µ ob Tableau III : Expressios des six premiers harmoiques du cas «sphérique» 9 IV-.3..4) Cas elliptique Nous avos calculé, à partir de (IV-7), le vecteur G e teat compte uiquemet des deux premiers harmoiques (IV-5) et (IV-9), les harmoiques de rags supérieurs état supposés uls. v 3G v v.r.e +.x.e + G r x 8B v G G= (IV-6) 8B d où le vecteur ihomogééité ε : v G v 3G v ε = (IV-7) 8B.r.e +.x. e r x 8B et l expressio du potetiel magéto-gravitatioel Σ L : 3G G B Σ = r.cos θ +.r + L (IV-8) 6B 6B G ou, 4G G B Σ = x +.y + L (IV-9) 6B 6B G O peut motrer aisémet que les équiσ L (Σ L =λ) sot des ellipses de cetre r=0, la valeur des équipotetielles est e tout poit supérieure à B /G (IV-9), aisi l équatio réduite de la coique s écrit : x a y + = (IV-0) (a) le demi-grad axe est égal au double du demi-petit axe ayat pour expressio a : B a= λ (IV-) G. G B Das ce cas, les surfaces équiσ L sot des sphéroïdes aplatis.

114 Nous avos das cette partie fourie la méthode de calcul des harmoiques des différetes familles, ous avos calculé les 6 premiers harmoiques de chacue d etre elles. Des simulatios umériques vot, das la suite, illustrer chacue des quatre cofiguratios d accélératios résultates. IV-.4) Détermiatio de la appe de courat Comme das le chapitre précédet, ous résolvos u problème iverse de magéto-statique. Ce problème cosiste à trouver ue répartitio de courat surfacique ou volumique produisat à l itérieur d u volume, circoscrit aux courats, la répartitio de champ désirée. Ce type de problème possède ue ifiité de solutios, il faut doc se fixer des coditios supplémetaires. O impose aux distributios cherchées d être superficielles et situées sur ue sphère de rayo R 0 doé. La appe de courat aisi obteue est uique. IV-.4.) Desité surfacique de courat A partir de la coaissace des harmoiques de champ, les quatre appes de courat théoriques, réparties sur ue sphère de rayo R 0, vot être détermiées. Ces quatre répartitios de courat permettet de créer les différetes distributios de force précédetes à l itérieur de la sphère de rayo R 0. La cotiuité de la composate ormale du champ H Nit =H Next e r=r 0, mais aussi, l égalité du champ tagetiel itérieur et extérieur e r=r 0 aux courats près H Tit -H Text = xk =e r xk où est le vecteur ormal sortat et K l harmoique de rag du courat et puis les expressios du champ (IV-3) et (IV-4) permettet d obteir tous les harmoiques du courat : + + K(R 0, θ) =.R0.C.P (cosθ). eϕ (IV-) Le problème de la détermiatio d ue desité surfacique de courat, idéale, est doc résolu. IV-.4.) Desité volumique Ue répartitio volumique doc plus réaliste, où l o cosidère que le courat e déped pas du rayo mais seulemet de θ, peut aussi être détermiée. Aisi l expressio du courat (IV- ) doe u champ tagetiel itérieur e r=r 0 de la forme : v H (R, θ) C.R.P Tit 0 = 0 (cosθ). eθ (IV-3) Nous défiissos das cette partie les vecteurs à l aide uiquemet de leur harmoique de rag, ceci afi d alléger les otatios, chaque gradeurs état évidemmet ue série des ces harmoiques. Soit la répartitio surfacique de courat pour u rayo r=r, θ v K' (R, ) = +.R.C'.P (cosθ). e + ϕ qui doit créer e r=r 0 u champ tagetiel H Tit (R 0,θ)=H Tit (R 0,θ), il suffit pour cela que C = C. '

115 Puisque l o cosidère que la desité de courat volumique e déped pas du rayo, o peut décomposer la distributio de courat e coquilles d épaisseur dr, posos : (R, θ )dr= j(r ).P (cosθ) (IV-4) J où j(r ) est ue foctio e dépedat que de. Si o égalise les élémets de courats, puis que l o réitroduit le champ tagetiel ous obteos : (R, )dr dk' (R, ).( ).dh (R, ) R R θ = θ = Tit θ + + (IV-5) 0 J 0 e itégrat d u rayo itérieur a jusqu à u rayo extérieur b (rayos délimitat la coquille portat la desité volumique de courat) ous obteos le champ tagetiel e u rayo r=r 0 produit par l esemble de la couche volumique de courat : T it b 0 0θ ) =. J(R, ).( R ). dr + θ (IV-6) + R a H (R, or ous coaissos le lie etre la desité de courat (IV-) et le champ tagetiel (IV-3) d où : K(R, b 0 0θ ) = J (R, θ).( R ). dr (IV-7) R a comme j (R ) = cst() la desité volumique de courat s écrit : K (R 0, θ) J ( θ ) =. (IV-8) R0 dr b a R d où la forme géérale K ( θ) J ( θ) =. R 0 b a = où l itégrale pred ue forme particulière quelque soit le rag de l harmoique, sauf pour K ( θ) J ( θ ) =.. R l( b 0 ) a L expressio de chacu des harmoiques est fourie ci-dessous : { } N = C.b *,J ( θ) a J ( ) =..si( ) 8 5G θ ob l( ) b θ µ a.p (cosθ) (IV-9) Les simulatios umériques, présetées par la suite, sot réalisées e utilisat ue desité superficielle de courat de la forme (IV-) avec les familles (C ) N associées à chacue des 3

116 coditios d homogééité «verticale» (IV-0), «horizotale» (IV-) et «sphérique» (IV- ). La simulatio du cas elliptique est égalemet effectuée. IV-.5) Visualisatio des résultats par simulatio umérique Les simulatios sot effectuées e cosidérat le cas particuliers de l oxygèe liquide à 90K, avec u gradiet G =8T /m et ue iductio au cetre B =0T. La desité surfacique de courat précédemmet obteue est répartie sur ue sphère de rayo R 0 =50cm, elle est troquée au troisième harmoique. La trocature sera validée par comparaiso de la force magétique obteue, c est à dire du vecteur G, par ue desité de courat coteat 3 harmoiques et ue autre 6 harmoiques. IV-.5.) Simulatio avec 3 harmoiques des différetes cofiguratios de lévitatio Les figures sot obteues à l aide d u logiciel d élémets fiis. Les différetes gradeurs défiissat la qualité de la compesatio magétique sot visualisées à l itérieur d ue sphère de 40 cm de rayo ; e géométrie axisymétrique cette sphère est représetée par u demi cercle. Le distributio spatiale du vecteur ihomogééité de la compesatio magétique ε est illustrée par des flèches oires. La orme de ce vecteur est fourie par u dégradé de couleurs (e %), et les équipotetielles magéto-gravitatioelles sot tracées e bleu. FIG. 3. et 4. Représetatios pour des gradeurs relatives à la compesatio magétique de pesateur, pour les cas horizotal (à gauche) et elliptique (à droite) 4

117 FIG. 5. et 6. Représetatios pour des gradeurs relatives à la compesatio magétique de pesateur, pour les cas sphérique (à gauche) et vertical (à droite) D après ces simulatios, la lévitatio d u litre d oxygèe avec ue ihomogééité iférieure à % semble parfaitemet réalisable à l aide d iductios largemet iférieures à B =0T. Par exemple, si o cosidère le cas sphérique, l esemble de l oxygèe coteu das la zoe sphérique de 40 cm de rayo (68 litres!) est soumis à ue compesatio ihomogèe à mois de 0,85%. Sur les figures 3, 4 et 5, les équipotetielles magéto-gravitatioelles apparaisset horizotale, elliptique et sphérique, par cotre la figure 6 e red pas compte d ue verticalité ette des équipotetielles Σ L. Nous avos pu démotrer aalytiquemet que les équipotetielles tedaiet vers des cas «horizotal» ou «sphérique». Seul le cas elliptique est démotré rigoureusemet. Ces diverses cofiguratios d accélératios résultates e microgravité ouvret des perspectives importates pour les expérimetateurs. Impossibles à reproduire d ue maière différete, c est à dire sas force magétique, ces cofiguratios spatiales de forces résultates permettet d imagier toutes sortes d expérieces sur le comportemet des fluides e microgravité. Utiliser uiquemet les trois premiers harmoiques pour costituer la desité de courat semble parfaitemet suffisat pour atteidre les diverses cofiguratios d accélératio magéto-gravitatioelle désirées. Nous allos tout de même évaluer l impact de cette trocature par rapport à ue répartitio de courat exacte jusqu au sixième harmoique. IV-.5.) Validatio de la trocature à 3 harmoiques La trocature au troisième harmoique est maiteat comparée avec ue trocature au sixième harmoique pour chacu des cas vertical, horizotal et sphérique afi de vérifier que la dégradatio d ue trocature prématurée sur la répartitio du vecteur G est faible. La comparaiso se fait e calculat et traçat la orme du vecteur G diff (Fig. 7, 8 et 9). Le vecteur G diff représete la différece etre le vecteur G 6h, expressio (IV-7) avec les six premiers harmoiques tirés des tableaux I, II et III et le vecteur G 3h, expressio (IV-7) avec les trois 5

118 premiers harmoiques. L échelle verticale fourit la orme du vecteur G diff (T /m) tracée à l itérieur de la sphère de 40cm de rayo (échelle des axes horizotaux). T /m m FIG 7. Tracé de la orme du vecteur G diff, comparat les trocatures à 3 et 6 harmoiques. Cas sphérique. Aisi das le cas de la cofiguratio dite sphérique, l écart par rapport à la valeur recherchée au cetre G est iférieur à 0,0%. Ce résultat justifie l hypothèse simplificatrice selo laquelle les trois premiers harmoiques sot suffisats pour obteir ue compesatio magétique de la pesateur avec ue accélératio résultate cotrôlée. m T /m T /m m m m m FIG 8. et 9. Tracés de la orme du vecteur G diff, comparat les trocatures à 3 et 6 harmoiques. Cas vertical (à gauche) et cas horizotal (à droite). Ces deux figures motret que l écart, par rapport à la valeur de gradiet G désirée au cetre, est iférieur à 0,04% das le cas vertical, et totalemet égligeable pour la cofiguratio horizotale. Ceci est certaiemet du au fait que l harmoique 4 théorique de la cofiguratio horizotale est ul, aisi la trocature est pas réellemet réalisée au troisième harmoique mais au quatrième harmoique. O peut à juste titre affirmer que, comme pour les géométries cylidriques, les trois premiers harmoiques permettet respectivemet de fixer l iductio au cetre, le gradiet au cetre et la cofiguratio du vecteur accélératio résultate. Nous avos motré que, sas ce troisième 6

119 harmoique (uiquemet les deux premiers o uls), la cofiguratio par défaut des équiσ L, dot le champ de vecteur ihomogééité ε est orthogoal, sot des sphéroïdes. IV-.6) Coclusio de la sectio IV- La méthode géérale de détermiatio des harmoiques a été appliquée au cas de coordoées sphériques permettat de décrire les géométries axisymétriques. Elle fourit d excellets résultats comme das le cas des géométries cylidriques détaillées das le chapitre précédet. La force magétique, exprimée à l aide des harmoiques de champ, peut partiellemet être maîtrisée. La modificatio de la valeur des différets harmoiques offre des cofiguratios d accélératios magéto-gravitatioelles origiales, mais surtout, parfaitemet décrites et cotrôlées. Il semble que l utilisatio des trois premiers harmoiques de champ doe suffisammet de souplesse. Les deux premiers harmoiques fixet à la fois la valeur de l iductio au cetre de la zoe de travail et la valeur du gradiet cotrebalaçat la gravité pour le matériau cosidéré. Puis, chose totalemet ouvelle, u choix judicieux du troisième harmoique détermie la cofiguratio des forces résultates au sei de la zoe de travail où le fluide est mis e lévitatio. Les simulatios au moye de répartitios de courats théoriques superficielles motret qu il est evisageable de réaliser, das le cas de l oxygèe, ue lévitatio homogèe à plus de 99%, das des volumes de l ordre de quelques litres, avec des iductios iférieures à 0T. Le dimesioemet de lévitateurs magétiques d oxygèe liquide est d ailleurs décrit das la troisième partie de ce chapitre. Il serait itéressat d étudier plus e détail les forces résultates obteues das le cas «vertical», afi de savoir si elles permettet de simuler au sol des cetrifugatios pures (=rotatio e apesateur)? La secode sectio de ce chapitre sur la lévitatio e géométrie axisymétrique est maiteat cosacrée au iserts ferromagétiques saturés. 7

120 IV-) Iserts Das u champ magétique, les matériaux ferromagétiques acquièret ue aimatatio, otée M, dirigée suivat le champ. Aisi, au champ magétique extérieur à l isert, viet s ajouter celui gééré par l aimatatio du matériau ferromagétique. O peut par exemple, de cette maière, augmeter le champ magétique au cetre d u soléoïde par simple ajout de matériau ferromagétique [SCH][HOA] ou bie modifier la cofiguratio du champ magétique das lequel est placé l isert [MAI][OVV]. Das le domaie des multipôles d accélérateurs de particules, o parle plutôt de culasses ferromagétiques. Ces derières etouret les aimats multipolaires, aisi tout e reforçat la structure mécaique, elles peuvet améliorer, e terme d amplitude mais égalemet de coteu harmoique, le champ itérieur au multipôle [SCH][TOD][ROS]. IV-.) Gééralités sur les iserts IV-..) Quels matériaux? L aimatatio de l isert, matériau ferromagétique, est foctio du champ magétique auquel il est soumis. Si le champ magétique deviet très importat, l aimatatio du matériau ferromagétique atteit ue valeur maximale, otée M S et appelée aimatatio de saturatio. Cette saturatio déped des matériaux. Elle est gééralemet très élevée pour les terres rares (cf. Tableau IV), mais leurs prix excessifs et leurs températures de Curie (perte du ferromagétisme) souvet faibles, mèet plus facilemet à l utilisatio d iserts e fer-cobalt ou simplemet e fer doux (cf. Tableau IV). Matériaux µo.m S Tc Fe,6T 043K Co,7T 394K Fe50-Co50,35T 930K Gd,69T,3 93K 3 Tb 3,39T,3 0K 3 Ho 3,87T,3 0K 3,4 Tableau IV : Quelques valeurs d aimatatios de saturatio ( [TRE]; [COU]; 3 [JEN]; 4 [RHO]) IV-..) Modélisatio des iserts Les iserts peuvet être modélisés par des courats ampéries volumiques J a et surfaciques K a [DUR]. Les courats volumiques permettet de modéliser l aimatatio du matériau et les courats surfaciques modéliset les coditios de cotiuités à la surface : v v = rotm (IV-30) J a v v v = M (IV-3) K a où est le vecteur ormal sortat à la surface. 8

121 Ue hypothèse simplificatrice est gééralemet admise lorsqu o effectue cette modélisatio. L isert est utilisé à saturatio car soumis à u champ magétique fort. Aisi o cosidère alors que l aimatatio de l isert est costate, uiforme et égale à M S. Aisi la modélisatio se fait uiquemet par des courats surfaciques (IV-3). IV-..3) Isert pour la lévitatio Nous allos pas exactemet dimesioer u isert pour la lévitatio, mais plutôt ajuster les dimesios du type d isert ayat déjà été utilisé pour la lévitatio par des membres de otre équipe. L objectif est de motrer ue ouvelle approche pour l évetuel dimesioemet de futurs iserts, e utilisat les résultats sur les décompositios harmoiques de la partie précédete. La figure 0 permet d avoir ue idée de la forme de l isert. Cette forme axisymétrique a été réalisée et présetée das de précédets ouvrages [OVV][QUE]. L isert était placé au cetre d u soléoïde (statio HYLDE du CEA Greoble) et supposé soumis à u champ uiforme B o d amplitude 0T. FIG. 0. Vue d artiste de l isert e 3D L idée est d obteir ue force magétique etre les deux parties de l isert, force résultat de la combiaiso d u champ dipolaire créé par le soléoïde et d u champ quadrupolaire créé par l isert (IV-8). D où le fait que cet isert soit costitué de deux parties. Effectivemet, si o observe l isert suivat u pla coteat so axe (cf. Fig. ), o s aperçoit que les courats surfaciques ampéries, si o e tiet pas compte des courats extérieurs de la partie supérieure, ot ue structure quadrupolaire. Les courats de surfaces à répartitio quadrupolaire sot repérés par les symboles. FIG.. Paramétrages de l isert ferromagétique saturé 9

122 IV-.) Soléoïde 0T avec isert Nous avos réalisé u programme permettat de calculer la décompositio harmoique, au poit O, produite par cet isert saturé, superposé à u champ magétique uiforme Bo. U autre programme permet d obteir ue optimisatio des agles θ et θ 3 lorsque l esemble des autres paramètres est fixé (θ =β, θ 4 =π-β, R 0, L, B o ). Il suffit alors de choisir les valeurs de l iductio B et du gradiet G désirées au poit O, cetre du dispositif afi que le programme fourisse les valeurs des agles θ et θ 3 associées. L iductio doit évidemmet être prise autour de l iductio Bo car l isert, géérat u champ quasi-quadrupolaire, e peut produire beaucoup de champ dipolaire supplémetaire. De plus si la valeur du gradiet G est pas accessible, il faut dimiuer la valeur de R 0 pour dimiuer la taille du dispositif. Aisi le champ quadrupolaire peut être plus importat et la valeur de G atteite (IV-8). Les résultats de la partie suivate vot illustrer ces propos. Nous avos cherché, grâce à la méthode précédemmet décrite, à ajuster les dimesios des iserts afi de réaliser la lévitatio de matériaux très faiblemet magétiques tels que l eau ou l hélium à l aide d u soléoïde de seulemet 0T. Mais e premier lieu ous ajustos les trois premiers termes de la décompositio harmoique du cas sphérique pour la lévitatio de l hydrogèe. IV-..) Hydrogèe Das le tableau V sot reportées les gradeurs défiissat l isert et les coditios de lévitatio souhaitées. Avec ces gradeurs (B et G ) le troisième harmoique de la cofiguratio sphérique doit valoir,5.0 7 A/m 3. E ajustat la valeur de l agle β par itératios successives, ous avos réussi à approcher ce troisième harmoique à 5% près (-, A/m 3 ). Iductio Bo du soléoïde 0,00 T Aimatatio de saturatio µo.m S de l isert,6 T Rayo itérieur Ro de l isert mm Rayo extérieur L de l isert 40 mm Agle β fixat θ et θ 4 4,55 π rad 0 Iductio B au poit O 0,0 T Gradiet G au poit O -986 T /m Tableau V : Gradeurs relatives à l isert et aux coditios de lévitatio de l hydrogèe La figure représete les valeurs de la composate verticale du gradiet G selo les axes vertical et horizotal sur ue logueur de 4mm. Le choix de cette dimesio a été fait par aalogie aux expérieces sur l hydrogèe réalisés das la statio HYLDE [CHA][WUN] au sei d ue cellule de 8mm de diamètre. L ihomogééité est de 0,6% suivat l axe horizotal mais est de presque 8% suivat l axe vertical. Les figures 3 et 4 motret respectivemet les composates verticale et horizotale du gradiet G. Ces composates sot tracées das le quart supérieur droit de la zoe hémisphérique itérieure à l isert, c est à dire pour u rayo r=[0mm,4mm] et u agle θ=[0, π/]. La partie comprise etre [π/, π] état e quasi-totalité occupée par l isert, ous e 0

123 l avos par représetée. Quat à la partie supérieure gauche, il e sert à rie d y tracer les composates à cause de la symétrie de révolutio du système. FIG.. Gx selo axes vertical et horizotal sur 4mm FIG. 3. et 4. Gx et Gy das le quart supérieur droit de l isert. Das cet exemple, o s aperçoit qu il est possible par u balayage sur la valeur de l agle β d obteir ue valeur du troisième harmoique proche de celle théorique, et aisi d avoir das ue zoe proche du cetre, u gradiet parfaitemet cofiguré (Fig. 5). Sur la figure 5 est tracé le vecteur ε sur u rayo de mm etourat le poit O, la cofiguratio est relativemet proche du cas sphérique. Mais la taille de cette zoe déped de la valeur des harmoiques de rag supérieur qui vieet perturber la cofiguratio choisie. Si l o s écarte de la zoe o observe la perturbatio des harmoiques de rags supérieurs sur le vecteur ε (Fig. 6). FIG. 5. et 6. Vecteur ihomogééité ε suivat deux rayos respectivemet de mm et de mm etourat la zoe de lévitatio.

124 La lévitatio de l hydrogèe avait pu être réalisée au sei du soléoïde de 0T de la statio HYLDE sas isert ferromagétique. Par cotre la lévitatio de l eau, à laquelle ous allos maiteat ous itéresser, est strictemet impossible à réaliser au sei d u tel dispositif sas y ajouter d isert. IV-..) Eau Das le tableau VI sot reportées les gradeurs associées à la lévitatio de l eau. Avec ces gradeurs (B et G ) le troisième harmoique de la cofiguratio sphérique doit valoir,9.0 8 A/m 3. Nous avos pas réussi à ajuster avec précisio la valeur de l agle β. Aisi le troisième harmoique est presque 4 fois trop élevé. D où ue cofiguratio de l accélératio résultate o sphérique même pour les faibles dimesios de zoe utile (Fig. ). Iductio Bo du soléoïde 0,00 T Aimatatio de saturatio µo.m S de l isert,6 T Rayo itérieur Ro de l isert 0 mm Rayo extérieur L de l isert 40 mm Agle β fixat θ et θ 4 π 0 rad Iductio B au poit O 0, T Gradiet G au poit O -77 T /m Tableau VI : Gradeurs relatives à l isert et aux coditios de lévitatio de l eau FIG. 7. et 8. G x selo les axes vertical et horizotal sur 3,6mm L ihomogééité de la composate verticale du gradiet suivat l axe vertical est de 8% et suivat l axe horizotal de 4%. La zoe e fait plus que 3,6mm de rayo.

125 FIG. 9. et 0. Gx et Gy das le quart supérieur droit de l isert La valeur du troisième harmoique est pas suffisammet proche de la valeur théorique, le gradiet est pas très homogèe au sei de l isert (Fig. ). De plus, il est importat d avoir des valeurs d harmoiques supérieures faible pour e pas perturber la valeur de G. FIG.. Vecteur ihomogééité ε sur u rayo de 00µm etourat la zoe de lévitatio Mais la lévitatio de l eau est tout de même réalisable pour u volume de 97mm 3 (équivalet au volume d hydrogèe lévité das [CHA]) avec ue ihomogééité iférieure à 8% das u soléoïde e géérat qu u champ de 0T. Il faut savoir que la lévitatio de l eau avait été réalisée avec u soléoïde de 8T das [BEA]. Nous allos maiteat ous itéresser au cas de l hélium. IV-..3) Hélium Das le tableau 7 sot reportées les gradeurs associées à la lévitatio de l hélium. Avec ces gradeurs (B et G ) le troisième harmoique de la cofiguratio sphérique doit valoir, A/m 3. Nous avos pas pu o plus ajuster la valeur de l agle β. Aisi le troisième harmoique est égalemet près de 4 fois trop élevé. D où ue cofiguratio de l accélératio résultate o sphérique même pour les faibles dimesios de zoe utile (Fig. 6). Iductio Bo du soléoïde 0,00 T Aimatatio de saturatio µo.m S de l isert,6 T Rayo itérieur Ro de l isert 7 mm Rayo extérieur L de l isert 40 mm Agle β fixat θ et θ 4 rad 0 Iductio B au poit O 0, T Gradiet G au poit O -474 T /m 3

126 Tableau VII : Gradeurs relatives à l isert et aux coditios de lévitatio de l eau Sur les figures et 3, l ihomogééité de la composate verticale du gradiet est d eviro 0% suivat l axe vertical et de 6% suivat l axe horizotal das ue zoe de,3mm de rayo. FIG.. et 3. G x selo les axes vertical et horizotal sur,3mm FIG. 4. et 5. Gx et Gy das le quart supérieur droit de l isert Comme das le cas de l eau la valeur du troisième harmoique obteue est pas suffisammet proche de celle théorique aisi l accélératio résultate est pas sphérique (Fig. 6). FIG. 6. Vecteur ihomogééité ε sur u rayo de 00µm etourat la zoe de lévitatio La lévitatio de l hélium est réalisable das u volume de 6mm 3 avec ue ihomogééité de 0% à l aide d u isert ferromagétique placé das u soléoïde géérat seulemet 0T. 4

127 IV-.3) Coclusio de la sectio IV- Plusieurs travaux atérieurs relatet l utilisatio d iserts saturés pour améliorer la qualité du champ ou augmeter so amplitude. Pour les petites tailles, ils sot bie meilleurs e terme de courat de surface équivalet que des bobiages. Il faut savoir que das les machies électriques de petites dimesios les bobiages sot remplacés, pour u obteir u champ plus fort, par des aimats. Ce choix d iserts correspod à la même logique, car u isert saturé peut être cosidéré comme u aimat. Cette partie a pas pour objectif de fourir u dimesioemet d isert optimal pour la lévitatio par champs magétiques. Par cotre elle permet de balayer les possibilités offertes par la combiaiso soléoïde et isert saturé. Nous avos ici exploré la solutio de lévitatio avec iserts, e utilisat pour évaluer les possibilités otre méthode géérale de décompositio harmoique. Cette méthode motre ici ses potetialités. O motre pour l hydrogèe qu u réglage des harmoiques est possible au mois jusqu à l ordre trois à l aide de l isert evisagé. Aisi l obtetio d ue cofiguratio d accélératio résultate prédéfiie paraît totalemet réalisable. Il est égalemet très itéressat de faire léviter avec u soléoïde de «seulemet 0T» des volumes d eau et même d hélium de plusieurs dizaies de millimètres cube avec des ihomogééités iférieures à 0%. La méthode développée précédemmet pour ajuster deux agles de l isert est itéressate. Cette méthode permet, sous certaies coditios, d ajuster exactemet la valeur du gradiet G au cetre du dispositif, c est à dire de choisir avec précisio le matériau à léviter. Il serait itéressat de cosidérer des structures d iserts avec des formes plus compliquées, permettat u ajustemet d harmoiques de rags supérieurs. Cette piste, itéressate pour la lévitatio de fluides faiblemet magétiques (eau, hélium), sort du cadre de otre étude. 5

128 IV-3) Dimesioemet d ue statio de lévitatio : applicatio à l oxygèe Après les travaux réalisés par Beaugo et Tourier, e 99, das u simple soléoïde plusieurs laboratoires ot essayé de mettre au poit des systèmes de lévitatio plus performats e géométrie axisymétrique [KIY][OZA][BIR]. Ces dispositifs ot été dimesioés pour atteidre la lévitatio de l eau qui est de 77T /m selo otre défiitio du vecteur G. Notre étude e se place pas das le même cadre puisque ous cherchos à obteir la lévitatio d oxygèe liquide (8T /m à 90K ou T /m proche de so poit critique). Par rapport à ces précédets travaux, la méthode développée das la première partie de ce chapitre permet de mieux compredre et d adapter le dimesioemet de dispositifs de lévitatio. L objectif est de réaliser le dimesioemet magétique d u dispositif permettat de reproduire au sol, à l aide de champs magétiques, le comportemet de l oxygèe e coditio d apesateur. La compesatio parfaite de pesateur par champ magétique état impossible, ue cotraite sur l accélératio résiduelle est fixée à 0 - g, elle correspod à l accélératio résiduelle lors des vols paraboliques. Pour obteir des similitudes au iveau comportemetal avec l oxygèe coteu das les réservoirs des laceurs de fusées, le volume lévité doit être d au mois u litre. Deux approches sot utilisées pour réaliser ces pré-dimesioemets. Ue première ted à limiter le ombre de bobiages supracoducteurs. Cette cotraite a été fixée par le CEA pour le projet LOLA. Ue secode s attache à optimiser les harmoiques produits par les bobiages afi d obteir ue décompositio au cetre la plus proche possible de la théorie, doat aux forces résiduelles ue forme plus proche de l idéal. IV-3.) Cotraites et méthode Des cotraites techiques imposet que le volume d u litre soit compris à l itérieur d u aticryostat de,5 cm de rayo. La cellule coteat l oxygèe liquide est souhaitée de forme cylidrique avec u rapport de la hauteur sur le diamètre variat de à 3, das lequel la valeur de T /m est atteite et costate à % près. L esemble de bobiages supracoducteurs doit être réalisé si possible avec du NbTi refroidi à 4,K. Nous avos choisi de fixer la desité de courat des coducteurs (matrice+supracoducteur) à 60A/mm, sachat que l iductio e dépasse pas 7 teslas sur les coducteurs. Avec ue valeur d iductio de 7 teslas ous aurios pu choisir ue desité de courat allat jusqu à 300A/mm, le dispositif devat être réalisable par u idustriel. Mais l objectif premier de ce dimesioemet est de voir la faisabilité d u tel dispositif, sas pour cela effectuer ue optimisatio de l esemble du desig. Le dimesioemet de la première statio de lévitatio d oxygèe présetée das ce chapitre est réalisé das le cadre d u cotrat etre l INPL (LEM) et le Commissariat à l Eergie Atomique de Greoble (SBT). Les cotraites défiies jusqu à maiteat sot celles demadées das le cahier des charges de l étude. Ces cotraites serot égalemet prises pour le dimesioemet de la deuxième statio. 6

129 Rappelos les foctios respectives des trois premiers harmoiques du champ magétique : Le premier harmoique représete l iductio du système, il doit être le plus élevé possible. Il est directemet relié à l homogééité de la compesatio obteue : plus so amplitude est importate, meilleure est l homogééité à volume doé. Autremet dit, plus l iductio est importate, plus le volume lévité est grad à homogééité doée. Le secod harmoique permet de déformer les liges de champ dues au premier harmoique et aisi d obteir la valeur de G souhaitée. Il sera d autat plus faible que l iductio (premier harmoique) sera forte. Le troisième harmoique permet de déformer les équipotetielles «magétogravitatioelles», lesquelles délimiteraiet l iterface gaz/liquide pour u fluide proche de so poit critique. Il déforme égalemet la forme de la zoe utile, celle où l ihomogééité de la compesatio excède pas %. Aussi chacue des deux statios présetées sera costituée de trois sous esembles de bobiages. Chacu de ces sous-esembles sera dédié à la créatio d u des harmoiques. Cette méthode de coceptio a l avatage de laisser ue souplesse d utilisatio. L harmoique trois est réglable par modificatio du courat das le troisième sous esemble. La forme de la zoe utile peut aisi être ajusté aisémet. L autre avatage est dû au découplage magétique exact des harmoiques pairs et impairs, permettat plus de souplesse e cas d expériece e gravité variable où l o souhaite reproduire des phases d accélératio ou de décélératio de l egi spatial. Ce découplage évite les problèmes de surtesio électrique aux bores des bobiages, surtesio due à la mutuelle iductace lors des variatios de courat. IV-3.) Large Oxyge Levitatio Apparatus (LOLA) Cette partie présete la coceptio du dimesioemet magétique d u dispositif permettat de susteter u litre d oxygèe liquide à ue température proche du poit critique T c =54,6K et avec u gradiet G = T /m (à la température critique le gradiet de l oxygèe est de T /m, le dispositif est doc légèremet surdimesioé) avec ue accélératio résiduelle iférieure ou égale à 0, m/s das tout le volume utile, c est à dire que la compesatio doit s effectuer avec ue précisio de % (ε < 0,0). IV-3..) Premier bobiage : «B» Ce bobiage doit créer u champ le plus uiforme possible, il doit créer le premier harmoique, c est à dire le terme dipolaire de la décompositio harmoique du champ. Le bobiage que ous proposos est tiré de travaux aalytiques réalisés par Garrett [GAR][GAR]. Ces travaux décrivet ue multitudes de dispositifs permettat de géérer des champs magétiques uiformes jusqu au vigtième ordre près. Pour ce premier dimesioemet, la simplicité recherchée, e terme de coceptio du dispositif magétique de lévitatio, oblige à choisir u bobiage «B» costitué de seulemet trois soléoïdes et créat u champ magétique uiforme au sixième harmoique près. Les dimesios des bobiages sot détermiées e foctio de la desité de courat volumique et de la valeur du champ magétique désirés. Pour défiir l iductio au cetre du dispositif ous ous appuyos sur des travaux atérieurs [QUE]. Ces travaux permettet d accéder à ue relatio, 7

130 e géométrie axisymétrique, estimat le champ magétique miimal (T) à créer pour léviter u volume V (m 3 ) avec ue ihomogééité ε (adimesioelle) d u matériau doé (valeur de G e T /m) : G B V= π ε (IV-3) L applicatio de cette formule à otre étude fourit u champ magétique miimal de 4,3T. Pour aticiper la dégradatio des valeurs théoriques due à la discrétisatio par des soléoïdes réels, le champ magétique est fixé arbitrairemet à B =5T. La desité de courat volumique est fixée à J 0 =60A/mm, pour permettre au système d être réalisé e NbTi refroidi à 4,K. De ces valeurs d iductio et de desité de courat, ous tiros, des tables de M.W. Garett, les dimesios de ce premier sous esemble de bobiages «B». Les dimesios doivet être troquées, ous faisos le choix de le faire au millimètre près, ecore ue fois ce choix laisse ue marge de sécurité, car les soléoïdes réalisés sot bobiés pour les plus gigatesques comme le soléoïde CMS, au CERN à Geève, à ue fractio de millimètre près, et pour d autres de taille plus raisoable gééralemet à ±50µm. Le tableau VIII doe les dimesios (e mètre) de ce bobiage costitué de trois soléoïdes, les coordoées (0,0) marquet le cetre du dispositif de lévitatio (Fig. 7). Du fait de sa symétrie par rapport au pla média z=0, ce système de bobies «B» e géére que des harmoiques impairs. FIG. 7. Dimesios et positio d u bloc r z W H J 0 (A/mm ) Bob 0,44 0,300 0,63 0, Bob 0,63-0,47 0,067 0, Bob 3 0,44-0,470 0,63 0, Tableau VIII : Dimesios du premier sous esemble créat pricipalemet l harmoique La trocature des dimesios au millimètre près permet de représeter les précisios de réalisatio des bobiages réels. La décompositio harmoique géérée par ce premier sous esemble devrait idéalemet B avoir qu u seul harmoique C. Cet harmoique doit être égale à, c est à dire µo C = A (cf. tableau I, II ou III). Le tableau IX présete la décompositio réelle de ce premier sous esemble de bobie. C C C 3 C 4 C 5 C 6 8

131 (A) (A/m) (A/m ) (A/m 3 ) (A/m 4 ) (A/m 5 ) Tableau IX : Décompositio harmoique du premier sous esemble B Remarque : Pour comparer l amplitude des différets harmoiques, il faut rameer ceux-ci sur ue même sphère de rayo R 0, et comparer etre eux les produits (+)/(+)*Ro - *C (homogèes à des champs magétiques). Si ous ous plaços sur ue sphère de rayo R 0 = cm (dimesio de la sphère la plus grade, cetrée e z=0 et r=0, et coteue das sa totalité au sei du dispositif etier), l harmoique 5 est 7 fois iférieur à l harmoique 3 luimême plus de 00 fois iférieur à l harmoique. Cette décompositio sigifie que l iductio au cetre du système est de 4,98T au lieu des 5T iitialemet prévus. Nous passos maiteat au dimesioemet du deuxième sousesemble créat l harmoique. IV-3..) Secod bobiage : «G» Ce sous esemble de bobiages crée le deuxième harmoique écessaire à l obtetio des T /m. Il est costitué uiquemet de deux soléoïdes pour des raisos de simplicité. Il aurait été ecore plus simple de géérer ce secod harmoique par u soléoïde uique décalé du cetre [BIR]. Ce derier aurait produit des harmoiques pairs, mais égalemet des harmoiques impairs, ce que ous e souhaitos absolumet pas. Ue approche filiforme est effectuée afi d obteir la positio (e réalité le rapport hauteur z sur rayo r) d ue paire de spires parcourues par des courat e ses opposés et situées symétriquemet de part et d autre du pla média z=0, de sorte que le quatrième harmoique soit ul, aisi z = 3. Puis o remplace la spire par ue bobie réelle (Fig. 8). A l aide d u r programme iformatique développé pour cette étude, les dimesios des bobies réelles sot ajustées afi d obteir ue desité de courat d exactemet 60 A/mm das les deux bobiages, et ue zoe de lévitatio de la forme souhaitée. Ce programme iformatique MAPLE TM a pour paramètres d etrée : la géométrie du système e axisymétrique (esemble des soléoïdes à sectio rectagulaire costituat le dispositif), il fourit esuite la décompositio e harmoiques zoaux (harmoiques sphériques e axisymétrique), et la desité de courat à ijecter das chaque soléoïde afi d obteir la décompositio harmoique du champ magétique désirée. Par itératio o fait coverger les dimesios des bobiages de sorte que la desité de courat soit égale à ±60A/mm das les deux soléoïdes. FIG. 8. Positio des bobies par rapport aux spires filiformes r z W H J 0 (A/mm ) 9

132 Bob 4 0,450 0,389 0,077 0, Bob 5 0,450-0,468 0,077 0, Tableau X : Dimesios du secod sous esemble créat pricipalemet l harmoique L atisymétrie du système «G» par rapport au pla z=0 lui permet de géérer uiquemet des harmoiques pairs. Il y aura aisi aucu couplage magétique etre les bobiages «B» et «G», ce qui permettra d effectuer des variatios temporelles de l accélératio. Nous présetos maiteat das le tableau XI la décompositio harmoique de ce secod sous esemble de bobies. C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) Tableau XI : Décompositio harmoique du secod sous esemble G Le gradiet G au cetre du dispositif vaut G =4µo C C =,09 T /m. Il est légèremet surestimé. Il faudra soit décaler légèremet la zoe de lévitatio, soit ajuster le courat das le secod sous esemble. Cette deuxième possibilité est bie adaptée car, avec u coducteur du même type que celui utilisé das la statio OLGA du Service des Basses Températures du CEA Greoble, ue précisio de 33µA/mm est atteite avec ue alimetatio précise au milliampère près. Remarque sur la précisio espérée e desité de courat : La variatio de courat das l alimetatio d u système etraîe iévitablemet ue variatio de la desité de courat de ce même système. L alimetatio utilisée par le SBT, das la statio OLGA, est ue alimetatio stable et précise au ma près. Nous estimos ce qu u I de ma sur le courat d alimetatio etraîe comme J sur la desité de courat au sei du bobiage extérieur de cette statio. Caractéristiques Sectio Nombre de spires I J OLGA extérieure 0,08*0,58=0,0664m 43 ma I. = 66A/ m S Tableau XII : Lie précisio e courat/ précisio e desité de courat Ue alimetatio précise au ma permet ue précisio de l ordre de 33µA/mm sur la desité das u tel dispositif. Il est doc possible de dimiuer la desité de courat das le bobiage «G» afi que la desité tombe à 59,56A/mm et que le gradiet au cetre G soit de T /m. IV-3..3) Troisième bobiage : Σ L Ce bobiage permet de modifier la carte des équipotetielles magéto-gravitatioelles Σ L. La démarche utilisée est sesiblemet la même que pour le précédet sous esemble «G», ue paire de spires est positioée symétriquemet de part et d autre du pla média, z=0, mais est parcourue par u même courat (même ses). La symétrie de ce dispositif implique qu il egedrera uiquemet des harmoiques impairs. Ce bobiage est dimesioé pour auler l harmoique 3 résiduel créé par le bobiage «B», puis faire varier la forme des équipotetielles par variatio du courat le traversat. La positio de la paire de spires est choisie pour miimiser la valeur de l harmoique 5 créé par ce bobiage «Σ L». Il faudrait pour avoir ue meilleure précisio das la créatio de ces 30

133 harmoiques, au mois trois bobies. Le fait d e predre uiquemet deux simplifie le système et fourit malgré tout de bos résultats. Nous examieros plus loi (IV.3.3.3) les résultats améliorés à attedre d u bobiage «Σ L» à ciq bobies. Le tableau suivat doe les dimesios et positios des deux soléoïdes costituat ce bobiage «Σ L» : r z W H J 0 (A/mm ) Bob 6 0,80 0, 0,00 0,00-60*k Bob 7 0,80-0,3 0,00 0,00-60*k Tableau XIII : Dimesios du troisième sous esemble créat pricipalemet l harmoique 3 Le coefficiet k va varier selo la cofiguratio de l accélératio résiduelle recherchée ; la plage de variatio de k est comprise etre 0 et 0,75. C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) -840*k *k *k 0 Tableau XIV : Décompositio harmoique du troisième sous esemble Σ L Le tableau XV récapitule les décompositios harmoiques des trois sous-esembles e foctio de la valeur du courat ijecté das le troisième sous-esemble. k C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 3th (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) Forme des équiσ L 0, Verticale 0, Sphérique 0, Horizotale Tableau XV : Récapitulatif des décompositios harmoiques La coloe ommée C 3th fourit la valeur théorique de l harmoique trois devat coduire à la forme désirée des équipotetielles magéto-gravitatioelles. Ces valeurs sot tirées des tableaux I, II et III. Il serait possible d ajuster le courat ijecté pour affier le réglage de la desité de courat volumique car ous ous sommes ici limités das la précisio du courat. IV-3..4) Présetatio de la statio La figure 9 motre les trois sous esemble costitués des 7 soléoïdes précédemmet défiis. Rappelos que les bobies, et 3 costituet le sous esemble géérat pricipalemet l harmoique. Les bobies 4 et 5 produiset l harmoique deux écessaire à la lévitatio de l oxygèe. La variatio du courat au sei de celles-ci permet de réaliser des variatios temporelles d accélératio limitées seulemet par leur iductace propre. O a pas besoi de faire varier le courat das l esemble des bobiages (iductace propre plus importate) pour réaliser ue compesatio magétique de pesateur variable, c est à dire simuler des phases d accélératio ou décélératio. Les bobies 6 et 7 modifiet pricipalemet le troisième harmoique afi de réaliser des cofiguratios d accélératios résultates différetes, ajustables e foctio du type d expériece souhaité. 3

134 FIG. 9. Positioemet des bobies Le dimesioemet magétique est préseté sur la figure 30, la barre de couleur représete l échelle de l iductio magétique e Tesla. Les bobiages sot soumis à u champ magétique maximal de 6,75T et le champ au cetre est de 4,98T. Le rectagle cetral représete par sa dimesio radiale l aticryostat de,5 cm de rayo qui cotiet la cellule d oxygèe liquide. 3

135 FIG. 30. Dispositif magétique Ue modélisatio du dispositif das so esemble a été réalisée. La figure 3 motre le système global avec les eroulemets das la partie iférieur du cryostat das lesquels se place l aticryostat coteat la zoe utile. Cet aticryostat est réglable e hauteur par ue motorisatio se trouvat au dessus de l esemble. Cette image a été fourie par le SBT du CEA Greoble. 33

136 FIG. 3. Dispositif total IV-3..5) Résultats umériques IV-3..5.) Variatio spatiale de l accélératio E faisat varier le courat uiquemet das le sous-esemble «Σ L», il est possible de réaliser ue variatio spatiale de l accélératio résultate. Les valeurs du coefficiets k sot fouries pour chacue des simulatios. La partie gauche des figures 3, 33 et 34 représete la orme du vecteur ihomogééité de la compesatio (e %) à l itérieur d u rectagle oir symbolisat ue sectio de l aticryostat etre ue hauteur par rapport au cetre variat de 5 à 5 cm. La courbe oire délimite la zoe utile à mois de % d ihomogééite de la compesatio magétique de pesateur. A l itérieur des zoes utiles, il est possible de placer des cellules cylidriques d u volume supérieur au litre souhaité. U rectagle ou ue sphère rouge symboliset pour chacue des cofiguratios la cellule coteat au mois le litre d oxygèe. Sur la partie de droite sot représetées par des liges bleutées les équipotetielles magéto-gravitatioelles. Ces derières motret la forme de l iterface gaz/liquide que predrait l oxygèe lors d expérieces proche de so poit critique. 34

137 FIG. 3. Cofiguratio horizotale (k=0,) FIG. 33. cofiguratio sphérique (k=0,5) 35

138 FIG. 34. Cofiguratio verticale (k=0,75) Das le tableau XVI sot reportés les dimesios et le volume des cellules de forme cylidriques ou sphériques (icluses das la zoe à %) das lesquelles l oxygèe est soumis à ue accélératio iférieure à 0,m/s. Pour la sphère, uiquemet le rayo est fouri. k Hauteur Rayo Volume 0, 4,7 cm 0 cm,47 L 0,5 X 6,7 cm,6 L 0,75 3,6 cm 4,9 cm,78 L Tableau XVI : Dimesios et volumes des cellules Pour le cas sphérique au lieu de placer ue sphère das la zoe à %, o pourrait disposer u cylidre d u volume de,6l. Les volumes obteus sot bie supérieurs au litre désiré. De plus il faut rappeler que la statio est dimesioée pour T /m alors que le gradiet de l oxygèe près de so poit critique est de T /m. IV-3..5.) Variatio temporelle de l accélératio Nous abordos ici u problème qui sera approfodi au chapitre V : il s agit de la simulatio au sol de phases d accélératios ou décélératios d u egi spatial, e modifiat les courats das les bobiages. Lors d ue variatio temporelle de l accélératio de 0g (compesatio spatiale à % près) à 0,5g, la forme des équipotetielles magéto-gravitatioelles va se déformer. Dès que l accélératio augmete, le poids deviet de ouveau prédomiat par rapport à la force magétique et les équipotetielles Σ L devieet alors immédiatemet des plas quasi horizotaux. Il paraît doc importat pour éviter les mouvemets parasites de fluide de partir d ue cofiguratio, à 0g, où les Σ L sot déjà horizotales (cf. Fig. 35). Si par cotre les expérimetateurs cosidèret que l oxygèe liquide doit se trouver sur les parois latérales de 36

139 la cellule e début de maipulatios, il est préférable de partir d ue cofiguratio, à 0g, où les Σ L sot verticales. La variatio temporelle est produite par ue variatio des courats d alimetatios du sousesemble de bobiage «G». Le découplage magétique de ce bobiage - e créat que des harmoiques pairs - par rapport aux deux autres «B» et «Σ L» - créat uiquemet des harmoiques impairs - évite tout problème lié à l iductace mutuelle lors de la variatio des courats. Les facteurs limitat le temps de décharge sot l iductace propre du sousesemble de bobiages «G» et la résistace de décharge, laquelle est dimesioée e foctio de la tesio maximale de trasitio «quech». L iductace propre de ces bobies «G» déped du type de bris supracoducteurs choisi par l idustriel fabricat le dispositif. Das otre cas, ue variatio de 0g à 0,5g est obteue e eviro 5s, figure 35, où sot représetées les équiσ L et l accélératio résultate e pourcetage de g par l échelle de couleur, au sei de l aticryostat à différets istats (cf. Tableau XVII). Temps (s) 0,5 3 4,5 Accélératio (% de g) Tableau XVII : Accélératio résultate foctio du temps FIG. 35. Variatio temporelle de l accélératio résultate, e % de g, das l aticryostat et évolutio des équipotetielles magéto-gravitatioelles. 37

140 Ce dispositif doit permettre de cette maière de simuler des phases d accélératio, mais égalemet de décélératio, e partat d ue surcompesatio de la pesateur et e reveat au fial à la compesatio exacte. IV-3..6) Précisio de positioemet Cette partie cocere les effets éfastes produits sur la décompositio harmoique désirée par u mauvais positioemet ou ue mauvaise coceptio des bobiages. Il existe de multiples problèmes de positioemet ou de coceptio. Nous ous limitos das ce mémoire à deux cas simples fourissat ue idée de la précisio à atteidre pour de tels dispositifs de lévitatio. Soit u des soléoïdes du dispositif LOLA est décalé e hauteur (δ z ), soit il est coçu avec u rayo itérieur différet de celui souhaité (δ R ). Attetio, ous e cosidéros pas ici le cas d u décetrage axial du soléoïde, la géométrie reste e tous cas axisymétrique. La précisio de la réalisatio effective a pour correspodace e terme de simulatio la précisio des doées iitiales. IV-3..6.) Méthode Le décalage d u bobiage egedre écessairemet ue ifiité d harmoiques o désirés. Pour les deux cas étudié (δ R ou δ z ), l écart etre la distributio harmoique du système correctemet positioé et celle du système mal positioé s obtiet par le calcul des harmoiques produits par deux bobies, reste de la soustractio des bobies du système bie positioé (e vert) avec le système mal positioé (e rouge) sur la figure 36. U bloc représete la sectio d u soléoïde par u pla coteat l axe magétique (axe de révolutio) du système. Preos le cas du projet LOLA (Fig. 36), si o veut coaître les harmoiques idésirables créés par le décalage δ R suivat le rayo du bloc (d épaisseur W, de hauteur H et situé à u rayo itérieur R), il suffit de coaître la décompositio harmoique des deux bobies situées respectivemet à des rayos R et R+W de même hauteur et d épaisseur δ R. Les deux bobies sot évidemmet alimetées e ses opposés, la bobie extérieure est das ce cas alimeté das le même ses que le bloc. R 6 4 R+δ R 6 W 4 R R+W δ R δ R FIG. 36. Bobies géérat les harmoiques o désirés lors d ue mauvaise coceptio du soléoïde : rayo trop grad. 38

141 IV-3..6.) Impact sur la décompositio harmoique E première approximatio, les harmoiques créés variet liéairemet avec le décalage, c est à dire avec l épaisseur des bobies, car la desité de courat portée par les bobies restat costate, le courat total porté par ces bobies croît liéairemet avec leur épaisseur. Pour que cette approximatio reste valable, il faut que le décalage e soit pas trop importat car la géométrie des bobies deviedrait trop différete et impacterait écessairemet de maière plus sigificative sur l évolutio des harmoiques. Das l aexe C, o évalue pour chacu des harmoiques et pour différetes valeurs de décalage l écart etre la décompositio du système correctemet coçu et celui du système dégradé. O s aperçoit que l approximatio liéaire reste valable jusqu à u décalage d eviro 5mm. O peut aisi à partir des résultats fouris das l aexe C obteir pour chacu des blocs et des types de décalages ue valeur du ratio etre l écart par rapport à l harmoique cosidéré Λ e pourcetage et le décalage δ e mètre. L écart se fait par rapport à la décompositio du système théorique. Bloc, Λ /δ Λ /δ Λ 3 /δ Λ 4 /δ Λ 5 /δ Λ 6 /δ décalage, δ R +40% -0% % % % -400%, δ z -80% -600% % +8700% % +500% 4, δ R +3% -80% -400% -900% +90% +350% 4, δ z -0 % -30% -30% +0000% +4800% +300% N 6, δ R -0,45% +0,% +000% +0000% +7000% +680% N 6, δ z +0,8% +9% +00% +860% -5000% -900% Tableau XVIII : Ecart par rapport à la décompositio harmoique désirée e foctio du décalage Par exemple, si le bloc 4 est décalé suivat sa hauteur de mm, l harmoique 4 va alors être augmeté de +0000%*0,00m +0%. Cette approximatio reste valable au mois jusqu à 5mm pour ce qui est de otre géométrie. IV ) Impact sur la zoe à % Nous allos décaler certais des blocs costituat le dispositif et observer les effets produits sur la zoe de travail à %. Le décalage s effectuera suivat le rayo (R+δ R ) ou la hauteur (z+δ z ) avec différetes amplitudes. U esemble plus complet de résultats est doé das l aexe D. Lorsque l o effectue les tracés de la zoe de lévitatio ihomogèe à % das chacu des cas, u seul des bobiages est cosidéré comme mal coçu ou mal positioé. Lorsque le bloc est décalé de δz=5mm la zoe de lévitatio à % disparaît totalemet du cetre du dispositif, c est à dire qu elle apparaît plus das la sectio d aticryostat cosidérée. D après l esemble des tracés effectués, il ressort qu ue précisio différete de coceptio selo les soléoïdes doit être prise e compte. Il semble qu ue précisio de 00µm soit tout de même écessaire sur les bobiages cetraux créat pricipalemet l harmoique. De ce résultat, ous allos coserver la précisio de 00µm pour dimesioer u autre dispositif, où le ombre de soléoïdes e sera plus limité. 39

142 k Témoi Bloc δ R =5mm Bloc 6 δ R =5mm 0, 0,5 0,75 Tableau XIX : Effet des problème de positioemet sur la zoe utile à %. IV-3.3) Statio de lévitatio d oxygèe plus performate Nous allos cocevoir ue statio plus performate e se libérat des obligatios de simplicité, c est à dire possédat u ombre de bobies plus élevé. O se fixera ue précisio de dimesioemet o plus au millimètre mais au dixième de millimètre. Le dispositif sera beaucoup plus fi e terme de précisio spatiale des accélératios résultates, meat avec la même iductio au cetre à des volumes lévités plus coséquets. IV-3.3.) Premier bobiage : «B» La méthode d obtetio est similaire à celle du premier dispositif, mais cette fois-ci, les dimesios sot doées au dixième de millimètre près. 40

143 r z W H J 0 (A/mm ) Bab 0,44 0,998 0,68 0, Bab 0,68-0,474 0,0674 0, Bab 3 0,44-0,4694 0,68 0, Tableau XX : Dimesios du premier sous esemble créat pricipalemet l harmoique La décompositio harmoique géérée par ce premier sous esemble est bie meilleure que das le précédet dimesioemet. Elle est obteue par calcul formel (Aexe E). Le tableau XXI présete la décompositio réelle de ce premier sous esemble de bobie. C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) Tableau XXI : Décompositio harmoique du premier sous esemble B Cette décompositio sigifie que l iductio au cetre du système sera bie de 5,00T. Si l o compare comme das la partie précédete les harmoiques sur ue sphère de rayo R 0 =cm, les harmoiques 3 et 5 sot du même ordre de gradeurs et plus de fois iférieurs au premier harmoique. IV-3.3.) Secod bobiage : «G» Ce sous esemble de bobiages crée le deuxième harmoique écessaire à l obtetio des T /m. Il est costitué de six soléoïdes pour des raisos de précisio. Comme pour le projet LOLA, ue approche filiforme est effectuée afi d obteir la positio (e réalité le rapport hauteur z sur rayo r) de trois paires de spires parcourues par des courat e ses opposés et situées symétriquemet de part et d autre du pla média z=0. Ue paire est positioé de sorte que le quatrième harmoique soit ul, pour les deux autres paires de spires, elles sot positioées de sorte qu elle e produiset pas de sixième harmoique. Nous obteos aisi trois paires de soléoïdes, permettat de fixer trois coditios qui sot de produire u harmoique de la boe valeur et d auler les harmoiques 4 et 6. Le dimesioemet de ces soléoïdes s effectue de la maière suivate. O part sur ue sectio carrée des soléoïdes de petites dimesios, o ijecte cette géométrie das otre programme (Aexe F), qui ous fourit la valeur des trois desités de courats permettat de réaliser les trois coditios (h=c, h4=0 et h6=0) grâce à ue décompositio des soléoïdes e harmoiques (Aexe G). Puis o réajuste e foctio de la desité de courat la dimesio de chacu des blocs, pour que la solutio tede vers les 60A/mm désirés. Par exemple si la desité de courat das ue paire de soléoïdes est de 78A/mm, o va alors multiplier hauteur et épaisseur de ces soléoïdes par 78 / 60. O itère plusieurs fois jusqu à ce que les desités coverget vers 60A/mm (Mois d ue dizaie d itératios est écessaire). O peut affier la sectio des soléoïdes et doc de la desité de courat e jouat e derier lieu sur ue seule des dimesios (hauteur ou épaisseur) des soléoïdes. Ce procédé ous a permis de dimesioer le sous-esemble G dot les dimesios sot fouries das le tableau XXII, le rayo est fixé à 4cm de maière à ce que les soléoïdes soiet extérieurs au premier sous-esemble et que leurs harmoiques éfastes perturbet mois la zoe utile. Ue paire de bobies possède u rayo de 48 cm pour éviter des problèmes de chevauchemet des soléoïdes. 4

144 R z W H J 0 (A/mm ) Bab 4 0,4 +0,38 0,0377 0, Bab 5 0,48 +0,457 0,095 0, Bab 6 0,4 +0,5 0,044 0, Bab 7 0,4-0,58 0,044 0, Bab 8 0,48-0,509 0,095 0, Bab 9 0,4-0,3505 0,0377 0, Tableau XXII : Dimesios du secod sous esemble créat pricipalemet l harmoique L atisymétrie du système «G» par rapport au pla z=0 lui permet de géérer uiquemet des harmoiques pairs, il y aura aisi aucu couplage magétique etre les bobiages «B» et «G», ce qui permettra égalemet d effectuer des variatios temporelles de l accélératio. Nous présetos maiteat das le tableau XXIII la décompositio harmoique de ce secod sous esemble de bobie. C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) Tableau XXIII : Décompositio harmoique du secod sous esemble G Si l o compare avec le projet LOLA, le système est bie meilleur e terme de décompositio harmoique. Le gradiet G au cetre du dispositif vaut G =4.µo.C.C=.988T /m. Il est légèremet sous-estimé. Il faudra ajuster légèremet le courat das le secod sous esemble (60,06A/mm au lieu de 60A/mm ). Cette deuxième possibilité est bie adaptée car avec u coducteur du même type que celui utilisé das la statio OLGA ue précisio de 33µA/mm est atteite avec ue alimetatio précise au milliampère près. IV-3.3.3) Troisième bobiage : «Σ L» Le même pricipe de dimesioemet que pour le sous-esemble «G» est effectué (Aexe H). Il sera costitué de 5 soléoïdes, dot cetral et paires de soléoïdes positioées symétriquemet de part et d autre du pla média, z=0. Chaque paire de soléoïdes est alimetée par u même courat (même ses). La symétrie de ce dispositif implique qu il egedrera uiquemet des harmoiques impairs. Les coditios à remplir pour ce dispositif sot de produire u harmoique 3 de la boe valeur tout e miimisat les harmoiques et 5 géérés. La méthode itérative précédemmet décrite est appliquée et fourit les dimesios reportées das le tableau XXIV. Le rayo est égalemet fixé à 4 cm, ceci peut évetuellemet faciliter la mise e place de la structure de maitie mécaique du système. r z W H J 0 (A/mm ) Bab 0 0,4 +0,495 0,069 0,069-60*k Bab 0,4 +0,065 0,079 0, *k Bab 0,4-0,068 0,0335 0, *k Bab 3 0,4-0,0903 0,079 0, *k Bab 4 0,4-0,664 0,069 0,069-60*k Tableau XXIV : Dimesios du troisième sous-esemble créat pricipalemet l harmoique 3 4

145 Le tableau suivat doe la décompositio harmoique de ce sous-esemble de bobiage : C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) -*k *k 0 0*k 0 Tableau XXV : Décompositio harmoique du troisième sous esemble Σ L La décompositio est bie meilleure que das le cas du projet LOLA. Le tableau XXVI récapitule les décompositios harmoiques des trois sous-esembles e foctio de la valeur du courat ijecté das le troisième sous-esemble, o y a ajouté le cas où le courat das le troisième sous-esemble est ul, c est à dire, ici, le cas elliptique. k C (A) C (A/m) C 3 (A/m ) C 3th (A/m ) C 4 (A/m 3 ) C 5 (A/m 4 ) C 6 (A/m 5 ) Forme des équiσ L Verticale 0, Sphérique Elliptique -0, Horizotale Tableau XXVI : Récapitulatif des décompositios harmoiques Ces résultats semblet relativemet bos ce qui va maiteat être prouvé par simulatio umérique. IV-3.3.4) Présetatio de la statio La figure 37 présete le système das sa totalité. Les soléoïdes grisés costituet le sousesemble géérat pricipalemet l harmoique. Les soléoïdes e rouge costituet le deuxième sous-esemble, géérat l harmoique écessaire à la lévitatio. Et les soléoïdes bleus créet pricipalemet le troisième harmoique, permettat par u variatio de sous courat de passer d ue cofiguratio d accélératio résultate à ue autre. 43

146 FIG. 37. Positioemet des bobies Le dimesioemet magétique est préseté sur la figure 38, la barre de couleur représete l échelle de l iductio magétique e Tesla. Les bobiages sot soumis à u champ magétique maximal de 6,74T et le champ au cetre sera de 5,00T. Le rectagle cetral représete toujours par sa dimesio radiale l aticryostat de,5 cm de rayo qui cotiedra la cellule d oxygèe liquide. 44

147 FIG. 38. Dispositif magétique IV-3.3.5) Variatio spatiale de l accélératio Les valeurs du coefficiets k sot fouries pour chacue des simulatios. Il sot différets de ceux du premier dimesioemet. Mais ils reflètet plus les rapports etre les amplitudes des harmoiques 3 des différetes cofiguratios du fait de la meilleure décompositio produite par ce dispositif. La partie gauche des figures 39, 40, 4 et 4 représete la orme du vecteur ihomogééité de la compesatio (e %) à l itérieur d u rectagle oir symbolisat ue sectio de l aticryostat etre 5 et 5 cm. La courbe oire délimite la zoe utile à mois de % d ihomogééité de la compesatio magétique de pesateur. A l itérieur des zoes utiles, il est possible de placer des cellules cylidriques d u volume supérieur au litre souhaité. U rectagle, ue sphère ou ue ellipse rouge symboliset pour chacue des cofiguratios la cellule coteat au mois le litre d oxygèe. Sur la partie de droite sot représetées par des liges bleutées les équipotetielles magéto-gravitatioelles. Ces derières motret la forme de l iterface gaz/liquide que predrait l oxygèe lors d expérieces proche de so poit critique. 45

148 FIG. 39. Cofiguratio horizotale (k=-0,5) FIG. 40. Cofiguratio elliptique (k=0) 46

149 FIG. 4. Cofiguratio sphérique (k=0,5) FIG. 4. Cofiguratio verticale (k=) Das le tableau XXVII sot reportés les dimesios et le volume des cellules de forme cylidrique ou sphériques (icluses das la zoe à %) das lesquelles l oxygèe est doc soumis à ue accélératio iférieure à 0,m/s. 47

150 k=, vertical :,07L (cylidre) k=0,5, sphérique :,4L (sphère) k=0, elliptique :,68L (ellipsoïde) k=-0,5, horizotal :,50L (cylidre) k Hauteur Rayo Volume 5, cm,5 cm,50 L 0,5 X 8 cm*,4 L 0 4, cm*,5 cm*,68 L -0,5,6 cm 5,4 cm,07 L Tableau XXVII : Dimesios et volumes des cellules * : les valeurs pour l ellipsoïde de révolutio sot celles des demi-axes. Pour la sphère, uiquemet la valeur du rayo est fourie. Les volumes obteus sot bie supérieurs au litre désiré, de plus il faut rappeler que la statio est dimesioée pour T /m alors que le gradiet de l oxygèe près de so poit critique est de T /m. Les volumes obteus avec ue iductio sot plus proches de l estimatio (IV-3) qui doe comme ordre de gradeur,4l avec ue iductio de 5T et u gradiet de T /m. Nous e fourissos pas de simulatios de compesatio variable de la gravité qui aboutisset aux mêmes résultats pour l évolutio des Σ L. IV-3.4) Coclusio et perspectives de la sectio IV-3 Les statios de lévitatio dimesioées répodet etièremet aux coditios de lévitatio précédemmet défiies. Elles permettet de léviter u litre d oxygèe liquide avec ue accélératio résiduelle iférieure à 0,m.s -. L ajout du sous-esemble «Σ L» offre u réglage simple de l accélératio spatiale au sei de la cellule. Mais au-delà, il permet l étude de propriétés ou de comportemets de fluides das des coditios de forces volumiques impossibles à créer autremet. Le découplage magétique du sous-esemble «G» avec le reste de la statio, c est à dire des harmoiques pairs (bobiage «G») et impairs (bobiage «B» et «Σ L»), offre la possibilité d étudier le comportemet de l oxygèe liquide lors de phases d accélératio ou de décélératio e apesateur. Ces dispositifs possèdet ue importate souplesse d utilisatio, de plus ils sot réalisables e u matériau supracoducteur maîtrisé par les idustriels, le NbTi refroidi à 4,K. U des problèmes soulevés lors du projet LOLA par u tel dispositif est celui de la métrologie. Ue des idées proposées est de réaliser ue cellule critique dot l iterface gaz/liquide permettrait ue cartographie fie des équipotetielles magéto-gravitatioelles et doc du champ magétique. Cette idée a pas été développée jusqu à maiteat. La méthode décrite das ce chapitre, et appliquée à la coceptio de dispositif de lévitatio d oxygèe liquide, peut égalemet être mise e œuvre pour d autres fluides tels que l hydrogèe liquide ou l eau. Ces matériaux ot ue susceptibilité magétique ecore plus faible que l oxygèe, il serait certaiemet écessaire, pour réaliser ue telle statio, d utiliser des supracoducteurs e Nb 3 S avec u refroidissemet plus importat à,8k, pour atteidre des iductios supérieures et aisi des volumes lévités, et ue homogééité de compesatio itéressats. 48

151 Au momet de la rédactio de cet ouvrage ue étude est d ailleurs e cours sur la réalisatio d ue statio de lévitatio dédiée à l hydrogèe liquide (986T /m) 49

152 IV-4) Coclusio du chapitre IV Ce chapitre est relatif aux géométries D axisymétriques. Das ue première partie la méthode géérale de détermiatio des harmoiques du champ magétique a été appliquée. Cette décompositio e harmoiques motre ecore ue fois que la force magétique peut être parfaitemet maîtrisée et que les limitatios sot uiquemet d ordre techologique. La compréhesio du lie etre les différets harmoiques et les gradeurs relatives à la compesatio magétique de pesateur accroît de faço cosidérable les possibilités qu offre la lévitatio magétique. Effectivemet les diverses cofiguratios d accélératios résultates, iexplorées jusque maiteat, permettet d evisager de toutes ouvelles expérieces. La réalisatio de ces différetes cofiguratios peut se faire uiquemet par les trois premiers harmoiques. L amplitude des deux premiers harmoiques fixe l iductio et le gradiet e u poit, tadis qu u choix judicieux du troisième harmoique détermie la cofiguratio de l accélératio résiduelle au sei de la zoe de travail. Ces résultats théoriques sot à lier à des travaux plus pratiques, chose que ous avos effectué das les secode et derière parties de ce chapitre. L utilisatio d isert a été étudiée au sei d u soléoïde équivalet à la statio HYLDE du SBT/CEA Greoble. Das ce soléoïde à 0T, seule pouvait être atteite la lévitatio d hydrogèe. L ajout théorique d isert a motré que des volumes de plusieurs dizaies de millimètres cube d eau ou même d hélium pourraiet être lévités avec des ihomogééités de la compesatio iférieures à 0%. Rappelos qu au sei de ce soléoïde la lévitatio de 00mm 3 d hydrogèe avec ue ihomogééité de 5% avait été cosidéré comme u succès. L objectif de cette partie était pas d optimiser u desig d isert, mais uiquemet d etr apercevoir les possibilités e terme de lévitatio que permettet ceux-ci. Sous certaies coditios la méthode décrite permet d ajuster précisémet la valeur du gradiet G au cetre du dispositif, c est à dire de choisir le matériau à léviter. Ce chapitre est clôturé par le dimesioemet de deux statios magétiques dédiées à la lévitatio de l oxygèe. Le pricipe de dimesioemet utilisé, s appuyat sur l étude théorique des harmoiques, est tout à fait ouveau et la souplesse d utilisatio qui e découle est très itéressate e terme de variabilité spatiale et temporelle de la compesatio. Chacu des harmoiques est créé par u sous-esemble de bobiages. Et le réglage idépedat de leur courat d alimetatio offre cette flexibilité au iveau expérimetal comme l étude de propriétés ou de comportemets de fluides das des coditios de forces volumiques impossibles à créer autremet, ou bie ecore e coditios d accélératio ou de décélératio. Il est possible au sei de ces dispositifs de léviter avec des accélératios résiduelles iférieures à 0, m/s des volumes supérieurs au litre. Ces volumes sot suffisats pour permettre par similitude de trasposer les résultats obteus aux réservoirs des laceurs spatiaux. Ces dispositifs sot de surcroît réalisables das des matériaux supracoducteurs classiques parfaitemet maîtrisé par l idustrie tel que le NbTi refroidi à 4,K. La méthode décrite das cette derière partie pour des lévitateurs d oxygèe peut parfaitemet être trasposée pour d autres fluides tels que l hydrogèe liquide ou l eau. Du fait de leur susceptibilité moidre, les résultats e terme de volume ou ihomogééité serot automatiquemet mois bos. Il serait certaiemet écessaire, pour réaliser de telles statios, d utiliser des supracoducteurs e Nb 3 S avec u refroidissemet plus importat à,8k, pour atteidre des iductios supérieures et aisi des volumes lévités, et ue homogééité de compesatio suffisammet itéressats. 50

153 Référeces bibliographiques : [ANG] Agot, A. Complémets de mathématiques à l usage des igéieurs de l électrotechique et des télécommuicatios, ISBN , 6ème éd., pp (98) [BEA] Beaugo, E ad Tourier, R. Levitatio of orgaic materials, Nature, 349, p470 (99) [BIR] Bird, M.D. et al. Special purpose high field resistive magets, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, 0,, pp45-454, (000) [BRO] Brooks, J.S. et al. Diamagetism ad magetic force: a ew laboratory for graular materials ad chaotic/determiistic dyamics, Physica B, 94-95, pp7-78 (00) [BRO] Brooks, J.S. et al. Dyamical behavior of graular matter i low gravity (diamagetic levitatio), Joural of magetism ad magetic materials, 6-30, pp (00) [CHA] Chatai, D. et al., Study of fluid behaviour uder gravity compesated by a magetic field, Microgravity Sciece ad Techology, 8, 3-4, pp96-99 (006) [COU] Coudercho, G., Alliages fer-ickel et fer-cobalt Propriétés magétiques, Scieces de l igéieur, D [DUR] Durad, E., Magétostatique, Tome I, Masso, Paris, p35 (968) [GAR] Garrett, M.W. Axially symmetric systems for geeratig ad measurig magetic fields, Joural of Applied Physics,, 9, pp09-07 (95) [GAR] Garrett, M.W. Thick cylidrical coil systems for strog magetic field with field or gradiet homogeeities of the 6th to 0th order, Joural of Applied Physics, 38, 6, pp (967) [HOA] Hoard, R.W. ad al. Field ehacemet of a.5-t maget usig holmium poles, IEEE Trasactios o Magetics,,, pp (985) [IKE] Ikezoe, Y. et al. Makig water levitate, Nature, 393, pp (998) [JEN] Jese, J. ad Mackitosh, A.R., Rare Earth Magetism: Structures ad Excitatios, Claredo press, Oxford, p57 (99) [KIT] Kitamura, N. ad al Glass spheres produced by magetic levitatio method, Joural of ocrystallie solids, 93-95, pp64-69 (00) [KIY] Kiyoshi, T. et al. Supercoductig magets for geeratig uiform magetic force field, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity, 9,, pp (999) [LOR] Lori, C. ad Mailfert, A. Magetic compesatio of gravity by usig supercoductig axisymmetric coils: Spherical Harmoics Method, IEEE/CSC & ESAS Europea Supercoductivity News Forum, No. 4, to appear i Joural of Physics: Coferece Series (008) [MAI] Mailfert, A. ad al., Supersatured sychroous machie descriptio ad modelisatio, Joural de Physique, 45, pp75-78, (984) [OVV] Vicet-Viry, O. ad al., Ferromagetic iserts foe magetic force field geeratio, IEEE Trasactios o Magetics, 40, 3, pp , (004) [OZA] Ozaki, O. et al. Desig study of supercoductig magets for uiform ad high magetic force field geeratio, IEEE Trasactios o Applied Supercoductivity,,, pp5-55, (00) [PIC] Pichavat, G. ad al. Magetic compesatio of gravity: experimets with oxyge, Microgravity Sciece ad Techology, (008) [QUE] Quettier L., Félice H., Mailfert A., Chatai D. ad Beyses D., Magetic compesatio of gravity forces i liquid/gas mixtures: surpassig itrisic limitatios of a supercoductig maget by usig ferromagetic iserts, Europea Physical Joural Applied Physics, vol. 3, pp , 005. [QUE] Quettier, L., Cotributio méthodologique à la coceptio de systèmes supracoducteurs de lévitatio magétique, Thèse INPL, (003) [RHO] Rhodes, B.L., Legvold, S. ad Speddig, F.H., Magetic Properties of Holmium ad Thulium Metals, Physical Review, 09, 5, pp , (958) [ROS] Rossi, L. ad Todesco, E., Electromagetic desig of supercoductig dipoles based o sector coils, Physical Reiew special topics accelerators ad beams, 0, 40 (007) [SCH] Schauer, W ad Aredt, F. Field ehacemet i supercoductig soleoids by Holmium flux cocetrators, Cryogeics, 3, 0, pp (983) [SCH] Schwerg, N. ad Volliger, C., Aalytical models for the calculatio of the iro yoke cotributio i supercoductig accelerator magets, Departmetal report CERN/AT (MCS), (007) [TOD] Todesco, E. ad al., Optimizatio of the eve ormal multipole compoets i the mai dipole of the large hadro collider, EPAC proceedigs, 3-7 Jue 00, La Villette, Paris, Frace. [TRE] Trémolet de Lacheisserie, E., Magétisme I, ISBN , EDP Scieces, p468 (000) [WUN] Wueberger, R. et al., Magetic compesatio of gravity forces i (-p) hydroge ear its critical poit: Applicatio to weightless coditios, Physical Review E, 6,, pp , (000) 5

154 Chapitre V : Compesatio magétique dyamique Sommaire V-) Compesatio magétique trasitoire : OLGA V-.) Iteractio mutuelle V-.) Dimesioemet d ue alimetatio spécifique V-.3) Qualificatio de l alimetatio Bouhik V-.4) Evolutio de la gravité résiduelle... 6 V-.5) Impact des madris et de la cellule V-.5.) Madris V-.5.) Cellule V-.5..) E cuivre V-.5..) E saphir V-.5..3) E iox V-.6) Coclusio de la sectio V V-) Trasitoire avec décompositio harmoique V-.) Deux harmoiques : géométrie cylidrique V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio exacte V-...) Modificatio de l harmoique Λ V-...) Modificatio de l harmoique Λ V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio variable... 7 V-...) Modificatio de l harmoique Λ... 7 V-...) Modificatio de l harmoique Λ... 7 V-.) Deux harmoiques : géométrie axisymétrique V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio exacte V-...) Modificatio de l harmoique C V-...) Modificatio de l harmoique C V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio variable V-...) Modificatio de l harmoique C V-...) Modificatio de l harmoique C V-...3) Modificatio simultaée des harmoiques V-.3) Coclusio de la sectio V Référeces bibliographiques :

155 Jusqu à préset, les expérieces de compesatio magétique de pesateur ot été réalisées de maière statique. Les expérimetateurs cherchet soit à accomplir la lévitatio d ue substace e compesat exactemet la pesateur, soit à obteir ue gravité apparete différete de celle existat sur la surface terrestre, par exemple ue gravité d eviro 0,38g ou 0,7g pour simuler le comportemet des matériaux respectivemet sur la plaète Mars ou au iveau de la surface sélèe [VAL]. Aucu travail a été réalisé pour simuler magétiquemet ue compesatio dyamique de la pesateur, c est à dire simuler par champs magétiques des phases d accélératio ou de décélératio au voisiage de la compesatio exacte. L objectif de ces simulatios, souhaitées par les CNES, est de compredre le comportemet de fluides iitialemet e état de microgravité et soumis à d ifimes variatios d accélératio das des egis spatiaux (respectivemet des fluides soumis à d ifimes décélératios et fialemet e état de microgravité). Ce chapitre est scidé e deux parties. La première cocere la faisabilité de telles expérimetatios au sei de la statio OLGA du Service des Basses Températures du CEA Greoble. Esuite ous examios de maière plus théorique la compesatio variable de gravité e ous appuyat sur la méthode géérale d expressio du vecteur G e foctio des harmoiques du champ magétique. 53

156 V-) Compesatio magétique trasitoire : OLGA La statio OLGA (Oxyge Low Gravity Apparatus), opératioelle, permet grâce à deux bobies supracoductrices e Nb-Ti coaxiales, de créer aisémet u gradiet suffisat pour susteter l oxygèe liquide (G = 8,6 T²/m à 90 K). Les bobies peuvet être alimetées e série ou idépedammet. Chacue des bobies peut effectuer seule la compesatio. Le dispositif expérimetal est costitué d u ati-cryostat das lequel est placée la cellule expérimetale coteat le fluide, d u bac d ijectio de O, d u cryostat coteat les bobies. La compesatio magétique variable recherchée cosiste à simuler le passage d ue fractio de g à zéro-g et vice-versa, et aisi de recréer les coditios d'evol, d'arrêt et de redémarrage des propulseurs das l espace, e faisat varier rapidemet la force magétique au moye de courats variables. La méthode choisie cosiste à alimeter la bobie extérieure d OLGA pour qu elle compese seule la gravité (courat écessaire d eviro 40A), la bobie itérieure état e même temps alimetée pour obteir ue accélératio résultate de -0,5g (courat d eviro 70A). O décharge cette derière bobie, de maière à ce que le liquide soit soumis e fi de décharge à l accélératio résultate de 0g doée par la seule bobie extérieure. L iteractio mutuelle des deux bobies costituat la statio OLGA est étudiée de maière aalytique et umérique. Les problèmes électrotechiques soulevés par la décharge trouvet ue solutio qui obéit aux coditios imposées, par le dimesioemet d ue alimetatio spécifique. Efi la modélisatio par élémets fiis du dispositif permet de prédire l évolutio de la gravité résiduelle et de so homogééité au sei de l échatillo d oxygèe liquide. V-.) Iteractio mutuelle O modélise das u premier temps le schéma électrique de la statio OLGA grâce au logiciel matlab simulik : - ibobext i + - Curret Measuremet - To Workspace surtesio v + - vbobext To Workspace ibobit To Workspace3 s + Cotrolled Curret Source R Bobie OLGA i + - Curret Measuremet s + Cotrolled Curret Source -C- Costat R Step + - v surtesio vbobit To Workspace4 Clock t To Workspace FIG.. Motage réalisé sous le logiciel matlab simulik 54

157 Ce schéma comporte deux sources de courat parfaites (cerclées de rouge Fig.), deux résistaces de décharge (vert) e parallèle sur les bobies itérieure et extérieure (bleu). Ces deux bobies, costitutives d OLGA, sot couplées par costructio par ue iductace mutuelle dot l importace est primordiale pour le foctioemet du dispositif e régime variable. L et L, R et R sot respectivemet les iductaces propres et les résistaces de décharge de la bobie itérieure et de la bobie extérieure. Les résultats sot comparés avec ceux obteus par u calcul aalytique classique, lequel tiet compte de l iteractio mutuelle des deux bobies. Les équatios du système s écrivet : di (t) di (t) M + L + R.i (t) = 0 dt dt (V-) di (t) di (t) M + L + R.(i (t) I ) = 0 dt dt (V-) 0 Soit sous forme matricielle : L M M. L d dt I I R = 0 0 I. R I 0 + R.I 0 (V-3) Cette équatio est de la forme : [ I ] A.I [ ] d dt = (V-4) La solutio est e expoetielle de matrice, il faut diagoaliser A grâce à ue matrice diagoale D, costituée des valeurs propres de A, et P costituée des vecteurs propres associés : I I = [ P] expm[ t D][ P] I I I 0 (V-5) O obtiet aisi les courats e foctio du temps. Pour obteir les tesios, il suffit de calculer la tesio sur la brache parallèle où se trouvet les résistaces de décharge, e teat compte de ce que l alimetatio du soléoïde itérieur est coupée et que celle du soléoïde extérieur fourit 40A. La figure doe les variatios de i (t) le courat das le soléoïde itérieur, de i (t) le courat das le soléoïde extérieur, de u (t) la tesio aux bores du soléoïde itérieur, et de u (t) la tesio aux bores du soléoïde extérieur. Les courbes obteues par calcul aalytique (rouges) et par simulatio (bleues) coïcidet parfaitemet. Ce résultat, d itérêt très secodaire pour otre étude, e costitue qu ue validatio du logiciel SIMULINK. 55

158 FIG.. Superpositio simulatio umérique et calcul aalytique La décharge e courat du soléoïde itérieur déped directemet de la valeur de la résistace de décharge R (circuit R-L) puisque l iductace propre de la bobie est fixée. Cette remarque est importate car das le cas de la coceptio d u bobiage dédié à la variatio temporelle où il faudra obteir u bobiage avec ue iductace propre faible. O souhaite cette décharge la plus rapide possible, doc R le plus grad possible (L/R miimum). Plus cette décharge est rapide (di/dt importat), plus la tesio apparaissat aux bores du soléoïde extérieur est importate. Cette surtesio se retrouve aux bores de R, et le courat de suritesité das le soléoïde extérieur varie e raiso iverse de R (la source de courat est cosidérée comme parfaite, doc toujours traversée par 40A). Das ces calculs, les valeurs des résistaces (R =0,5Ω et R =500Ω) ot été choisies pour satisfaire des critères pour le soléoïde extérieur de surtesio limitée (iférieure à 350 V, de fait 300 V après simulatio), et de suritesité limitée (iférieure à A), tout e coservat ue décharge rapide (iférieure à secodes) La valeur de surtesio de la bobie extérieure (300 V), si elle est iférieure à la valeur doée comme critique par les cocepteurs de la bobie, doit éamois être prise e cosidératio e raiso des risques qu elle peut préseter à l extérieur du cryostat pour les expérimetateurs. E outre, même si cette valeur est admissible au iveau de l isolatio de la bobie elle-même, ous avos pas d élémet pour juger de l apparitio évetuelle de décharges électriques das le système d ameée de courats (décharges de Pasche) La suritesité trasitoire qui est créée das le soléoïde extérieur va perturber légèremet (selo sa valeur) le gradiet créé. Pour u choix des résistaces comme celui préseté cidessus, les perturbatios sur le courat semblet acceptables puisque iférieures à A. Ce dimesioemet e tiet pas compte des phéomèes de quech (trasitio à l état o supracoducteur) des bobies, trasitios qui peuvet se produire lors des expérieces de 56

159 décharge. Néamois le quech de la bobie itérieure e devrait pas avoir lieu car le courat traversat celle-ci est éloigé du courat critique. Le quech de la bobie extérieure est égalemet peu probable puisque la suritesité das cette bobie est faible et que le courat iitial est très iférieur au courat critique. V-.) Dimesioemet d ue alimetatio spécifique Afi d éviter tous risques de surtesio excessive au momet d u évetuel quech, il a été décidé par les expérimetateurs de coserver e permaece ue résistace de décharge de Ω aux bores du soléoïde extérieur. Les détermiatios précédetes doivet doc être reprises avec les valeurs des paramètres qui figuret sur le schéma de la figure 3. Cette fois l alimetatio est régulée e courat de maière à maiteir costat le courat das le soléoïde extérieur au cours de la décharge du soléoïde itérieur (das le cas du paragraphe précédet, c est le courat das l alimetatio qui était supposé costat, le courat das le soléoïde variait trasitoiremet de 0,6 A «seulemet» e raiso de la valeur de 500 Ω de la résistace mise e parallèle) FIG. 3. Schéma du motage, idiquat le ses des courats L alimetatio du soléoïde extérieur est régulée de sorte que le courat I das ce soléoïde soit toujours costat, égal à 40A. L objectif est de calculer les différets courats i (t), i 0 (t), i(t) pedat la décharge du soléoïde itérieur. La décharge du soléoïde itérieur commece au temps t=0. O fera l hypothèse supplémetaire que l ouverture du circuit d alimetatio itérieur est istataée, sas arc i phéomèe trasitoire. Cette hypothèse, o physique das l absolu, e peut que surestimer la valeur du courat que doit fourir l alimetatio extérieure, sous réserve qu elle soit bie régulée. Les courats iitiaux i(t=0), i 0 (t=0), i (t=0) et I (t=0) sot respectivemet égaux à 40A, 0A, 70A et 40A. Les équatios du système sot maiteat : di di M. (t) L. (t) R.(I (t) i(t)) 0 dt + + dt = (V-6) di di L. (t) + M. (t) + R.i (t) = 0 (V-7) dt dt i + 0 (t) = i (t) I (t) (V-8) 57

160 elles se simplifiet e : di M. (t) R.i (t) = 0 dt 0 (V-6 ) di L. (t) + R.i (t) = 0 dt (V-7 ) i (t) = i (t) + I (V-8 ) 0 L équatio (V-7 ) fourit le courat i (t) : t L (t) = I.exp( ) avec τ = et I 70A R 0 = (V-9) i 0 τ O ijecte ce courat das l équatio (V-6 ) pour obteir i 0 (t) : R. M..exp( t L i (t) = I ) 0 0 avec τ = et I 70A L R τ R 0 = (V-0) L équatio (V-8 ) permet d obteir le courat fouri par l alimetatio i(t) : R. M..exp( t L i(t) = I I ) 0 avec τ =, I 70A L R τ R 0 = et I = 40A (V-) Avec les valeurs des paramètres fouries das le schéma précédet (Fig. 3), o obtiet la variatio du courat i(t) (Fig. 4). 50 courat traversat l'alimetatio i(t) courat e Ampères temps e secodes (déclechemet décélératio à t=s) FIG. 4. Courat à fourir par l alimetatio du soléoïde extérieur 58

161 O costate que le courat chage de sige au cours de so évolutio, doc l alimetatio correspodate devra être réversible e courat. Si l o souhaite éviter ce problème, il faut jouer sur les paramètres libres du motage, lesquels sot les deux résistaces. Les valeurs d iductaces propres et mutuelle sot figées, les courats I (compesatio exacte 0g) et I 0 (surcompesatio -0,5g) e peuvet pas o plus être modifiés. R I L Si o souhaite que le courat e chage pas de ses, il faut que : <. = R I M O souhaite ue décharge très rapide du soléoïde itérieur doc ue costate de temps la plus petite possible, c est-à-dire R ayat la plus grade valeur réalisable, d où R la plus grade égalemet. Si o souhaite pour des problèmes de surtesio lors d u quech limiter la valeur de la résistace R à Ω (la surtesio sera alors de 40 V pour le courat de 40 A), il faut que R soit de 0,375Ω. Cette valeur de la résistace R implique ue costate de temps d eviro 450ms au lieu de 340ms avec la valeur de 0,5Ω. Le temps de décharge à 99% passe de 5*340ms=,7s à 5*450ms=,5s. Das la figure 5, o fixe le rapport des résistaces R /R = 0,375 et o fait varier R. Les valeurs choisies pour R sot 0,55Ω (oir) puis 0,5Ω (vert), 0,4Ω (jaue), 0,375Ω (bleu) et 0,3Ω (rouge). Pour éviter l iversio du ses du courat, les valeurs correspodates de R sot respectivemet de,4ω,,34ω,,07ω, Ω et 0,8Ω. Les temps de décharge sot respectivemet de 34 ms, 340 ms, 45 ms, 454 ms et 567 ms courat traversat l'alimetatio i(t) 00 courat e Ampères temps e secodes (déclechemet décélératio à t=s) FIG. 5. Courat devat traverser l alimetatio selo les rapports de résistaces. 59

162 Remarque : Nos travaux estimat les possibilités de telles expérimetatios se sot limités au cas d ue alimetatio avec u temps de répose istataé et ue régulatio supposée parfaite. U travail plus approfodi a été réalisé par Daiel Commual du SBT/INAC où celui-ci cosidère u temps de répose de l alimetatio d ue vigtaie de millisecodes et ue régulatio à 30ms ou 60ms du courat das l alimetatio afi que le courat das le bobiage extere soit respectivemet stabilisé à 0,5% ou % près des 40A iitialemet souhaités [COM]. V-.3) Qualificatio de l alimetatio Bouhik Le CEA/SBT a passé commade d ue telle alimetatio à la société Bouhik. Le cahier des charges spécifie que la stabilité du courat das la bobie extérieure de la statio OLGA doit être iférieure à ±5.0-4, c'est-à-dire iférieure à ±0mA pour 40A, lors d u foctioemet e cotiu. Lors de la décharge de la bobie itérieure de 70A à 0A, la variatio de courat das la bobie extérieure doit être iférieure à 5.0-3, c'est-à-dire iférieure à,a pour 40A. Nous avos participé aux essais de qualificatio de l alimetatio lors de sa réceptio au SBT. Les essais ot été effectués au foctioemet omial correspodat à u courat de 40A das la bobie extérieure (stabilisé par l alimetatio Bouhik) et à ue décharge de 70A à 0A du courat das la bobie itérieure. Quatre gradeurs ot été relevées lors de ces maipulatios afi de vérifier si l alimetatio répodait au critères exigés (Fig. 6): -Le courat das la bobie extérieure : i (e A) -La tesio aux bores de l alimetatio Bouhik : -u (e V) -Le courat débité par l alimetatio Bouhik : i (e A) -L iductio e u poit de l axe magétique où celle-ci est maximale : B (e T) La décharge commece à t 0,50s (Fig. 6), l acquisitio des doées se fait sur ue période de 5s. D après les résultats théoriques précédets 99% de la décharge sot obteus après,57s. Les tracés sot aisi réalisés sur ue période de s. La stabilité e cotiu de l alimetatio est estimée e mesurat les variatios du courat das la bobie extérieure, i (t), das l itervalle de temps précédet la décharge. Les valeurs oscillet etre 39,75A et 39,88A, d où ue stabilité de ±, La stabilité e cotiu vérifie les spécificatios désirées. Lors de la décharge, le courat i (t) atteit ue valeur de 40,55A pour ue valeur iitiale de 39,80A, aisi la variatio est de l ordre de +3,.0-3. La stabilité e trasitoire vérifie égalemet les spécificatios souhaitées. Le courat débité par l alimetatio Bouhik, i(t), passe e égatif et atteit -70,8A. Ce courat avoisie les -80A théoriques (Fig. 4) que devrait délivrer ue alimetatio parfaite avec u temps de répose ul. Pour évaluer le temps de trasitio de T /m (= -0,5g) à 8T /m (= 0g), la mesure de l iductio e u poit de l axe magétique de OLGA a été effectuée. L iductio, B(t), varie de,94t à,64t avec ue costate de temps d eviro 370ms légèremet supérieure aux 340ms théoriques. 60

163 La tesio aux bores de l alimetatio Bouhik, -u (t), atteit -306V durat cet essai. Cette tesio est l iverse de celle aux bores de la bobie. Cette tesio est proche des -30V théoriques d ue alimetatio parfaite avec u temps de répose ul. FIG. 6. Relevés des gradeurs durat la décharge Remarque : Des problèmes a priori miimes sot ecore à résoudre car l alimetatio e fourit pas exactemet sa valeur de cosige. Par exemple, pour ue valeur de cosige de 40A l alimetatio fourit u courat de 39,80A alors qu elle devrait fourir ue valeur proche au dixième d ampère près. La stabilité autour de cette valeur est boe. A la fi de ces essais l alimetatio a été qualifiée. La stabilité e cotiu de l alimetatio est effectivemet iférieure à (±,7.0-4 ). La stabilité e trasitoire est correcte car iférieure à (3,.0-3 ). Ces essais permettet égalemet de motrer que l alimetatio est capable de fourir u courat de 40A et ue tesio de -306V. La costate de temps de la décharge est de 370ms, elle est légèremet supérieure au cas théorique (340ms). Aisi le temps de décharge à 95% (99%) est de,s (,74s), suffisammet court pour cadrer avec les spécificatios imposées par le CNES. V-.4) Evolutio de la gravité résiduelle De la partie précédete, ous déduisos que le courat das le soléoïde extérieur peut être cosidéré comme costat, et que le courat ijecté das le soléoïde itérieur peut être assimilé à ue simple décroissace expoetielle : 6

164 i (t) = I.exp( t ) avec τ L τ = R (V-) O peut doc maiteat évaluer la variatio au cours du temps des paramètres qui défiisset la compesatio de gravité, c'est-à-dire les valeurs du vecteur G et du vecteur ihomogééité ε. Les dimesios du porte-échatillo sot celles fixées par la figure 7. Le porte-échatillo est positioé sur l axe et sa hauteur est défiie de maière à ce que G soit maximum au cetre de la cellule et dirigé vers le haut (l oxygèe liquide LO est u paramagétique). Das cette géométrie axisymétrique, le vecteur ihomogééité possède ue composate logitudiale, otée ε z, et ue composate radiale, otée ε r. Au moye d u logiciel d élémets fiis, o peut détermier, à tout istat de la décharge, la valeur de l accélératio résultate et aisi l homogééité de la compesatio magétique das la cellule coteat l oxygèe liquide. Pour respecter précisémet la variatio d accélératio etre -0,5g et 0g (G =8,6T /m à 90K pour l oxygèe), avec le logiciel d élémets fiis utilisé o trouve qu il faut u courat I =37A das le soléoïde extérieur et u courat iitial I 0 =8A das le bobiage itérieur permettat la variatio d accélératio par sa décharge. FIG. 7. Géométrie de la statio OLGA d u poit de vue magétique Le tableau suivat motre l évolutio des ihomogééités au sei de la cellule lors de la décharge du soléoïde itérieur. La valeur otée G est prise au cetre de la cellule et o associe la valeur de l accélératio équivalete g*. Le temps t=0 correspod au début de la décharge : 6

165 G (T /m) g* Temps Valeurs extrêmes de ε z (%) Valeurs extrêmes de ε r (%),37-0,490g 0 ms [0,3 ; -,8] [0 ; -5,0],400-0,400g 8 ms [0,3 ; -,0] [0 ; -4,] 0,580-0,300g 75 ms [0,3 ; -,8] [0 ; -4,0] 9,74-0,00g 30 ms [0,3 ; -,6] [0 ; -4,0] 8,930-0,00g 545 ms [0, ; -,5] [0 ; -4,0] 8,75-0,00g 000 ms [0,3 ; -,3] [0 ; -3,9] Tableau I : Décroissace de l accélératio apparete et ihomogééité de celle-ci L ihomogééité logitudiale passe de 3,% à,6% durat la décharge ; quat à l ihomogééité radiale, elle reste d eviro 4%. O peut doc cosidérer les ihomogééités comme pratiquemet costates au cours de la décharge. La figure 8 représete, à différets istats de la décharge, les équipotetielles à l itérieur de la cellule destiée à coteir le fluide étudié. Ces tracés d équipotetielles, équiσ L, doet des reseigemets précis sur la répartitio des forces résiduaires. Les résultats motret clairemet que des perturbatios quat aux mouvemets du liquide sot à attedre de l évolutio des équipotetielles magéto-gravitatioelles au cours de la décharge. 0,5s s,5s s FIG. 8. Equipotetielles magéto-gravitatioelles durat la décharge au sei de la cellule de LO V-.5) Impact des madris et de la cellule Avat de réaliser ces simulatios quelques vérificatios s imposaiet. Effectivemet, u problème viet s ajouter lorsque l o effectue des expérieces comme celle-ci de compesatio magétique variable das le temps. La variatio de flux au sei de la bobie extérieure crée ue surtesio à ces bores, ce problème a été traité précédemmet. Mais toute partie coductrice, même passive tel qu u simple morceau de métal, sujette à cette variatio de flux va être parcourue par des courats créat u champ magétique s opposat à la variatio de flux. Nous allos aisi das cette partie évaluer l effet des deux pricipales parties coductrices au voisiage de l expériece que sot les madris, aidat au maitie 63

166 mécaique du dispositif, et bie évidemmet la cellule d oxygèe costituée schématiquemet et iitialemet de deux disques métalliques de cuivre et d u cylidre de saphir (Fig. 9)[PIC]. 36mm 30mm Cylidre e saphir Pla chauffat Échageur de chaleur FIG. 9. Cellule d oxygèe iitialemet coçue d u volume de 5cm 3 Les madris des bobies OLGA sot e iox dot la résistivité est de Ω.m (4,K), les deux parties pricipales du porte échatillo devaiet être réalisées, quat à elle, e cuivre avec ue résistivité de Ω.m (90K). V-.5.) Madris Du fait de leur résistivité élevée et de leur éloigemet les madris semblet avoir quasimet aucu impact sur la variatio temporelle de G sur l axe (Fig. 0). O costate u léger décalage das les premiers istats, avat la demi-secode, puis ue superpositio parfaite durat la suite de la décharge. O peut cosidérer que les perturbatios serot égligeables lors des expérieces. 64

167 FIG. 0. G sur l axe au cours du temps avec (rouge) et sas (oir) madris (Comsol Multiphysics ). Remarque : les simulatios umériques, pour observer l effet des madris, sot évidemmet réalisées sas le porte-échatillo. V-.5.) Cellule La cellule ou porte-échatillo devait être iitialemet coçu e cuivre. Or des courats de Foucault, dus à la variatio rapide de l iductio au sei du cuivre, iduiset des perturbatios sur G lesquelles pourraiet fausser le comportemet de LO das la cellule lors des maipulatios. Nous allos comparer au cours du temps, précisémet lors de la décharge du soléoïde extérieur, les valeurs de G sur l axe au sei de la cellule pour trois matériaux avec des résistivités différetes : Cuivre Ω.m Saphir >0 3 Ω.m Iox Ω.m (90K) (<770K) (4,K) Le saphir a été choisi parce que les courats de Foucault sot iexistats, du fait de sa faible coductivité, de plus le pourtour de la cellule est e saphir (Fig. 9), la dilatatio différetielle serait plus faible. Les madris e iox e perturbat quasimet pas le gradiet sur l axe, u essai a été réalisé avec ce matériau, les résultats sot d ailleurs assez cocluats (Fig. 4). Remarque : Pour les temps iférieurs au millième de secode l impact est pas égligeable pour l iox cotrairemet au saphir. Mais les costates de temps mécaiques devraiet être supérieures au millième de secode La simulatio est réalisée e déchargeat le courat selo l équatio (V-9), doc avec ue costate de temps d eviro 340ms, o représete sur le tracé 3D eviro 87% de la décharge c est à dire ue durée de 700ms (Fig. a, 3a et 4a). Quat aux tracés D, ils sot effectués à différets istats de la décharge, 0,0s (bleu focé), 0,0s (vert), 0,03s (rouge), 0,s (bleu turquoise), 0,5s (violet), 3s (jaue) (Fig. b, 3b et 4b). Ue figure explicative permet de mieux appréheder les graphiques 3D : 65

168 Écoulemet du temps de 0 à 0.7s s Norme de G (T /m) Axe de la cellule (36mm) m FIG.. Explicatio des axes des graphiques 3D des figures a, 3a et 4a. V-.5..) E cuivre Axe de la cellule (hauteur = 36mm) (a) (b) FIG.. Evolutio du gradiet au cours du temps sur l axe de la cellule e cotiu (a) et à différets istats (b) (0,0s (bleu focé), 0,0s (vert), 0,03s (rouge), 0,s (bleu turquoise), 0,5s (violet), 3s (jaue)), pour u porte-échatillo e cuivre L objectif de ces maipulatios est de passer d ue valeur de gradiet de T /m ( -0,5g) à 8T /m ( 0g), il apparaît ettemet que les courats iduits das les parties e cuivre de la cellule vot perturber de maière sigificative l évolutio du gradiet. L augmetatio du gradiet jusqu à presque 3T /m ( -3g) das la partie iférieure de la cellule alors que le gradiet das la partie supérieure de la cellule sera de -8T /m ( 3g) risque d egedrer u éclaboussemet au sei de cette derière. De plus la résistivité du cuivre choisie est celle coue à 90K, or elle est bie plus faible à 4,K, ce qui géérerait des courats ecore plus coséquets, d où des perturbatios plus importates! Les expérimetateurs ot doc décidé de costruire ue cellule das u autre matériau. 66

169 V-.5..) E saphir Axe de la cellule (hauteur = 36mm) (a) (b) FIG. 3. Evolutio du gradiet au cours du temps sur l axe de la cellule e cotiu (a) et à différets istats (b) (0,0s (bleu focé), 0,0s (vert), 0,03s (rouge), 0,s (bleu turquoise), 0,5s (violet), 3s (jaue)), pour u porte-échatillo e saphir L évolutio du gradiet semble idéale das la cellule. Mais le coût prohibitif du saphir red impossible la costructio d ue cellule réalisée etièremet das ce matériau. Nous ous sommes doc reportés sur u matériau mois coûteux et ayat ue résistivité, semble-t-il, aux vues des essais sur les madris, suffisammet forte pour éviter ces perturbatios : l iox. V-.5..3) E iox Axe de la cellule (hauteur = 36mm) (a) (b) FIG. 4. Evolutio du gradiet au cours du temps sur l axe de la cellule e cotiu (a) et à différets istats (b) (0,0s (bleu focé), 0,0s (vert), 0,03s (rouge), 0,s (bleu turquoise), 0,5s (violet), 3s (jaue)), pour u porte-échatillo e iox L évolutio du gradiet das la cellule semble très correcte avec ue cellule faite das cet iox. Il a doc été décidé par les expérimetateurs que la ouvelle cellule serait réalisée avec ce matériau. 67

170 V-.6) Coclusio de la sectio V- Cette partie permet de mettre e avat les poits délicats de ce type d expériece, où l o souhaite faire des compesatios magétiques partielles et dyamiques de la pesateur. Les problèmes de mutuelle iductace etre bobies ayat pas d importace e statique poset beaucoup de problèmes e régime variable. O s aperçoit que toute l électrotechique etourat les bobies OLGA joue u rôle cosidérable. Il faut de toute évidece posséder ue alimetatio régulée e courat pour atteidre l objectif fixé, qui est de passer de 0,5g à 0g e u temps de l ordre de quelques dixièmes de secode. Soit ue régulatio sur ue valeur fixe, comme présetée das ce rapport, soit ue régulatio sur le courat du soléoïde extérieur. Les régulatios doivet pouvoir aihiler au cours de la décharge la suritesité produite das le soléoïde extérieur par la mutuelle iductace avec ue variatio maximale de quelques dixièmes d Ampères. Au moye d u tel système, qui pourra être utilisé égalemet si l o souhaite simuler des cycles composés de variatios d accélératios, les campages d expérimetatio prévues au CEA/SBT devraiet permettre d observer et de compredre par des essais réalisés au sol les comportemets dyamiques et thermiques des fluides lors des phases de gravité variable recotrées das les laceurs spatiaux. Les problèmes occasioés par les courats variables e s arrêtet pas à l alimetatio, ils portet égalemet sur tous les courats de Foucault que les champs variables vot iduire das les parties métalliques de maitie mécaique, madris pour les bobies et porte échatillos pour la cellule de LO. Il apparaît que les madris des bobies OLGA ifluet pas de maière sigificative sur la variatio temporelle de G sur l axe. Rajoutos pour termier que les résultats théoriques obteue e utilisat du matériaux comme l acier ioxydable supposet que celui-ci soit parfaitemet amagétique. La sesibilité du vecteur G aux champs magétiques parasites coduit à s iterroger sur les propriétés effectives des matériaux employés. 68

171 V-) Trasitoire avec décompositio harmoique Das cette partie ous allos étudier le trasitoire à l aide des harmoiques du champ magétique. Les résultats, das le cas axisymétrique, peuvet être directemet trasposés à la statio de lévitatio dimesioée das le chapitre précédet puisque cette derière est coçue de sorte que chacu des harmoiques est créé par u bobiage dédié. Aisi faire varier la valeur d u harmoique reviet à modifier la valeur du courat das le bobiage e questio. Das ue première partie ous étudios les variatios lorsque seuls les deux premiers harmoiques sot utilisés. Nous effectuos ceci pour les deux types de géométrie, cylidrique et axisymétrique. L objectif est d observer l évolutio d ue zoe d homogééité détermiée pedat la variatio d u des deux harmoiques. V-.) Deux harmoiques : géométrie cylidrique Nous allos commecer, pour repredre le pla gééral de la thèse, par la géométrie cylidrique. La géométrie cosidérée est la même que celle du chapitre III, et l expressio du gradiet (III-) peut être exprimée sous la forme équivalete : v v v G= 8µ o Λ.(x.e + y.e ) + 4µ o Λ Λ.e (V-3) x y x La valeur du gradiet pour le poit de compesatio exacte vaut : v v G = 4.µo. Λ. Λ.e (V-4) x Nous allos das u premier temps observer l évolutio de la zoe de compesatio «exacte» au cours de la variatio de l u ou l autre des deux harmoiques. V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio exacte Le but est de coaître la forme de la zoe de lévitatio dot l ihomogééité est fixée par la orme du vecteur ε. Ce vecteur ihomogééité peut être exprimé sous la forme : v v G v ε = (V-5) 4µo e x. Λ Λ e rappelat que le vecteur e x correspod au vecteur uitaire défiissat la verticale ascedate. 69

172 V-...) Modificatio de l harmoique Λ Nous allos modifier la valeur de l harmoique Λ e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das u évetuel bobiage géérat l harmoique. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 8µ o Λ.(x.e + y.e ) + 4µ o k. Λ Λ.e (V-6) x y x et d après (V-5) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v Λ v Λ v ε = (k ) +.x.e +.y. e Λ x Λ y (V-7) Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élever au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : [ x x ] + y = R avec c x ( k). Λ = et c Λ R ε. Λ = (V-8). Λ O déduit de cette équatio que le cetre de compesatio exacte lorsque le coefficiet k= (aucue variatio de l harmoique Λ ) est le cetre du repère (0,0) et que la zoe de ε. Λ compesatio avec ue ihomogééité iférieure à ε décrit u disque de rayo R=. Λ Lorsque l o modifie la valeur du premier harmoique par u coefficiet k, le poit de compesatio exacte se décale liéairemet selo la verticale et pred pour coordoées (x c,0). Noobstat la zoe de compesatio reste circulaire et coserve ses dimesios. V-...) Modificatio de l harmoique Λ Nous allos modifier la valeur de l harmoique Λ e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das u évetuel bobiage géérat l harmoique. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 8µ o.k Λ.(x.e + y.e ) + 4µ o k. Λ Λ.e (V-9) x y x et d après (V-5) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v ε + k Λ v k Λ v = (k ) +.x.e.y.e Λ x Λ y (V-0) Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : 70

173 [ x x ] + y = R avec c x ( k). Λ = et c k Λ ε. Λ R= (V-) k. Λ Lorsque l o modifie la valeur du secod harmoique par u coefficiet k, le poit de compesatio exacte se décale selo la verticale et pred pour coordoées (x c,0). La forme de la zoe de compesatio coserve sa forme circulaire par cotre, cette fois-ci, la surface du disque de compesatio à ε% est divisée par u facteur k 4. Cette remarque est très importate, o pas directemet pour le trasitoire, mais das le cas d u dimesioemet de dispositif de lévitatio magétique. E effet, dimiuer la valeur du gradiet, même si cela décale le poit de compesatio exacte, permet d augmeter les dimesios de la zoe utile de lévitatio! V-..) Variatio de Λ ou Λ et évolutio de la zoe de compesatio variable L approche est différete de la précédete. Puisque ous faisos du trasitoire, l objectif est de faire varier la valeur du gradiet au cetre du dispositif au poit (0,0), poit de compesatio exact iitial. Nous regardos doc l évolutio de la zoe de compesatio réduite cetrée sur (0,0) et dot l ihomogééité est doée par la orme du vecteur ε. Il faut tout d abord repredre l expressio du gradiet G au cetre du dispositif (V-4) et voir so évolutio lorsque l u des deux harmoiques varie. Ceci est trivial, le gradiet varie liéairemet avec le coefficiet k : v v G = (V-) 4.µo.k. Λ. Λ. e x o va alors etrepredre la même démarche que précédemmet mais e coservat cette valeur de gradiet comme référece. Valeur de gradiet représetat la compesatio réduite. D ailleurs cette compesatio réduite est directemet proportioelle au coefficiet k. Aussi si le coefficiet k pred pour valeur 0,83 ou 0,6, o obtiet au cetre ue gravité apparetée respectivemet à celle de la Lue ou de Mars. L expressio du vecteur ihomogééité, qui e décrit plus la même chose que précédemmet, est doc modifiée selo le gradiet de référece choisi : v v G v ε = (V-3) 4µo e x.k. Λ Λ V-...) Modificatio de l harmoique Λ Nous allos doc modifier la valeur du premier harmoique seul e la multipliat par u coefficiet k représetat la variatio du courat das u évetuel bobiage spécifique à la productio de cet harmoique. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 8µ o Λ.(x.e + y.e ) + 4µ o k. Λ Λ.e (V-4) x y x 7

174 et d après (V-3) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v Λ v Λ ε = + v k. Λ (V-5).x.e.y. e x k. Λ y Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x + y = R avec ε.k. Λ R = (V-6). Λ Nous sommes doc bie situé au cetre, chose rassurate, puisque c est le but de cette partie. La surface du disque où la compesatio réduite est ihomogèe à ε% près est multipliée par le coefficiet k. Ceci sigifie que lorsque l o souhaite augmeter la force de compesatio magétique il vaut mieux le faire e augmetat l harmoique. V-...) Modificatio de l harmoique Λ Nous allos doc modifier la valeur du deuxième harmoique seul e la multipliat par u coefficiet k représetat la variatio du courat das u évetuel bobiage spécifique à la productio de cet harmoique. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 8µ o k Λ..(x.e + y.e ) + 4µ o k. Λ Λ.e (V-7) x y x et d après (V-3) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v.k. Λ v.k. Λ v ε = + Λ (V-8).x.e.y. e x Λ y Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x + y = R avec R ε. Λ = (V-9).k. Λ Nous sommes égalemet situé au cetre. La surface du disque où la compesatio réduite est ihomogèe à ε% près est divisée par le coefficiet k. Ceci sigifie que lorsque l o souhaite dimiuer la force de compesatio magétique il vaut mieux le faire e dimiuat l harmoique. 7

175 V-.) Deux harmoiques : géométrie axisymétrique Nous allos maiteat étudier la géométrie axisymétrique. Cette derière a déjà été défiie das la partie.) du chapitre IV. Le champ magétique (IV-3) est costitué uiquemet des deux premiers harmoiques, et s exprime e foctio des vecteurs uitaires e r et e θ : v C.P(cosθ).C.r.P (cosθ) (r, θ) = C.P (cosθ) C.r.P (cosθ) H (V-30) avec P (cosθ) = cosθ, ) P (cosθ) =.(3cos θ, P (cosθ) = siθ et P (cosθ) = 3siθ cosθ. O obtiet aisi facilemet le carré de l iductio magétique et so gradiet G que l o peut exprimer das e foctio des coordoées cartésiees : v v v G= 4µ o C C.e + 8µ o C.x.e + µ o C.y.e (V-3) x x y La valeur du gradiet pour le poit de compesatio exacte (IV-8) vaut : v v G = (V-3) 4.µo.C.C. e x Nous allos das u premier temps observer l évolutio de la zoe de compesatio «exacte» au cours de la variatio d u des deux harmoiques. V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio exacte Le but est de décrire la forme et la positio de la zoe de lévitatio dot l ihomogééité est fixée par la orme du vecteur ε. L ihomogééité s exprime selo l équatio (V-5) e remplaçat respectivemet Λ (Λ ) par C (C ). V-...) Modificatio de l harmoique C Nous allos modifier la valeur de l harmoique C e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das le bobiage géérat l harmoique de la statio LOLA par exemple. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 4µ o.k.c C.e + 8µ o C.x.e + µ o C.y.e (V-33) x x y et d après (V-5) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v C v C v ε = (k ) +.x.e +.y. e C x.c y (V-34) 73

176 Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x c = x b y + a avec a. ε.c =, C b ε.c = et.c x ( k).c = (V-35) c C O déduit de cette équatio que le cetre de compesatio exacte lorsque le coefficiet k= (aucue variatio de l harmoique Λ ) est le cetre du repère (0,0) et que la zoe de compesatio avec ue ihomogééité iférieure à ε décrit ue ellipse (ellipsoïde e 3D) de demi-petit axe b et de demi-grad axe a=4b, d où ue excetricité valat 5. 4 E 3D, l axe de symétrie état porté par l axe x, le troisième demi-axe est équivalet au demigrad axe a. Aisi, le volume de l ellipsoïde vaut 4 V = π.a b 3 Lorsque l o modifie la valeur du premier harmoique par u coefficiet k, le poit de compesatio exacte se décale liéairemet selo la verticale et pred pour coordoées (x c,0). Cepedat la forme de la zoe de compesatio coserve so aspect ellipsoïdal et ses dimesios. V-...) Modificatio de l harmoique C Nous allos modifier la valeur de l harmoique C e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das le bobiage géérat l harmoique de la statio LOLA par exemple. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 4µ o.k.c C.e + 8µ o.k.c.x.e + µ o.k.c.y.e (V-36) x x y et d après (V-5) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v.k.c v k.c v ε = (k ) +.x.e +.y.e C x.c y (V-37) Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x x b c = y + a avec a. ε.c =, k.c ε.c b= et.k.c x ( k).c = (V-38) c.k.c Lorsque l o modifie la valeur du secod harmoique par u coefficiet k, le poit de compesatio exacte se décale liéairemet selo la verticale et pred pour coordoées (x c,0). La forme de la zoe de compesatio coserve so aspect ellipsoïdal, mais ses dimesios chaget so volume est divisé par le coefficiet k 6. Aisi, si o dimiue le courat das le bobiage créat l harmoique, la zoe se décale effectivemet mais so volume croît ceci a pas été mis à profit das le dimesioemet de la statio LOLA. 74

177 Mais cette remarque, importate, peut être utile e vue du dimesioemet d u lévitateur magétique dédié à l hydrogèe liquide! V-..) Variatio de C ou C et évolutio de la zoe de compesatio variable Cette partie est utile pour compredre l évolutio de la zoe de gravité réduite au sei de la statio LOLA au cours de la décharge, par exemple, des bobiages créat l harmoique. Nous étudios les deux cas (variatio de C ou C ), mais das la réalité la décharge du bobiage géérat le secod harmoique, à la vue de ces dimesios moidre et doc d ue iductace propre mois importate, devrait se faire plus rapidemet. L expressio du gradiet dot ous allos suivre la distributio de l homogééité est celui situé au cetre (0,0) à l istat iitial. Ce derier, lorsqu o e fait varier qu u seul des deux harmoiques, est liéaire par rapport au coefficiet k, c est à dire par rapport au courat traversat tel ou tel bobiage : v v = 4.µo.k.C.C.e x (V-39) G L expressio de l ihomogééité est équivalete à l équatio (V-5) e remplaçat respectivemet Λ (Λ ) par C (C ). V-...) Modificatio de l harmoique C Nous allos modifier la valeur de l harmoique C e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das le bobiage géérat l harmoique de la statio LOLA. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 4µ o.k.c C.e + 8µ o C.x.e + µ o C.y.e (V-40) x x y et d après (V-3) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v C v C v ε = (V-4) k.c.x.e +.y. e x.k.c y Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x b y + = avec a a. ε..k.c =, C b ε..k.c = (V-4).C Le cetre de l ellipsoïde est bie évidemmet (0,0). La forme de la zoe de compesatio reste ellipsoïdale au cours de la décharge du bobiage créat l harmoique, mais so volume est multiplié par k 3. C est à dire qu il dimiue au cours de celle-ci puisque k, ou le courat, au choix, dimiue. 75

178 V-...) Modificatio de l harmoique C Nous allos modifier la valeur de l harmoique C e la multipliat par u coefficiet k, représetat, e quelque sorte, la variatio du courat das le bobiage géérat l harmoique de la statio LOLA. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 4µ o.k.c C.e + 8µ o.k.c.x.e + µ o.k.c.y.e (V-43) x x y et d après (V-3) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v kc v kc v ε = C (V-44).x.e +.y. e x C y Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x b y + = avec a a. ε..c =, k.c b ε..c = (V-45).k.C Le cetre de l ellipsoïde est bie évidemmet (0,0). La forme de la zoe de compesatio reste ellipsoïdale au cours de la décharge du bobiage créat l harmoique, de plus so volume est divisé par k 3. C est à dire qu il augmete au cours de celle-ci puisque k, ou le courat, au choix, dimiue. V-...3) Modificatio simultaée des harmoiques Nous allos modifier les valeurs des deux harmoiques C et C e les multipliat chacu par u coefficiet k, représetat la variatio du courat das l esemble des bobiages de la statio LOLA. Le gradiet G pred alors la forme suivate : v v v G= 4µ o.k.c C.e + 8µ o.k.c.x.e + µ o.k.c.y.e (V-46) x x y et d après (V-3) le vecteur ihomogééité ε celle-ci : v C v C v ε = (V-47) C.x.e +.y. e x C y Il suffit esuite de predre la orme du vecteur ihomogééité, otée ε, de l élevé au carré et de mettre l équatio sous forme réduite : x b y + = avec a a. ε..c =, C b ε..c = (V-48) C 76

179 Le cetre de l ellipsoïde est bie évidemmet (0,0). La forme de la zoe de compesatio reste ellipsoïdale et so volume à ihomogééité doée reste costat. V-.3) Coclusio de la sectio V- Cette partie permet de compredre e terme d homogééité, les possibilités offertes par ue statio de lévitatio magétique telle que celles dimesioées das cette thèse. Le découplage des harmoiques présete u itérêt cosidérable car il permet tout d abord d éviter tous les problèmes de mutuelle recotrés das la partie précédete. Et de plus les bobiages créat l harmoique peuvet, seuls, être déchargés pour simuler ue variatio d accélératio, aisi le temps de décharge est limité uiquemet par leur iductace propre, et o pas par l iductace propre du système global si l o devait décharger l esemble des bobiages. La décharge du bobiage géérat l harmoique permet de coserver ue ihomogééité iférieure (et même de l améliorer) à celle iitiale puisque le volume à ihomogééité doée varie comme l iverse du cube du courat traversat ces bobiages. Si o faisait varier les deux harmoiques simultaémet avec u même rapport le volume à ihomogééité doée resterait costat. E plus cette partie met e avat le fait que la dimiutio du courat traversat le bobiage dédié à l harmoique décale la zoe de lévitatio vers le haut, mais surtout que so volume à ihomogééité doée augmete comme l iverse du courat à la puissace 6! Cette remarque a pas été mise à profit pour la réalisatio d u lévitateur d oxygèe liquide. Mais elle devra être approfodie e vue du dimesioemet d ue statio dédiée à la lévitatio de l hydrogèe liquide. Si les expérimetateurs souhaitet faire des expérieces de microgravité variable proche du poit critique, il faut voir commet évoluet les équipotetielles magéto-gravitatioelles au cours du temps de décharge et cosidérat cette fois-ci les trois premiers harmoiques. Nous pouvos seulemet dire que les différetes cofiguratios obteues das cette thèse e particulier celles horizotale et verticale sot plus ou mois appropriées à différets types d expérieces. Partir d ue cofiguratio où les équipotetielles magéto-gravitatioelles sot des plas horizotaux évite a priori tous mouvemets de fluide au cours de la décharge. Par cotre si l o veut reproduire le comportemet d u fluide e apesateur das u réservoir, où les forces de capillarité l ot etraîé sur les bords du réservoir, et soumis esuite à ue accélératio, il semble plus itéressat de partir d ue cofiguratio verticale où le fluide est alors au poit de compesatio «exacte» réparti sur les bords de la cellule. 77

180 Référeces bibliographiques : [VAL] Valles J.M., Maris H.J., Seidel G.M., Tag J., Yao W. Magetic levitatio-based Martia ad Luar gravity simulator, Advaces i Space Research, 36, pp4-8 (005) [COM] Commual D., Chatai D., Cariteau B. Dimesioemet de l alimetatio électrique de la statio OLGA pour l étude de l oxygèe sous accéleratio variable magétique, SBT CT (007) [PIC] Pichavat G., Cariteau B., Chatai D., Nikolayev V., Beyses D. Magetic compesatio of gravity : experimets with oxyge, to appear i Microgravity Sciece ad Techology (008) 78

181 79

182 Coclusio et perspectives 80

183 Ce travail a permis u otable approfodissemet des approches théoriques de la lévitatio par champs magétiques. Nous motros par exemple, par l itroductio et l utilisatio approfodie du «potetiel magéto-gravitatioel» Σ L, que la détermiatio des cofiguratios de l iterface gaz/liquide de fluides près des coditios critiques est possible. Notre approche a aisi permis d iterpréter des expérieces effectuées atérieuremet sur l hydrogèe. Les iterfaces obteues lors de ces expérieces ot pu être retrouvées par le calcul de Σ L par élémets fiis. La prise e compte de ce potetiel magéto-gravitatioel est idispesable das tous les dispositifs de compesatio magétique de la pesateur sur des fluides. Ue méthode géérale d aalyse de la force magétique e terme d harmoiques de champs a esuite été développée. Cette méthode, dite géérale car elle peut être appliquée à tous types de géométries, est itéressate pour deux pricipales raisos : Elle permet de maîtriser et cotrôler les distributios de champs de forces magétiques et les équipotetielles magéto-gravitatioelles associées, par ajustemet des différets harmoiques. Il est aisi possible d obteir des distributios de champs magétiques répodat à des coditios particulières d homogééité de la compesatio magétique. Elle permet, d u poit de vue pratique, de s appuyer, pour la réalisatio de lévitateurs magétiques, sur les ombreux travaux cocerat d ue part la coceptio d aimats multipolaires d accélérateurs de particules (géométries «cylidriques») ou d autre part la coceptio de bobiages d IRM (géométries axisymétriques). Das ce travail de thèse la méthode d aalyse harmoique est appliquée aux géométries cylidrique et axisymétrique, c est à dire respectivemet ivariates par traslatio et rotatio. Das les deux géométries, il est motré que l utilisatio des trois premiers harmoiques de champ doe suffisammet de souplesse pour géérer les distributios de forces magétiques désirées. E effet les deux premiers harmoiques fixet à la fois la valeur de l iductio au cetre de la zoe de travail et la valeur du gradiet cotrebalaçat la gravité pour le matériau cosidéré. Puis, résultat ouveau que ous avos établi, u choix judicieux du troisième harmoique détermie la cofiguratio des forces résultates au sei de la zoe de travail où le fluide est mis e lévitatio. Aisi ue simple variatio de l amplitude de ce troisième harmoique permet le passage d ue cofiguratio spatiale de champ de force à ue autre. Pour le cas particulier d ue géométrie cylidrique, le travail soulige les effets du déphasage des trois premiers harmoiques, ce qui permet des dyamiques origiales des distributios de forces magétiques. Pour certaies de ces distributios, les potetiels magétiques complexes associés aux champs magétiques ot été idetifiés. Pour cette même géométrie, ous avos motré que l utilisatio des deux premiers harmoiques seuls permet la simulatio exacte au moye d expérieces statiques, au sol, du comportemet de fluides paramagétiques (oxygèe liquide) coteus das l espace (apesateur vraie) das des réservoirs e rotatio uiforme, avec u axe de rotatio évetuellemet hors de la zoe de travail. La mise e œuvre d u dispositif appliquat ce résultat semble techologiquemet accessible. U autre résultat étoat correspod à la compesatio exacte au sol de la pesateur, pour des fluides diamagétiques (hydrogèe liquide), au moye de forces magétiques associées à des forces cetrifuges dues à ue rotatio uiforme de la cellule coteat le fluide. Ce résultat permet d outrepasser le résultat théorique atérieur iterdisat au sol la compesatio magétique 8

184 parfaite de la pesateur das u domaie tridimesioel. Bie sûr la réalisatio pratique d u tel dispositif dyamique demadera quelques précautios. L applicatio de la méthode d aalyse harmoique à la géométrie axisymétrique a ameé au desig magétique d ue statio de lévitatio d oxygèe liquide, travail effectué pour le CEA Greoble et le CNES (statio LOLA). Les deux versios de cette statio présetées das ce mémoire permettet la lévitatio de volumes d oxygèe supérieurs au litre avec des ihomogééités iférieures au %. Elles permettet, e plus, grâce à ue coceptio particulière, la variatio spatiale mais égalemet temporelle du champ de forces magétiques. L utilisatio d iserts ferromagétiques e associatio des bobiages supracoducteurs est pas écessaire pour la lévitatio de fluides fortemet magétiques comme l oxygèe. Par cotre elle peut s avérer itéressate voire idispesable das le cas de fluides très faiblemet magétiques comme l hydrogèe, l eau ou l hélium. Les volumes lévités deveat très petits pour des ihomogééités de quelques %, l utilisatio de matériaux ferromagétiques saturés deviet meilleure e terme de desité de courat équivalete que celle de bobiages. L applicatio de la méthode d aalyse harmoique pour ce gere de dispositif avec isert a été effectuée das u cas particulier d isert, mais sa gééralisatio demade ecore beaucoup de travail. La réalisatio d ue statio de lévitatio d hydrogèe est actuellemet e cours d étude, elle demadera certaiemet l étude approfodie de cette problématique de l utilisatio ou o d isert. Notre travail a permis de mettre e évidece les poits délicats d expérieces de compesatio magétique dyamique ou partielle de la pesateur. Des expérieces e trasitoire simulat le passage de 0,5g à 0g sur de l oxygèe liquide devraiet être prochaiemet effectuées au CEA Greoble. Ces expérieces fot suite à l étude présetée das ce mauscrit sur la caractérisatio d ue alimetatio régulée e courat permettat d éviter les problèmes de surtesio dus aux mutuelles iductaces ihéretes à la costitutio des bobiages de la statio OLGA. Pour fiir, des possibilités de compesatio magétique variable sot étudiées à l aide de l aalyse harmoique. Ces possibilités peuvet être mises directemet e œuvre das les statios de lévitatio LOLA. Il sera itéressat de prologer cette étude e détermiat l évolutio des équipotetielles magétogravitatioelles e trasitoire. Bie que de ombreux poits aiet pu être éclaircis à propos de la compesatio magétique de pesateur et des distributios de champs associées, il reste à accomplir u travail importat de coceptio optimale des sources de champ. E effet les distributios de champs coduisat à des coditios de lévitatio détermiées sot maiteat coues, mais l optimisatio des bobiages de lévitateurs magétiques, foctio de critères écoomiques ou techologiques, reste ecore à accomplir. Reste égalemet e suspes l optimisatio des formes d iserts ferromagétiques pour améliorer les coditios de compesatio de la gravité pour des fluides faiblemet magétiques tels que l eau ou l hydrogèe. Des expérieces de covectio thermique de fluides soumis aux différets champs de forces défiis das cette thèse pourraiet être mises e œuvre, et coduire à d étoats comportemets de ces fluides. La prise e compte de la variatio avec la température de la susceptibilité des fluides paramagétiques (oxygèe) pourra égalemet être u sujet d étude et coduire, e cojoctio avec des champs de force bie défiis, à des expérieces ouvelles de trasfert thermique. 8

185 Efi, les résultats que ous avos obteus pourrot être utilisés pour créer des forces de diverses distributios sur des matériaux faiblemet magétiques (fluides ou graulaires par exemple) das d autres domaies que la compesatio magétique de pesateur, comme il est fait état das ce mauscrit à propos de la simulatio de rotatio e micropesateur de fluides paramagétiques. Rappelos e particulier que les techiques de séparatio magétique de matériaux graulaires utiliset des champs de force obéissat à la même équatio que celle que ous avos traitée tout au log de ce mémoire. L applicatio (et l extesio) de os résultats aux techiques de la séparatio magétique est doc u domaie à explorer. 83

186 84

187 85

188 Aexes 86

189 Aexe A 87

190 Aexe A : Oxygèe diphasique proche du poit critique et iterprétatio de l iterface e terme d équipotetiels magétogravitatioelles équiσ L au sei de OLGA Cette aexe a pour objectif d aticiper les expérieces sur l oxygèe proche de so poit critique programmées das la statio OLGA (Oxyge Low Gravity Apparatus) du Service des Basses Températures du CEA Greoble. Des maipulatios sur l oxygèe liquide ot déjà eu lieu permettat d obteir des résultats sur les différets régimes d ébullitio [PIC]. L oxygèe liquide e équilibre avec sa vapeur était alors à pressio atmosphérique et à ue température de 90K, avec u gradiet de 8T /m sous ces coditios. De prochaies expérieces vot être réalisées au sei de cette statio sur de l oxygèe proche de so poit critique, Pc=50,43 bar et Tc=54,6 K, avec u gradiet de T /m à cette température. Sur la figure suivate est décrit le bobiage de la statio OLGA avec la cellule d oxygèe liquide, la géométrie est axisymétrique. OLGA est costituée de madris (gris) assurat le soutie mécaique des bobiages supracoducteurs (saumo). La cellule d oxygèe est située das la partie iférieure du dispositif, car il est paramagétique. Elle a ue forme cylidrique de 30mm de diamètre et 36mm de hauteur, de même axe de révolutio que l axe magétique du soléoïde. Pour cette expériece, seule l utilisatio du bobiage extérieur de la bobie OLGA sera écessaire. Cette expériece ayat pas ecore eu lieu, o va estimer la desité de courat à 88

191 ijecter das ce bobiage afi d atteidre la compesatio exacte de pesateur au cetre de la cellule (T /m), et e déduire ue estimatio du courat d après les caractéristiques du bobiage. Pour u gradiet de 8T /m, la desité de courat écessaire était de 6,8A/mm das le bobiage. Or le vecteur G varie comme le carré du courat, la desité de courat écessaire à l obtetio de T /m est d eviro : 6.8* = 9.09A/mm 8 De plus, la bobie est costituée de 43 spires et a ue sectio rectagulaire de 599,4 cm. Le courat à ijecter est de l ordre de : *0 *599.4* = 77A Les simulatios umériques vot permettre d ajuster ces valeurs de courat et d aticiper l iterface gaz/liquide de l oxygèe lorsque la température est proche du poit critique. Il faut avat tout estimer égalemet das quelle gamme de température l utilisatio du potetiel Σ L est valable. Si o utilise la formule () du chapitre I, la température de l oxygèe durat ces expérieces devra être comprise etre T c et la température seuil T o : T T << c ( T T ) c 0 = T c βεgρ c L σ 0.4 où T c = 54,6K, β =,8 [WEB], σ 0 = 0,04N.m - [TAK], ρ c = 436,kg.m -3, L=cm, ε=%, g=9,8m.s - pour l oxygèe. Aisi les expérieces devrot être réalisées pour T c -T<<T c -56K. Les figures suivates représetet toutes les simulatios umériques pour u courat variat de 00A à 300A, la barre de couleur représete la valeur de la composate selo z du gradiet e T /m à l itérieur de la cellule. L axe de révolutio du système est situé sur la droite de chaque cellule. Quelques équipotetielles magéto-gravitatioelles sot tracées, celle devat porter l iterface gaz/liquide scide le volume de la cellule e deux parties égales (V g /V l =). 89

192 L effet du champ magétique est visuellemet imperceptible jusqu à eviro 00A. La partie liquide de l oxygèe se trouve vers le bas et le gaz au dessus, puis les équiσ L semblet s icurver de plus e plus vers le bas, c est à dire que le liquide semble moter le log des parois, pour esuite predre ue forme ovoïde aux aletours de 75A au momet où le poit de compesatio exacte (Gz=T /m) arrive par le haut au sei de la cellule. Le volume de gaz état le même que le volume de liquide à proximité du poit critique, il apparaît pas immédiatemet ue bulle de gaz mais plutôt ue lague de gaz partat de la partie supérieure de la cellule. Le poit de compesatio se décalat vers le bas de la cellule, les équiσ L fot de même e ayat ue forme ovoïde de plus e plus sphérique, o peut à ce momet supposer que la bulle de gaz est formée. 90

193 Pour u courat de 78A, le poit de compesatio exacte est situé au cetre de la cellule avec des équiσ L presque sphériques. Puis e augmetat le courat le poit de compesatio cotiue de descedre suivat l axe de la cellule et la forme des équiσ L s aplatit de plus e plus, la bulle de gaz peut évetuellemet toucher les bords latéraux de la cellule. Aux aletours de 85A, il y a surcompesatio e chaque poit de la cellule. L augmetatio du courat etraîe u aplaissemet des Σ L, o reviet au cas iitial sauf que le haut de la cellule est deveu le bas et vice versa. [PIC] Pichavat G., Cariteau B., Chatai D., Nikolayev V., Beyses D., Magetic compesatio of gravity: experimets with oxyge, to appear i Microgravity Scieces ad Techology (008) [TAK] Takeda M., Nishigaki K., Measuremets of the surface tesio of liquid oxyge i high magetic fields, Joural of the Physical Society of Japa, 6, 0, pp , (99) [WEB] Weber L.A., A modified beedict-webb-rubi equatio of state for gaseous ad liquid oxyge, NASA ceter report NASA-CR-5786, (978). 9

194 Aexe B 9

195 Aexe B : Expressio du gradiet à l itérieur d u sphéroïde (ellipsoïde de révolutio) allogé e foctio des harmoiques sphéroïdaux. ) Le système de coordoées : Nous devos d abord défiir les coordoées (µ,ν,ϕ) que ous utilisos (Fig. ) [DUR]. Ces coordoées sot dites sphéroïdales allogées. FIG.. Coordoées sphéroïdales et coordoées cartésiees Les coordoées cartésiees s exprimet e foctio des coordoées sphéroïdales de la maière suivate : x= c. ( µ ).( ν ).cosϕ y= c. ( µ ).( ν ).siϕ z= c. µ.. ν où c est la distace etre le cetre et u foyer (c = OF), si a et b sot respectivemet les demipetit et demi-grad axes alors c = b a. Les iso-µ sot des ellipsoïdes de révolutio (sphéroïdes) et les iso-ν sot des hyperboloïdes à ue appe. Les iso-µ et les iso-ν sot cofocales. ) L expressio du champ magétique et du gradiet : 93

196 L expressio mathématique du potetiel scalaire vérifiat l équatio de Laplace e coordoées sphéroïdales allogées e dehors de tout courat est : m m m m [ A.P ( µ ) + B.Q ( µ )* ] [ A'.P ( ν) + B'.Q ( ν)* ] [ C.si(mϕ) D.si(mϕ) ] V( µ, νϕ, ) + = = 0 m= 0 Ce potetiel scalaire peut être gééré par ue appe de courat répartie sur u ellipsoïde de valeur µ=µ. E cosidérat les coditios aux limites (µ= ( Q m ()= ) et µ ( P m ( )= )), le potetiel scalaire pred ue forme différete de part et d'autre de l ellipsoïde µ=µ parcouru par les courats surfaciques. De plus otre système est ivariat par rotatio doc m=0 das l expressio précédete. Le potetiel scalaire itérieur s exprime à l aide des polyômes de 0 Legedre d ordre 0 et de degré, P (.) = P (.). Quat au potetiel extérieur il s exprime e plus 0 à l aide des polyômes de Legedre de deuxième espèce Q (.) Q (.) =. V V it ext = =0 = =0 E.P ( µ ).P ( ν) E'.Q ( µ ).P ( ν) D où le champ magétique qui dérive de ces potetiels : H it c. ( µν, ) = c. E.P ( µ ).P ( ν) µ ν E.P ( µ ).P ( ν) µ ν H ext E'.Q ( µ ).P ( ν) c. µ ν ( µν, ) = E'.Q ( µ ).P ( ν) c. µ ν O peut à partir du champ obteir facilemet la orme du carré de l iductio magétique : B = + µ 0 ( µ, ν). E.P ( µ ).P ( ν). E.P ( µ ).P ( ν) p p p E.P ( µ ).P ( ν). E c. µ ν = p= = p=.p ( µ ).P ( ν p p ) it p D où o dire l expressio u peu lourde du gradiet G : 94

197 95 p p p p p p p p p p p p p p p p 3 3 ) ).P (.P ( E.. ) ( ).P.P ( E. ).( ) ).P ( (.P E ). ( ).P.P ( E ) ( ).P.P ( E ). ( ).P.P ( E ) ( ).P.P ( E.. ) ).P (.P ( E. ).( ) ( ).P.P ( E ). ( ).P.P ( E ) ).P (.P ( E ). ).P ( (.P E. c o ), G( = = = = = = = = = = = = = ν µ ν ν ν µ ν µ ν ν µ ν µ ν µ ν µ ν µ µ µ ν µ µ ν µ ν µ ν µ ν µ ν µ µ µν v où ν µ = Le gradiet sur l axe etre les deux foyers G(µ=, ν) a ue expressio beaucoup plus simple : ν ν ν ν µ ν µ e ). (.P E ). (.P E. ).( c o ), G( p p p 3/ 3 v v = = = = 3) L expressio du courat superficiel La cotiuité de la composate ormale e µ=µ où se trouve la appe de courat doe : ) Q ( ) P ( E. E' µ µ = La appe de courat peut être obteue à partir des composates tagetielles du champ, o obtiet aisi : ϕ ν µ ν µ µ ν µ e. ) P (. ). Q (. c K ), ( K = 4) Les tracés aalytiques Les tracés ot été réalisés e fixat au cetre du système ue iductio B =0T et u gradiet G =8T /m. Le sphéroïde sur lequel est réparti le courat possède u demi grad axe b=50cm et u demi petit a=5cm, c est à dire sur l iso-µ=µ où a b b = = µ. La distace etre l origie et u foyer de ce sphéroïde vaut cm b c = = µ. Nous avos cherché à obteir u vecteur accélératio résultate le plus homogèe possible suivat l axe z, c est à dire suivat µ=. Le vecteur G obteu est aisi le plus costat possible suivat l axe vertical (Fig. ). Cette coditio se traduit par l aulatio des dérivées -ièmes de G r (r,0) par rapport à «r» e r=0 :

198 N, Gν (, ν) = 0 ν ν = 0 Mais lorsque l o effectue ce calcul, cotrairemet aux cas des coordoées cylidriques ou sphériques, le système obteu est pas triagulaire. C est à dire que e peut pas obteir la valeur exacte d u harmoique si o e va pas jusqu à l ifii. Preos u exemple simple pour illustrer ceci. O travaille tout d abord avec u gradiet costitué des deux premiers harmoiques ( icoues K et K ), ous cherchos à avoir B =0T au cetre et G =8T /m au cetre ( équatios), si l o résout : B.c = et µo K K G.c = 6.µo. B Si maiteat le gradiet est costitué des trois premiers harmoiques (3 icoues K, K et K 3 ) et que l o cherche à obteir les mêmes valeurs au cetre d iductio et de gradiet mais qu e plus la dérivée première du gradiet soit ulle au cetre (3 équatios), o obtiet : c( G.c + 40B ) =, 40B µo K 3 4 K G.c 6.µo. B = et 3 G.c K3 = 3 60.B.µo La valeur de l harmoique a été modifiée, le système état pas triagulaire. Nous avos pas pu défiir les harmoiques de maière exacte. Traços tout de même le gradiet sur l axe µ=, lorsque le gradiet est respectivemet costitué de, 3, 4 et 5 harmoiques. O fourit égalemet la valeur des harmoiques pour les deux deriers cas : -Pour le cas où le gradiet est costitué de 4 harmoiques, leurs valeurs sot : c( G.c + 40B ) =, 40B µo K 3 4 G.c.(56B + 3G.c ) =, 336.B.µo K 5 4 G.c 3 = et G.c K = B.µo 80B. µo K 3 -Pour le cas où le gradiet est costitué de 5 harmoiques, leurs valeurs sot : 4 c(5g c + G c B 4480B ) =, 4480B µo K 7 4 4, 8 4 K G.c G c K = et K B.µo = 008B G.c.(56B + 3G.c ) =, 336.B.µo.µo 3 3 G.c.(5G K = B 3 4.c + 4B µo 4 ) 96

199 (a) (b) FIG.. Tracés du gradiet sur l axe vertical etre les deux foyers pour (a) harmoiques et (b) 3 harmoiques. (a) (b) FIG. 3. Tracés du gradiet sur l axe vertical etre les deux foyers pour (a) 4 harmoiques et (b) 5 harmoiques. O s aperçoit que la méthode foctioe correctemet, et que le gradiet obteu est de plus e plus costat suivat l axe µ= lorsqu o augmete le ombre d harmoiques. 5) Les simulatios umériques Nous avos sur u sphéroïde, de mêmes dimesios que précédemmet, réparti ue distributio de courat troquée au sixième harmoique. Nous avos das u premier temps tracé le gradiet suivat l axe vertical. Les foyers se trouvet respectivemet à 43,3cm et 43,3cm, c est à dire que les extrémités du tracé e sot pas comprises sur l axe µ= mais sur les axes ν=- et ν= (Fig. ). 97

200 O s aperçoit que les résultats sot faux et fortemet dégradés par rapport à ceux que l o a obteus par calcul aalytique. Nous avos tout de même tracé le vecteur ihomogééité et sa orme au sei du sphéroïde aisi que les équipotetielles magéto-gravitatioelles : O aurait pu s attedre à obteir des équipotetielles magéto-gravitatioelles verticales, il est étoat qu elles soiet plus ou mois circulaires. Nous avos pas pu iterpréter et expliquer ces différeces. [DUR] : E. Durad, Electrostatique, Tome II, MASSON et C IE, pp , (966) 98

201 Aexe C 99

202 Aexe C : Problème de coceptio et modificatio de la décompositio harmoique Pour le projet LOLA ue étude du décalage des blocs a été ébauchée. U bloc représete la sectio des soléoïdes du dispositif das u pla coteat l axe magétique. La lige témoi du tableau fourit le coteu harmoique «idéal» du système o décalé. La valeur de «k» déped de la cofiguratio d accélératio résultate désirée. Les autres liges fourisset l écart par rapport à la valeur témoi (c est à dire le coteu harmoique des bobies d épaisseur δ R respectivemet δ Z de la Fig. 36 chapitre III). (k=0, ou 0,5 ou 0,75 respectivemet pour les cas horizotal, sphérique ou vertical): C (A) C (A/m) C3 (A/m ) C4 (A/m 3 ) C5 (A/m 4 ) C6 (A/m 5 ) Témoi *k -9639*k -6865*k Bloc δ R =5mm 7504 (0,8%) -337 (0,64%) (76%) (907%) (35%) (0,3%) Bloc δ R =mm 5 (0,04%) -563 (0,%) -093 (35%) (83%) (67%) (,34%) Bloc δ R =00µm 53 (0,004%) -54 (0,0%) -09 (3,5%) -344 (8,3%) -605 (6,8%) (0,4%) Bloc δ z =mm -3 (0,08%) (,6%) (34%) 60 (8,7%) (63%) (,5%) Bloc δ z =00µm -33 (0,008%) -768 (0,6%) -063 (3,4%) 75 (0,94%) 565 (6,3%) 7890 (,5%) Bloc 4 δ R =5mm 477 (0,0%) -055 (0,43%) -655 (%) -834 (44,6%) 70 (0,79%) 5050 (,76%) Bloc 4 δ R =00µm 9 (0,0003%) -40 (0,008%) -3 (0,4%) -7 (0,9%) 8 (0,009%) 50 (0,035%) Bloc 4 δ z =5mm -398 (0,06%) -397 (0,68%) -78 (0,9%) 9068 (48,7%) 06 (4%) 70 (,49%) Bloc 4 δ z =00µm -49 (0,00%) -66 (0,03%) -4 (0,03%) 86 (%) 47 (0,48%) 40 (0,03%) Bloc 6 δ R =5mm -86*k (0,00%*k) 7*k (0,0035%*k) 603*k (5,5%*k) 993*k (49,3%*k) 9768*k (33%*k) 430*k (,89%*k) Bloc 6 δ R =00µm -,8*k 0,06*k 3*k (0,%*k) 87*k (%*k) 68*k (0,7%*k) 97*k (0,068%*k) Bloc 6 δ z =5mm 60*k (0,004%*k) 708*k (0,5%*k) 896*k (6,%*k) 035*k (5,6%*k) -030*k (,8%*k) -3038*k (9,5%*k) Bloc 6 δ z =00µm 3,*k 4*k 38*k (0,%*k) 6*k (0,086%*k) -445*k (0,5%*k) -768*k (0,9%*k) 00

203 Aexe D 0

204 Aexe D : Effets des problèmes de coceptio sur la taille de la zoe de lévitatio à % Nous allos décaler certais des blocs costituat le dispositif LOLA et observer les effets produits sur la zoe de travail à %. Le décalage s effectuera suivat le rayo (R+δ R ) ou la hauteur (z+δ z ) avec différetes amplitudes. Le rectagle représete ue sectio de hauteur 30 cm de l aticryostat de,5 cm de rayo. E violet est représetée la zoe à % et e bleu la zoe à. L axe de révolutio du système est situé sur la gauche des figures. Témoi k=0, k=0,5 k=0,75 Bloc δ R =5mm 0

205 Bloc δ R =mm Bloc δ z =mm (δ z = 5mm, la zoe de travail disparaît totalemet) Bloc 6 δ R =5mm 03

206 Bloc 6 δ z =5mm Bloc 4 δ R =5mm Bloc 4 δ z =5mm 04

207 Décalage de 00µm de maière erratique des blocs du dispositif (δ R =±00µm et δ z =±00µm pour chacu des blocs) La derière lige du tableau présete la zoe utile lorsque les blocs sot placés avec ue précisio de 00µm (e hauteur et e rayo). Le volume de la cellule de forme cylidrique coteue das la zoe utile à % est respectivemet pour k=0, ; k=0,5 et k=0,75 de,76l,,43l et L volumes à comparer au cas idéal,47l ;,6L et,78l. O peut cosidérer que le système est pas trop dégradé car les volumes restet supérieurs au litre désiré. 05

208 Aexe E 06

209 Aexe E : Décompositio du sous-esemble créat le champ dipolaire U programme Maple de décompositio e harmoiques zoaux est fourit das cette aexe. Il décompose u dispositif costitué de trois soléoïdes. Les dimesios de ce dispositif sot obteues à partir de l article de M.W. Garett de 967 paru das Joural of Applied Physics ititulé «Thick cylidrical coil systems for strog magetic fields with field or gradiet homogeeities of the 6th to 0th order», e choisissat les valeurs de la desité de courat et de l iductio au cetre du système. Il doit permettre d obteir u champ magétique costat au sixième ordre près. Programme commeté : Iitialisatio des variables restart; Choix du domaie de défiitio des polyômes de Legedre _EvLegedreCut :=..ifiity: P:=(,x)->LegedreP(,0,x): O détermie le rag N auquel se termiera la décompositio harmoique N:=6: La desité de courat ijecté das chacu des bobiages J0:=-60e6: O fixe le ombre total de soléoïdes du système b_tot. La variable b_sup représete le ombre de soléoïdes das la partie supérieure du dispositif (etre 0 et Pi/), ici puisqu'il y a trois soléoïdes dot u cetral, b_sup=. b_tot:=3: b_sup:=: O défiit les polyômes de Legedre d'ordre et de degré for i from to N do P[,i]:=uapply(expad((si(theta)*diff(simplify(LegedreP(i,0,cos(theta))),theta))),theta); ed do: Ici sot défiies les valeurs e rapport avec l'article de M. W. Garett, les dimesios das cet article sot réduites par ue logueur ro qui est défiie e foctio de l'iductio B et de la desité de courat J. B:=5: J:=60e6: r0:=4.9086*b/(4* *e-7*j): r:=0.7775: D:=0.5*r0: B:=0.508*r0: D:=0.8887*0.5^*r0: B:=0.7600*r0: Z:=0.5*0.7600*r0: Z:=.84*r0: A:= *r0: A:=r0: Défiitios à partir des valeurs précédetes du positioemet rayo r et hauteur z, et de la géométrie du soléoïde épaisseur W et hauteur H (fig. 3 chapitre III) des parties supérieures 07

210 et iférieures du dispositif (respectivemet les bobies Bab et Bab3 du chapitre III sectio 3.3.) r(,):=evalf(a-d/,'4'); r(,):=evalf(a-d/,'4'): z(,):=evalf(z-b/,'4'); z(,):=evalf(z-b/,'4'): W(,):=evalf(D,'4'); W(,):=evalf(D,'4'): H(,):=evalf(B,'4'); H(,):=evalf(B,'4'): Partie cetrale du dispositif (Bab chapitre III sectio 3.3.) HH:=evalf(*B,'4'); Rit:=evalf(A-D/,'4'); Rext:=evalf(A+D/,'4'); Ra:=sqrt(Rit^+HH^/4): Rb:=sqrt(Rext^+HH^/4): r (, ) := 0.44 z (, ) := W (, ) := 0.68 H (, ) := HH := Rit := 0.68 Rext := Défiitios des rayos utilisés par la suite pour calculer les agles permettat de décomposer le dispositif e harmoiques sphériques (zoaux) for i from to *b_sup do R(i,):=sqrt(r(i,)^+z(i,)^): R(i,):=sqrt(r(i,)^+(z(i,)+H(i,))^): R3(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+z(i,)^): R4(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+(z(i,)+H(i,))^): ed do: Calcul des agles limites pour les soléoïdes Bab et Bab3 (cf. aexe "Décompositio harmoique d u soléoïde à sectio rectagulaire suivat u poit de so axe de symétrie."). La décompositio est calculée à partir de ces agles. for i from to b_sup do alpha[i]:=arcsi(r(i,)/ro); beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do 08

211 alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: for i from to b_sup do alphabis[i]:=arcsi(r(i,)/ro); betabis[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alphabis[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); betabis[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha3[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); beta3[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha3[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); beta3[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: Calcul des agles pour le soléoïde cetral thetaa:=arcsi(rit/ro): thetab:=pi/: thetaa:=arccos(hh/(*ro)): thetab:=pi/: thetabisa:=arcsi(rit/ro): thetabisb:=arcsi(rext/ro): theta3a:=arccos(hh/(*ro)): theta3b:=arcsi(rext/ro): O crée la décompositio pour u soléoïde de la foctio créeau du courat, il y a ue valeur du coefficiet "b" différete selo les domaies R R (R R3) ou R R3 (R3 R) ou R3 R4 (R R4) si R<R3 (R3<R) d'où les valeurs de b, b et b3. b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): bbis:=(,i) -> it(p[,](x),x=alphabis[i]..betabis[i]): b3:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha3[i]..beta3[i]): Du fait de la symétrie du soléoïde cetral certaies simplificatios das la décompositio harmoique peuvet être faites. for p from 0 to N do bc[*p]:=0; bc[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetaa..thetab); ed do: for p from 0 to N do bc[*p]:=0; bc[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetaa..thetab); ed do: for p from 0 to N do bcbis[*p]:=0; bcbis[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetabisa..thetabisb); ed do: for p from 0 to N do bc3[*p]:=0; 09

212 bc3[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=theta3a..theta3b); ed do: O va esuite itégrer selo le rayo Ro, il y a ue coditio car le calcul se fait différemmet si R<R3 que si R>R3, il existe u b et u bbis. for from to N do for i from to *b_sup do if (R(i,) < R3(i,)) the DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R(i,))+it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R4(i,)))/(*); else DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(bbis(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R4(i,)))/(*); ed if; ed do; Pour le soléoïde cetral, la coditio est différete, elle déped de Ra et Rext (cf. aexe «Décompositio harmoique d u soléoïde à sectio rectagulaire suivat u poit de so axe de symétrie.») if(rext > Ra) the DD(,b_tot):=(it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Rit..Ra)+it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Ra..Rext)+it(bc3[]/Ro^(-),Ro=Rext..Rb))/(*); else DD(,b_tot):=(it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Rit..Rext)+it(bcbis[]/Ro^(- ),Ro=Rext..Ra)+it(bc3[]/Ro^(-),Ro=Ra..Rb))/(*); ed if; ed do; Matrice fourissat l'amplitude des N=6 premiers harmoiques zoaux (liges) des trois soléoïdes (coloes) aux courats près. Mat:=Matrix(N,b_tot,DD); Mat := O crée le vecteur courat (valeur de la desité das les trois soléoïdes) 60 A/mm. jj:=(i)-> J0; JJJ:= Matrix(b_tot,,jj); jj := i J JJJ :=

213 Obtetio des N=6 premiers coefficiets C, C, C3, C4, C5 et C6 pour le sous-esemble B: with(liearalgebra): CCobteu:=evalf(Mat.JJJ,'6'); Vérificatio de la valeur de l'iductio au cetre du dispositif (B=µo*C): Bcetre:=(4*evalf(Pi,'7')*e-7)*CCobteu[,]; CCobteu := Bcetre :=

214 Aexe F

215 Aexe F : Dimesioemet du sousesemble créat le champ quadrupolaire Ce programme Maple permet de dimesioer u dispositif géérat u champ quadrupolaire costat au 6 ème ordre près à partir d u esemble de six soléoïdes à sectio rectagulaire. Programme commeté Iitialisatio de toutes les variables restart; Domaie de défiitio polyômes de Legedre _EvLegedreCut :=..ifiity: P:=(,x)->LegedreP(,0,x): O se fixe b_tot le ombre de soléoïdes = 6 (car o utilise trois paires de soléoïdes) et le ombre d'harmoique N=6 de la décompositio. N:=6: b_tot:=6: b_sup:=3: O défiit le polyôme P (cosθ) = P,i(theta) à partir de P 0 (cosθ) =LegedreP(i,0,cosθ). i i for i from to N do P[,i]:=uapply(expad((si(theta)*diff(simplify(LegedreP(i,0,cos(theta))),theta))),theta); ed do: O etre les valeurs des différets rayos de chacu des soléoïdes (ceux-ci sot détermiés après plusieurs essais de maière à ce que le système obteu ait des dimesios réalisables pratiquemet, et que les harmoiques de rags supérieurs au 6 ème lévitatio). r(,):=0.4; r(,):=0.48; r(3,):=0.4; r(4,):=r(3,): r(5,):=r(,): r(6,):=r(,): r (, ) := 0.4 r (, ) := 0.48 r ( 3, ) := 0.4 e perturbet pas la E foctio du rayo r o coaît la hauteur z des soléoïdes (fig. chapitre III), ce rapport est calculé de sorte que si les soléoïdes étaiet des spires filiformes, les paires de soléoïdes Bab4 Bab9 et Bab6 Bab7 e créet pas d'harmoique 6 et que la paire de soléoïdes Bab5 Bab8 e crée pas d'harmoique 4 (cf chapitre III) evalf(r(,)*((sqrt(sqrt(5)+5)/4)),'5'); z(,):=0.38; evalf(r(,)*sqrt(3/4),'5'); z(,):=0.457; evalf(r(3,)*((sqrt(-sqrt(5)+5)/4)),'5'); z(3,):=0.5; 3

216 z(4,):=z(3,): z(5,):=z(,): z(6,):=z(,): z (, ) := z (, ) := z ( 3, ) := 0.5 Epaisseurs des différets soléoïdes, ajustées e foctio de la desité de courat désirée (ici 60A/mm^) par itératios successives. W(,):=0.0377; W(,):=0.095; W(3,):=0.044; W(4,):=W(3,): W(5,):=W(,): W(6,):=W(,): W (, ) := W (, ) := W ( 3, ) := Hauteurs des différets soléoïdes, les sectios sot choisies carrées H=W mais u ajustemet est évetuellemet réalisé pour gager e précisio sur la desité de courat. H(,):=W(,)+0.000; H(,):=W(,)-0.000; H(3,):=W(3,)-0.000; H(4,):=H(3,): H(5,):=H(,): H(6,):=H(,): H (, ) := H (, ) := H ( 3, ) := Les différets rayos sot défiis à partir des dimesios précédetes, ils permettet d'obteir les différets secteurs d'itégratio. for i from to N do R(i,):=sqrt(r(i,)^+z(i,)^): R(i,):=sqrt(r(i,)^+(z(i,)+H(i,))^): R3(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+z(i,)^): R4(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+(z(i,)+H(i,))^): ed do: O calcule les différets agles, permettat la décompositio des desités de courats (itersectio d'ue sphère avec la sectio d'u soléoïde) e polyôme de Legedre P,(theta) (cf. aexe «Décompositio harmoique d u soléoïde à sectio rectagulaire suivat u poit de so axe de symétrie.») for i from to b_sup do 4

217 alpha[i]:=arcsi(r(i,)/ro); beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: for i from to b_sup do alphabis[i]:=arcsi(r(i,)/ro); betabis[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alphabis[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); betabis[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha3[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); beta3[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha3[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); beta3[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: O crée la décompositio pour u bloc de la foctio créeau du courat, il y a ue valeur de "b" différete selo les domaies R R (R R3) ou R R3 (R3 R)ou R3 R4 ( R R4) d'où les b b b3 (b bbis b3) b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): bbis:=(,i) -> it(p[,](x),x=alphabis[i]..betabis[i]): b3:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha3[i]..beta3[i]): O va esuite itégrer selo le rayo Ro, il y a ue coditio car le calcul se fait différemmet selo que R<R3 ou R>R3, d'où l'existece d'u b et d'u bbis selo le cas. Ceci ous permet d'obteir les différets coefficiets compris das le champ magétique créé par cet esemble de soléoïdes. E réalité o est e trai d'itégrer l'élémet de champ créé par u élémet de desité de courat volumique, e quelque sorte u courat surfacique for from to N do for i from to b_tot do if (R(i,) < R3(i,)) the DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R(i,))+it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R4(i,)))/(*); else 5

218 DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(bbis(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R4(i,)))/(*); ed if; ed do; ed do; O défiit la matrice coteat les coefficiets de la décompositio, pour chacu des b_tot soléoïdes, o a la décompositio e N harmoiques. O peut esuite e ijectat ue desité de courat différete das chacu des blocs obteir la décompositio de l'esemble du système. Ou e choisissat la décompositio que l'o veut, o peut obteir la desité de courat à mettre das chacu des soléoïdes. Mat:=Matrix(N,b_tot,DD); O choisit les valeurs d'iductio et de gradiet désirées, la valeur de l'iductio doit cocorder avec celle créée au cetre du dispositif par le sous-esemble B, c'est à dire le dispositif de Garrett créat le champ dipolaire. B0:=5; G0:=; pi:=evalf('pi',6): mu0:=4*pi*e-7: O retre le vecteur desité de courat que l'o souhaite J[]:=J: J[]:=J: J[3]:=J3: J[4]:=-J3: J[5]:=-J: J[6]:=-J: jj:=(i)-> J[i]: JJJ:= Matrix(b_tot,,jj): B0 := 5 G0 := with(liearalgebra): Valeur des harmoiques avec les desités de courat mises das chacu des soléoïdes. CCobteu:=evalf(Mat.JJJ,'6'); 6

219 J J J3 CCobteu := J J J J J J3 Rappel de la valeurs des deux premiers harmoiques de la décompositio idetique à toutes les cofiguratios. La valeur de l'harmoique 3 correspod à celle de la cofiguratio verticale, c'est pour cette cofiguratio qu'elle est maximale e valeur absolue. C[]:=B0/mu0: C[]:=/4*G0/mu0/B0: C[3]:=-/4*G0^/B0^3/mu0: O résout maiteat u système de trois icoues (les trois desités de courats) à trois équatios : ) l'harmoique "coef" de la décompositio de la géométrie etrée das le programme doit être égal à l'harmoique idéal C[] ) l'harmoique 4 "coef4" de la décompositio de la géométrie etrée das le programme doit être égal à 0. 3) l'harmoique 6 "coef6" de la décompositio de la géométrie etrée das le programme doit être égal à 0. coef:=uapply(0^6*ccobteu[,],j,j,j3); coef4:=uapply(0^6*ccobteu[4,],j,j,j3); coef6:=uapply(0^6*ccobteu[6,],j,j,j3); equa:={coef(j,j,j3)=c[],coef4(j,j,j3)=0,coef6(j,j,j3)= 0}: sol:=solve(equa); coef := ( J, J, J3 ) J J J3 coef4 := ( J, J, J3 ) J J J3 coef6 := ( J, J, J3 ) J J J3 sol := { J3 = , J = , J = } Si les desités de courats e sot pas proches de la desité désirée, o réajuste les dimesios des bobiages e début de programme, par exemple o multiplie la hauteur H(,) par la racie carré du rapport desité de courat obteue sur désirée, c'est à dire sqrt(j/60)*h(,) respectivemet sqrt(j/60)*h(,) et sqrt(j3/60)*h(3,) Ici, o vérifie la valeur des harmoiques obteue par la géométrie précédemmet défiie et avec la desité de courat désirée (exacte). J:=60e6; J:=-60e6; J3:=-60e6; CCobteu[,]; CCobteu[4,]; CCobteu[6,]; J := J :=

220 J3 := O vérifie la valeur du gradiet (T /m) obteue au cetre e combiat la valeur de l'harmoique, c'est à dire de l'iductio obteue par le soléoïde de Garrett (5,0003T) et celle de l'harmoique obteue par ce bobiage (G=4µo*C*B): 4*(4*evalf(Pi,'7')*e-7)*CCobteu[,]* ;

221 Aexe G 9

222 Aexe G : Décompositio harmoique d u soléoïde à sectio rectagulaire suivat u poit de so axe de symétrie. Das cette aexe est décrite la méthode utilisée pour obteir la décompositio harmoique sur u poit de l axe de symétrie d u soléoïde à sectio rectagulaire. Cette aexe est idispesable à la compréhesio des programmes iformatiques de décompositio harmoiques basés sur cette démarche. Ue première partie décrit le calcul pour u soléoïde situé au-dessus ou au-dessous du poit de décompositio (poit d origie O). Puis ue secode où le poit de décompositio est le cetre du soléoïde. Et fialemet, e combiat les résultats trouvés, o défiit la décompositio d u esemble de soléoïdes. ) Pour u soléoïde (bloc) supérieur ou iférieur au poit de décompositio Pour défiir la géométrie d u bloc (voir figure de l aexe), il suffit de coaître : -la positio de so poit A (sommet le plus proche du cetre O) -sa hauteur (H) -sa largeur (W) à partir de ces doées o peut calculer les 4 rayos (R,R,R3 et R4). O se servira par la suite des valeurs R, R, R3, R4, W et H. Calcul des agles pour le bloc supérieur : Figure 0

223 Deux situatios se présetet chacue d elles état représetée par ue couleur différetes, le cas où R<R3 e bleu et le cas où R>R3 e vert : Le domaie : R<Ro<R si R<R3 ou R<Ro<R3 si R>R3 : ( ) θ θ a b = arcsi( Rit ) Ro = arccos( hit ) Ro Le domaie : R<Ro<R3 si R<R3 : ( ) θ θ a b = arccos( hit+ H ) Ro = arccos( hit ) Ro Le domaie bis : R3<Ro<R si R>R3 : ( bis) θ θ bisa bisb = arcsi( Rit ) Ro = arcsi( Rit+ W ) Ro Le domaie 3 : R3<Ro<R4 si R<R3 ou R<Ro<R4 si R>R3 : ( 3 ) θ θ 3a 3b = arccos( hit+ H ) Ro = arcsi( Rit+ W ) Ro Calcul des agles pour le bloc iférieur :

224 Le domaie : R<Ro<R si R<R3 ou R<Ro<R3 si R>R3 : ( ) θ θ a b = π + arcsi( hit ) Ro = π + arccos( Rit ) Ro Le domaie : R<Ro<R3 si R<R3 : ( ) θ θ a b = π + arcsi( hit ) Ro = π + arcsi( hit+ H ) Ro Le domaie bis : R3<Ro<R si R>R3 : ( bis) θ θ bisa bisb = π + arccos( Rit+ W ) Ro = π + arccos( Rit ) Ro Le domaie 3 : R3<Ro<R4 si R<R3 ou R<Ro<R4 si R>R3 : ( 3) θ θ 3a 3b = π + arccos( Rit+ W ) Ro = π + arcsi( hit+ H ) Ro O calcule esuite la décompositio des élémets de courat K e harmoiques c est à dire e P (cosθ) où représete le rag de l harmoique :

225 K = J. Ro.b. +.P (cosθ).(+ ) Le coefficiet +.(+ ) sert à ormer la décompositio e P (cosθ ). Ue décompositio e polyômes de Legedre d ordre m est ormé par le coefficiet O détermie doc tous les coefficiets b : b= θ θ b a siθ.p (cosθ).dθ + ( m)!. (+ m)! c est à dire qu il faut calculer pour chacu des domaies,, bis et 3 la valeur des bis 3 coefficiets otés respectivemet b,b,b, b : Domaie : b = θ θ b a siθ.p (cosθ).dθ Domaie et bis : b = θ θ b a siθ.p (cosθ).dθ b bis = θ θ bisb bisa siθ.p (cosθ).dθ Domaie 3 : b 3 = θ θ 3b 3a siθ.p (cosθ).dθ ous coaissos la décompositio de l élémet de couche de courat, il faut détermier l élémet de champ qu il va créer puis itégrer sur l esemble de la bobie : J. b r.( ) Ro H it= J. b.( r ) Ro o obtiet aisi par itégratio le champ : H it = R4 R R4 R J. b.( r Ro J. b.( r ) Ro. Ro.P (cosθ) 0. Ro.P (cosθ) ). Ro.P (cosθ) 0. Ro.P (cosθ) 3

226 or la valeur des b est différete suivat la valeur du rayo et deux cas existet, si R<R3 : H it = J.r J.r 0.P (cosθ)..p (cosθ). R R R R b Ro b Ro. Ro+. Ro+ R3 R R3 R b Ro b Ro. Ro+. Ro+ R4 R3 R4 R3 b Ro b Ro 3 3. Ro. Ro R3 R bis J 0.r.P (cosθ). b + +. Ro b. Ro Ro Ro R R3 si R>R3 : H it= R3 R bis J.r.P (cosθ). b + b +. Ro. Ro Ro Ro R R3 Ces expressios du champ sot uiquemet valables pour r<r. Nous pouvos poser selo les cas : R4 R R4 R b Ro b Ro 3 3. Ro. Ro R3 R R4 = + + bis 3 D b. Ro b. Ro b. Ro ou Ro Ro Ro R R3 R R R3 R4 = + + D b. Ro b. Ro b Ro Ro Ro R R R3 3. Ro ce qui doe pour le champ itérieur (r<r) : J.r H it= J.r.D.P (cosθ) 0.D.P (cosθ) D où l expressio du courat surfacique équivalet sur ue sphère de rayo Ro<R doat cette répartitio de champ à l itérieur de cette sphère : ) Pour u bloc cetral K( θ) = +.Ro +. J.D.P (cosθ) Nous allos maiteat effectuer ces mêmes calculs pour le bloc cetral supposé symétrique par rapport à l axe θ = π, s il est pas symétrique le calcul est plus complexe puisque de multiples cas sot à predre e compte sauf si o décompose le bloc e deux sous blocs séparés par l axe θ = π qu o applique la méthode décrite précédemmet pour chacu des sous blocs et qu o ajoute les deux décompositios obteues pour trouver la décompositio du bloc etier. Voici les deux cas qui peuvet se préseter pour le bloc cetral, soit comme sur la figure de gauche R<Rext, soit sur la figure de droite R>Rext. 4

227 Nous pouvos représeter les différetes couches de courats par domaie que l o doit décomposer e polyômes de Legedre d ordre ; Le domaie : Rit<Ro<R si R<Rext ou Rit<Ro<Rext si R>Rext : ( ) θ θ b = arcsi( Rit = π Ro a ) Le domaie : R<Ro<Rext si R<Rext : 5

228 ( ) θ θ a = arccos( H ).Ro b= π Le domaie bis : Rext<Ro<R si R>Rext : ( bis) θ θ bisa bisb = arcsi( Rit ) Ro = arcsi( Re xt ) Ro Le domaie 3 : Rext<Ro<R si R<Rext ou R<Ro<R si R>Rext : ( 3 ) θ θ 3a 3b = arccos( H ).Ro = arcsi( Re xt ) Ro Pour le calcul des coefficiets b o peut motrer par le calcul* que les coefficiets pairs sot uls et que les coefficiets impairs sot le double des coefficiets impairs produits par u des deux sous-blocs : Domaie : b θb p θa = +. siθ.p p+ (cosθ). dθ Domaie et bis : θb = bis bp +. si θ.p p+ (cosθ). dθ bp + =. siθ.p p+ (cosθ). dθ θa Domaie 3 : b θ3b 3 p θ3a + =. siθ.p p+ (cosθ). dθ et le coefficiet D s écrit : R Re xt R = + + D b. Ro b. Ro Ro Ro Rit R ou Re xt b Ro 3 Re xt R R = + + bis D b. Ro b. Ro b Ro Ro Ro Rit Re xt R θ θ bis bis b a. Ro 3. Ro 6

229 ce qui doe pour le champ itérieur (r<r) : J.r H it= J.r.D.P (cosθ) 0.D.P (cosθ) D où l expressio du courat surfacique équivalet sur ue sphère de rayo Ro<R doat cette répartitio de champ à l itérieur de cette sphère : 3) Pour u esemble de blocs K( θ) = +.Ro +. J.D.P (cosθ) Comme o coaît la desité équivalete créée par le bloc «i» sur la sphère Ro, harmoique par harmoique, dot l expressio pour l harmoique est : K,i ( θ) = +.Ji.D.(+ ),i.ro.p (cosθ) il suffit de sommer bloc par bloc, c est à dire pour l harmoique : b _bloc b _bloc + K,i( ).Ji.D,i.Ro.P (cos ) i= θ = i=.(+ ) b_bloc est le ombre de blocs total. Puis d égaliser à l harmoique de la desité de courat théorique +.Ro.C.P (cosθ), où les valeurs des différets coefficiets C sot + parfaitemet coues, d où l égalité suivate : +.C + qui ous doe ue relatio matricielle : C = = +. + b _bloc i= b _bloc i= D,i.J C= D.J i D,i.J i θ avec C le vecteur coloe d élémet C, D la matrice d élémet D, i de la ième lige et ième coloe et J le vecteur coloe d élémet Ji. O doit choisir u ombre de blocs équivalet au ombre d harmoiques que l o souhaite créer, la matrice D est aisi carrée (ormalemet o sigulière) doc iversible. O obtiet aisi directemet les courats à ijecter das les différets blocs pour obteir la répartitio de champ souhaitée à l itérieur de la sphère comprise das l esemble des blocs : J = D.C 7

230 * : Soit le coefficiet b : b = θb θa siθ.p (cosθ).dθ+ π θa π θb siθ.p (cosθ). dθ je fais le chagemet de variable π θa θa π θb θb siθ si( π θ) = siθ cosθ cos( π θ) = cosθ dθ dθ P (cosθ) P ( cosθ) = ( ) ce qui me doe : b θb +.P (cosθ) θ π θ doc : θb θa + = siθ.p (cosθ).dθ+ siθ.[( ).P (cosθ)].[ dθ] θa θb b = θa siθ.p (cosθ).dθ+( ) d où les deux cas : θb p+ =. siθ.p p+ 'cos θ). dθ θa θb +. siθ.p (cosθ). dθ θa b et b p= 0 8

231 Aexe H 9

232 Aexe H : Dimesioemet du sousesemble créat le champ hexapolaire Ce programme Maple est quasi-similaire à celui permettat le dimesioemet du sousesemble G. Il comporte e plus u soléoïde cetral (comme pour la décompositio du sous-esemble B) et e mois ue paire de soléoïdes. Programme commeté : Iitialisatio des variables: restart; _EvLegedreCut :=..ifiity: P:=(,x)->LegedreP(,0,x): N:=6: Le ombre total de soléoïdes et le ombre de soléoïdes supérieurs sot défiis. b_tot:=5; b_sup:=; O défiit le polyôme P (cosθ) = P,i(theta) à partir de P 0 (cosθ) =LegedreP(i,0,cosθ). i i for i from to N do P[,i]:=uapply(expad((si(theta)*diff(simplify(LegedreP(i,0,cos(theta))),theta))),theta); ed do: b_tot := 5 b_sup := O etre les valeurs des différets rayos de chacu des soléoïdes (ceux-ci sot détermiés après plusieurs essais de maière à ce que le système obteu ait des dimesios réalisables pratiquemet, et que les harmoiques de rags supérieurs au 6 ème e perturbet pas la lévitatio). r(,):=0.4; r(,):=r(,): r(3,):=r(,): r(4,):=r(,): r (, ) := 0.4 E foctio du rayo r o coaît la hauteur z des soléoïdes (fig. chapitre III), ce rapport est calculé de sorte que si les soléoïdes étaiet des spires filiformes, les paires de soléoïdes Bab0 Bab4 et Bab Bab3 e créet pas d'harmoique 5 (cf chapitre III) evalf(r(,)*((sqrt(sqrt(7)+3)/4)),'5'): z(,):=0.495; evalf(r(,)*((sqrt(-sqrt(7)+3)/4)),'5'): z(,):=0.065; z(3,):=z(,): z(4,):=z(,): z (, ) := z (, ) :=

233 Epaisseurs des différets soléoïdes, ajustées e foctio de la desité de courat désirée (ici 60A/mm^) par itératios successives W(,):=0.069; W(,):=0.079; W(3,):=W(,): W(4,):=W(,): W (, ) := W (, ) := Hauteur des différets soléoïdes H(,):=W(,)-0.000; H(,):=W(,)-0.000; H(3,):=H(,): H(4,):=H(,): H (, ) := H (, ) := O etre les dimesios du soléoïde cetral, sa hauteur totale, so rayo itérieur HH:=0.0336; Rit:=0.4; O peut ajuster l'épaisseur e foctio de la desité de courat obteue à la fi du programme. Rext:=Rit+HH-0.000; Ra:=sqrt(Rit^+HH^/4): Rb:=sqrt(Rext^+HH^/4): HH := Rit := 0.4 Rext := Les différets rayos sot défiis à partir des dimesios défiies précédemmet, ils permettet d'obteir les différets secteurs d'itégratio. for i from to *b_sup do R(i,):=sqrt(r(i,)^+z(i,)^): R(i,):=sqrt(r(i,)^+(z(i,)+H(i,))^): R3(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+z(i,)^): R4(i,):=sqrt((r(i,)+W(i,))^+(z(i,)+H(i,))^): ed do: O calcule les différets agles, permettat la décompositio des desités de courats (itersectio d'ue sphère avec u bloc) e polyôme de Legedre P,(theta) pour les paires de soléoïdes. for i from to b_sup do alpha[i]:=arcsi(r(i,)/ro); beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); 3

234 beta[i]:=arccos(z(i,)/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha[i]:=pi/+arcsi(z(i,)/ro); beta[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: for i from to b_sup do alphabis[i]:=arcsi(r(i,)/ro); betabis[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alphabis[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); betabis[i]:=pi/+arccos(r(i,)/ro); ed do: for i from to b_sup do alpha3[i]:=arccos((z(i,)+h(i,))/ro); beta3[i]:=arcsi((r(i,)+w(i,))/ro); ed do: for i from b_sup+ to b_tot do alpha3[i]:=pi/+arccos((r(i,)+w(i,))/ro); beta3[i]:=pi/+arcsi((z(i,)+h(i,))/ro); ed do: O calcule les agles pour le soléoïde cetral thetaa:=arcsi(rit/ro): thetab:=pi/: thetaa:=arccos(hh/(*ro)): thetab:=pi/: thetabisa:=arcsi(rit/ro): thetabisb:=arcsi(rext/ro): theta3a:=arccos(hh/(*ro)): theta3b:=arcsi(rext/ro): O crée la décompositio pour u bloc de la foctio créeau du courat, il y a ue valeur de "b" différete selo les domaies R R (R R3) ou R R3 (R3 R)ou R3 R4 ( R R4) d'où les b b b3 (b bbis b3) b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): b:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha[i]..beta[i]): bbis:=(,i) -> it(p[,](x),x=alphabis[i]..betabis[i]): b3:=(,i) -> it(p[,](x),x=alpha3[i]..beta3[i]): O effectue égalemet cette décompositio pour le soléoïde cetral, la symétrie de ce derier permet des simplificatios de calcul (pas d'harmoiques pairs). for p from 0 to N do bc[*p]:=0; bc[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetaa..thetab); ed do: for p from 0 to N do bc[*p]:=0; bc[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetaa..thetab); ed do: for p from 0 to N do bcbis[*p]:=0; bcbis[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=thetabisa..thetabisb); 3

235 ed do: for p from 0 to N do bc3[*p]:=0; bc3[*p+]:=*it(p[,*p+](x),x=theta3a..theta3b); ed do: O va esuite itégrer selo le rayo Ro, il y a ue coditio car le calcul se fait différemmet selo que R<R3 ou R>R3, d'où l'existece d'u b et u bbis, ceci ous permet d'obteir les différets coefficiets compris das le champ magétique créé par cet esemble de soléoïdes. E réalité o est e trai d'itégrer l'élémet de champ créé par u élémet de desité de courat volumique, e quelque sorte u courat surfacique. for from to N do for i from to *b_sup do if (R(i,) < R3(i,)) the Décompositio des paires de soléoïdes: DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R(i,))+it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R4(i,)))/(*); else DD(,i):=(it(b(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R3(i,))+it(bbis(,i)/Ro^(- ),Ro=R3(i,)..R(i,))+it(b3(,i)/Ro^(- ),Ro=R(i,)..R4(i,)))/(*); ed if; ed do; if(rext > Ra) the Décompositio du soléoïde cetral: DD(,b_tot):=(it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Rit..Ra)+it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Ra..Rext)+it(bc3[]/Ro^(-),Ro=Rext..Rb))/(*); else DD(,b_tot):=(it(bc[]/Ro^(- ),Ro=Rit..Rext)+it(bcbis[]/Ro^(- ),Ro=Rext..Ra)+it(bc3[]/Ro^(-),Ro=Ra..Rb))/(*); ed if; ed do; O défiit la matrice coteat les coefficiets de la décompositio. Pour chacu des b_tot soléoïdes o a la décompositio harmoique, o peut esuite e ijectat ue desité de courat différete das chacu des soléoïdes obteir la décompositio de l'esemble du système. Ou bie, e choisissat la décompositio que l'o veut, o peut obteir la desité de courat à mettre das chacu des soléoïdes. Mat:=Matrix(N,b_tot,DD); 33