II. Permutations sans répétitions et notation factorielle

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1 février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 1 I. Itroductio Les différets modèles mathématiques costruits pour étudier les phéomèes où iterviet le hasard sot basés sur la otio de probabilité. elle-ci exige des déombremets d esembles fiis. est l objet d étude de l aalyse combiatoire. Toute suite d élémets choisis parmi les élémets d u esemble fii peut être ordoée ou o, selo que l o tiet compte ou o de la positio occupée par les élémets. D'autre part, la suite peut être avec ou sas répétitios, selo qu'u même élémet puisse être utilisé plusieurs ou ue seule fois. Exemples Si o jette u dé, combie de résultats disticts sot-ils possibles? ombie y a-t-il de «mais» différetes au poer? ombie peut-o former d aagrammes du mot «Aalyse»? De combie de faços peut-o choisir 4 persoes parmi 17? ombie existe-t-il de ombres compris etre 100 et 100'000 commeçat par u chiffre impair et coteat des chiffres différets? II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Exercice II.1 a) De combie de maières différetes peut-o placer persoes l'ue à côté de l'autre? b) ombie de ombres peut-o écrire e utilisat exactemet ue fois chacu des chiffres de 1 à 6? a) Il y a choix pour la 1 ère place, 4 choix pour la 2 ème place, puis 3 choix, puis 2 puis 1 choix. Doc il y a = 120 maières différetes de placer ces persoes. b) Il y a 6 choix pour le premier chiffre, puis, puis 4, etc. jusqu'à 1 choix pour la derière place. Doc il y a = 720 ombres que l'o peut écrire de la maière demadée. Défiitio et formule O dispose de objets disticts. Ue permutatio de objets est ue maière de placer ces objets disticts sur ue ragée. Le ombre de permutatios de objets est oté P, et vaut : P = ( 1) ( 2) Explicatio Il y a choix pour placer le 1 er objet, 1 pour le 2 ème, 2 pour l'avat derier et 1 pour le derier. Remarque Deux permutatios distictes e diffèret que par l ordre des objets les composat. Exercice II.2 a) ombie y a-t-il de possibilités d aliger 12 élèves? b) A raiso de 10 secodes par permutatios, combie de temps faudrait-il pour épuiser toutes les possibilités? a) Il y a P 12 = = 47'001'600 possibilités d'aliger ces 12 élèves. b) Il faudrait 4'70'016' ,2 11,786 aées pour épuiser toutes ces possibilités!

2 février 2012 ORRIGE II. Permutatios sas répétitios et otatio factorielle Aalyse combiatoire 4 ème - 2 II.2 Notatio factorielle Nous veos de voir que le produit ( 1) ( 2) iterviet aturellemet das le déombremet du ombre de permutatio de objets. e produit iterviet ecore das de ombreux déombremets, doc la otatio! a été itroduite pour le décrire. Le ombre! se lit «factorielle». Doc! = ( 1) ( 2) Remarque La touche PRB de la calculatrice TI 34 ou TI 36 permet de calculer la factorielle d'u ombre, aisi que deux autres gradeurs décrites das les chapitres suivats. Exemples! = = ! = , Exercices II.3 a) 7! = '040 b) c) d) 10! = = 10 = 0 8! ! = = = 10'626 20! ! = = 1'140 3! 17! e) Motrez que : = ( )! 1! = ( 1)! ( )! = ( 1) ( 2) = 1! f) 6! 1, g) 70! 70 1, ,7 1, , La calculatrice e sait pas calculer 70!, mais vous êtes plus itelliget que la calculatrice!?! h) Que deviet la formule ( )! = 1! das le cas où = 1? Justifiez la covetio : 0! = 1. 1! = 1 0!, pour que l'égalité soit correcte, il faut utiliser la covetio 0! = 1.

3 ORRIGE III. Arragemets sas répétitio Aalyse combiatoire 4 ème - 3 III. Arragemets sas répétitio Exercice III.1 Parmi les cartes As de pique, jusqu'à de pique, combie d'aligemets de 4 cartes peut-o former? La réflexio est très similaire à celle utilisée pour les permutatios. Il y a choix pour la 1 ère place, 8 choix pour la 2 ème place, puis 7 choix, puis 6 pour la 4 ème place. Doc il y a = 3'024 aligemets possibles.! Ue maière de calculer est : = = 3'024, qui peut être plus rapide.! Ue méthode ecore plus rapide à la calculatrice est décrite ci-dessous. Exercice III.2 ombie de mots fictifs de 3 lettres distictes peut-o écrire avec les 26 lettres de l'alphabet? O peut écrire = 1'600 mots fictifs de 3 lettres distictes avec les 26 lettres. Défiitio et formule O dispose de objets disticts. U arragemet sas répétitios de objets pris à la fois, est ue maière de choisir ( ) objets parmi. L ordre compte. Le ombre d arragemets sas répétitios de objets pris à la fois, est oté A, et vaut : A = ( 1) ( 2)... ( + 1) =! ( )! Explicatio Il y a choix pour le 1 er objet, 1 pour le 2 ème, 2 pour le 3 ème,, +1 pour le ème. Remarques Deux arragemets disticts diffèret par l ordre ou par la ature des objets les composat. La touche PRB de la calculatrice TI 34 ou TI 36 permet de calculer le ombre d'arragemets sas répétitio de objets pris à la fois. A = PRB Pr = Exercice III.3 a) alculez le ombre de tiercés possibles lorsque 18 chevaux preet le départ. b) De combie de maières différetes peut-o élire u présidet et u vice-présidet parmi 10 persoes? c) La formule A =! justifie la covetio 0! = 1. Pourquoi? 18 a) Le ombre de tiercés possibles est A 3 = = 4' PRB Pr 3 = 4' b) Le ombre de maières vaut : A 2 = PRB Pr 2 = 0 c)!! A! ( )! 0!. Pour que l'égalité soit correcte, il faut que 0! = 1.

4 ORRIGE IV. Arragemets avec répétitios Aalyse combiatoire 4 ème - 4 IV. Arragemets avec répétitios Exercice IV.1 E laçat 4 fois de suite u dé stadard, combie de séqueces différetes peut-o obteir? Il y a 6 résultats pour le 1 er lacer, 6 résultats pour le 2 ème lacer, 6 résultats pour le 3 ème lacer et 6 résultats pour le 4 ème et derier lacer. Doc il y a = 6 4 = 1'26 séqueces possibles. Exercice IV.2 ombie de mots fictifs de 3 lettres peut-o écrire avec les 26 lettres de l'alphabet? Il y a 26 possibilités pour la 1 ère lettre, et 26 possibilités pour la 2 ème et 3 ème lettre. O peut doc écrire = 26 3 = 17'76 mots de 3 lettres avec ces 26 lettres. Défiitio et formule O dispose de objets disticts. U arragemet avec répétitios de objets pris à la fois, est ue maière de choisir objets parmi ces objets, le même objet pouvat être pris plusieurs fois. L'ordre compte. Le ombre d arragemets avec répétitios de objets pris à la fois, est oté A, et vaut : A = Explicatio Il y a choix pour le 1 er objet, pour le 2 ème, pour le 3 ème,, pour le ème. Exercice IV.3 a) ombie de séries différetes peut-o obteir e jouat à «pile ou face» 7 fois? b) ombie de séqueces peut-o lire sur u compteur de voitures? e compteur est composé de cylidres sur chacu desquels sot gravés les chiffres de 0 à. c) ombie de sous-esembles différets peut-o former à partir de l'esemble { A ; B ; ; D }? 2 7 a) O peut obteir A 7 = 2 = 128 séries différetes e jouat 7 fois à «pile ou face». 10 b) O peut lire A = 10 = 100'000 séqueces différetes sur ce compteur. c) Pour chaque lettre, il y a deux possibilités. Soit elle est prise, soit elle 'est pas prise. ela permet 2 4 doc de former A 4 = 2 = 16 sous esembles. Voici la liste de ces 16 sous-esembles : ;{ A};{ B};{ };{ D};{ A, B};{ A, };{ A, D};{ B, };{ B, D};{, D} { A, B, };{ A, B, D};{ A,, D};{ B,, D};{ A, B,, D }.

5 ORRIGE V. Permutatios avec répétitios Aalyse combiatoire 4 ème - V. Permutatios avec répétitios Exercice V.1 ombie de mots fictifs peut-o écrire avec les lettres du mot «LILLE»? Si o distigue les 6 lettres, o peut écrire 6! mots fictifs. Mais chaque permutatio des 3 lettres "L" doe u mot équivalet. Doc chaque mot de la liste des 6! mots apparaît sous 3! formes équivaletes. Le ombre de mots que l'o peut écrire vaut doc 6! 120 3! =. Exercice V.2 De combie de faços peut-o aliger 3 garços et 4 filles, sas distiguer i les garços, i les filles? Si o distigue les 7 persoes, il y a 7! faços de les aliger. Mais les 3! permutatios des garços et les 4! permutatios des filles e chaget rie si o e distigue pas les garços etre eux, i les filles etre elles. 7! Il y a doc 3! 4! = 3 faços d'aliger des 3 garços et 4 filles. Défiitio et formule O dispose de objets. Parmi ces objets il y a p sortes différetes. O suppose qu il y a : 1 objets de sorte 1, 2 objets de sorte 2,, p objets de sorte p, où p =. Ue permutatio avec répétitio de ces objets est ue permutatio de ces objets, das laquelle o e distigue pas les objets d'ue même sorte. Le ombre de permutatios avec répétitios de = p objets se ote P( 1, 2,..., p ) et vaut : P ( 1, 2,..., p ) =!!!...! 1 2 p Explicatio Il y a! permutatios possibles de ces objets, parmi lesquelles il y a 1! permutatios des objets de la première sorte, qu'o e distigue pas, il y a 2! permutatios des objets de la deuxième sorte, qu'o e distigue pas, etc. Das les! permutatios des objets, o e compte 1! 2!... p! fois trop. Exercice V.3 a) De combie de faços peut-o aliger 2 livres rouges, livres verts et 1 livre blac sur ue étagère? ( Seule la couleur différecie les livres! ) b) De combie de maière différetes peut-o placer l'ue à côté de l'autre, boules rouges, 3 vertes et 2 bleues? a) 8! O peut aliger ces 8 livres de 2!! 1! =168 faços différetes. b) 10! O peut placer ces 10 boules de! 3! 2! = 2'20 maières différetes l'ue à côté de l'autre.

6 ORRIGE VI. ombiaisos sas répétitio Aalyse combiatoire 4 ème - 6 VI. ombiaisos sas répétitio Exercice VI.1 Ue ure cotiet 6 boules umérotées de 1 à 6. De combie de maière peut-o retirer 3 boules de l'ure? 6 Si o teait compte de l'ordre, il y aurait A 3 tirages possibles. Mais parmi ces tirages, il y e a chaque fois 3! qui fot apparaître les mêmes boules, mais das u ordre différet. Vu que l'ordre e compte pas ici, il y a A = = 20 maières de retirer 3 boules de l'ure. 3! 6 Exercice VI.2 ombie d'équipes de 3 persoes peut-o former à partir de 7 persoes? 7 Si o teait compte de l'ordre, il y aurait A 3 équipes possibles. Mais parmi ces tirages, il y e a chaque fois 3! qui fot apparaître les mêmes persoes, mais das u ordre différet. Vu que l'ordre e compte pas ici, il y a A = = 3 équipes possibles. 3! 6 Défiitio et formule O dispose de objets disticts. Ue combiaiso sas répétitios de objets pris à la fois, est u choix de ( ) objets parmi. L ordre e compte pas. Le ombre de combiaisos sas répétitios de objets pris à la fois, est oté, et vaut : =!!( )! Remarques Deux combiaisos distictes diffèret par la ature des objets les composat, mais pas par l'ordre. La touche PRB de la calculatrice TI 34 ou TI 36 permet de calculer le ombre de combiaisos sas répétitio de objets pris à la fois. = PRB r = exercice VI.3 a) ombie de glaces distictes avec 4 parfums différets peut-o faire avec parfums? b) ombie de mais de cartes peut-o former à partir d'u jeu de cartes? c) Pourquoi obtiet-o le même résultat e a) et e b)? a) O peut former distictes. b) O peut former 4 = 126 glaces = 126 mais de cartes à partir d'u jeu de cartes.!! c) Remarquez que ( ) = = = ( )!!! ( )!, doc =. 4

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