1 Le développement décimal d un nombre réel

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1 Université Paris 7 Denis Diderot Année 200/2008 Licence 2 MA 3 Compléments sur les séries 1 Le développement décimal d un nombre réel 1.1 La fonction «partie entière» ous partons de la propriété suivante : pour tout réel a R il existe un unique entier relatif n Z tel que n a < n + 1. Une autre caractérisation de cet entier n est qu il est le plus grand entier relatif contenu dans ], a]. Définition On appelle partie entière de a l entier relatif noté E(a) et défini par 1.2 Le développement décimal d un nombre réel Soit a R, considérons la suite de nombres rationnels Par exemple, si a = π, on a : E(a) a < E(a) + 1. (1) u n = E(10n a) 10 n, pour n. u 0 = 3 u 1 = 3,1 u 2 = 3,14 u 3 = 3,141 etc. On voit sur l exemple choisi que cette suite approche la valeur de a de façon de plus en plus fine par des nombres décimaux. Vérifions cela plus en détail en étudiant les propriétés de la suite (u n ) n u n est croissante En effet l inégalité E(10 n a) 10 n a entraîne 10 E(10 n a) 10 n+1 a. Mais comme le plus grand entier qui est plus petit ou égal à 10 n+1 a est E(10 n+1 a), on en déduit que 10 E(10 n a) E(10 n+1 a). Divisant par 10 n+1, on obtient E(10 n a) 10 n E(10n+1 a) 10 n+1 u n u n+1. (2) 1

2 1.2.2 u n fournit un encadrement de a de plus en plus fin En effet, toujours à cause de (1), on a E(10 n a) 10 n a < E(10 n a) + 1 et donc, en divisant par 10 n, u n a < u n n. (3) On voit au passage que la suite (u n ) n est majorée par a et donc, comme elle est croissante, elle converge vers une limite l R. En passant à la limite dans (3), on obtient l a l = lim n u n = l = a. Mais on a mieux : en utilisant encore (1) (une fois pour 10 n+1 a, une fois pour 10 n a), on a E(10 n+1 a) 10 n+1 a = 10 (10 n a) < 10 (E(10 n a) + 1) = 10 E(10 n a) Mais comme les valeurs aux deux extrémités dans cette suite de relations sont des entiers, cela signifie que E(10 n+1 a) 10 E(10 n a) + 9. Donc en divisant par 10 n+1, Une série associée à a Posons a 0 = u 0 = E(a) et u n+1 u n n+1. (4) a n = u n u n 1, n 1. On voit que a 0 peut être a priori un entier relatif quelconque, et que a n = d n 10, où d n n est a priori un entier relatif. Mais les inégalités (2) et (4) entraînent 0 a n 9 10 n, n 1 d n [0,9], n 1. E(10n a) 10 E(10n 1 a) 10 = n Donc, à partir du rang n = 1, la suite (a n ) n est une suite positive et majorée par la suite ( 9 10 n )n. A présent considérons la série de terme général a n : cela consiste à associer à la suite (a n ) n la suite (s n ) n des sommes partielles s n = a 0 + a a n = n a j. Les théorèmes du cours 1 nous garantissent que cette série est convergente, c est à dire que la suite des sommes partielles s n converge (en utilisant notament le fait que la série géométrique de raison 1 10 est convergente, ce qui entraîne que la série est convergente). En fait, il n est immédiat que n s n = a 0 + u j u j 1 = u n et donc que la limite de s n est 1 Exercice : lesquels? j=0 a j = lim n u n = a. j=0 2

3 ous en déduisons l écriture d n a = a n = a n = a 0 + d d d notée dans la vie courante sous la forme du développement décimal a = a 0,d 1 d 2 d 3. Exercice pour réfléchir : montrer que le cas où n 0 tel que( n > n 0, d n = 9 ne se produit n0 ) 1 d jamais (indication : montrer que si cela était vrai alors a = a 0 + j + dn 10 j ). n 0 2 Produit de deux séries absolument convergentes Théorème Soit (a n ) n et (b n ) n deux suites à valeurs dans C et soit (c n ) n la suite de terme général c n = a 0 b n + a 1 b n a n 1 b 1 + a n b 0 = a p b q, n. p+q=n Supposons que les séries de terme général a n et b n sont absolument convergentes, alors la série de terme général c n est aussi absolument convergente et, de plus ( )( ) c n = a n b n. (5) Preuve ous poserons A = a n et B = b n et nous considérons les sous-ensembles suivants de : pour tout, = {(p,q) 2 p + q } Q = [1, ] 2 T = {(p,q) 2 p >,p + q 2} T = {(p,q) 2 q >,p + q 2} 2 q T Q T p 0 2 a) Montrons d abord que la série c n est absolument convergente. Pour tout, c n = a p b q = = p+q=n p+q=n a p b q a p b q (p,q) a p b q (p,q) Q a p b q AB. p=0 q=0 3

4 Et comme c n 0 cela prouve que la série c n converge, c est à dire que la série c n est absolument convergente. b) Etablissons à présent la relation (5). oter qu il s agit de montrer qu une certaine limite ( c n) est égale à un produit de deux limites. Pour cela, nous choisissons et évaluons 2 c n a p b q = a p b q a p b q p=0 q=0 (p,q) 2 (p,q) Q = a p b q + a p b q (p,q) T (p,q) T a p b q + a p b q (p,q) T (p,q) T 2 2 a p b q + a p b q p=+1 p=+1 q=1 a p B + A q=+1 p=1 b q. Or la dernière quantité tend vers 0 lorsque +. On en déduit que 2 lim c n = lim = lim lim p=0 a p q=0 b q a p p=0 q=+1 b q q=0 oter que, puisque lim c 2+1 = 0 (exercice : le démontrer), on a aussitôt lim 2+1 c n = lim 2 c n. On en déduit (5). Exemple : si a n = αn n! et b n = βn n!, où α,β C, alors les séries αn n! et β n n! sont absolument convergentes pour toutes les valeurs de α et β. De plus on calcule que c n = (α+β)n n!. On en déduit que, si on pose alors f(α)f(β) = f(α + β), (α,β) C 2. f(x) = x n n!,. 3 Un résultat hors programme : le théorème de resommation de Riemann Ce résultat dit que, si une série est absolument convergente, alors l ordre dans lequel on somme ne change pas le résultat. Théorème Soit (u n ) n une suite à valeurs dans C. Supposons que la série u n soit absolument convergente, i.e. u n < +, alors, pour toute bijection φ :, u φ(n) est absolument convergente et lim u φ(n) = u n. (6) Preuve Observons d abord que, en posant m = φ(n), on a u φ(n) sup φ([[0,]]) m=0 4 u m u m <, m=0

5 ce qui entraîne le fait que u φ(n) est absolument convergente. Prouvons maintenant (6) : fixons ε > 0 et choisissons M tel que m=m+1 u m < ε. Alors, comme φ est une bijection il existe tel que [0, M ] φ([0, ]) (il suffit de prendre pour le suprémum de l ensemble fini φ 1 ([0,M ])) et donc à partir de la décomposition u φ(n) = M u m + m=0 0 n ; φ(n) M+1 u φ(n), on obtient u m u φ(n) = u m u φ(n) m=0 = m=m+1 0 n ; φ(n) M+1 u m M+1 m; m φ([[0,]]) m=m+1 u m < ε, ce qui prouve bien (6). otons que, dans ce résultat, l hypothèse que la série est absolument convergente est vraiment capitale. Le résultat suivant, assez spectaculaire mais plus difficile, prouve en effet que l addition des termes dans les séries convergentes mais non absolument convergentes n est pas commutative! 4 Un résultat hors programme et difficile Théorème Soit (u n ) n une suite à valeurs dans R. On suppose que la série u n est convergente mais non absolument convergente. Alors, pour n importe quelle valeur λ R, il existe une bijection φ : telle que la série u φ(n) soit convergente et telle que u φ(n) = λ. Remarque : on a choisi une suite définie sur = \ {0} pour alléger les notations dans la suite. Preuve Soit u + n = sup(0,u n ) et u n = inf(0,u n ) de sorte que n, u n = u + n u n, u n = u + n + u n et u+ n 0, u n 0. Commençons par remarquer que les séries u+ n et u n divergent toutes les deux, puisque si par exemple u+ n convergeait, alors u n = 2 u+ n u n convergerait, ce qui est contradictoire (même raisonnement pour u n ). L idée est alors que l on dispose d «un réservoir infini de termes positifs» ( u + n ) et d «un réservoir infini de termes négatifs» ( u n ) et que l on peut piocher alternativement dans un des réservoirs. Voyons la mise en oeuvre de cette idée, qui est un peu délicate à écrire. Soit A = {n u n 0} et B = {n u n < 0}. On a A B = et A B = et de plus ces deux ensembles sont infinis dénombrables (à cause de n A u n = u+ n = + et n B u n = u n = ). Soit α : A et β : B les uniques bijections monotones croissantes entre les ensembles considérés. Supposons pour fixer les idées que λ > 0. On considère p p 1 = inf{p u α(i) > λ}. Cette valeur est finie puisque u α(i) = u+ n = +. On pose alors φ(i) = α(i), i [1,p 1 ]. 5

6 Puis on considère et on pose On continue : on pose p 1 q 1 = inf{q u α(i) + q u β(j) < λ} φ(p 1 + j) = β(i), j [1,q 1 ]. et p 1 p 2 = inf{p u α(i) + q 1 φ(p 1 + q 1 + i) = α(p 1 + i), u β(j) + p u α(p1 +i) > λ} i [1,p 2 ], etc. Comme u+ n = + et u n = +, on voit qu il est possible de continuer cette construction indéfiniment et que l application φ ainsi construite est une bijection de vers A B =. Pour une valeur de de la forme = p 1 + q p s + q, où q [1,q s ] alors p 1 u φ(n) = u α(i) + q 1 p s u β(j) + + u α(p1 + +p s 1 +i) + q u β(q1 + +q s 1 +j). Pour une valeur de de la forme = p 1 + q p s + q s + p, où p [1,p s+1 ] alors p 1 u φ(n) = u α(i) + q 1 p s u β(j) + + q s u α(p1 + +p s 1 +i)+ u β(q1 + +q s 1 +j)+ p u α(p1 + +p s+i). Il reste à prouver la convergence de u φ(n) vers λ. Supposons par exemple que = p 1 + q p s + q s + p, où p [0,p s+1 1]. Alors u φ(n) = p 1 +q 1 + +q s u φ(n) + R λ, (7) où R = 0 si p = 0 et R = p u α(p 1 + +p s+i) si 1 p p s+1 1. L inégalité dans (7) provient de la définition de p s+1. On en déduit, en utilisant notament le fait que R 0, que λ u φ(n) = λ p 1 +q 1 + +q s p 1 +q 1 + +q s u φ(n) = λ u φ(n) R λ u φ(n). Et en utilisant cette fois-ci la définition de q s (qui entraîne p 1 +q 1 + +q s 1 u φ(n) λ) on obtient : ( p 1 +q 1 + +q s 1 λ u φ(n) λ u φ(n) ) u φ(p1 +q 1 + +q s) u φ(p1 +q 1 + +q s) = u φ(p1 +q 1 + +q s). On a une majoration du même type si = p 1 + q p s + q, où q [0,q s 1]. On voit donc que pour conclure il suffit de montrer que lim n u φ(n) = 0. Cela est une conséquence du fait que lim n u n = 0 (puisque la série u n converge) : ε > 0,, tel que n, u n < ε, et du fait que φ est une bijection : en choisissant n supφ 1 ([1, ]), on a alors φ(n), ce qui entraîne que u φ(n) < ε. 6