MAT1500 Mathématiques discrètes

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1 MAT1500 Mathématiques discrètes Matilde N. Laĺın Université de Montréal Le 18 octobre 2016 Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

2 Le menu d aujourd hui Annonce Rappel de 2.3 et 2.5 Arithmétique modulaire (théorème du reste chinois, petit théorème de Fermat) Rappel de 3.2 (structure du principe de l induction) 3.2 Principe de l induction Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

3 Annonce Pour ceux d entre vous qui sont intérésés à l actuariat L Institut canadien des actuaires (ICA) vient donner une séance d information avec un lunch-pizza aux étudiants de première année ce mercredi 19 octobre à 12h30 au AA 6214 (Salon Maurice-Labbé). If faut s inscrire. Pour plus d information, regardez le courriel que vous avez déjà reçu. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

4 Rappel de 2.3 et 2.5 Arithmétique modulaire Rappel de 2.3 et 2.5 Arithmétique modulaire Théorème du reste chinois : Soit m 1,..., m n des entiers positifs premiers deux à deux. Le système x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ). x a n (mod m n ) admet une solution unique modulo m = m 1 m 2 m n. C est-à-dire, il existe une seule solution x avec 0 x < m. Petit théorème de Fermat : Soient p un nombre premier et a Z tel que p a. Alors a p 1 1 (mod p). Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

5 Rappel de 3.2 (structure du principe de l induction) Rappel de 3.2 (structure du principe de l induction) Soit P(n) une fonction propositionnelle avec univers de discours N. Donc (P(0) ( n (P(n) P(n + 1)))) ( n P(n)). En d autres mots, si 1 P(0) est V (Étape de base) 2 n N (P(n) P(n + 1)) est V (Étape inductive) alors, n P(n) est V. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

6 La somme d une suite géométrique - cas particulier Probléme : Montrer que pour n N, a, r R tels que r 1, n j=0 ar j = a + ar + ar ar n = ar n+1 a. r 1 Si on prend a = 1, r = 2, on obtient n = 2 n+1 1. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

7 Les nombres harmoniques Définition : Les nombres harmoniques sont Exemple : H j = j. H 4 = = Proposition : Si n N, H 2 n 1 + n 2. Corollaire : La série n=1 1 n = est divergente. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

8 Les nombres harmoniques H 2 n 1 + n 2 On a que P(0) est V parce que H 2 0 = H 1 = Supposons que P(n) est V. H 2 n+1 = n n n+1 =H 2 n+ 1 2 n n ( n n ) n n ( n n ) n n }{{ 2 n+1 } ( = 1 + n ) + 2n 2 2 n+1 = 1 + n = 1 + n Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24 2 n

9 La cardinalité de l ensemble de parties d un ensemble Théorème : Soit S un ensemble fini de cardinalité n N. Alors P(S) = 2 n. Démonstration : On a que P(0) est V parce que si S =, P( ) = { }, alors P(S) = 1 = 2 0. Supposons que P(n) est V. Soit T un ensemble de n + 1 éléments. Soit a T fixé et S = T {a}. Donc, S = n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

10 S = T {a} S = n Pour chaque X S, il y a deux sous-ensembles de T : X et X {a}. T X a S X T X U {a} a Ce sont tous les sous-ensembles de T et ils sont tous différents. Comme il y a 2 n sous-ensembles de S, on obtient 2 n+1 sous-ensembles de T. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

11 Généralisation d une des lois de De Morgan Problème : Montrer que si A 1, A 2,... A n sont des ensembles avec n 2, alors n n A k = A k. k=1 Démonstration : On a que P(2) est V parce que c est la loi de De Morgan. Supposons que P(n) est V. n+1 k=1 k=1 A k = (lois de De Morgan) = (comme P(n) est supposé V) = n A k A n+1 k=1 n A k A n+1 k=1 n A k A n+1 = Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24 k=1 n+1 k=1 A k

12 Le principe généralisé de l induction ou principe d induction généreuse Soit P(n) une fonction propositionnelle avec univers de discours N. Donc P(0) ( n (P(0) P(1)... P(n 1) P(n) P(n + 1))) ( n P(n)). En d autres mots, si 1 P(0) est V (Étape de base) 2 n (( m n P(m)) P(n + 1)) est V (Étape inductive) alors, n P(n) est V. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

13 Exemple du principe généralisé de l induction Problème : Prouvez que pour chaque n naturel n 12 il existe deux nombres naturels s et t tels que Démonstration : Soit n = 4s + 5t. P(n) := il existe deux nombres naturels s, t tels que n = 4s + 5t On a que P(12), P(13), P(14) et P(15) sont V: 12 = , 13 = , 14 = et 15 = Supposonts que pour n 15, P(m) est V pour 12 m n. Il faut prouver que P(n + 1) est V. Comme n 15, n 3 12 a une solution n 3 = 4s 0 + 5t. Maintenant on prend s = s et on obtient n + 1 = 4s + 5t. Donc P(n + 1) est V. On a prouvé l enoncé par induction généralisée. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

14 Preuve du théorème fondamental de l arithmétique Théorème : Pour chaque entier n > 1 il existe un entier s 1 et des nombres premiers p 1, p 2,... p s tels que n = p 1 p 2 p s (Existence). De plus, le produit est unique, cést-à-dire, si n = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t où p 1 p 2 p s et q 1 q 2 q t sont des premiers, alors s = t et p 1 = q 1, p 2 = q 2,... p s = q s (Unicité). Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

15 Preuve du théorème fondamental de l arithmétique II Démonstration : (Existence) Soit P(n) := n s écrit comme produit des premiers. P(2) est V parce que 2 est déjà premier. Supposons que P(m) est V pour 2 m n. Si n + 1 est premier, alors P(n + 1) est V. Sinon, n + 1 est composé. Alors, n + 1 = ab avec 1 < a, b < n + 1. Par hypothèse, P(a) et P(b) sont V, c est-à-dire, a et b s écrivent comme produits des nombres premiers. Alors, le même est vrai pour n + 1 = ab et P(n + 1) est V. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

16 Preuve du théorème fondamental de l arithmétique II Lemme : Soient n Z, n 1, a 1, a 2,..., a n Z et p premier. Si p a 1 a 2 a n, alors, i, 1 i n tel que p a i. (Rappelons que nous avons prouvé le cas n = 2 comme conséquence du théorème de Bézout.) Démonstration : Par induction. P(1) est V parce que si p a 1 on peut prendre i = 1. Supposons que P(n) est V. Si p a 1 a 2 a n+1, alors p (a 1 a 2 a n )a n+1. Si p a n+1, alors i = n + 1 et P(n + 1) est V. Sinon, par la conséquence du Bézout, p a 1 a 2 a n et comme P(n) est V, alors i, 1 i n tel que p a i. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

17 Preuve du théorème fondamental de l arithmétique III Démonstration : (Unicité) Supposons que n = p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t. Comme p 1 q 1 q 2 q t, par le lemme précédent, i tel que p 1 q i. Comme q i et p 1 sont premiers, on a que p 1 = q i. On peut supposer, en changeant l ordre, que i = 1 et p 1 = q 1. Alors p 2 p s = q 2 q t. On continue ainsi. Comme 1 n est pas produit de nombres premiers, on arrive à s = t, p 2 = q 2,..., p s = q s. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

18 Le principe du bon ordre Tout ensemble non vide de N admet un plus petit élément. C est-à-dire, si S N et S, alors x S y S(x y). Exemples : 5 est le plus petit élément de S = {5, 7, } N. Z n a pas de plus petit élément. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

19 L algorithme de division Théoreme : Soit a, d Z avec d > 0. Il existent des q, r Z uniques tels que 0 r < d et Démonstration (existence) : Soit a = dq + r. S = {a dk N k Z}. Si a 0, on voit que a = a 0 d N, donc S. Si a < 0, prenons k = a, donc a da = (1 d)a 0 et S. Par le principe de bon ordre, S a un plus petit élément r = a dq. Supposons que r d. Donc r d = a d(q + 1) 0, et r d S, contradiction parce que r est le plus petit élément de S. Donc 0 r < d. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

20 L algorithme de division Théoreme : Soit a, d Z avec d > 0. Il existent des q, r Z uniques tels que 0 r < d et a = dq + r. Démonstration (unicité) : Supposons que a = q 1 d + r 1 = qd + r. Disons que r r 1. On a donc (q 1 q)d = r r 1. Par conséquent d (r r 1 ). Comme 0 r r 1 r < d, il faut que r r 1 = 0. Donc q 1 d = qd et par conséquent q = q 1 aussi. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

21 L équivalence entre bon ordre et les principes de l induction Considérons 1 Le principe de l induction 2 Le principe généralisé de l induction 3 Le principe du bon ordre On peut prouver que 1) = 2) = 3) = 1) Un de ces principes (n importe quel) est ajouté comme axiome à la construction des nombres naturels. Les autres deux deviennent théorèmes. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

22 Le principe du bon ordre implique le principe de l induction Supposons que le principe du bon ordre est V. Et que nous avons Soit (P(0) ( n (P(n) P(n + 1)))). S = {m P(m)} et supposons que S. Par le principe du bon ordre, k N, k un plus petit élément de S. Comme P(0) est V, on a que 0 S et que k > 0. Alors, k 1 N. k 1 S (parce que k es un plus petit élément de S et k 1 < k), donc P(k 1) est V. Donc P(k) est V, ce qui contradit le fait que k S. La contradiction provient de supposer que S. Donc, S = et P(n) est V pour tout n. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

23 Curiosité (pas dans l examen) : Le principe généralisé de l induction implique le principe du bon ordre Supposons que le principe généralisé de l induction est V. Soit S N un ensemble non-vide. Supposons que S n a pas de plus petit élément. Soit P(n) = n S. Si 0 S, S a un plus petit élément, ce qui contradit l hypothèse. Si 0 S, on a que P(0) est V. Supposons que P(m) est V pour m n, c est-à-dire, m S pour m n. Si n + 1 S, S a un plus petit élément, ce qui contradit l hypothèse. Si n + 1 S, on a que P(n + 1) est V. Par le principe de généralisé l induction, P(n) est V pour tout n. Donc, S =. La contradiction provient de supposer que S n as pas de plus petit élément. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24

24 Curiosité (pas dans l examen) : Le principe de l induction implique le principe généralisé de l induction implique P(0) ( n (P(n) P(n + 1))) ( n P(n)). P(0) ( n (P(0) P(1)... P(n 1) P(n) P(n + 1))) Démonstration : Soit ( n P(n)). Q(n) = Pour chaque naturel m n on a que P(m) est vrai On va montrer par induction que Q(n) est V pour n N. On a que Q(0) est V parce que P(0) est V. Supposons que Q(n) est V. Alors, P(m) est V pour m n. Par hypothèse, cela implique que P(n + 1) est V. Donc Q(n + 1) est V. On a prouvé par induction que n Q(n) est V. Donc, n P(m) est V pour m n. Alors, n P(n) est V. Matilde N. Laĺın (U de M) MAT1500 Le 18 octobre / 24