Module #6a Contraintes de flexion dans les poutres

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1 Module #6a Contraintes de flexion dans les poutres (CIV Résistance des matériaux) Enseignant: James-A. Goulet Département des génies civil, géologique et des mines , 6.7 R. Craig (2011) Mechanics of Materials, 3rd Edition John Wiley & Sons. P. Léger (2006) Notes de cours: Chapitre 6, a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 1 / 50

2 Introduction aux contraintes dans les poutres Objectifs Chapitre 5: Diagrammes des efforts internes Moments fléchissants M(x) Efforts tranchants V (x) Chapitre 6, partie a: Contraintes de flexion dans les poutres Chapitre 6, partie b: Contraintes de cisaillement dans les poutres Connaissant M(x), quelle est la distribution des contraintes normales au droit des sections? 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 2 / 50

3 Introduction aux contraintes dans les poutres Flexion pure Module 6: éléments en flexion pure Flexion pure, V (x) 0 i.e. M(x) 0, V (x) 0, F (x) 0 Flexion ordinaire, V (x) 0, M 1 M 2 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 3 / 50

4 Définitions Définitions Courbure: Changement d angle ( θ) relatif d un point de la poutre par rapport à un autre Déflexion: Déplacement relatif ( y)d un point de la poutre par rapport à un autre [Beer et al. 2006] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 6 / 50

5 Hypothèses Hypothèses Poutre droite Section constante Section symétrique Poutre supportée latéralement Matériau linéaire élastique Sections planes restent planes Déflexion selon un arc circulaire Fibres supérieures comprimées/ inférieures tendues Il existe un axe neutre (A.N.) 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 7 / 50

6 κ et ρ Courbure (κ) et rayon de courbure (ρ) M: Moment de flexion ρ: Rayon de courbure θ : Angle entre deux sections séparées par une longueur x = 1 κ = θ : Courbure Approximation des petits angles x = ρ θ θ = x ρ = x κ pour x = 1 θ = κ = 1 ρ 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 8 / 50

7 κ et ρ Courbure (κ) et rayon de courbure (ρ) (cont.) 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 9 / 50

8 Intro Courbure κ & y, Iz & S Contraintes σ Conception Plasticite Re sume De formation de flexion x De formation de flexion x x P Q PQ x x = x PQ (ρ y ) θ ρ θ = ρ θ ρ θ y θ ρ θ = ρ θ y = = κy ρ x courbure (κ) & distance de l A.N. (y ) 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 10 / 50

9 Contraintes de flexion σ x Contraintes de flexion σ x Selon la loi de Hooke σ x = Eɛ x = Ey ρ = Eκy ɛ x, σ x κ, y Pour M > 0 y > 0, σ x < 0 (compression) y < 0, σ x > 0 (traction) y = 0, σ x = 0 (A.N.) 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 11 / 50

10 Équilibre des sections Équilibre des sections moments + M z c.g. = 0 = y σ A }{{} x da +M }{{} levier force }{{} moment M = y σ x da M = A A y Ey ρ da = E y 2 da ρ A }{{} inertie, I z = EI ρ = κei 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 12 / 50

11 Relation moment courbure/contrainte Relation moment courbure M: Moment de flexion EI : Rigidité flexionnelle de la section κ: Courbure (κ = 1 ρ ) ρ: Rayon de courbure M = EI ρ = κei κ = M EI 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 13 / 50

12 Relation moment courbure/contrainte Relation moment contraintes M = EI ρ M I = E ρ σ x = Ey ρ σ x y = E ρ M I = σ x y σ x = My I Si c = y max σ x max = Mc I = M = M I /c S }{{} Module de section [Bazergui, 2002] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 14 / 50

13 Propriétés des sections communes Propriétés des sections communes 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 16 / 50

14 Rappel: centre de gravité, section quelconque y Position de l axe neutre/centre de gravité y 1. Définir un système de référence 2. Subdiviser l aire de la section A en éléments simples d aire A i et ayant un C.G. y i 3. Calculer le C.G. y = Ai y i A L axe neutre d une section coincide avec le centre de gravité 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 17 / 50

15 Rappel: Inertie, section quelconque I z Inertie d une section (deuxième moment d aire) I z c.g. a.n. 1. Subdiviser l aire de la section A en éléments simples d aire A i et ayant un C.G. y i 2. Calculer le C.G. & A.N. 3. Calculer l inertie individuelle I i des éléments 4. Calculer l initie de la section (d i : la distance entre le C.G. de la section et celui de l élément i) I z = [ Ii + A i di 2 ] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 18 / 50

16 Rappel: Inertie, section quelconque I z Exemple: Inertie d une section I z I 1 = b 1h I 2 = b 2h I z = [ I 1 + A 1 d1 2 ] [ + I2 + A 2 d2 2 ] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 19 / 50

17 Module de section S Module de section S Si c = y max σ x max = Mc I = M = M I /c S }{{} Module de section Sections non-symétriques Sections symétriques S 1 = I z c 1, S 2 = I z c 2 S 1 = S 2 = I z c 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 20 / 50

18 Module de section S Exemple Propriétés des sections Calculer y, I z, et S (1) Centre de gravité: (2) Inertie: Ai y i y = A I z = [ Ii + A i di 2 ] (3) Module de section: S sup = I z c sup, S inf = I z c inf 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 21 / 50

19 Module de section S Exemple Propriétés des sections (1) Ai y i y = A h 1 b 1 y 1 {}}{{}}{{}}{ 40mm 180mm 20mm +80mm 60mm 80mm = 40mm }{{ 180mm} + } 80mm {{ 60mm} A 1 A 2 = 44 mm 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 22 / 50

20 Module de section S Exemple Propriétés des sections (2) I z,1 = [ I1 + A 1 d1 2 ] = 180mm (40mm)3 12 = mm 4 I z,2 = mm 4 + (180mm 40mm) (44mm 20mm) 2 I z = I z,1 + I z,2 = mm 4 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 23 / 50

21 Module de section S Exemple Propriétés des sections (3) S sup. = I z = mm 4 c sup. 44mm = mm 3 S inf. = I z c inf. = mm 4 120mm 44mm = mm 3 σ x max = M z S 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 24 / 50

22 Calcul des contraintes de flexion Contraintes de flexion dans les poutres σ x = M zy I z σ x max = M zc I z = M z S σ x : Contraintes longitudinales de flexion M z : Moment de flexion auquel doit résister la section I z : Moment d inertie de la section par rapport à l A.N. y: Distance entre l A.N. et les fibres considérées c: Distance entre l A.N. et les fibres supérieures/inférieures 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 26 / 50

23 Calcul des contraintes de flexion Moments et contraintes de flexion La magnitude des contraintes est proportionnelle au moment σ x = M zy I z [Schodek, 1998] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 27 / 50

24 Exemple contraintes Exemple contraintes Calculer σ x,sup, σ x,inf, σ x max, & vérifier l équilibre M z = 100 kn m I z = mm 4 σ x = M zy I z 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 28 / 50

25 Intro Courbure κ & y, Iz & S Contraintes σ Conception Plasticite Re sume Efficacite des sections fle chies Efficacite des sections fle chies Mz y Iz Z X Iz = y 2 da = Ii + Ai di2 σx = A Quelle forme minimise σx max et la quantite de mate riel? Iz2 > Iz1, pour d > h/4 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 29 / 50

26 Efficacité des sections fléchies Efficacité des sections fléchies (cont.) [Schodek, 1998] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 30 / 50

27 Efficacité des sections fléchies Comparaison de sections communes [Bazergui, 2002] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 31 / 50

28 Bras de levier interne Bras de levier interne [Shodek, [Hanor, 1998] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 32 / 50

29 Intro Courbure κ & y, Iz & S Contraintes σ Conception Plasticite Re sume Bras de levier interne Pourquoi utilise-t-on des poutres pleines? $ [Shodek (1998), Google images] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 33 / 50

30 Optimisation des efforts internes Efforts internes et dimensionnement Déterminer a afin de minimiser σ wa 2 2 = wl ( ) L 2 4 a a = L 2 ( 2 1) 0.21L M = wl 2 ( ) L L wl [Bazergui, 2000] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 34 / 50

31 Optimisation des efforts internes Poutres Gerber Les poutres Gerber sont isostatiques Rotules positionnées afin d équilibrer les M+ et M ( 0.15l) La différence entre M+ et M est égale à wl2 8 [Muttoni, 2004] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 35 / 50

32 Exemple charge admissible Exemple Charge admissible Calculer P adm si σ x max 140 MPa y = c inf. = 70.5 mm, I z = mm 4 M σ Iz c inf. 0.9m P 140 MPa mm mm P N = 16.1 kn 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 37 / 50

33 Choix d une section transversale Choix d une section transversale Pour contrainte admissible σ x,adm et un moment appliqué M max σ x max = M z S S conception M max σ x,adm 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 38 / 50

34 Exemple choix d une section Exemple - choix d une section σ x,adm = 200 MPa Quelle est la section en I la plus légère? Choix: S σ x,adm M S S M max = N mm = mm 3 σ x,adm 200 MPa [Bazergui, 2000] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 39 / 50

35 Comportement élastique Comportement inélastique des poutres en acier Cas particulier : poutre à section rectangulaire 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 41 / 50

36 Comportement élastique Comportement élastique: σ x σ Y σ x,max = σ Y = M y c I z = M y h/2 b h 3 /12 Moment élastique: M y = bh2 6 σ Y = σ Y S 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 42 / 50

37 Comportement élastoplastique Domaine élastoplastique: σ x > σ Y σ x = { y r σ Y, si 0 y < r σ Y, si r y < h/2 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 43 / 50

38 Comportement élastoplastique Domaine élastoplastique: σ x > σ Y (cont.) Moment élastoplastique: h/2 M = b h/2 [ r = 2b 0 h/2 σ x ydy = 2b σ x ydy 0 ] σ h/2 Y r y 2 dy + σ Y ydy [ σy = 2b r y 3 /3 r 0 + σ Y y 2 /2 h/2 r [ r 2 = 2bσ Y 3 + h2 8 r 2 ] 2 = σ Y bh 2 = 3 2 M y 4 [ [ r ( r h ) 2 ] ( r h ) 2 ] ] 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 44 / 50

39 Comportement plastique Domaine plastique: σ x > σ Y, r = 0 Moment plastique (section rectangulaire): M p = σ Y bh 2 4 = σ Y bh 2 [ 1 4 ( r ) ] 2 3 h 4 = σ Y Z = 3 2 M y Moment plastique: Moment ultime qu une section peut supporter. Z : module plastique de la section 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 45 / 50

40 Relation moment courbure Relation moment courbure Coefficient de forme: f = M p M y = Z S 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 46 / 50

41 Relation moment courbure Domaine plastique: σ x > σ Y, r = 0, cas général Comme σ x (y, z) = σ Y, les aires en traction et en compression doivent être égales ( F x = 0) A C = A T = 1 2 A Le moment plastique est alors M p = σ Y A 2 d C + σ Y A 2 d T = σ Y A 2 (d C + d T ) = σ Y Z 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 47 / 50

42 Exemple flexion plastique Exemple flexion plastique Calculer Moment élastique, M y = σ Y I z c A.N. plastique, y p Moment plastique, M p Facteur de forme, f = Mp M y σ Y = 40 ksi 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Résistance des matériaux 48 / 50

43 Intro Courbure κ & y, Iz & S Re sume Module #6a But : Calculer les contraintes de flexion Flexion pure : M(x) 6= 0, V (x) 0, F (x) 0 Courbure : κ = 1/ρ Contraintes σ Conception Plasticite Re sume P Ai yi Axe neutre : y = P 6= y p Ai Inertie : Iz = X 2 [Ii + Ai di ], Iz,rect. = bh3 12 c.g. a.n. De formations et contraintes : x, σx κ, y y x = = κy ρ Ey My σx = x E = = E κy = ρ Iz Iz Module de section : S = Conception : Sadm. c σx,max =, Mz S Mmax σx,adm. Moment plastique : Relation moment-courbure : κ = M EI M p = σy Z {z}, f = Z S module plastique 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 49 / 50

44 Intro Courbure κ & y, Iz & S Contraintes σ Conception Plasticite Re sume Organisation de la matie re 1 Statique 2 Mate riau Chargements - E quilibre des forces et moments - Diagrammes de corps libres - 5 Diagramme des efforts, N(x), V (x), M(x) - Contraintes & de formations - Loi de Hooke, Poisson & St-Venant - 3 Efforts axiaux - 4 Torsion - 6a Flexion - 6b Cisaillement - 7 De flexion - 9 Pression & chargements combine s - 7 De flexion - 8 Contraintes 2D-3D - 10 Lois constitutives & crite res de rupture Introduction Mohr 2D (\ ) Mohr 3D (\ ) \ Mohr (\ ) Mesures de Re sume Construction du cercle de Mohr E tats limites + Cercle de Mohr + Y : y, xy = 90o C R ( n avg. ) 2 tan 2 p1 = 2 X : x, xy =0 2 + nt = R2 xy x y avg. = x+ y 2 x y 2 2 (Automne 2015) 8 Contraintes dans les poutres CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 8 / 51 6a Contraintes de flexion dans les poutres V1.1 CIV1150 Re sistance des mate riaux Polytechnique Montre al 50 / 50