ÉVALUATION DES MÉTHODES D ANALYSE APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIE ET DE LA SANTÉ-UE4 PACES

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1 ÉVALUATION DES MÉTHODES D ANALYSE APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIE ET DE LA SANTÉ-UE4 PACES

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3 00% re re année Santé ÉVALUATION DES MÉTHODES D ANALYSE APPLIQUÉES AUX SCIENCES DE LA VIE ET DE LA SANTÉ-UE4 PACES Salah Belazreg Professeur au lycée Camille Guérin à Poitiers e édition

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6 Avant-propos Cet ouvrage «tout-en-un» est la e édition du manuel de mathématiques, probabilités et biostatistiques de la collection 00% re année santé, paru en août 00. Il est complètement revu, corrigé et réhaussé par plusieurs paragraphes. Parmi les nouveautés de cette e édition, on peut citer : les tests diagnostiques, les courbes ROC, la fonction de survie, les diagrammes en boîtes et les problèmes d estimations. Il s adresse principalement aux étudiants en re année Santé (PACES) pour la préparation des concours Médecine-Pharmacie-Dentaire-Sage femme, mais il intéressera également les étudiants en classes préparatoires Bio-Véto et Agro (BCPST) ainsi que les étudiants en L Sciences. Son but est de présenter de façon claire et progressive l ensemble des notions à connaître de l unité UE4 «Évaluation des méthodes d analyse appliquées aux sciences de la vie et de la santé». Son usage suppose que l étudiant ait une connaissance complète du programme actuel des classes de premières et terminales scientifiques. Il présente de nombreux sujets d adaptation progressive aux programmes et aux exigences de ces concours et examens difficiles. En effet, chaque chapitre mentionne les objectifs à atteindre et il propose un cours exposé de façon détaillée, des exemples concrets, des applications, des exercices et des QCM de difficultés variées : le Cours proprement dit est composé de définitions, propriétés et théorèmes dont la connaissance est indispensable. Les démonstrations non traitées sont laissées à l initiative du lecteur. De nombreux exemples et applications, au fil du cours, visent à l assimilation des notions essentielles et à l acquisition des techniques de base ; les Exercices sont classés par niveau de difficulté et sont tous suivis de leur solution détaillée. Ils permettent à l étudiant une démarche graduée : chercher seul, s inspirer des exemples et applications du cours, et, au final, tirer le maximum de profit de chaque exercice ; les QCM, en fin de chaque chapitre, sont de véritables exercices de réflexion. La plupart sont issus des sujets de concours. Ainsi, avant de proposer des solutions rapides et sans démarche rigoureuse, il importe de bien connaître la totalité du VI

7 Avant-propos cours, et pas seulement les formules. Une résolution approfondie vous permettra de vous entraîner à ce type d épreuve afin de gagner en compétence et en rapidité. Mon expérience d enseignement, articulée entre le secondaire et le supérieur, m a montré que la difficulté qu éprouvent certains étudiants à assimiler les mathématiques tenait au caractère abstrait de leur support. Ainsi, j ai tenté de faire un juste choix entre une vulgarisation et un excès d abstraction qui risquerait de rebuter. Par ailleurs, il m a paru intéressant de donner au lecteur un aperçu des applications pratiques des notions présentées. C est pourquoi, chaque fois que cela a été possible, j ai illustré mes propos par des applications médicales, physiques ou chimiques. J espère que cet ouvrage, fruit d une longue expérience, rédigé avec beaucoup d attention, constituera pour les étudiants un outil précieux pour la préparation de ces concours et examens et je leur souhaite bon courage. Remerciements Je remercie très sincérement Monsieur Jean-Jacques Landelle, Professeur de mathématiques, pour sa lecture attentive de la totalité de l ouvrage et les corrections apportées. Mes remerciements vont également aux éditions Dunod pour le soin et la présentation apportés à la réalisation de cet ouvrage et plus particulièrement à monsieur Éric d Engenières, éditeur, qui a cru en cet ouvrage et a permis sa réalisation. Que les lecteurs, collègues enseignants et étudiants, qui voudront bien me formuler leurs remarques constructives et critiques ou me présenter leurs suggestions succeptibles d améliorer cet ouvrage en soient par avance remerciés. Poitiers, mai 0 Salah Belazreg c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. VII

8 Table des matières Avant-propos... VI Chapitre. Polynômes. Fractions rationnelles. Équations.... Opérations sur les nombres.... Polynômes Équations... 7 Exercices et QCM... Corrigés... 3 Chapitre. Trigonométrie Fonctions trigonométriques Formulaire... 5 Exercices et QCM Corrigés... 3 Chapitre 3. Généralités sur les fonctions Fonctions Dérivée. Différentielle Fonctions de plusieurs variables indépendantes Dérivées partielles. Différentielle totale Exercices et QCM... 6 Corrigés Chapitre 4. Primitives. Intégrales Primitive d une fonction réelle Intégrale définie Quelques applications du calcul intégral Méthodes de calcul des intégrales... 8 Exercices et QCM Corrigés VIII

9 Table des matières Chapitre 5. Développement de fonctions en séries entières Convergence et divergence d une série Séries entières Développement en série entière des fonctions usuelles Exercices Corrigés Chapitre 6. Équations différentielles.... Généralités.... Équations différentielles du premier ordre Équations différentielles du second ordre Quelques courbes importantes en biologie Applications... Exercices et QCM... 3 Corrigés Chapitre 7. Notions de grandeurs intensives et extensives Variables (ou fonctions) extensives et intensives Différentielle d une fonction Détermination d une fonction à partir de sa différentielle Chapitre 8. Analyse Combinatoire. Binôme de Newton Ensembles finis Arrangements, permutations et combinaisons Exercices et QCM Corrigés Chapitre 9. Probabilités c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.. Probabilités Variables aléatoires, loi de probabilité et fonction de répartition Lois de probabilités de variables aléatoires continues Loi binomiale B(n, p). Épreuves répétées Loi des fréquences Loi de Poisson P(np)ouP(m) Loi de Laplace-Gauss ou loi normale N(m, σ) Loi normale centrée réduite N(0, ) Quelques applications des probabilités à la santé Exercices et QCM Corrigés... 0 IX

10 Table des matières Chapitre 0. Statistiques descriptives.... Étude d un caractère ou d une variable.... Les différentes représentations graphiques Les paramètres d une série statistique Étude de caractères Exercices et QCM Corrigés... 4 Chapitre. Problèmes d estimation et tests d hypothèses Problèmes d estimation Tests statistiques... 5 Exercices et QCM Corrigés Chapitre. Problèmes d ajustement Ajustement linéaire. Méthode des moindres carrés Ajustement exponentiel... 7 Exercices Corrigés Chapitre 3. Mesures et leurs précisions Grandeurs physiques. Équations aux dimensions Système international d unités Équations aux dimensions Analyse dimensionnelle Mesures des grandeurs Dispersion d une série de mesures Exercices et QCM... 9 Corrigés Annexes Index X

11 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations. Opérations sur les nombres. Polynômes 3. Équations Savoir résoudre des équations du premier et du second degrés Savoir résoudre un système de deux équations linéaires à deux inconnues Savoir décomposer une fraction rationnelle en éléments simples Cours. OPÉRATIONS SUR LES NOMBRES.. Valeur absolue des nombres réels Soit x un réel quelconque. La valeur absolue de x, notée x est : { x si x 0 x = x si x < 0 Exemple x =.. Puissances d un réel Définition { x si x x si x < On pose : pour n naturel non nul 0 n = 0 n et pour tout réel a non nul a 0 = = a = a

12 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Pour tout réel a et pour tout entier naturel n non nul, la puissance n-ième de a, notée a n, est définie par : a n+ = a a n a : base de la puissance n : exposant de la puissance Remarques L écriture a n se lit «a puissance n»ou«a exposant n». Pour a non nul, l inverse de a, a, peut se noter a et a n se note a n. Propriétés a et b étant des réels quelconques et m et n des entiers naturels, on a : a m a n = a m+n a m a n = am n avec a 0 (a m ) n = a mn ( a n a = b) n avec b 0 bn Formule du binôme de Newton : Quels que soient les réels a et b et quel que soit l entier naturel n : n (a + b) n = Cna 0 n + Cna n b + + Cna i n i b i + + Cnb n n = Cna i n i b i.3. Puissances fractionnaires à exposant rationnel Quels que soient x et y réels positifs et quel que soit n entier naturel non nul, le nombre x n est défini par l équivalence suivante : y = x n x = y n De la relation précédente, il vient : ( ) n x ( n = x n ) n = x Si x est un réel quelconque et si n est un entier naturel non nul et pair alors : ( x n ) n = x D où, en remarquant que : x 0, x = x, alors x = x. i=

13 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Exemple x 3 x = x 3 x = x = x Quels que soient x réel positif, y réel strictement positif, et n entier naturel non nul : x ( ) n x n = y y n.4. Racines n-ième d un réel Les résultats qui suivent sont illustrés graphiquement par l existence des points d intersection de la droite y = a et de la courbe d équation y = x n. a est un réel positif La racine n-ième du réel a est l unique solution réelle positive de l équation x n = a d inconnue x. Elle est notée : x = n a Si n est pair alors l équation admet deux solutions opposées : x = n a et x = n a Si n est impair alors l équation admet une seule solution positive x = n a. y 80 y = x 4 75 y y = x y = a ; a>0 50 y = a ; a>0 0 5 c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. -5 -,5 0,5 5 x -5 Figure. -, ,5 5 x 3

14 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations a est un réel strictement négatif Si n est pair, alors l équation x = n a n admet pas de solution. Si n est impair, alors l équation admet une seule solution x = négative. n a, laquelle est y 80 y = x 4 75 y y = x ,5 0,5 5 x -5 -,5,5 5 x y = a ; a< y = a ; a<0-75 Figure.. POLYNÔMES.. Définitions Unpolynôme de degré n, a pour expression : P(x) = a 0 + a x + a x + + a n x n = n a k x k x est la variable et les réels a 0, a,, a k,, a n sont des constantes appelées coefficients du polynôme. n est un entier naturel et représente le degré du polynôme. k= P(x) est dit identiquement nul si tous ces coefficients sont nuls. On note P(x) = 0. Exemple a 0 + a x + a x = 0 entraîne a 0 = 0, a = 0eta = 0. 4

15 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Si le polynôme P(x) n est pas identiquement nul (P(x) 0), le degré du polynôme P(x) est le plus grand entier k tel que a k 0. On le note deg(p). Exemples A(x) = x + 3x 3 est un polynôme ordonné de degré 3. On note deg(a) = 3. B(x) = 3 + x + 4x + 8x 3 5x 4 est un polynôme de degré 4 et deg(b) = 4... Division euclidienne ou division selon les puissances décroissantes Soient P(x) eta(x) 0 deux polynômes. Alors il existe un couple unique de polynômes (Q(x), R(x)) tels que : P(x) = A(x) Q(x) + R(x) avec deg(r) < deg(a) our = 0 Q(x) et R(x) sont respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de P(x) para(x). Exemple Si P(x) = x 3 5x + 4etA(x) = x + x, alors : Q(x) = x etr(x) = x + c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Divisibilité par un monôme x a On dit que le polynôme P(x) est divisible par x a si : P(x) = (x a) Q(x); Q(x) est le quotient. Comme P(x) est divisible par x a alors P(a) = 0 : le réel a est donc racine de l équation P(x) = 0. Pour démontrer qu un polynôme de degré n est identiquement nul, on prouve qu il a au moins n + racines..3. Décomposition d une fraction rationnelle en éléments simples Une fraction rationnelle est un quotient de polynômes. On cherchera à écrire cette fraction sous la forme d une somme de fonctions dont on connait une primitive. Plusieurs techniques sont possibles. 5

16 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Exemple Soit la fraction rationnelle : F(x) = Cherchons un écriture de la forme : x 6x + 5 = x 6x + 5 a x + b x 5 Une factorisation de x 6x + 5 donne : x 6x + 5 = (x )(x 5) En réduisant au même dénominateur les fractions a x et (x )(x 5) = a(x 5) (x )(x 5) + b(x ) (x )(x 5) (a + b)x + ( 5a b) = (x 3)(x + 5) Par identification, on obtient le système d équations : a + b = 0 et 5a b = La résolution du système précédent donne : a = 4 et sont appelées les éléments simples de la frac- x 5 b = 4 Ainsi : F(x) = (x )(x 5) = 4 Les fractions 4 x et + 4 tion rationnelle x 6x + 5. Autre méthode. On a : x + 4 x 6x + 5 = (x )(x 5) Les réels et 5 sont dits pôles simples de la fraction. On cherche une écriture de la forme : (x )(x 5) = a x + b x 5,ilvient: x 5 b x 5 6

17 Sans calcul effectif des multiplications, on multiplie les deux membres de l égalité par (x ) ; puis on substitue à x la valeur : (x ) (x )(x 5) (x 5) En prenant x =, on obtient a = 4. = a(x ) x = a + b(x ) x 5 + b(x ) x 5 En faisant de même avec le pôle 5, c est-à-dire en multipliant par (x 5) puis en prenant x = 5, on obtient b = ÉQUATIONS 3.. Équations du premier degré à une inconnue Les équations du premier degré à une inconnue sont les équations de la forme ax + b = c. Si a 0, l équation admet une solution unique, x = c b a. Si a = 0etb c, l équation n a pas de solution. Si a = 0etb = c, l équation admet une infinité de solutions. 3.. Système de deux équations linéaires à deux inconnues C est un système de deux équations à deux inconnues x et y, delaforme: { ax + by = c a x + b y = c On appelle déterminant du système, le nombre D : D = a b a b = ab a b Polynômes. Fractions rationnelles. Équations c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Si D 0, le système admet le couple (x, y) comme solution unique : x = D c b x D = c b = cb c b a b a b ab a b et y = D a c y D = a c = ac a c a b a b ab a b 7

18 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Si D = 0etac a c 0, alors le système n admet pas de solutions. Si D = 0etac a c = 0, alors le système admet une infinité de solutions Exemples Soit, à résoudre, le système d équations à deux inconnues x et y : { 5x y = 7 3x 4y = 5 Le déterminant du système est : D = = 5 ( 4) ( ) ( 3) = 0 3 = 3 D 0, le système admet une solution unique : x = D 7 x D = ( 4) 5 ( ) = et y = D 5 7 y D = 3 5 = ( 3) = 3 3 = = 46 3 = Autre méthode de résolution : On dit que deux systèmes d équations sont équivalents s ils admettent le même ensemble-solution. On transforme donc le système donné en un système équivalent plus simple à résoudre, un système échelonné. Pour ce faire, on utilise des combinaisons linéaires adéquates. 5x y = 7 (L ) 0x 4y = 8 (L ) = 4(L ) (S) est équivalent à (S ) 3x 4y = 5(L ) 3x 4y = 5 (L ) 0x 4y = 8 (L ) (S") 3x = 3 (L ) = (L ) (L ) L ensemble solution est donc S = {( ; )}. 8

19 3.3. Équations du second degré à une inconnue Définition. Vocabulaire Une équation du second degré à une inconnue x est une équation qui peut s écrire sous la forme : ax + bx + c = 0, a, b et c sont trois réels donnés, a 0. Résoudre l équation ax + bx + c = 0 revient à trouver tous les réels u tels que au + bu + c = 0 ; le réel u est dit solution ou racine de l équation. Résolution de l équation du second degré Posons P(x) = ax + bx + c, a 0. Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Écriture de P(x) sous forme canonique Puisque a 0, alors : ( P(x) = a x + b a x + c ) a Comme x + b ( a x = x + b ) b a 4a, alors : ( P(x) = a x + b ) b a 4a + c ( a = a x + b ) b 4ac a 4a Résolution de l équation P(x) = 0 On appelle discriminant de l équation du second degré, ou du trinôme P(x) = ax + bx + c, la quantité : Δ = b 4ac c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Ainsi : ( P(x) = a x + b ) Δ a 4a SiΔ < 0, alors Δ ( 4a > 0et x + b ) Δ est strictement positif : a 4a l équation P(x) = 0 n a pas de solution dans R. ( SiΔ = 0, alors P(x) = a x + a) b. Puisque a 0, l équation P(x) = 0 admet une racine double : x, = b a 9

20 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Si Δ > 0, alors Δ = ( Δ) et par suite : ( P(x) = a x + b ) ( Δ) ( a 4a = a x + b ) a = a x + b a + Δ a x + b a Δ a = a Δ a x b Δ a x b + Δ a En posant x = b Δ a et x = b + Δ,ilvient: a P(x) = a (x x )(x x ) Puisque a 0, l équation P(x) = 0 admet donc deux racines distinctes : Somme et produit des racines x = b Δ a et x = b + Δ a Soit P(x) = ax + bx + c, a 0. Si Δ = b 4ac > 0, alors P(x) admet deux racines distinctes : D où : x = b Δ a et x = b + Δ a S = x + x = b a et P = x x = c a Ainsi, ( P(x) = ax + bx + c = a x + b a x + c ) = a ( x Sx+ P ) a Remarque Si on connait la somme S et le produit P de deux réels, ils sont donc solutions de l équation du second degré : X SX+ P = 0 0

21 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Synthèse Je sais définir Un polynôme de degré n Le déterminant d un système de deux équations à deux inconnues Je connais Les opérations sur les nombres La forme canonique d un trinôme du second degré Je sais Déterminer les racines n-ième d un réel Résoudre des équations du premier et du second degrés Résoudre un système de deux équations à deux inconnues Déterminer deux réels connaissant leur somme et leur produit Décomposer une fraction rationnelle en éléments simples Exercices c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. Soit la fonction polynôme P(x) définie par : P(x) = x 4 6x 3 x + 8x. Calculer P() et P(). En déduire une factorisation de P(x).. Résoudre dans R l équation P(x) = 0. Déterminer les éléments simples de la fraction rationnelle x + 6 F(x) = (x 3)(x + 5) 3. Déterminer les racines, si elles existent, des trinômes suivants : a) A(x) = 4x 5x + 3 b) B(x) = 3x 8x + 4. Donner le quotient Q(x) etlerester(x) de la division de ces trinômes par (x ). 4 Donner le quotient Q(x) etlerester(x) de la division de x 4 + 3x 3 x + par x + 3x. 5 Déterminer les réels a et b pour que le polynôme P(x) = x 4 + x 3 + x + ax+ b soit divisible par le trinôme x + x On donne le polynôme P(x) = x 3 x 37x 35. Factoriser le polynôme P(x).. Résoudre l équation P(x) = 0. 7 Résoudre les systèmes d équations : { 3x y = a) 4x y =+ { 3x + 4y = 7 b) 4x y = 0

22 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations 8 Résoudre le système d équations : { x + y = 3 xy = 0 9 Résoudre l équation en x :x 4 + 9x 5 = 0 { x 0 y = Résoudre le système d équations xy = 3 Questions à choix multiples La division de 7x x + parx donne : a. b. Q(x) = 7x etr(x) = Q(x) = 7x etr(x) = c. Q(x) = 7x 5 et R(x) = 0 d. e. Q(x) = 7x 5 et R(x) = 9 Q(x) = 7x + etr(x) = 5 La division de 3x + x 0 par x donne : a. Q(x) = 3x + etr(x) = 5 b. Q(x) = 3x etr(x) = 5 c. Q(x) = 3x + 8etR(x) = 6 d. Q(x) = 3x + 8etR(x) = 0 e. Q(x) = 3x + 5etR(x) = 0 3 On considère l équation x 8x = 0. Le discriminant Δ de l équation est : a b. ( 3 ) L équation x 8x = 0 a pour solutions : c. x = 5 3, x = d. x = 3 3, x = e. x = 5 3, x = 3 + 3

23 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations 4 On considère l équation en x, x 4 5x + = 0. L équation : a. b. admet 4 racines réelles distinctes. admet seulement racines réelles. L équation admet pour solutions : c., d. 5 7, + e. 5 On donne l équation : a. 5 7, , + 5 7, + 5 7, 5 + 7, x = 3 x L équation n admet pas de solution. b. L équation admet une solution unique car x 0. c. L unique solution de l équation est. d. L unique solution de l équation est. e. L équation admet deux solutions : et. Corrigés Exercices. P() = = 0 P() = = 0 Le polynôme P(x) est donc divisible par (x ) et (x ), soit : P(x) = (x )(x ) Q(x) oùq(x) est un polynôme de degré. Posons la division de P(x)par(x )(x ) c est-à-dire par x 3x +. 3

24 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Ainsi : x 4 6x 3 x + 8x x 3x + (x 4 6x 3 + 4x ) x 6 6x + 8x ( 6x + 8x ) 0 P(x) = (x )(x )(x 3). P(x) = 0sietseulementsi(x )(x )(x 3) = 0. Un produit de facteurs est nul si et seulement l un au moins de ses facteurs est nul, soit : x = 0 ou x = 0 ou x 3 = 0 Cherchons une écriture de la forme : d où x = ou x = ou x = ± 3 x + 6 (x 3)(x + 5) = a x 3 + b x + 5 En réduisant au même dénominateur les fractions a x 3 et b x + 5,ilvient: x + 6 (x 3)(x + 5) = a(x + 5) (x 3)(x + 5) + b(x 3) (x 3)(x + 5) (a + b)x + (5a 3b) = (x 3)(x + 5) Par identification, on obtient le système d équations : a + b = et 5a 3b =+6 La résolution du système précédent donne : a = 9 8 et Ainsi : F(x) = b = 8 x + 6 (x 3)(x + 5) = 9 8 Les éléments simples de la fraction rationnelle 9 8 x 3 et 8 x + 5. x 3 8 x + 5 x + 6 (x 3)(x + 5) sont donc les fractions 4

25 Polynômes. Fractions rationnelles. Équations Autre méthode : De la même façon, on cherche une écriture de la forme : On multiplie les deux membres par (x 3) : x + 6 (x 3)(x + 5) = a x 3 + b x + 5 x + 6 b(x 3) = a + x + 5 x + 5 c Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. En prenant x = 3, on obtient a = 9 8. En faisant de même avec le pôle 5, c est-à-dire en multipliant par (x + 5) puis en prenant x = 5, on obtient b = 8. D où : F(x) = 3. a) On a A(x) = 4x 5x + 3 Le discriminant du trinôme est : x + 6 (x 3)(x + 5) = 9 8 x 3 8 Δ = ( 5) 4 (4) (3) = 3 Δ < 0 : le trinôme A(x) n admet donc pas de racines dans R. b) B(x) = 3x 8x + 4 Le discriminant du trinôme est : Δ = ( 8) 4 (3) (4) = 6 Δ > 0 : le trinôme admet deux racines distinctes dans R : x = 8 6 = 6 3 x = = 6. Division des trinômes par le monôme (x ) a) Division de A(x) = 4x 5x + 3parx. Posons la division : 4x 5x + 3 x (4x 8x) 4x + 3 3x + 3 (3x 6) +9 x + 5 Le quotient Q(x)etleresteR(x) de la division de A(x)par(x )sont : Q(x) = 4x + 3 R(x) = 9 La division de 4x 5x + 3parx s écrit donc : 4x 5x + 3 = (x )(4x + 3) + 9 (quotient) (reste) b) Division de B(x) = 3x 5x + 6parx. 5