). 1. Montrer que pour tout n 1 on a u n > Démontrer que pour tout n 1 on a u n+1 2 = 1 (u n 2) 2

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1 TS Suites récurrentes Exercices Exercice. Soit u la suite définie par u 0 = 3 et pour tout entier n, + = 4un +.. Démontrer que pour tout entier n, >.. On définit la suite v pour n N par v n = un. Montrer que v est géométrique et déterminer sa limite. 3. En déduire que u est convergente et déterminer sa limite. Exercice. Soit u la suite définie par u = 3 et pour tout entier n, + = ( + ).. Montrer que pour tout n on a > 0.. Démontrer que pour tout n on a + = (u n ). En déduire que pour tout n, on a. 3. Démontrer que pour tout n, + = (u n ) +. En déduire que pour tout n,. (On pourra utiliser un raisonnement n par récurrence). 4. La suite u converge-t-elle? Si oui, quelle est sa limite? Cette méthode d approximation de la racine carrée d un entier est appelée méthode de Héron car elle était utilisée par Héron d Alexandrie (I er siècle de notre ère) sans bien sûr utiliser les suites. On remarquera la vitesse de convergence de cette méthode qui est dite quadratique : à chaque étape on «gagne» environ deux chiffres significatifs. Exercice 3. { u0 = Soit u la suite définie par + = u 0 n(0 ). Soit f la fonction définie sur [0; 0] par f(x) = x(0 x). 0 a. Étudier les variations de f sur [0; 0]. b. En déduire que pour tout x [0; 0], f(x) [0; 0]. c. Tracer la courbe représentative de f dans un repère et représenter sur l axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite u.. Montrer par récurrence que pour n N on a Montrer que la suite u est convergente et déterminer sa limite. Exercice 4. On considère la suite u définie par u 0 = 0 et pour tout entier n, + = Calculer u, u et u 3.. a. Étudier les variations de la fonction f : x x + 6. b. Tracer dans un même repère C f et : y = x. c. Représenter sur le graphique précédent les premiers termes de la suite u. Quelles conjectures peut-on faire?

2 TS Suites récurrentes Exercices 3. Montrer que u est croissante et majorée. Que peut-on en déduire pour u? 4. Déterminer la limite de la suite u. Exercice 5. On considère la suite u définie par son premier terme u 0 > 4 et par la relation de récurrence 3 pour n N, + = a. Étudier les variations de la fonction f : x 4 + 3x. Tracer sa courbe représentative C f dans un repère ainsi que la droite d d équation y = x. b. Déterminer les coordonnées du point d intersection de C f et d.. On suppose dans cette question que u 0 = 6. a. Démontrer que u est minorée. b. Étudier les variations de u. c. En déduire que u converge et déterminer sa limite. 3. a. Démontrer que le résultat obtenu à la question précédente est vrai pour tout u 0 > 4. b. Qu en est-il si 0 < u 0 < 4? Exercice 6 (Bac S - France 007). Soit u la suite définie par u 0 = et + = u 3 n + 3 pour tout entier naturel n. 7. a. Tracer dans un repère orthonormé (unité : 4cm) la droite d d équation y = x + 3 et 3 7 représenter sur l axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite u. b. Démontrer que si u est convergente alors sa limite est l = 3 8. c. Démontrer que pour tout n N on a > 3 8. d. Étudier la monotonie de la suite u et en déduire sa convergence et sa limite.. a. Soit n un entier naturel non nul. Montrer que : n+ k= 0 = ( ) k 90 0 n c-à-d que = ( ) n n b. La suite v est définie pour n N par v n =, avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi, v 0 =,, v =,7, v =,77,... En utilisant le résultat de la question a, démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r. 3. La suite u et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier. Exercice 7 (Amérique du Nord - Juin 007). Soit la fonction f définie sur l intervalle [0 ; ] par f(x) = x+ x+.. Étudier les variations de f sur [0 ; ]. Montrer que si x [ ; ] alors f(x) [ ; ].. ( ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par : u 0 = et pour tout entier naturel n, + = f( ). v 0 = et pour tout entier naturel n, v n+ = f(v n ).

3 TS Suites récurrentes Exercices 3 a. Le graphique donné en annexe ci-après représente la fonction f sur l intervalle [0 ; ]. Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites ( ) et (v n ) en laissant apparents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites ( ) et (v n )? b. Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que : Pour tout entier naturel n, v n. Pour tout entier naturel n, v n+ v n. On admettra que l on peut démontrer de la même façon que : Pour tout entier naturel n,. Pour tout entier naturel n, +. v c. Montrer que pour tout entier naturel n, v n+ + = n. (v n+)(+) En déduire que pour tout entier naturel n, v n 0 et v n+ + (v 4 n ). d. Montrer que pour tout entier naturel n, v n ( 4 e. Montrer que les suites ( ) et (v n ) convergent vers un même réel α. Déterminer la valeur exacte de α. ) n. j i

4 TS Suites récurrentes Exercices 4 Corrigés des exercices Corrigé de l exercice.. On procède par récurrence : pour n N, soit P n la proposition >. Initialisation : u 0 = 3 > donc P 0 est vraie Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé, P n est vraie, montrons alors que P n+ est aussi vraie : + = f( ) avec f : x 4x. Une rapide étude de la fonction f donne pour x+ x >, f (x) = 6 > 0 donc f est croissante sur [; + [. (x+) On a donc < et f croissante sur [; + [ donc f() < f( ) et donc 3 < u n+. Ainsi, P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel.. Pour n N on a : v n+ = u 4un n+ + = + 4 = 4 ( + ) + 4 ( + ) = = ( ) 3( ) = 3 v n Donc v est géométrique de raison ] ; [. Donc v est convergente et sa limite est On a v n = un donc v n ( ) = et donc (v n ) = + v n et enfin = vn v n Or v converge vers 0 donc u converge vers. Corrigé de l exercice.. On procède par récurrence : pour n N, soit P n la proposition «> 0». Initialisation : u 0 = 3 > 0 donc P 0 est vraie Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé, P n est vraie, montrons alors que P n+ est aussi vraie : > 0 donc > 0 et donc + > 0 ; finalement, en multipliant par on obtient + > 0. Ainsi, P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel.. Pour n on a : + = ( ) u n + = ( + ( ) ) = ( un ) On en déduit donc que pour tout n, on a + 0 donc que + et u 0 > Donc pour tout n N on a.

5 TS Suites récurrentes Exercices 5 3. Pour n on a : + = (En effet = ). ( + un ) = + = ( un ) + 4. Pour n N on note P n la proposition. n Initialisation : on a u = 7 donc u = ; c est-à-dire que P 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé, P n est vraie (i.e : ), n montrons alors que P n+ est aussi vraie (i.e : + ). On a : n + = ( un ) + Or P n est vraie donc n et de plus donc 0. Donc : + ( ) + 0 = n n et donc Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel. 5. On a 0 n et la suite ( n ) converge vers 0 donc, d après le théorème des gendarmes la suite u converge vers. Corrigé de l exercice 3.. a. Pour x [0; 0] on a f(x) = x 0,x donc f est dérivable sur [0; 0] et pour x [0; 0] on a f (x) = 0,x. Ainsi, on obtient le tableau suivant : x f (x) f 0 0 b. Ainsi, d après les variations de f on déduit que pour x [0; 0] on a f(x) [0; 0].

6 TS Suites récurrentes Exercices 6 c. j u i 0 u u u 3 u 4. Pour n N, soit P n la proposition «0 + 0». Montrons cette proposition par récurrence : Initialisation : on a u 0 = et u =,9 donc P 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n 0 fixé, P n est vraie (i.e : 0 < + 0), montrons alors que P n+ est aussi vraie (i.e : 0 + < + 0). On a : 0 < + 0 Or la fonction f est croissante sur [0; 0] donc : f(0) f( ) < f(+ ) f(0) donc 0 + < + 0 Donc P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel. 3. D après la question précédente, la suite u est croissante et majorée par 0 donc elle converge vers une limite l [0; 0]. Or f est continue sur [0; 0] donc elle est continue en l. Ainsi, l est solution de l équation f(x) = x. Cette équation s écrit x 0,x = x soit 0,x x = 0. Elle a deux solutions : x = 0 et x = 0. Or u est croissante et u 0 = donc la limite ne peut pas être 0 d où l = 0. Corrigé de l exercice 4.. u = 6,45, u = 6 + 6,9 et u3 = ,98.. a. f est définie sur [ 6; + [ et dérivable sur ] 6; + [. Pour x > 6 on a f (x) = > 0 donc f est croissante sur [ 6; + [. x+6

7 TS Suites récurrentes Exercices 7 b. j u 0 u i u u 3 c. Il semble que la suite u soit croissante et majorée par 3. C est-à-dire que pour n N on a 0 < Pour n N, soit P n la proposition «0 3». Montrons cette proposition par récurrence : Initialisation : on a u 0 = 0 et u = 6 > 0 donc P 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n 0 fixé, P n est vraie (i.e : 0 < + 3), montrons alors que P n+ est aussi vraie (i.e : 0 + < + 3). On a : 0 < + 3 Or la fonction f est croissante sur [0; 3] donc : f(0) f( ) < f(+ ) f(3) donc 0 + < + 3 Donc P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel. 4. D après la question précédente, la suite u est croissante et majorée par 3 donc elle converge vers une limite l [0; 3]. Or f est continue sur [ 6; + [ donc elle est continue en l. Ainsi, l est solution positive de l équation f(x) = x. Cette équation s écrit 6 + x = x soit, x étant positif, 6 + x = x. Elle a deux solutions : x = et x = 3. Or l 0 donc la limite ne peut pas être d où l = 3. Corrigé de l exercice 5.. a. f est la composée de deux fonctions croissantes donc elle est croisante sur son ensemble de définition. b. On résout f(x) = x soit 4 + 3x = x qui équivaut à 4 + 3x = x pour x 0. Cette dernière équation a deux solutions qui sont et 4 (mais seule la solution x = 4 convient) donc les coordonnées du point d intersection de C f et d sont (4; 4).. a. Pour tout n N, + est défini par une racine carrée donc positif. De plus u 0 = 6 > 0 donc u est minorée par 0.

8 TS Suites récurrentes Exercices 8 b. Soit n N. On note P n la proposition «+ <». Montrons cette proposition par récurrence : Initialisation : on a u 0 = 6 et u = < 6 donc P 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n 0 fixé, P n est vraie (i.e : + < ), montrons alors que P n+ est aussi vraie (i.e : + < + ). On a : 0 + < Or la fonction f est croissante sur [0; + [ donc : f(+ ) < f( ) donc + < + Donc P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n entier naturel. Donc pour tout n on a + < donc u est décroissante. c. La suite u est donc décroissante et minorée donc elle converge vers une limite l 0. d. La fonction f est continue sur son ensemble de définition donc en l donc la limite l est solution de f(x) = x ; équation qu on a résolue question b. Donc l = 4. Corrigé de l exercice 6. j. a. i u 3 u u 0 b. Si u est convergente vers l on a u définie par + = f( ) avec f continue sur R (fonction affine) donc f continue en l. Donc l est solution de l équation f(x) = x dont l unique solution est x = 3 3. Donc si u converge, c est vers l =. 8 8 c. Pour n N, soit P n la proposition «> 3. Montrons par recurrence que P 8 n est vraie pour tout n : Initialisation : u 0 = > 3 8 donc P 0 est vraie.

9 TS Suites récurrentes Exercices 9 Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé P n est vraie (i.e que > 3) on 8 montre alors que P n+ est vraie aussi (i.e que + > 3). On a : u 8 n < l et f est croissante sur R donc f( ) > f(l) donc + > l car f(l) = l. Donc P n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n N. d. Pour n N on a + = u 3 n + 3 u 7 n = 3 u 7 3 n. Or > 3 donc u 8 3 n < 3 7 et finalement, + < 0 donc u est décroissante. Ainsi, u est décroissante et minorée par 3 donc elle converge et donc elle converge 8 vers l d après la question b.. a. La somme cherchée est la somme de termes d une suite géométrique de raison 0 donc : n+ k= b. Pour n > on a : 0 = n+ k 0 v n =, + 7 n+ k= 0 k En effet, il suffit de remarquer que n+ k= lim v n =, + 7 lim n + n + = ( ) 00 0 n 0,9 ( 90 0 n = 90 ( ) 0 n = 0, Donc : 0 k ) = = La suite u est décroissante et la suite v est clairement croissante. Pour tout n on a v n < l < et enfin, la limite de la différence des deux suite vaut 0 donc les deux suites sont adjacentes. Corrigé de l exercice 7.. f est une fraction rationnelle, donc dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition, et : f (x) = (x + ) (x + ) (x + ) = (x + ) > 0. a. Donc f est croissante sur [0; ], et comme f est continue l image de [; ] par f est [f(); f()] = [ 3; 5 ] [; ], ainsi : 3 si x [ ; ] alors f(x) [ ; ] b. Pour n N, soit P n la proposition : «v n» Montrons par récurrence que P n est vraie pour tout n. Initialisation : v 0 = alors P 0 est vraie.

10 TS Suites récurrentes Exercices 0 c. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé, P n est vraie, alors v n, donc f(v n ), d aprés la relation démontrée à la question. Ainsi P n+ est vraie aussi. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, P n est vraie pour tout n N. Pour n N, soit Q n la proposition : «v n+ v n. Montrons par récurrence que Q n estvraie pour tout n. Initialisation : v = f(v 0 ) = f() = 5 3 donc v v 0. Donc Q 0 est vraie. Hérédité : on fait l hypothèse que pour un n fixé Q n est vraie ; montrons qu alors Q n+ est vraie. On a : v n+ v n, et v n et v n+ sont deux nombres de [0 ; ], donc comme f est croissante sur [0 ; ], alors : f(v n+ ) f(v n ) et donc v n+ v n+. Donc Q n+ est vraie. Conclusion : donc, d après l axiome de récurrence, Q n est vraie pour tout n N. v n+ + = v n + v n = ( + )(v n + ) ( + )(v n + ) (v n + )( + ) = v n + + v n + v n v n ( + )(v n + ) v n = (v n + ) ( + ) On montre par récurrence sans difficulté que v n 0. Comme, alors + 3 et 3 +. De même, 3 v n+. Or v n+ + = v n (v n + ) ( + ) donc v n+ + v n 4 d. En procédant par récurence, on démontre que pour tout entier naturel n : ( ) n v n (v 0 u 0 ) 4 }{{} = e. La suite ( ) est croissante ( + ) et majorée par donc u est convergente. La suite (v n ) est décroissante (v n v n+ ) et minorée par donc v est convergente. ( ) n On a < < donc lim = 0 et comme pour tout entier naturel n, on a 4 n v n ( ) n, 4 alors d après le théorème des gendarmes : lim v n = 0 donc (u et v étant convergentes) lim v n = lim n + n + n + Donc les suites ( ) et (v n ) convergent vers le même réel α.

11 TS Suites récurrentes Exercices Comme f est continue, + = f( ) et u converge vers α, alors : α = f(α) α = α + α + α(α + ) = α + α α = 0 α = ± 5 Or comme, α = + 5.

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