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1 DST 6 Correctio Exercice 1 (5 poits) (Asie, jui 11) Le pla est rapporté à u repère orthoormal. 1) Étude d ue foctio. O cosidère la défiie sur l itervalle par. O ote la foctio dérivée de la foctio sur l itervalle. O ote la courbe représetative de la foctio das le repère orthoormal. La courbe est représetée e aexe à redre avec la copie. a) Détermier les limites de la foctio e et e. b) Calculer la dérivée de la foctio. La foctio est dérivable sur comme quotiet de deux foctios dérivables sur. c) E déduire les variatios de la foctio. sur. car la foctio est strictemet croissate sur doc O e déduit les variatios de : Si et est strictemet croissate. Si et est strictemet décroissate. O peut résumer les iformatios des questios 1 a) b) et c) das le tableau de variatios suivat : ) Étude d ue foctio. O cosidère la défiie sur l itervalle par.

2 O ote la courbe représetative de la foctio das le repère orthoormal. a) Détermier la limite de e, puis e. Après l avoir justifié, o utilisera la relatio : b) Calculer la dérivée de la foctio. La foctio est dérivable sur comme quotiet et composée de deux foctios dérivables sur. c) Dresser le tableau de variatio de la foctio. car la foctio est strictemet croissate sur doc sur. O e déduit le tableau de variatios suivat : 3) a) Démotrer que les courbes et possèdet deux poits e commu dot o précisera les coordoées.

3 Les poits d'itersectio des courbes et sot et b) Étudier les positios relatives des courbes et. Sur l itervalle, a le même sige que ; O a le tableau de siges suivat : Sur les itervalles et, et doc est e dessous de Sur l itervalle et doc est au dessus de Au poits d abscisses et, les courbes se croiset. d) Tracer sur le graphique de l aexe 1 (à redre avec la copie) la courbe. 4) 4) O désige par l aire, exprimée e uité d aire, de la partie du pla délimitée, d ue part par les courbes et, et d autre part par les droites d équatios respectives et. E exprimat l aire, comme différece de deux aires que l o précisera, calculer.

4 Rappel : Quelque soit o a a pour primitive. Ici et Exercice (4 poits) (Polyésie, jui 8) 1) a) 1 AB 1 doc 4 3 xac et x 1 AB 1 AB 1 et 1 yac 5 5 y 1 AB 11 AC 3 doc 3 x y AC AC doc x y AB AB AC 5 1 doc les coordoées des vecteurs AB et AC e sot pas proportioelles doc les vecteurs AB et AC e sot pas coliéaires doc les poits A, B et C e sot pas aligés b) AB AC AB et AC doc est orthogoal à deux vecteurs o coliéaires du pla ABC doc est u vecteur ormal au pla ABC c) Soit M x ; y ; z u poit de l espace. M ABC AM x 1 AM y 3 z x y z x y z 3 x y z 3 Ue équatio cartésiee du pla ABC est doc x y z 3 ) Soit la droite dot ue représetatio paramétrique est : xt y 1 t z 4 t, t a) Pour t 1, o a : x 1 y 1 1 z 4 1 soit x 4 y z 5 doc 4 5 D appartiet à la droite b) D après l équatio paramétrique de, le vecteur 1 1 u est u vecteur directeur de

5 u doc le vecteur u est ormal au pla ABC doc la droite or est perpediculaire au pla ABC 3) Soit E le projeté orthogoal du poit D sur le pla ABC a) E est le projeté orthogoal du poit D sur le pla ABC, or la droite passat par D et perpediculaire au pla ABC est la droite, doc ; ; pla ABC. E ABC x t y 1 t z 4 t x y z 3 t 1 x 1 y 1 1 z 41 b) E x y z appartiet à la droite et au xt y 1 t z 4 t t 1 t 4 t 3 t 1 x doc E y 3 z 3 DE DE Exercice 3 (5 poits) i 1) Pour tout etier aturel o ul, pour tout réel, e est égal à: i i i e e e répose a si i e cos i répose d ) Soit z u ombre complexe tel que z x iy (x et y réels). Si z est u imagiaire pur, alors z est égal à : z iy y y répose a z iy i y y z répose c 3) O pose z i. z i i i z i 4 i Soit u argumet de z, cos 4 si 4 doc cos si 4 doc

6 doc z 4 4e i répose b z z z répose d 4) O cosidère trois suites u, v et, lim u 1 w u v w u 1 lim et uv et w 1 lim w ayat, pour tout etier aturel, les propriétés suivates : lim 1. Alors : u w doc lim doc lim e 1 répose b, u v w v peut avoir importe quel ombre réel compris etre 1 et 1 comme limite, ou même e pas avoir de limite répose d doc u pour tout etier aturel : u1 u 1 v 1 u 11 u 11 u u 1 v répose b 5) Ue suite u est défiie sur par,, w l u 1 l v l v l l v l l u 1 l w répose d et e 1 Exercice 4 (6 poits) Ue etreprise fabrique, e grade quatité, des pièces métalliques rectagulaires dot les côtés sot exprimés e millimètres. U cotrôle de qualité cosiste à vérifier que la logueur et la largeur de la pièce sot coformes à la orme e vigueur. Partie A Das les questios qui suivet, les résultats serot approchés, si écessaire, à près. O ote l évèemet «Ue pièce prélevée au hasard das le stock de l etreprise est coforme». O suppose que. O prélève au hasard 5 pièces das le stock. Le stock est assez importat pour que l o puisse assimiler ce prélèvemet à u tirage avec remise de 5 pièces. O cosidère la variable aléatoire qui, à tout prélèvemet de 5 pièces, associe le ombre de pièces coformes parmi ces 5 pièces. 1) Quelle est la loi suivie par? Doer ses paramètres. Lorsque l o prélève au hasard ue pièce du stock, il y a deux issues possibles : soit la pièce est coforme avec ue probabilité, soit elle e l est pas avec ue probabilité. O a doc u schéma de Beroulli. Si o prélève 5 pièces, o assimile le tirage à u tirage avec remise. O peut doc cosidérer que les prélèvemets sot idépedats les us des autres. La variable aléatoire qui compte le ombre de pièces coformes das le prélèvemet suit doc la loi biomiale de paramètres et. ) a) Calculer la probabilité que toutes les pièces soiet coformes.

7 b) Calculer la probabilité que, das u tel prélèvemet, au mois ue pièce e soit pas coforme. 3) a) Justifier que la loi de la variable aléatoire peut être approchée par la loi ormale cetrée réduite et. Nous sommes das les coditios d applicatio du théorème de Moivre-Laplace. O peut doc approcher par la loi ormale. P( b) Détermier au moye de l approximatio précédete la probabilité que le ombre de pièces coformes, das u tel prélèvemet, soit supérieur ou égal à 4. Partie B Ue partie des pièces de la productio de l etreprise est fabriquée par ue machie automatique appelée «machie 1». et sot les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée au hasard das u lot très importat fabriqué par la machie 1, associe respectivemet sa logueur et sa largeur. O suppose que suit la loi ormale d espérace et d écart-type. O suppose que suit la loi ormale d espérace et d écart-type. 1) Calculer la probabilité que la logueur de la pièce prélevée au hasard soit comprise etre 46 et 54. ) Calculer la probabilité que la largeur de la pièce prélevée au hasard soit comprise etre 147 et ) Ue pièce est coforme si sa logueur est comprise etre 46 et 54 et sa largeur est comprise etre 147 et 153. O admet que les variables aléatoires et sot idépedates. Motrer que la probabilité qu ue pièce prélevée au hasard das ce lot soit coforme est,9133. Les variables aléatoires sot idépedates doc Partie C Ue autre machie automatique de l etreprise, appelée «machie», fabrique égalemet ces mêmes pièces e grade quatité. O suppose que la probabilité qu ue pièce prélevée au hasard das la productio d ue

8 jourée de la machie 1 soit coforme est,9133 et que la probabilité qu ue pièce prélevée au hasard das la productio jouralière de la machie soit coforme est,879. La machie 1 fourit 6% de la productio totale et la machie le reste. O prélève au hasard ue pièce parmi la productio totale de l etreprise. Toutes les pièces ot la même probabilité d être tirées. O défiit les évèemets : «la pièce proviet de la machie 1», : «La pièce proviet de la machie» et C : «La pièce est coforme». 1) a) Costruire u arbre podéré traduisat cette expériece aléatoire. b) Détermier les probabilités et Par lecture de l éocé o a : et. ) Détermier. Iterpréter le résultat. Les pièces e peuvet proveir que des machies 1 ou. Doc les évèemets et formet ue partitio de l uivers. O e déduit, d après la formule des probabilités totales, que : Eviro 9% des pièces sot coformes. à près. 3) Calculer la probabilité qu ue pièce proviee de la machie 1 sachat qu elle est pas coforme.

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