Partie I - Suites récurrentes linéaires

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1 SESSION 0 Concours commun Centrle MATHÉMATIQUES. FILIERE MP Prtie I - Suites récurrentes linéires I.A - Ordre (et polynôme) miniml d une suite récurrente linéire Soit x une suite récurrente linéire. Pr définition, il existe un polynôme A non nul tel que A(sigm)(x) 0 et donc J x {0} et ussi J x. Soit (A,B) (J x ). Alors (A B)(σ)(x) A(σ)(x) B(σ)(x) 0 et donc A B J x. Soit (A,P) J x K[X]. PA(σ)(x) (P(σ) (A(σ))(x) P(σ)(A(σ)(x)) P(σ)(0) 0 (cr P(σ) est un endomorphisme de K N ). On montré que J x est un idél non réduit à {0} de K[X]. I.B - Quelques exemples I.B.) Une suite récurrente d ordre 0 est une suite x telle que 0 K\{0}/ n N, 0 x n 0. Cette églité sont équivlentes à x 0 et donc, il existe une et une seule suite récurrente d ordre 0 à svoir l suite nulle. Soit x K N. x est une SRL d ordre x n est ps une SRL d ordre 0 et ( 0, ) K\{0} K/ n N, x n+ + 0 x n 0 x 0 et q K/ n N, x n+ qx n. Les SRL d ordre sont les suites géométriques non nulles. Soit x K N. (σ Id) (x) 0 n N, x n+ x n+ +x n 0 (,b) K / n N, x n n+b x est une suite rithmétique. Mintennt, les suites précédentes ont un polynôme miniml qui est un diviseur unitire de (X ) et donc dmettent pour polynôme miniml, X, (X ). De plus, - il y une et une seule suite rithmétique dmettnt pour polynôme miniml à svoir l suite nulle, - les suites dmettnt X pour polynôme miniml sont les suites constntes et non nulles. Donc, les suites dmettnt (X ) pour polynôme miniml sont les suites rithmétiques de rison non nulle. I.B.) Le polynôme crctéristique de l récurrence est X 3 +3X +3X+ (X+) 3. Donc, le polynôme miniml B x de x est l un des qutre polynômes, X+, (X+) ou (X+) 3. x 0 cr x et donc B puis x 0 +x 0 et donc B X+ cr (x n +x n+ ) n N n est ps l suite nulle. Montrons pr récurrence que n N, x n+ +x n+ +x n 0. x 0 +x +x et donc l églité est vrie pour n 0. Soit n 0. Supposons que x n+ +x n+ +x n 0. Alors x n+3 +x n+ +x n+ ( 3x n+ 3x n+ x n )+x n+ +x n+ x n+ x n+ x n 0. http :// c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

2 Le résultt est démontré pr récurrence. Ainsi, (X+) (σ)(x) 0 et donc le polynôme miniml de x est (X+). I.C - L espce vectoriel R A (K) et deux cs prtoiculiers I.C.) R A (K) est le noyu de l endomorphisme A(σ) de K N et donc R A (K) est un sous-espce vectoriel de K N. Soit x K N. x RA(x) A(σ)(x) 0 σ(a(σ)(x)) 0 (cr σ L ( K N) ) (σ A(σ))(x) 0 (A(σ) σ)(x) (σ commute vec tout polynôme en σ) A(σ)(σ(x)) 0 σ(x) R A (K). Donc R A (K) est un sous-espce vectoriel de K N stble pr σ. Montrons que R A (K) est de dimension p. Soit ϕ : R A (K). Montrons que ϕ est un isomorphisme d espces x (x 0,x,...,x ) vectoriels. - ϕ est une ppliction de R A (K) dns K p, clirement linéire. k - Soit α (α k ) 0 k. Soit x l suite définie pr : k 0,, x k α k et n N, x n+p x n+k. p x est un élément de R A (K) tel que ϕ(x) α. Ceci montre que ϕ est surjective. - Soit x R A (K). Si x Ker(ϕ), k k 0,, x k 0 et n N, x n+p x n+k. p Mis lors, x 0 x... x 0 et si pour n 0, x n x n+... x n+ lors x n+p 0. On montré pr récurrence que n N, x n 0 et donc x 0. Pr suite, Ker(ϕ) {0} et donc ϕ est injective. Finlement, ϕ est un isomorphisme. Puisque ϕ est un isomorphisme d espces vectoriels, dim(r A (K)) dim(k p ) p. I.C.) Soit x K N. x R A (K) n N, x n+p 0 n p, x n 0. Pour k 0,p, soit e k l suite définie pr : n N, (e k ) n δ n,k. Chque e k, 0 k p est un élément de R A (K). De plus, l fmille (e k ) 0 k est l imge de l bse cnonique de K p pr l isomorphisme ϕ (où ϕ été défini à l question précédente). Donc, l fmille (e k ) 0 k est une bse de R A (K). ( (n I.C.3) ) E A (K) Vect k λ n) n N) et donc E A(K) est un sous-espce vectoriel de K N de dimension inférieure 0 k ou égle à p. ( (n Montrons que l fmille k λ n) n N) est libre. Soit (α k) 0 k K p. Posons Q α k X k. 0 k ( α k n k λ n) 0 n N, α n N k n k λ n 0 n N, Q(n)λ n 0 K p n N, Q(n) 0 (cr λ 0) Q 0 (polynôme ynt une infinité de rcines) k 0,, α k 0. ( (n Donc l fmille k λ n) ( (n n N) est libre et finlement, l fmille k λ n) ) est une bse de E 0 k n N A(K). 0 k On en déduit que E A (K) est un sous-espce vectoriel de K N de dimension p. b) Soient Q K [X] puis x (Q(n)λ n ) n N. (X λ)(σ)(x) (σ λid)(x) ( Q(n+)λ n+ λq(n)λ n) n N ((λq(n+) λq(n))λn ) n N. Donc (σ λid) (x) (Q (n)λ n ) n N où Q λ(q(x+) Q(x)). On note lors que deg(q ) deg(q) p. Pr récurrence descendnte, k,p, (σ λid) k (x) (Q k (n)λ n ) n N oùq k est un polynôme tel que deg(q k ) p k. En prticulier, pour k p, (σ λid) p (x) (Q p (n)λ n ) n N où Q p est un polynôme tel que deg(q p ) et donc Q p 0. http :// c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

3 Ceci montre que (σ Id) p (x) 0 et donc que x R A (K). On montré que E A (K) est contenu dns R A (K). Puisque E A (K) est un sous-espce de R A (K) et que dim(e A (K)) p dim(r A (K)) < +, on montré que R A (K) E A (K). I.D - Etude de R A (K) qund A est scindé sur K Si d 0, le résultt à étblir l été à l question I.C.). On suppose dorénvnt que d. Les polynômes X m 0 et (X λ k ) m k, k d, sont deux à deux premiers entre eux (cr sns rcine commune dns C). D près l théorème de décomposition des noyux et les questions.c.) et I.C.3), ( ) R A [X] KerA(σ) Ker(σ m 0 ) Ker(σ λ k Id) m k ) k d { (x n ) K N / n m 0, x n 0 } ( { (Qk (n)λ n k) n N, Q k K mk [X] }) k d { (x n ) K N / n m 0, x n 0 } { d } Q k (n)λ n k, k,d, Q k K mk [X]. Si x est de l forme ci-dessus, lors n m 0, x n d Q k (n)λ n k où k,d, Q k K mk [X]. d Réciproquement, soit x une suite de l forme précédente. Soit x l suite définie pr n N, x n Q k (n)λ n k. Alors x (x x )+x où l suite x x s nnule à prtir du rng m 0. Donc x est dns R A [X]. On montré que R A [X] { (x n ) n N K N / k,d, Q k K mk [X]/ n m 0, x n } d Q k (n)λ n k. Prtie II - Mtrices de Hnkel ssociées à une suite récurrente linéire II.A - Clcul du rng de H n (x) qund x est une suite récurrente linéire II.A.) Pr définition, x est un élément de R B (K). D près l question I.C.), R B (K) est stble pr σ. Donc, k N, σ k (x) R B (K). Ainsi, ( σ k (x) ) 0 k est une fmille de R B(K) de crdinl p dim(r B (K)) < +. Pour montrer que l fmille ( σ k (x) ) 0 k est une bse de R B(K), il suffit de vérifier que l fmille ( σ k (x) ) est libre. 0 k Soient (α k ) 0 k K p puis P α k X k. α k σ k (x) 0 P(σ)(x) 0 P 0 (cr deg(p) < deg(b) et pr définition du polynôme miniml) k 0,, α k 0. Ainsi, l fmille ( σ k (x) ) 0 k est libre et donc l fmille ( σ k (x) ) 0 k est est une bse de R B(K). Soit n N. Si n p, l fmille ( σ k (x) ) 0 k est une sous-fmille de l fmille libre ( σ k (x) ). On en déduit que l 0 k fmille ( σ k (x) ) est libre et donc de rng n. 0 k Si n > p, lors k p,, σ k (x) R B (K) Vect ( σ k (x) ). Pr suite, 0 k rg ( σ k (x) ) 0 k rg( σ k (x) ) 0 k p. http :// 3 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

4 n N, rg ( σ k (x) ) 0 k { n si n < p p si n p. II.A.) Soit n N. Comme à l question I.C.), n p, ϕ n est (linéire) injective. Soit n p. On note que H n (x) ( (σ j (x)) i ) i,j n. On note C,..., C n, les colonnes de l mtrice H n (x). Puisque k p, σ k (x) Vect ( x,σ(x),...,σ (x) ), on encore j p+, C j Vect(C,...,C p ) et donc rg(h n (x)) rg ( (σ j (x)) i ) i n, j p rg(c,...,c p ). Vérifions lors que l fmille (C,...,C p ) est libre. Soit (α k ) 0 k K p. p α k C k 0 j 0,n, α k (σ k (x)) j 0 ( ) ϕ n α k (σ k (x)) 0 α k σ k (x) 0 (cr ϕ n est injective) Ainsi, l fmille (C,...,C p ) est libre et donc k 0,, α k 0 (cr l fmille (σ k (x)) 0 k est libre.). rg(h n (x)) rg(c,...,c p ) p. II.B - Détermintion de l récurrence minimle d une suite récurrente linéire II.B.) Puisque p rg(h m (x)), on m p puis n p, rg(h n (x)) p. Puisque rg(h p (x)) p, les p colonnes de H p (x) constituent une fmille libre. Notons C,..., C p, les p colonnes de H p(x) et C,..., C p, C p+, les p+ colonnes de H p+ (x). Les colonnes C,..., C p, sont linéirement indépendntes cr p α k C k 0 p α k C k 0 k,p, α k 0. Puisque rgh p+ (x) p et que (C,...,C p ) est libre, on en déduit que C p+ Vect(C,...,C p ). Pr suite, il existe (b k ) 0 k K p tel que C p+ b 0 C... b C p. Mis lors, le vecteur (b 0,...,b,) est un vecteur non nul du noyu de H p+ (x). D utre prt, le théorème du rng permet d ffirmer que dim(ker(h p+ (x))) p+ rg(h p+ (x)) p+ p, Pr suite, Ker(H p+ (x)) est l droite vectorielle engendrée pr le vecteur (b 0,...,b,). II.B.) L églité b 0 C +...+b C p +C p+ 0 fournit b 0 x+b σ(x)+...+b σ (x)+σ p (x) 0 (pr injectivité de ϕ p+ ) et donc x R B (K) où B X p +b X +...+b X+b 0. Puisque x est d ordre miniml p et que B est unitire de degré p, B est le polynôme miniml de x. II.C - Etude d un exemple II.C.) II.C.) x est d ordre u plus 4. x 4 x 3 x, x 5 x 4 x 4 et x 6 x 5 x 3 4. x n est ni nulle, ni géométrique et donc p 0 et p. rg(h (x)) rg(()) ( ). rg(h (x)). Donc p puis p {3,4}. rg(h 3 (x)) 0 puis det(h 3 (x)) 0. Donc rg(h 3 (x) H 4 (x) Puisque rg(h 3(x)) 3, rg(h 4 (x)) 3 puis http :// 4 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

5 +b+c 0 +b d 0 (,b,c,d) Ker(H 4 (x) c 4d 0 b 4c 4d 0 +b c d c 0 b d { 0 b c d (0,,,) est un vecteur non nul du noyu de H 4 (x). Donc rg(h 4 (x)) 3 4 puis p 3. Mis lors, n 3, rg(h n (x)) 3. II.C.3) D près l question II.B.), le polynôme miniml de x est X 3 X +X et donc l récurrence minimle de x est : n N, x n+3 x n+ x n+. II.C.4) Puisque X 3 X +X X(X (+i))(x ( i)), l question I.D- permet d ffirmer qu il existe (,b) C tel que n, x n (+i) n +b( i) n. Puis { { { x (+i)+b( i) (+i)+b( i) x (+i) +b( i) +b i i( b) b i 4 b +i. 4 Donc, pour tout n, x n i 4 (+i)n + +i 4 ( i)n ((+i) +( i) ). n, x n ((+i) +( i) ). II.C.5) De nouveu, ( p ){,3,4} et x 4 puis x 5 x 6 4. / rg(h (x)). rg(h 3 (x)) / 0 puis det(h 3 (x)) + 0. Donc rg(h 3 (x)) et p 3. 0 / 0 H 4 (x) En développnt suivnt l dernière ligne, on obtient det(h 4 (x)) / / ( +)+4( +4) 4( +) 4 0. / 0 0 Donc, rg(h 4 (x)) 4 puis p 4. Pr suite, n 4, rg(h n (x)) 4 et l reltion de récurrence minimle de x est donc celle de l énoncé. III.A - Préliminires Prtie III - Vleurs propres des mtrices de Hnkel réelles III.A.) Si M est une mtrice de Hnkel de tille n, M est en prticulier une mtrice symétrique réelle. Le théorème spectrl permet d ffirmer que M est orthogonlement semblble à une mtrice digonles et en prticulier que le polynôme crctéristique de M est scindé sur R. III.A.) Si Spo(M) (λ,...,λ) pour un certin λ R, lors, M étnt digonlisble, M est semblble à λi n puis M λi n. Mis puisque n 3, ligne 3, colonne, de M on lit 0 et ligne, colonne, de M, on lit λ 0. Ceci est une contrdiction et donc on ne peut voir Spo(M) (λ,...,λ) pour un certin λ R. III.B - Une première condition nécessire n III.B.) On sit que λ i Tr(M) k puis que http :// 5 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

6 n λ i Tr(A ) n k n k n n M i,j M j,i i,j n i+jk i,j n i+jk j M i,j i+j n n j M i,j (sommtion en digonle) n 0 i,j i+jk i+j (k+) k + (() (k ())+) k kn (k+) k + (n k ) k. kn ( k i0 k ) + kn ik () k III.B.) et v,w p i (i ) + i k n λ i. n ip+ n i+(i ) n i+ n (i ) p v ((i ) ) (i ) + n (n (i ) ) (i ) ip+ p n (k+) k + (n k ) k (cr k p n, n k 0) kp n (k+) k + (n k ) k (cr n {,p}) n λ i. kn III.B.3) (λ i λ j ) λ i λ i λ j + λ j λ i λ i λ j + i<j n i<j n i<j n i<j n n λ i λ i λ i λ j i,j n n λ i v,w, ( n n i<j n ) ( n ) λ i λ i i<j n j n puis, d près l inéglité de Cuchy-Schwrz, v,w v w w λ i et donc n n n (λ i λ j ) n λ i v,w (n w ) λ i K n λ i. i<j n j<i n i<j n http :// 6 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés. λ i

7 III.B.4) Si de plus n 3, lors p puis w et donc K 3 3. D où III.C - D utres conditions nécessires (III.) (λ λ ) +(λ 3 λ ) +(λ 3 λ ) ( λ 3 +λ 3) +λ ( λ +λ +λ ) 3 (λ λ +λ λ 3 +λ λ 3 ) ( λ 3 +λ +λ 3) 4 ( λ 3 +λ +λ ) 3 (λ λ +λ λ 3 +λ λ 3 ) ( λ +λ 3) +λ 3(λ λ +λ λ 3 +λ λ 3 ). III.C.) B est symétrique réelle et donc B est digonlisble. Pr suite, l ordre de multiplicité de chque vleur propre de B est égl à l dimension du sous-espce propre correspondnt. Notons C,..., C n les colonnes de B. L fmille (C,C p,c n ) est clirement libre et donc rg(b) 3. Mis les utres colonnes sont nulles et donc rg(b) 3. Finlement, rg(b) 3. Mis lors, 0 est vleur propre de B d ordre n 3 (et donc 0 n est ps vleur propre de B qund n 3. Il mnque encore trois vleurs propres de B. Notons (e i ) i n l bse cnonique de M n, (R). B(e +e n ) e +e n. Donc est vleur propre de B. B(e e n ) (e e n ). Donc est vleur propre de B. Be p e p. Donc est vleur propre de B Finlement, Spo(B) (,0,...,0 }{{},, ). n 3 III.C.) D près le résultt dmis pr l énoncé, puisque M et B sont symétriques réelles, n λ ( )+λ ( )+ λ i 0+λ n Tr(MH) λ + λ i 0+λ ( )+λ n ( ), i3 ou encore λ +λ λ n Tr(MH) et λ λ λ n Tr(MH). Mintennt, Tr(MH) +() p+p + ()+ ( +) p 0 et on donc montré que i λ +λ λ n 0 et λ λ λ n 0. III.D - Cs n 3 III.D.) M(e e 3 ) ( c)(e e 3 ) et donc c est vleur propre de M. Ensuite, χ M X b c b c X b c b X ( X)(X (+c)x+c b ) b( bx+b bc)+c(cx+b c ) X 3 +(+c)x +X( c+b +c )+ c b +b c c 3 (X ( c))(x (+c)x b +c(+c)) Les trois vleurs propres dem(distinctes ou confondues) sont donc c, (+c+ ) +8b et (+c ) +8b. III.D.) Soient λ, λ et λ 3 trois réels donnés tels que λ λ λ 3 et λ λ λ 3 0 et λ + λ λ 3 0. On cherche trois réels, b et c tels que Spo(M) (λ,λ,λ 3 ). Il y à priori 3 possibilités : èr cs. λ (+c+ ) +8b, λ (+c ) +8b et λ 3 c. Dns ce cs, http :// 7 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

8 (+c+ ) +8b λ (+c ) +c λ +λ 3 (λ +λ +λ 3 ) +8b λ +8b λ λ c 3 (λ +λ λ 3 ) c λ 3 c λ 3 b ((λ λ ) 9 ) 8 (λ +λ +λ 3 ) 3 (λ +λ +λ 3 ) c 3 (λ +λ λ 3 ) b 8 (λ λ λ 3 )(λ λ +λ 3 ) ème cs. λ (+c+ ) +8b, λ c et λ 3 (+c ) +8b. (cr λ λ ) (+c+ ) +8b λ c λ (+c ) +8b λ c λ 3 3ème. λ c, λ +c λ +λ 3 3 (λ +λ +λ 3 ) +8b λ λ 3 c 3 (λ λ +λ 3 ) b ((λ λ 3 ) 9 ) 8 (λ +λ +λ 3 ) 3 (λ +λ +λ 3 ) c 3 (λ λ +λ 3 ) b 8 (λ λ λ 3 )(λ +λ λ 3 ) (+c+ ) +8b, et λ 3 (+c ) +8b. (cr λ λ 3 ) c λ (+c+ ) c λ 3 (λ +λ +λ 3 ) +8b λ (+c +c λ +λ 3 ) c +8b λ +8b 3 ( λ +λ +λ 3 ) λ λ 3 3 b ((λ λ 3 ) 9 ) 8 (λ +λ +λ 3 ) 3 (λ +λ +λ 3 ) c 3 (λ λ +λ 3 ) b 8 ( λ +λ λ 3 )(λ +λ λ 3 ) Dns le deuxième cs, le système proposé toujours une solution puisque (λ λ λ 3 )(λ +λ λ 3 ) 0 à svoir 3 (λ +λ +λ 3 ), b 3 (λ λ λ 3 )(λ +λ λ 3 ) et c 3 (λ λ +λ 3 ). Pour ces trois réels, b et c, on Spo(M) (λ,λ,λ 3 ). III.D.3) Ainsi, si n 3 et si un triplet ordonné vérifie les conditions (III.3), il existe une mtrice de Hnkel M telle que Spo(M) (λ,λ,λ 3 ). Donc, dns le cs n 3, (III.3) est une condition nécessire et suffisnte d existence d une mtrice de Hnkel M telle que Spo(M) (λ,λ,λ 3 ). Soit λ. Pour le triplet ordonné (λ,,), (cr λ λ 3 ) (III.) (λ +) 3(λ+) λ 6λ+ 0 (] ] [ λ, [) 7,+ [ [,+ [ λ 3+ 7,8... http :// 8 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.

9 L deuxième des conditions (III.3) s écrit qunt à elle λ 3 0. Donc si on prend λ 3+ 7, (λ,,) est un triplet ordonnée tel que les conditions (III.3) ne sont ps vérifiées. Il n existe donc ps de de mtrice de Hnkel M telle que Spo(M) (λ,,). Nénmoins, l condition (III.) est vérifiée pr le triplet ordonné(λ,, ) et donc l condition (III.) n est ps une condition suffisnte d existence. http :// 9 c Jen-Louis Rouget, 0. Tous droits réservés.