Ajustement graphique d une loi normale : La droite de Henry
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- Christian Paul
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1 La droite de Henry
2 Ajustement graphique d une loi normale : La droite de Henry Il existe une façon de vérifier visuellement l ajustement d une série de données à une courbe normale. Cet ajustement utilise un papier dit «gausso-arithmétique» qui permet de rendre linéaire la courbe cumulative de la loi normale. Ce procédé est facile à utiliser et permet en plus d obtenir une estimation graphique de la moyenne et de l écart type de la distribution des observations. La fonction de répartition de la variable aléatoire X est F(x) = P( X x). La représentation graphique de cette fonction prend la forme suivante lorsqu on la trace en employant des échelles linéaires traditionnelles : Lorsqu on la trace sur du papier «gausso-arithmétique», elle prend une forme linéaire comme celle-ci : Ce papier est dit «gausso-arithmétique» parce que l échelle horizontale est linéaire et l échelle verticale est bâtie selon une loi normale (ou loi de Laplace Gauss). La façon de bâtir cette échelle est similaire à celle utilisée pour bâtir une échelle logarithmique. On place, à la hauteur a, la valeur P(X a). De fait, on utilise une loi normale centrée réduite pour la construction de l échelle. Une échelle graduée de 0,2% à 99,8% est placée à gauche et correspond à la valeur de la fréquence cumulée en pourcentage. D autres marques (-2, -1, 0, 1 et 2) sont disposées à droite et correspondent aux valeurs centrées réduites de la loi normale centrée réduite.
3 Pour vérifier l ajustement d une série de données à une loi normale en employant du papier «gausso-arithmétique», il faut graduer l échelle horizontale pour permettre de placer les valeurs de la variable aléatoire et calculer les fréquences cumulées en pourcentage pour obtenir les points à placer sur ce papier «gaussoarithmétique». Si les données proviennent d une loi normale, les points devraient s aligner. Si la loi n est pas normale, les points devraient former une courbe quelconque. Voici une série de données que nous aimerions ajuster à une loi normale. Classes fréquences X < X < X < X < X < X < X < X < X < Total 60 Il faut d abord calculer les fréquences cumulées en pourcentage. valeur x i fréquences cumulées fréquences cumulées en pourcentage f i , , , , , , , , ,00 Ensuite il faut porter ces points (x i, f i ) sur le papier «gausso-arithmétique». Remarquez que le point (60, 100) ne peut être porté sur ce graphe puisque théoriquement, il devrait être à l infinie. Nous n aurions pas pu porter de point dont la seconde composante aurait été zéro pour la même raison.
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5 L alignement de ces points nous permet de conclure que cette distribution de fréquences peut provenir d une loi normale. On peut aussi récupérer des renseignements concernant la moyenne et l écart type de cette distribution de fréquences. On trace la droite qui nous semble le mieux ajuster ces points.
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7 À la hauteur 50 sur l échelle verticale de gauche (ou 0 sur l échelle de droite), on détermine la valeur x qui nous amène à placer le point (x, 50) sur cette droite. Cette valeur est une approximation de la médiane puisque P(X x) = 50%. Or une loi normale à la particularité que la moyenne égale la médiane. Nous obtenons donc aussi une approximation de la moyenne. Sur notre exemple on peut lire environ Pour obtenir une approximation de l écart type, on lit deux valeurs permettant de nous situer sur cette droite. On peut utiliser celles (x -2 et x 2 ) qui se trouvent à la hauteur des valeurs 2 et 2 de l échelle verticale de droite. Ils correspondent à un écart de 2 - (-2) = 4 écarts types. Une bonne approximation de l écart type est (x 2 x -2 )/4. Sur notre exemple on peut lire x -2 = et x 2 = Une approximation de l écart type serait (x 2 x -2 )/4 = ( )/4 = Vous trouverez à la page suivante un exemplaire de papier «gaussoarithmétique» que vous pourrez reproduire à volonté. De plus, un fichier Word contenant cette page est disponible sur le réseau de la bibliothèque au répertoire habituel où vous pouvez retrouver des messages.
8 Papier gausso-arithmétique
9 Exercices 1. Le département de génie industriel veut déterminer si le temps requis pour effectuer une opération d usinage est distribué selon une loi normale. Le chronométrage de cette opération a fourni les temps suivants en secondes : Temps en secondes 26,0 27,1 30,4 31,5 33,7 30,8 25,7 39,2 29,6 31,2 32,0 29,5 26,7 28,6 30,0 27,8 31,6 33,2 27,5 28,0 30,7 28,2 32,3 34,0 27,2 26,5 31,8 29,0 32,2 26,3 33,4 30,3 32,5 30,5 30,6 31,5 31,4 30,0 25,2 32,7 28,0 28,4 31,9 30,2 28,6 28,3 31,3 30,0 27,5 32,8 29,1 31,6 29,8 30,7 29,5 34,6 30,6 33,8 27,6 29,8 a) Afin d utiliser le papier gausso-arithmétique pour vérifier la normalité de ces données, regrouper les données en classes en suivant la procédure établie au début de la session en utilisant comme amplitude de classes la valeur entière la plus près de la valeur E/k et comme borne inférieure de la première classe la valeur paire immédiatement inférieure à la plus petite donnée obtenue. b) Déterminer si les données suivent une loi normale en utilisant la droite de Henry et si l ajustement semble satisfaisant, calculer une approximation de la moyenne et de l écart type de ces données à partir de la droite de Henry. c) Calculer la moyenne et l écart type de la série originale et comparer les valeurs obtenues précédemment. 2. Une entreprise fabriquant des céréales a recueilli les données suivantes sur le poids des contenants après remplissage. Poids en grammes
10 a) Afin d utiliser le papier gausso-arithmétique pour vérifier la normalité de ces données, regrouper les données en classes en suivant la procédure établie au début de la session en utilisant comme amplitude de classes la valeur entière la plus près de la valeur E/k et comme borne inférieure de la première classe la plus petite donnée obtenue. b) Déterminer si les données suivent une loi normale en utilisant la droite de Henry et si l ajustement semble satisfaisant, calculer une approximation de la moyenne et de l écart type de ces données à partir de la droite de Henry. c) Calculer la moyenne et l écart type de la série originale et comparer les valeurs obtenues précédemment. 3. Voici les données obtenues auprès de 1052 femmes japonaises au sujet de leur grandeur mesurée en pouces. Classes Fréquences 52 X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X < X <71 2 total 1052 a) Déterminer si les données suivent une loi normale en utilisant la droite de Henry et si l ajustement semble satisfaisant, calculer une approximation de la moyenne et de l écart type de ces données à partir de la droite de Henry. b) Calculer la moyenne et l écart type de la série regroupée en classes et comparer les valeurs obtenues précédemment.
11 4. Voici 1573 mesures de la concentration en hydroxyméthylefurfurol obtenues sur une longue période. Classes Fréquences 0,00 < X 0, ,25 < X 0, ,50 < X 0, ,75 < X 1, ,00 < X 1, ,25 < X 1, ,50 < X 1, ,75 < X 2, ,00 < X 2, ,25 < X 2, ,50 < X 2,75 9 2,75 < X 3, ,00 < X 3, ,25 < X 3, ,50< X 3,75 8 3,75 < X 4, ,00 < X 4,25 3 4,25 < X 4,50 1 4,50 < X 4,75 3 4,75 < X 5,00 1 5,00 < X 6,00 8 6,00 < X 7,00 7 7,00 < X 8,00 11 total 1573 a) Déterminer si les données suivent une loi normale en utilisant la droite de Henry et si l ajustement semble satisfaisant, calculer une approximation de la moyenne et de l écart type de ces données à partir de la droite de Henry. b) Calculer la moyenne et l écart type de la série regroupée en classes et comparer les valeurs obtenues précédemment.
12 Réponses aux exercices 1. a) k = 7, x min = 25,2, x max = 39,2, E = 14 E/k = 2, a = 2 et b 1 = 24. Classes Fréquences 24 X < X < X < X < X < X < X < X < 40 1 total b) L ajustement semble raisonnable et µ 30,2 et σ 2,4. c) µ = 30,175 et σ = 2,56. Nous avons des mesures assez comparables. a) k = 7, x min = 332, x max = 349, E = 17 E/k = 2,4, a = 2 et b 1 = 332. Classes Fréquences 332 X < X < X < X < X < X < X < X < X < total b) L ajustement semble raisonnable et µ 341 et σ 3,7. c) µ = 340,1 et σ = 3,96. Nous avons des mesures assez comparables. a) L ajustement semble raisonnable et µ 62.5 et σ 2.4. b) µ = 62,48 et σ = 2,39. Nous avons des mesures assez comparables. a) L ajustement ne semble pas raisonnable. b) µ = 0,90 et σ = 1,08. Nous avons des mesures assez comparables.
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