Feuille d exercices 4

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1 UNIVERSITÉ PIERRE ET MARIE CURIE Aée 2009/200 MIME 22 LM5-Suites et Itégrales Groupe 22 Feuille d exercices Suites Covergece de suites Exercice Ecrire l éocé qui traduit : (u ) N est pas croissate Cet éocé est-il équivalet à (u ) N décroissate? Exercice Démotrer e utilisat la défiitio de la covergece des suites que lim + + = 2 Exercice 3 Soit a > 0, étudier la covergece des suites (u ) N, où N, u = a Exercice ue suite réelle qui coverge vers l > 0 Motrer qu il existe N 0 N tel que N 0, u l 2 Exercice 5 ue suite à valeurs das Z Motrer que (u ) coverge si et seulemet si elle est statioaire Exercice 6 O appelle suites arithmético-géométriques, toute suite (u ) N qui s écrit : u 0 R, pour N, u + = au + b, avec a / {0, } et b R a) Première méthode : Motrer qu il existe c R tel que v = u c soit géométrique 2 Motrer que, si a < alors (u ) N coverge et calculer sa limite b) Deuxième méthode : Motrer que, pour tout N, u = a u 0 + a i b, e déduire la limite de u e foctio de a i=0 Exercice 7 Soiet (u ) N et (w ) N les suites défiies par u 0 =, N, 3u + = u +2 et w = u

2 Motrer que (w ) est ue suite géométrique 2 E déduire u e foctio de 3 O pose T = w 0 + w + + w et S = u 0 + u + + u, exprimer T et S e foctio de, puis calculer lim T et lim S + + Exercice 8 O cosidère la suite (u ) défiie par u 2 = 3 et pour 2, u + = 3u u + Motrer que la suite pour tout 2, u >, e déduire que la suite (u ) 2 est bie défiie 2 O pose pour 2, v = u + u, motrer que v est arithémitique 3 Calculer la limite de (u ) Posos S = v k, calculer k=2 lim S + Exercice 9 Soit x R, o pose pour N, u = 2 E(kx) Etudier la covergece de (u ) Exercice 0 Soit x R Motrer que la suite défiie, pour N, par u = E(x) déduire que tout réel est limite de ratioels Exercice R N, telle que k= u + u Motrer que si l <, (u ) N coverge coverge vers l R+ 2 Motrer que si l >, (u ) N diverge 3 Motrer que si l <, v = u k coverge k=0 Exercice 2 Détermier la covergece des suites suivates : a ( ),! avec a > 0,!, ( 2 + ), (2 ), ( + ) Détermier la mootoie des suites suivates : 2 + ( ), + + 2, + Exercice 3 R N telle que (u 2 ) N, (u 2+ ) N et (u 3 ) N coverget Motrer que (u ) N coverge coverge vers x, e 2 Trouver ue suite (v ) N telle que pour tout k 2, (v k ) N coverge mais (v ) e coverge pas Exercice R N et (v ) N R N 2

3 a) Motrer que si (u ) N coverge vers l, alors coverge vers l b) Motrer que la réciproque est fausse 2 Motrer que si (u ) N coverge vers l et (v ) N coverge vers l 2, alors coverge vers l l 2 k= u k u k v + k k= 3 Motrer que si (u ) N coverge vers l, alors coverge vers l 2 k=0 Cu k k R + et supposos que u + /u coverge vers l, supposos que l > 0, motrer alors que u / coverge vers l 2 Suites adjacetes Exercice 5 Soit, pour N, u = p=0 p! et o pose v = p=0 p! +! Motrer que les suites (u ) et (v ) coverget vers la même limite 2 Posos e = lim u Motrer que e est irratioel (par l absurde, e cosidérat e = + ( ) a b et x = b! e ) b! =0 Exercice 6 Cosidéros deux suites réelles (u ) N et (v ) N défiies par u 0 v 0, u + = 3u + v, v + = 3v + u Motrer pour tout N, u u + v + v 2 Motrer que (v u ) N coverge géométriquemet vers 0 3 Motrer la covergece des deux suites par deux méthodes (e utilisat 2) et sas utiliser 2)) Exercice 7 Soiet a et b das R + O défiit les suites (a ) N R N + et (b ) N R N + qui vérifiet : a 0 = a, b 0 = b, a + = a b, b + = a + b 2 3

4 Vérifier que, N, a 0 et b 0 2 Motrer que pour tout N, a b puis a a + et b + b 3 Motrer que pour tout N, b + a + b a /2 Motrer que (a ) N R N + et (b ) N R N + coverget vers ue même limite otée M(a, b) 5 Motrer que pout tout a, b, λ positifs, M(a, b) = M(b, a), M(λa, λb) = λm(a, b) Exercice 8 Cosidéros deux suites (u ) N et (v ) N défiies par : u = k= k l() v = k= Motrer que (u ) N décroissate et (v ) N croissate + l( + ) k (o pourra utiliser l( + ) = dx ou f(x) = x x + l(x + x )) 2 Motrer que (u ) N coverge vers γ [ l(2), ] 3 Suites Récurretes Exercice 9 la suite récurrete défiie par u 0 = et pour tout N, u + = u + u Motrer que (u ) N est bie défiie, croissate et ted vers + quad ted vers + Exercice 20 Etudier la mootoie et la covergece de (u ) N défiie par u 0 = 0, u + = + u Exercice 2 Tracer le tableau de variatio de x : f(x) = 6 x 2 Motrer qu o peut défiir (u ) N par u 0 [ 30, 6] et u + = f(u ) 3 Motrer que pout tout N, u u 2 E déduire la covergece de (u ) N Exercice 22 O pose f(x) = 6 + x Motrer qu o peut défiir ue suite (u ) N par u 0 6 et u + = f(u ) 2 Dresser le tableau de sige de f(x) x Motrer que [ 6, 3] et [3, + [ sot stables par f 3 Si u 0 [ 6, 3], doer la mootoie et la covergece de (u ) N Si u 0 [3, + [, doer la mootoie et la covergece de (u ) N Exercice 23 O appelle suite récurrete double toute suite (u ) N C N qui vérifie pour tout N, u +2 = au + + bu, où (a, b) C 2 a 0, b 0 ()

5 Motrer que l esemble des suites verfiat () est u C espace vectoriel de dimesio 2 (Trouver u isomorphisme vers C 2 ) 2 O appelle résolvate (R) l équatio x 2 = ax + b a) Motrer que si (R) a deux racies distictes r et r 2 das C, alors l esemble des suites verifiat () est égal à {(λr + µr 2 ) N : λ C, µ C} b) Motrer que si (R) a ue uique racie r C, alors l esemble des suites vérifiat () est égal à {((λ + µ)r ) N : λ C, µ C} 3 Doer l expressio et étudier la covergece des deux suites récurretes doubles défiies par a) u 0 =, u =, u +2 = 3 u + 8 u b) u +2 = 2u + u ( + ) 2, (u 0, u ) R 2 (Utiliser v = ( 2 ) ) 2 5

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