Loi de comportement BETON_DOUBLE_DP à double critère Drücker-Prager pour la fissuration et la compression du béton

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1 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 1/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double rière Drüker-Prager our la fissuraion e la omression du béon Résumé Le modèle résené dans e doumen, omoremen BETON_DOUBLE_DP, es une loi de omoremen non linéaire our le béon. Il s auie sur la héorie de la lasiié, il es valable our les éas de onraine ridimensionnels. Les hyohèses de modélisaion reenues son les suivanes : un domaine de réversibilié des onraines délimié ar deux rières de ye Drüker Prager, un érouissage de haun des rières, en omression, un érouissage osiif jusquà un i, uis un érouissage négaif, en raion, un érouissage négaif exlusivemen, une déendane de lallure des ourbes os-i dans les deux as (raion/omression) ave la aille de lélémen fini (lallure de ee ourbe es liée à lérouissage négaif e à lénergie de fissuraion), des règles d éoulemen lasiques normales (lasiié assoiée) e une formulaion d érouissage isoroe, la rise en ome de la déendane des seuils délasiié ar raor à la eméraure, la rise en ome de la déendane du module dyoung ar raor à la eméraure. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

2 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 2/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Table des maières 1 Noaions Inroduion Caraérisiques riniales du modèle Pourquoi deux rières de Drüker Prager Domaine de réversibilié e fonions seuils Allure du domaine e des seuils de réversibilié Exression mahémaique du domaine de réversibilié Crière de ruure. hoix des oeffiiens a,b, e d Analyse du domaine de réversibilié reenu Erouissage Fonions d érouissage Courbes dérouissage e modules os i Modèle de fissuraion réarie Comoremen du béon en raion e ourbe os-i linéaire Comoremen du béon en raion e ourbe os-i exonenielle Comoremen du béon en omression e ourbe os-i linéaire Comoremen du béon en omression e ourbe os-i non linéaire Eoulemen lasique Forme générale de la règle de normalié Exression de l éoulemen lasique en arie ourane Exression de l éoulemen lasique au somme d un ône Démonsraion ar la héorie générale des maériaux sandards Démonsraion ar le ravail lasique Ensemble des équaions de omoremen (résumé) Inégraion numérique de la loi de omoremen Le roblème global e le roblème loal : raels Traiemen numérique du as régulier Exisene d une soluion e ondiion d aliabilié Traiemen des as non réguliers Calul des onraines e déformaions lasiques Aeabilié Aeabilié a riori e a oseriori Exisene d une soluion régulière e d une soluion singulière Inerversion des sommes des ônes de raion e omression Projeion au somme des deux ônes Déerminaion de loéraeur angen Oéraeur angen en viesse ave un seul rière aif Oéraeur angen en viesse ave deux rières aifs Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

3 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 3/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Dérivées suessives des rières en raion e en omression Dérives suessives des rières ar raor à la onraine Dérives suessives des rières ar raor aux muliliaeurs lasiques Variables inernes du modèle Organigramme général de résoluion Annexe 1 sna-bak ave les valeurs iniiales des oeffiiens e d Bibliograhie Desriion des versions du doumen Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

4 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 4/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Noaions désigne le enseur de onraine, rangé sous forme de veeur selon la onvenion : { } On noe : I 1 =Trae H = 1 r la onraine hydrosaique 3 s= 1 3 r I le déviaeur des onraines H = 1 r la déformaion volumique 3 = 1 3 r I le déviaeur des déformaions eq= 3 2 rae. le aux de déformaion équivalen J 2 = 1 2 rae s2 le seond invarian des onraines eq = 3J 2= 3 2 rae s2 la onraine équivalene o= 2 3 J = rae s2 2 3 o = H = I 1 3 = rae 3 f f f f = f f = f f limie iniiale de ruure en omression simle limie iniiale de ruure en bi omression limie d élasiié en omression limie iniiale de ruure en raion raor enre limie de ruure en raion e en omression raor enre limie de ruure en bi-omression e omression simle déformaion lasique en raion muliliaeur lasique en raion déformaion lasique en omression Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

5 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 5/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 muliliaeur lasique en omression f ourbe d érouissage en omression ourbe d érouissage en raion f u u k f G f G 2 Inroduion déformaion lasique ulime en raion déformaion lasique ulime en omression énergie de ruure en omression (araérisique du maériau) énergie de ruure en raion (araérisique du maériau) le maximum de la eméraure au ours de lhisorique de hargemen 2.1 Caraérisiques riniales du modèle Le modèle résené dans e doumen es une loi de omoremen non linéaire our le béon. Il s auie sur la héorie de la lasiié, il es valable our les éas de onraine ridimensionnels. Les hyohèses de modélisaion reenues rerennen en arie les modèles déveloés ar G. Heinfling [bib2] e J. F. Georgin [bib1] e son les suivanes : il exise un domaine de réversibilié des onraines délimié ar deux rières de ye Drüker Prager, haun des rières s éroui, le domaine de ruure orresond au maximum du domaine de réversibilié, en omression, l érouissage es osiif jusquà un i, uis il devien négaif, en raion, l érouissage es négaif exlusivemen, les ourbes os-i dans les deux as (raion/omression) varien ave la aille de lélémen fini (lallure de ee ourbe es liée à lérouissage négaif e à lénergie de fissuraion), l éoulemen lasique es régi ar une règle de normalié (lasiié assoiée) la formulaion des érouissages es de ye isoroe, le module d élasiié e les seuils de réversibilié varien ave la eméraure. Remarque : La erminologie de rière de raion e rière de omression es disuable. Nous l uiliserons ar habiude, en éan bien onsien qu un éa de onraines de raion eu onduire à l aivaion du rière di de omression. 2.2 Pourquoi deux rières de Drüker Prager Les aueurs des hèses iées en référene [bib1] e [bib2] uilisen un rière de Drüker Prager en omression e un rière de Rankine en raion. Ils jusifien es hoix ar des onsidéraions hysiques en monran que le domaine de réversibilié ainsi obenu es rohe de la réalié exérimenale. Par onre ils limien leurs modélisaions à des éas de onraines bidimensionnelles. Nous avons référé remlaer le rière de raion ar une surfae égalemen du ye Drüker Prager. Par e hoix, on saffranhi de eraines diffiulés ariulièremen dans les formulaions ridimensionnelles. La surfae 3D définissan les éas de onraines admissibles vis à vis de la raion nes lus une yramide (Rankine 3D) mais une surfae onique don le somme es siué sur laxe hydrosaique. La rae du rière «di de raion» sur le lan déviaorique nes lus un riangle, mais un erle. La formulaion obenue es lus simle. La différene enre les deux rières es minime our des éas de onraine rohes d éas de onraine lane. Par onre, our les éas de onraine foremen onfinés, les deux arohes (de Rankine e de Drüker Prager) son différenes, e qui es une limie du modèle roosé. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

6 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 6/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Domaine de réversibilié e fonions seuils 3.1 Allure du domaine e des seuils de réversibilié Le domaine de réversibilié es le domaine de l esae des onraines à l inérieur duquel les rajes de onraine son réversibles. Dans l esae des onraines riniales 1, 2, 3, il s agi de deux ônes don l axe es la riserie d équaion 1 = 2 = 3. La [Figure 3.1-a] en donne une rerésenaion grahique. σ 2 σ 1 σ 3 Figure 3.1-a C τ o Domaine de réversibilié P 10 5 B P σ o Figure 3.1- b Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

7 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 7/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Dans un lan o, o le domaine de réversibilié es déerminé ar deux droies omme indiqué sur la [Figure 3.1-b]. Pour un éa de onraine lane, le domaine de réversibilié es la oue du domaine ridimensionnel ar un lan d équaion 3 =se, omme indiqué sur la [Figure 3.1-], le résula dans un lan 1, 2 éan rerésené sur la figure [Figure 3.1-d]. σ 2 σ 1 σ 3 Figure 3.1- σ 2 σ 1 Figure 3.1- d Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

8 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 8/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Exression mahémaique du domaine de réversibilié Il es défini ar l inéquaion : f σ, A 0 éq dans laquelle A rerésene les fores hermodynamiques assoiées aux variables inernes (nous noons l ensemble des variables inernes). Pour le modèle béon que nous résenons ii, l équaion [ éq ] rend la forme ariulière f om, A = a. o o f b A 0 éq H f om H f ra f ra, A =. o o f d A 0 éq , A = a. o f b A 0 éq , A =. o f d A 0 éq Les équaions [ éq ] e [ éq ] orresonden reseivemen aux seuils de «omression» e de «raion». Les équaions [ éq ] e [ éq ] limien le seuil de réversibilié dans le domaine de la raion isoroe, elles reviennen à exlure l axe des absisses sur la [Figure 3.1-b] au delà des oins P ou P. Il es lair qu une seule de es deux dernières ondiions suffi. Pour le maériau non éroui, le hoix des oeffiiens es el que e OP OP la ondiion [ éq ] enraîne [ éq ]. Nous verrons lus ard que l érouissage eu inverser l ordre des oins P e P, rendan la ondiion [ éq ] lus onraignane que [ éq ]. 3.3 Crière de ruure. hoix des oeffiiens a,b, e d Quand l éa de onraine aein le bord du domaine de réversibilié, des déformaions lasiques se déveloen e les seuils se délaen : ils s érouissen. Le seuil de omression «s agrandi» dans un remier ems, uis diminue, alors que le seuil de raion ne eu que diminuer. Le seuil de ruure orresond au domaine maximal ouvan êre aein, il es rerésené sur la [Figure 3.3-a] dans un diagramme de onraine lane : Seuil iniial de réversibilié en omression σ 2 σ 1 Seuil de ruure en omression Figure 3.3- a Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

9 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 9/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 L érouissage des seuils se radui mahémaiquemen ar l évoluion des quaniés A e A, les seuils de ruure orresondan aux maximum des fonions f = f A e f = f A. Dans les modèles reenus, es fonions son elles que : Max f = f e Max f = f ; Les oeffiiens a, b,, e d son don définis à arir de : f : la résisane en raion uni axiale du béon, f : la résisane en omression uni axiale du béon, f : la résisane en omression bi axiale du béon, On défini de lus les oeffiiens : = f e = f f f Pour déerminer les oeffiiens a, b, e d il fau se donner 4 équaions qui exrimen en fai que les rières son aeins our des éas de onraines ariuliers e judiieusemen hoisis. Une remière ossibilié onsise à érire que les deux rières se ouen sur les axes omression simle (oins C de la [Figure 3.3-b]). A C D Figure 3.3- b En raelan que : En omression simle : 0 ; o = 3 ; o = 2 3 En bi omression 0; o =2 3 ; o = 2 3 En raion simle 0 ; o = 3 ; o = 2 3 On obien alors les relaions suivanes : Numéro de ondiion Ea de onraine Crière aein relaion obenue 1 Comression simle Comression a3b= 2 2 Bi omression Comression 2a 3 b= 2 3 Traion simle Traion 3d= 2 Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

10 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 10/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Comression simle Traion 3 d= 2 Tableau 3.3- a Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

11 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 11/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Qui donne, en osan : = f e = f f f a= b= = d = Mais e hoix es roblémaique. éq éq En effe, arès érouissage du rière de raion, e our une limie de raion devenue nulle le domaine d admissibilié rend la forme indiquée sur la [Figure 3.3-], rendan non admissibles des éas de bi omressions. Figure 3.3- De lus, ave e hoix des oeffiiens, erains rajes de raion omression simle résenaien des sna-bak omme indiqué en annexe. Nous avons alors référé remlaer la ondiion numéro 4 du [Tableau 3.3-a] ar une ondiion exriman que, arès que la limie de raion soi reombée à zéro, le domaine de réversibilié es elui rerésené sur la [Figure 3.3-d]. Figure 3.3- d Cei ondui à remlaer la relaion 3 d= 2 ar = 2 Le hoix des oeffiiens a,b, e d es finalemen : a= b= = 2 d = éq éq Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

12 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 12/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 modèle reenu Figure 3.3- e La [Figure 3.3-e] monre la différene enre les deux modèles our un éa de onraine lane. 3.4 Analyse du domaine de réversibilié reenu Dans e haire, nous donnons des indiaions sur l ordre de grandeur des onraines admissibles au sens du rière reenu. Nous nous aahons à donner des indiaions sur les onraines de raion, noammen our des éas de onraine ridimensionnels. La [Figure 3.4-a] monre les domaines iniiaux ( es-à-dire avan érouissage) our les valeurs suivanes des aramères maériaux : f f limie iniiale de ruure en omression simle : f f = 40 Ma limie iniiale de ruure en bi omression = f f raor enre limie de ruure en bi-omression e omression simle = 1.1 f f limie d élasiié en omression ; limie iniiale de ruure en raion =44 Ma =0,33 f = 4 Ma Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

13 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 13/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 σ 2 σ 1 Figure 3.4- a σ 3 Les figures [Figure 3.4-b], [Figure 3.4-] e [Figure 3.4-d] monren les oues du domaine ridimensionnel ar des lanes 3 =0 e 3 = 25 Ma Plan σ 3 = 0 Ma σ 2 σ 1 Figure 3.4- b σ 3 Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

14 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 14/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Plan σ 3 = 25 Ma σ 2 σ 1 Figure 3.4- σ 3 Plan σ = 3 0 Ma Plan σ 3 = 25 Ma σ 2 σ 1 σ 3 Figure 3.4- d La [Figure 3.4-e] monre les domaines de réversibilié dans un lan 1, 2 our des éas de onraine 3 onsans, domaines aramérés ar la valeur de 3. Nous rerésenons les domaines our 3 = 25 Ma, 3 =0 Ma, 3 =4 Ma, 3 =10 Ma, 3 =15Ma. On y voi que our un onfinemen de 25 Ma de omression, les onraines de raion euven aeindre 15Ma, e que, arallèlemen, le domaine de réversibilié our 3 =15Ma n es as vide e orresond à des onraines de omression 1 e 2 ordre de 25 Ma. On voi égalemen, que, our une valeur donnée de 3, la valeur maximale de raion Obenue our 1 e 2 es aeine à l inerseion des rières de raion e de omression. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

15 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 15/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Domaine de ruure σ= 3 25 Ma Domaine de ruure σ 3 =0 Ma Domaine de ruure Domaine de ruure σ =4 Ma 3 σ=10 3 Ma Domaine de ruure σ 3 =15 Ma Domaine de ruure σ= 3 25 Ma Figure 3.4- e Nous éudions don le lieu d inerseion des rières de raion e de omression. Nous noons H 0, 0 eq le oin d inerseion des deux rières dans le lan H, eq (oin C de la [Figure 3.4- f]). eq σ C eq 0σ Domaine de réversibilié Hσ 0 Hσ P Figure 3.4- f P Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

16 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 16/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Le lieu d inerseion des deux rières dans l esae des onraines es donné ar : Où es un aramère. 2 {1= 3 eq 0 sin 6 0 H 3 =3 0 H = 2 3 eq 0 sin 6 0 H Figure 3.4- g La [Figure 3.4-g] monre les rojeions de e lieu dans les lans 1, 2 e 2, 3. On eu aluler failemen la valeur maximum de la onraine le long de ee ourbe : max = f f éq Cee équaion monre que, quelle que soi la valeur hoisie our la limie de ruure en raion, la onraine maximale aeine en raion es suérieure au iers de la limie de ruure en omression. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

17 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 17/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 La [Figure 3.4-h] monre les rois onraines riniales en fonion du aramère. Figure 3.4- h On voi que l on eu aeindre un niveau de raion de 15 Ma, mais our un onfinemen de 2 = 25 Ma e 3 = 25 Ma. Pour essayer d évier e inonvénien, qui es imoran, on eu essayer de jouer sur les valeurs de la résisane en omression e le aramère. A ire d exemle, nous avons hoisi le jeu suivan de aramères : f =20 Ma f =40 Ma =2 f =4 Ma La [Figure 3.4-i] monre les rières ave e hoix de aramères. La [Figure 3.4-j] monre la valeur des onraines riniales à l inerseion des deux rières our e nouveau hoix de aramères. La raion maximum obenue es lus faible ( 8Ma ), mais elle es aeine our un niveau de onfinemen égalemen lus bas ( 7Ma ). Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

18 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 18/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Crière de raion iniial à Crière de raion iniial à σ 3 =0 Ma σ3 = 8 Ma Limie du domaine élasique iniial en omression à =0 Ma σ 3 Crière du i iniial de omression à σ 3 =0 Ma Crière du i iniial de omression à σ3 = 8 Ma Figure 3.4- i Figure 3.4- j Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

19 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 19/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Erouissage Comme nous l avons déjà menionné au aragrahe [ 3.3 ], quand l éa de onraine aein le bord du domaine de réversibilié, les déformaions lasiques e les variables inernes se déveloen, les seuils se délaen : ils s érouissen. Pour nore modèle, les variables inernes son au nombre de deux, elles son noées our la variable inerne «die de omression» e our elle «die de raion». Ces variables déerminen l évoluion des seuils de omression e de raion reseivemen, les fores hermodynamiques leurs son reliées ar les relaions : e A = f f éq A = f f éq où f e f rerésenen les valeurs des résisanes en omression e raion reseivemen Fonions d érouissage La fonion f es d abord roissane uis déroissane, la arie déroissane éan soi linéaire [Figure a], soi quadraique [Figure b], f ( κ ) f ϕ f κ κ e κ u Figure a f ( κ ) f ϕ f κ e κ u κ Figure b Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

20 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 20/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 es une donnée du modèle. L allure de la ourbe enre e e e (érouissage négaif) déend de lélémen, e lus réisémen de ses dimensions, suivan un rière analogue à elui hoisi ar G. Heinfling, [ ] our la rise en ome de la loalisaion des déformaions. En raion, lallure de la ourbe donnan la valeur de la limie délasiié f en fonion de la déformaion lasique umulée ne omore as de arie "ré-i", la arie «os-i» éan soi linéaire [Figure ], soi exonenielle [Figure d]. f f ( κ ) g f κ u κ Figure f ( κ ) f κ u κ Figure d Courbes dérouissage e modules os i Modèle de fissuraion réarie Linroduion dun omoremen adouissan os-i dans les relaions onraines-déformaions ose un roblème majeur. Sous solliiaion saique, au delà dun erain niveau de onraine, orresondan à lamore du omoremen adouissan, les équaions régissan léquilibre de la sruure erden leur naure elliique. Ces équaions du roblème méanique formen alors un sysème déquaions aux dérivées arielles mal osées don le nombre de soluions es mulile. Ce roblème se radui ar une non-objeivié ar raor au maillage. Il en déoule une sensibilié ahologique de la soluion numérique à la finesse e à lorienaion du maillage. Afin de résoudre e roblème, ou au moins, den limier les onséquenes sur la fiabilié de la soluion rédie, il es néessaire duiliser des ehniques dies de régularisaion. Lobje de es ehniques es denrihir la desriion méanique du milieu, our ouvoir dérire des éas non homogènes de déformaion, e our réserver la naure mahémaique du roblème. On oère ee régularisaion en Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

21 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 21/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 inroduisan, dans la loi de omoremen, une longueur araérisique ou longueur inerne, reliée à la largeur de la zone de loalisaion. Plusieurs ehniques son ossibles our améliorer la desriion méanique du milieu adouissan. Elles onsiuen des limieurs de loalisaion. La mise en œuvre de es ehniques néessie en général, des déveloemens numériques délias. Une arohe inermédiaire enre luilisaion des modèles lassiques e la mise en œuvre de es limieurs de loalisaion onsise à faire déendre la ene os-i de la relaion onraine-déformaion, de la aille de lélémen, de manière à dissier à la ruure une énergie onsane. Cee arohe onsiue un as vers une desriion non loale du milieu oninu. Considérons d abord une fissure réelle de surfae S don la mesure es A [Figure a]. S es une surfae de disoninuié du ham de délaemen u. On suose que our réer ee disoninuié, il fau déenser une énergie W don l exression es : W= S G f x ds, G f éan une roriéé du maériau. Considérons mainenan que l on veuille rerésener le même hénomène, en rerésenan non as une disoninuié de délaemen mais une déformaion lasique uniformémen réarie dans un volume V. r L énergie dissiée sera : W= v dv 0 ij d ij d, où on a noé r le «ems à ruure». d S V σ σ σ σ L ver En faisan la série d hyohèses suivanes : Figure a la fissure es lane, G f es onsan le long de la fissure e don W= A.G f, V es un ylindre de base S e d une haueur L ver, g f = 0 ij d ij d es onsan dans V. d On aboui finalemen à la relaion : Ou enore : On voi failemen que : g f = 0 u W =Vg f =V 0 ij d ij d= A.G d f éq g f = 0 r ij d ij d d= G f L ver éq f f d, ériure dans laquelle les quaniés g, f, u, f rerésenen reseivemen g, f, u, f en raion e g, f, u, en omression. La donnée de g f déermine don k u, ei en raion omme en omression : u g f k = 0 f d = G f L ver Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

22 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 22/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 u g f k = 0 f d = G f L ver Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

23 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 23/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 La quanié g f es don liée à la ene de la ourbe os i dans un diagramme onraine-variable d érouissage, laquelle es liée à la ene os i dans un diagramme onraine déformaion. Suosons ar exemle que la relaion onraine déformaion soi linéaire en régime os i. Aelons E T 0 la ene os i dans le diagramme, e h0 la ene orresondane dans de diagramme f, [Figure b]. On a les relaion h= EE T E E E T = he T Eh qui monren que on doi avoir : h E, faue de quoi le diagramme, résene un sna bak. f σ f E E T g f EE h = T E E T ε κ Figure b La ondiion h E es die ondiion d aliabilié, elle se raduira ar une inégalié sur g f don sur L ver. Dans le adre dune résoluion ar la méhode des élémens finis, le volume élémenaire rerésenaif du milieu fissuré eu êre assimilé à un élémen du maillage. La longueur araérisique (noée ar la suie l ) inroduie dans la méhode de lénergie de ruure équivalene orresond à la longueur Lver. Lors dun alul orresondan à une sruure quelonque, la déerminaion de ee longueur araérisique es déliae. Elle déend de la osiion du lan de fissure, des dimensions e du ye des élémens... Une esimaion simle our les as bidimensionnels eu sexrimer sous la forme : l =r A e où A e es laire de lélémen onsidéré, e r, un faeur orreeur, valan 1 our les élémens quadraiques, e 2 our les élémens linéaires. On eu éendre ee formulaion au as 3D : l =r 3 V e où V e désigne le volume de lélémen. Conernan l évoluion de l érouissage ave la eméraure, nous onsidérons omme dans [bib2] que les énergies de ruure e les résisanes à ruure déenden non as de la eméraure ourane T du oin maériel onsidéré au ems, mais de la eméraure maximale aeine en e oin deuis le débu du hargemen jusqu au ems. Quand nous aurons besoin de monrer la déendane des quaniés ar raor à la eméraure, nous noerons : le maximum de la eméraure deuis le débu de hargemen, f la résisane en omression, f désigne la résisane en raion, f, la ourbe dérouissage en omression, f, la ourbe dérouissage en raion. e Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

24 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 24/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Comoremen du béon en raion e ourbe os-i linéaire Dans ee modélisaion, le béon es suosé élasique jusquà sa résisane en raion f. La ourbe f en raion es rerésenée sur la [Figure ] e es enièremen définie ar la f résisane en raion du maériau, lénergie de fissuraion G, e la longueur araérisique l. Lexression mahémaique de ee ourbe es : f, = f 1 éq u Léquivalene de lénergie dissiée erme dérire : doù u G f =l 0 u f, =l f 1 0 u d e La ondiion daliabilié séri : G f = l. f. u 2 l u = 2.G f l. f 2.E.G f f 2 éq éq éq Comoremen du béon en raion e ourbe os-i exonenielle Dans ee modélisaion, le béon es suosé élasique jusquà sa résisane en raion f. La ourbe f en raion es rerésenée sur la [Figure d] e es enièremen définie ar la f résisane en raion du maériau, lénergie de fissuraion G, e la longueur araérisique l. Lexression mahémaique de ee ourbe es : f, = f.ex a u Léquivalene de lénergie dissiée erme dérire : éq D où : G f =l 0 f, =l f ex a 0 u d e G f = l. f. u a u a = G f l. f éq éq Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

25 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 25/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Soi enore : f θ, κ = f θ.ex l. f κ θ G f θ La ene maximale de la ourbe es alors h max = l. f 2 G f e la ondiion daliabilié séri : l E.G f f 2 éq Comoremen du béon en omression e ourbe os-i linéaire { f Dans ee modélisaion, le omoremen du béon es suosé élasique jusquà la limie délasiié, donnée ar un oeffiien de roorionnalié (noé en ourenage de la résisane au i f. Pour les béons sandard es de lordre de 30%. La ourbe f en omression es rerésenée sur la [Figure a] e es enièremen définie ar la résisane en raion du maériau, lénergie de fissuraion G f, e la longueur araérisique l. Lexression mahémaique de ee ourbe es :, = f 2 2 f, = f u 1 e u 2 si 2 e e éq e u si e La résisane en omression maximum es aeine lorsque : e = 2 2 Léquivalene de lénergie dissiée erme dérire : doù e u G f =l 0 f, d u éq f E G f =l. f e 1 2 u éq u = 2.G f l. f 21 3 f La ene de la ourbe es alors h θ = θ κ u θ κ e θ e la ondiion daliabilié séri : e éq l E. G f 6 f éq Comoremen du béon en omression e ourbe os-i non linéaire Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

26 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 26/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Dans ee modélisaion, le omoremen du béon es suosé élasique jusquà la limie délasiié, donnée ar un oeffiien de roorionnalié (noé en ourenage de la résisane au i. f. Pour les béons sandard es de lordre de 30%. La ourbe f en omression es rerésenée sur la [Figure b] e es enièremen définie ar la résisane en raion du maériau, f lénergie de fissuraion G, e la longueur araérisique l. Lexression mahémaique de ee ourbe es : { f, = f 2 2 e 1 f, = f 1 e 2 u e 2 2 si 2 e e éq si e u éq La résisane en omression maximum es aeine lorsque : e = 2 2 Léquivalene de lénergie dissiée erme dérire : doù : u κ G f θ =l 0 f θ,κ dκ f E G f =l. f 2 3 u 3 e éq e : u = 3 G f 2 l. f 2 e éq La ene maximale de la ourbe os-i es alors h max θ = 2. f θ κ u θ κ e θ e la ondiion daliabilié séri : l 3 E.G f 1 2 f éq Eoulemen lasique Dans e aragrahe, nous donnons l exression des viesses de déformaion lasique, en disinguan le as di général où l éa de onraine es siué sur une zone «régulière» du bord du domaine de réversibilié e le as où il es au somme d un des ônes. 4.1 Forme générale de la règle de normalié Dans l esae, A, les inégaliés [ éq ], [ éq ], [ éq ], [ éq ], définissen un domaine onvexe que nous noerons C, A. Nous noerons la fonion indiarie de e onvexe : Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

27 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 27/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522, A = { 0 si, A C, A sinon éq Quand la fronière du domaine de réversibilié es aeine, des déformaions lasiques irréversibles se déveloen, selon la héorie lassique de la lasiié. Pour un maériau sandard, [bib4] la loi déoulemen vérifie le rinie du ravail lasique maximum, e qui se radui ar l équaion :, éq où noe le sous différeniel de la fonion. Nous raelons [bib3] que le sous différeniel d une fonion onvexe en un oin x es l ensemble des veeurs z els que : f x f x z, x x x On voi alors failemen que [ éq ] enraîne :, A,A A A e A éq Come enu de la définiion de la fonion araérisique, on voir failemen que [ éq ] es équivalen à : A A e A C, A éq En d aures ermes l éoulemen lasique es el que le oule, A réalise le maximum de la dissiaion lasique armi les fores hermodynamiques admissibles. 4.2 Exression de l éoulemen lasique en arie ourane Quand la fonion simlemen f es différeniable au oin onsidéré, A la règle de normalié s éri ε = f = f A e f vérifian les ondiions de Kuhn-Tuker : éq éq f 0. f =0} éq La variable dérouissage es liée au muliliaeur lasique ar la loi dérouissage. En uilisan le ravail lasique, on eu érire : f =. Si f es une fonion homogène d ordre 1 ar raor à la variable ensorielle, on a f = f, e qui ondui à l égalié : = e don finalemen aux équaions : = f om = f ra éq éq Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

28 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 28/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Exression de l éoulemen lasique au somme d un ône Nous donnons deux résenaions du même résula. La remière résenaion uilise la héorie des maériaux sandards généralisés e les sous différeniels, la seonde ar d une égalié osée a riori sur le ravail lasique Démonsraion ar la héorie générale des maériaux sandards Le domaine C, A es onsiué de deux ônes. La fonion n es as différeniable soi à l inerseion de es deux ônes, soi au somme de haun de es ônes. Quand le oin, A aarien à l inerseion des deux ônes, les équaions réédenes resen valables, ave la réision que les déformaions lasique de omression e de raion se déveloen en même ems. Ce as di «muli rière» es du rese raié dans [bib4]. Nous nous onenerons ii de raier le as où,a es au somme d un ône, e nous hoisirons le as le lus fréquen du somme du ône de raion, sahan que le as du somme du ône de omression se raie exaemen de la même façon. Les rières son rééris en uilisan les variables eq e H, lus raiques dans les déveloemen analyiques. f ra, A = 2 3d eq d f H A H f ra, A = d H f A Nous onsidérons don un as où : eq =0 d f H A =0} En aran de [ éq ], nous allons aluler la dissiaion lasique omme éan le maximum de A our ous les oules,a C, A D = Max, A C, A A En érivan alors que e maximum es fini e aein quand = e A = A, nous rouverons des ondiions sur e. En fai, le araère fini suffira. En uilisan la déomosiion des enseurs en arie isoroe e déviaoire, e la forme ariulière des variables d érouissage, on rouve failemen : A = s 3 H H A Considérons alors l ensemble 1 des veeurs onraines de rae nulle e don la onraine équivalene de Von Mises vau 1 : 1 ={, eq =1, rae=0}, A C, A {= eq s 1 H I s d eq d f H A 0 d f H A En d aures ermes, la «direion» du déviaeur des onraines es quelonque our un oule, A C, A. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

29 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 29/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 On eu don érire : D = Max eq, H, A, s 1 1 eq Max s 1 3 H H A s { 2 3d eq d H f A 0 d H f A 0 Il es lair que le maximum de s 1 es aein quand s1 es «arallèle» à e que l on a alors : Max s 1 = 2 s eq. [éq ] eu don s érire : D = Max eq, H, A {2 3d eq d H f A 0 d H f A eq eq + Max eq, H, A {2 3d eq d H f A 0 d H f A 0 + Max { 2 eq, H, A 3d eq d H f A 0 d H f A H H A } Comme eq 0, on a our le remier erme : 2 { 2 Max eq, H, A 3 eq eq 3d eq d H f A 0 d H f A 0 [éq ] reoré dans [éq ] donne : D = 2 d eq f d H Max H, A f A 0 = 2 3 eq H 3 H 2 eq 3d 2 A 3d 2 f 3 2 H d H Max H, A f A A 2 d eq Posons alors : m=3 H 2 eq, n= 2 d eq e q= 2 d eq f Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

30 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 30/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Ave es noaions, [éq ] devien : D = q Max H, A d H f A 0 m H n A Il s agi d un roblème de ye «simlexe». Le domaine de H, A [Figure a] es rerésené sur la A f Domaine σa, H d f Hσ Figure a Comme le domaine H, A s éend vers à la fois our H e A, our que D soi fini, il fau que m e n soien osiifs. Le maximum de m H n A es aein our un oule H, A siué sur le bord du domaine de H, A. On a alors : D = q n f Pour que D soi fini, il fau que : Max H H m n d m=n d Rerenan les définiions de m e n, ee relaion donne : 3 H = d éq Par ailleurs, les onraines m 0 e n 0 donnen : 3 H 2 eq éq e 2 d eq éq es deux dernières inégaliés éan équivalenes du fai de [éq ]. Les équaions [éq ] e [éq ] définissen l éoulemen lasique au somme d un des ônes du domaine de réversibilié Démonsraion ar le ravail lasique Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

31 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 31/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Le oin de déar es de onsidérer que ar raor aux déveloemens fais en des oins réguliers, e son esseniellemen les relaions [éq 4.2-1] e [éq 4.2-2], dies règles de normalié, qui ne euven lus êre éries. Or la relaion [éq 4.2-1] imlique l égalié f =, qui eu, elle, êre mainenue. Nous arirons don de l équaion : f = éq Nous uilisons la déomosiion en arie isoroe e déviaoire des enseurs e rouvons : f = s3 H H éq Au somme du ône de raion, on a les relaions [éq ], qui, orées dans [éq ] donnen, en uilisan égalemen [ éq ] : f =3 d f H éq E on rerouve don la relaion [éq ] :. 3 H = d 4.4 Ensemble des équaions de omoremen (résumé) On noe H la marie =[ d élasiié : ] H Ave : = E e = E 2 1 Les relaions onraines déformaions s ériven finalemen :, e K = 32 3 =H éq Pour un oin régulier du ône de omression : f om, A = 2 3b eq a b f H A 0 éq f om =0 ; = f om éq Pour un oin régulier du ône de raion : f ra, A = 2 3d eq d f H A 0 éq f ra =0 ; = f ra éq Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

32 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 32/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Pour un oin au somme du ône de omression : s=0 éq H f, A om = a b H f A =0 éq H = a b 3 H 2a eq Pour un oin au somme du ône de raion : éq éq s=0 éq H f σ, A ra = d σ H f A =0 éq ε H = d κ 3 H 2 eq éq éq Inégraion numérique de la loi de omoremen 5.1 Le roblème global e le roblème loal : raels Pour une sruure donnée (géomérie e maériau), e our un hargemen donné, les hams de délaemen, onraine e variables inernes se rouven en résolvan un ensemble d équaions aux dérivées arielles non linéaire formées à arir des équaions d équilibre e des lois de omoremen. Le doumen [bib5] résene l algorihme don nous donnons ii un résumé : u 0 e 0 onnu Boule insans i : hargemen L i =L i u i 1 onnu ; alul de la rédiion u i 0 Iéraions d équilibre de Newon n u i n onnu ; u i n =u i n u i 1 Boule élémens el Boule oins de gauss g alul g i el n = g el u in loi de omoremen : el n alul de : g i alul de el n gi el n e g i ( selon oion ) el ε n gi el à arir de g i 1 el, g i 1 el n e g i Aumulaion dans veeurs e maries assemblés : T Aumulaion de Q el el n g dans Q T n. i Calul de u i n ar :. gi Aumulaion de alul de Q g T el el n g i K i n. u i n = Q T. i n L i iéraion de reherhe linéaire our déerminer el Q el ε n g dans K n i ( selon oion ) gi Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

33 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 33/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Aualisaion : u i n1 = u i n u i n SI es onvergene OK fin Newon : as de ems suivan i = i+1 Sinon n = n+1 el Le alul des onraines e variables inernes n el g i, n g i à l iéraion de Newon n e au ems i à el el el arir des onraines e variables inernes g i 1, g i 1 au ems i 1 e de la valeur e ε n gi de l aroissemen de déformaion dans l inervalle de ems esimé à l iéraion de Newon n onsise à inégrer les équaions [éq 4.4-1], [éq 4.4-2] à [éq 4.4-5] ou [éq 4.4-6] à [éq 4.4-9] ou [éq ] à [éq ] selon les as ave les ondiions iniiales : el i 1 = g i 1 éq el i 1 = gi 1 éq ε i 1 =ε el gi 1 éq Ave la ondiion de hargemen en déformaion imosée : el i = n g i éq Le résula de ee inégraion fournira : el n gi = i el n = i el n = i gi gi L obje de e haire es de résener l inégraion numérique de es équaions. Il s agi d un sysème d équaions différenielles non linéaires que nous résolvons ar une méhode d Euler imliie. A arir de mainenan, les quanié au débu du as de ems (onnues) seron noés ave un indie, alors el que les inonnues en fin de as de ems (oues inonnues sauf ε=ε n g i ) seron noées sans indie. Pour une quanié quelonque a on noe a=a a -. On ommene oujours ar aluler une soluion élasique e, en suosan qu il n y a as d évoluion des déformaions lasiques e des variables inernes. Si au moins un des rières es violé ar ee soluion élasique, il y a lieu de aluler des éoulemens lasiques. Il fau alors disinguer les as réguliers our lesquels la soluion es sur la arie régulière d un des ônes ou à leur inerseion des as dis singuliers où la soluio nes au somme d un des deux ônes. La logique ermean d examiner e de hoisir es différens as, e l algorihme qui en déoule son relaivemen omlexes. Nous résenons don en remier le raiemen de haun des as e exliquons leur enhaînemen osérieuremen, dans le haire [ 5.7 ]. 5.2 Traiemen numérique du as régulier. On ne résene en déail que le as où se déveloen à la fois des déformaions lasiques en raion e en omression e où don la soluion aarien à l inerseion des deux ônes. Noons ouefois que, même si e viole à la fois les deux rières, our auan la soluion finale eu rès bien n aarenir finalemen qu à un des ônes éroui. On es don amené à reherher des soldions don on osule qu elles aariennen à un des deux ônes ou aux deux. Le as ou elle aarien à un seul des deux ônes se dédui failemen du as lus général résené ii. Les équaions que nous avons à résoudre son finalemen : Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

34 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 34/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 s e = s 2 éq σ H e= K K σ H 3KΔε H éq s=s e 2 éq σ H =σ e H 3K Δε H Δε H éq f om, κ = 2 3b eq a b f κ H = 0 éq = f om éq f ra,κ = 2 3d eq d f κ H = 0 éq = f ra éq En renan les aries isoroes e déviaoriques des déformaions lasiques, les équaions [éq 5.2-6] e [ éq ] donnen : = s 2b eq éq a H = éq b = s 2 d eq éq H = éq d En reoran [éq 5.2-9] e[éq ] dans [ éq ], on rouve : s=s e 2 2b éq eq qui monre que s es arallèle à s e d où l on dédui : s se eq= e éq eq En reoran [éq ] dans [éq 5.2-9] e [éq ] on rouve : 2d s = s e éq b eeq s e = éq d eeq On reore alors [ éq ] e [ éq ] dans [ éq ] e [ éq ], e on exrime les rières [éq 5.2-5] e [ éq ] ave es nouveaux résulas. Cela ondui à deux équaions ayan omme inonnues e : 2μ 3b Ka 2 2 b Δκ 2 2μ 3 bd Ka bd f κ Δκ =0 éq μ 3bd Ka bd Δκ 2μ 3d K2 2 d f 2 κ Δκ =0 éq eq 2 3b σe a b σ e H Δκ eq 2 3d σe d σ e H Δκ Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

35 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 35/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 C es e sysème de deux équaions à deux inonnues qu il fau finalemen résoudre. Dans le as où les fonions f e f son linéaires, es à dire dans le as où on es en régime os-i linéaire en omression omme en raion, il s agi d un sysème linéaire qui sera don résolu en une iéraion. Dans le as, soi du régime ré-i en omression (qui es oujours non linéaire), soi de modélisaions à régimes os i non linéaires, le sysème [ éq ] e [ éq ] es résolu ar une méhode de Newon :, le rière de omression onsidéré omme fonion des seules variables On noe f om e, de même our la raion : f om, = 2 3b e eq a b e H 2 3b Ka2 2 b bd Ka bd f - f ra, = 2 eq 3 d e d e H 2 3b d K a b d 2 3 d K 2 2 d f 2 - f om f ra La ième iéraion de Newon our sysème [ éq 5.2-1{ ] - [ éq ] es : { + 1 }i { = }i J, ī, }i Le jaobien J i vau : Ave : f om κ = 2 3b K a2 2 b 2 f om κ = 2 3bd K a bd f ra κ = 2 3bd K a bd f ra = 2 2 K 2 3d d 2 J i = [ f om κ f ra κ f κ - κ κ f - f om κ f ra κ Le Jaobien iniial du sysème se dédui des valeurs des dérivées en =0 e =0, e qui revien à résoudre le sysème non linéaire en aran de la soluion nulle. Les non linéariés son inroduies ar les ourbes dadouissemen. Dans la arie os-i, lorsquelles son linéaires, la onvergene se fai en une iéraion. Lorsquelles son non linéaires, la onvergene ne néessie que quelques iéraions. Parir de la soluion nulle ne ose don as de roblème de onvergene. Cela revien à arir de la linéarisaion des rières au voisinage de la rédiion élasique. ] Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

36 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 36/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Exisene d une soluion e ondiion d aliabilié Nous raelons que la soluion du roblème [ éq ] e [ éq ] doi vérifier les ondiions [éq 4.2-3] e don enre aures la osiivié des aroissemens des muliliaeurs lasiques. 0 éq κ 0 éq Suosons que nous soyons dans un as de omoremen os i linéaire en raion omme en omression e aelons reseivemen h e h les enes des aries os i. Les aroissemens des muliliaeurs lasiques son obenus en résolvan le sysème linéaire : [ 2 3b Ka 2 2 b h 2 2 3bd Ka bd 2 3 bd Ka bd 2 3d 2 K2 = d h 2 ] 2 3b e eq a - b e H f eq 2 3d e d e H f - éq Puisque les rières de raion e de omression on éé aivés en raion omme en omression, le seond membre de e sysème es osiif. Mais rien n assure our auan que la soluion de [éq 5.3-3] sera osiive. =[ Si l on ose : 2μ 3b Ka 2 2 b h 2μ 2 3bd Ka bd HTC 2μ 3bd Ka bd 2μ éq K2 3d 2 d h 2 On a : Ave : { } = HTC-1 2 eq 3b e a - b e H f eq 2 3d e éq d e H f - ] HTC =3 h 3K 6 h 2 h h 9 4 h K 9 h K 3 4 h 16 h 9K éq HTC - 1 = HTC [ 1 h 3 4 3K 9K 2 9K ] 9K 2 9K h 9K 18 K 1 12 éq On voi que les ondiions de osiivié [ éq ] e [ éq ] onduisen à des relaions relaivemen omliquées. Si la soluion du roblème [ éq ] e [ éq ] ne vérifie as les ondiions de osiivié [ éq ] e [ éq ], ela eu orresondre soi au fai que les oeffiiens h e h son els qu il n y a as de soluion osiive (ela orresondrai à un snabak dans un diagramme, K ), soi au fai que la soluion n aive finalemen qu un des deux rières. Examinons le as lus simle d un seul rière aivé. Suosons our fixer les noaions que le seul rière aivé soi le rière de raion. On doi avoir : Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

37 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 37/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : d K2 2 d h = 2 eq 2 3d e d e H f _ éq On voi réaaraîre la ondiion die d aliabilié : 2 3d K2 2 d h 0 2 éq Cee ondiion es la généralisaion de la ondiion h E résenée au aragrahe [ ] dans un as ariulier de solliiaion uni axiale. On reiendra don la sraégie suivane : e f _0 e 2 eq e f _0 Si 2 3b e eq a b H 3b e a b H Aivaion a riori des deux rières : résoluion roblème [ éq ] e [ éq ] Si non onvergene ou si non vérifiaion ondiions de osiivié [ éq ] e [ éq ] Reherhe soluion ave un seul rière aivé Si non onvergene ou non vérifiaion ondiion osiivié Arrê sur diagnosique de non vérifiaion de ondiion d aliabilié du ye [ éq ] 5.4 Traiemen des as non réguliers Dans e aragrahe, nous dérivons le raiemen disre des équaions orresondan à la rojeion au somme du ône de raion, [éq ] à [éq ], sahan que la rojeion au somme du ône de omression se fai de la même façon. Les équaions [éq ] e [éq ] définissen l éoulemen lasique dans e as, alors que l équaion [éq ] es une ondiion d aeabilié de la rojeion au somme du ône Calul des onraines e déformaions lasiques Les formes disrèes de [éq ] à [éq ], son : s=0 éq H = d f κ _ κ éq ε H = d κ éq La relaion [ éq ] éablie dans le as régulier es oujours valable, on l uilise onjoinemen à [éq ] dans [éq ] e on obien : H e d K = d f _ éq La relaion [éq ] es une équaion non linéaire ar raor à la variable κ un algorihme de Newon, e qui erme de aluler ε H que l on résou ar ar [éq ] e H ar [éq ]. Come enu de [ ], les onraines son don omlèemen onnues. [éq ] donne enore : s=s e 2 =0 éq Cee dernière équaion erme de aluler e les déformaions lasiques son omlèemen onnues Aeabilié La forme disrèe de la relaion [éq ] es : Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

38 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 38/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : ε 2 ε H eq [éq ] donne : = e eq éq ε eq éq En uilisan [ éq ] e [éq ], [éq ] s éri : e K eq 2 e H H éq Aeabilié a riori e a oseriori Pour le rière de raion e our la arie os i du rière de omression, H = d f _ es une fonion déroissane de la variable d érouissage e H - H e H H e don que : K eeq 2 e - H H K La ondiion eeq 2 e - H H dès la rédiion élasique. La ondiion e eq oseriori. K eeq 2 e H H κ. On en dédui que es die ondiion d aeabilié a riori ar elle eu êre alulée K 2 e H H es die ondiion d aeabilié a Direion de rojeion eq e σ ( ) σ, e σ eq H zone de rojeion au somme du ône De raion σ H P Figure a Ces ondiions on une inerréaion grahique simle. On eu voir failemen que, dans le as d une soluion régulière, on a : e eq eq = 2 e H H K Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

39 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 39/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Cela monre que la soluion en onraine s obien en rojean le oin H e, e eq arallèlemen à une direion K, 2 dans un diagramme H, eq, omme indiqué sur la [Figure a]. Les zones d aeabilié de la rojeion au somme son des ônes don le somme e elui du ône de réversibilié e délimiés d une ar ar l axe H OP e ar une demi-droie issue du même oin e de direion K, 2. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

40 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 40/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : Exisene d une soluion régulière e d une soluion singulière. Dans le as où la rojeion au somme du ône es aeable a oseriori, il se eu qu exise aussi une soluion régulière omme on eu le voir sur la [Figure b]. zone de rojeion au somme a oseriori eq σ zone de rojeion au somme a riori ( ) σ, e σ eeq H Hσ 2 P 1 P P Direion de rojeion our le as régulier Figure b Le somme du ône de raion avan érouissage es noé P - aroissemen de variable d érouissage κ 1 es noé P 1, elui du ône éroui ave un, elui du ône éroui ave un aroissemen de variable d érouissage κ 2 κ 1 es noé P 2. On voi qu il exise une soluion régulière ave κ 1 e une soluion ave rojeion au somme du ône our κ 2. Ean donné que la soluion régulière orresond à un moindre érouissage, dans le roessus d évoluion, elle sera renonrée avan la soluion ave rojeion au somme : es don la soluion régulière qu il fau reenir. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

41 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 41/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Voilà ourquoi l enhaînemen des reherhes de soluion régulières e ave rojeion au somme es le suivan : i rojeion au somme aeable a riori : e K eq 2 e _ H H Calul de la soluion ave rojeion au somme : ar [éq 5.4-4] Si non Reherhe soluion régulière Si non onvergene ou non vérifiaion ondiion osiivié Calul de la soluion ave rojeion au somme : ar [éq 5.4-4] Vérifiaion d aeabilié a oseriori : e K eq 2 e H H Si as aeable : e K eq 2 e H H Arrê sur diagnosique de non vérifiaion de ondiion d aliabilié Inerversion des sommes des ônes de raion e omression A riori, le somme du ône de omression orresond à une ression hydrosaique de raion beauou lus grande que elle du somme du ône de raion. Mais, omme on eu le voir sur la [Figure a], on eu rouver une hisoire de hargemen qui n aive jamais le rière de raion, qui aive e éroui foremen le rière de omression jusquà le rendre sriemen inlus dans le domaine de réversibilié du rière de raion. Traje de onraine eq σ Crière de omression σ H P Crière de omression éroui Figure a Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

42 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 42/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Quand les deux rières on éé ainsi inversés, ne devrai lus inervenir a riori que le rière de omression. Il se eu alors que la soluion soi une rojeion au somme du ône de omression, qui se raie exaemen omme la rojeion au somme du ône de raion Projeion au somme des deux ônes Dans le as où les deux ônes on éé inerveris e dans le as où la rédiion élasique viole les deux rières, il se eu que soien finalemen aeables à la fois la soluion de rojeion au somme du ône de omression e au somme du ône de raion. Dans es siuaions, auun rière ne erme de séleionner une soluion luô que l aure e on reherhera don une rojeion simulanée au somme des deux ônes, qui devron don arager le même somme, omme indiqué sur la [Figure a]. Crière de omression iniial σ eq Crière de raion iniial Direion de rojeion sur le rière de omression Prédiion élasique ( σ e h, σ e eq ) à rojeer Soluion ave rojeion sur le rière de raion Crières de omression e de raion érouis σ h Soluion ave rojeion au somme des deux ônes Figure a La soluion ave rojeion aux deux sommes es obenue en résolvan le sysème : e H a b K κ d K κ = b a f κ _ κ éq e H a b K κ d K κ = d f κ _ κ éq L éa de onraine es donné ar : s=0 H = d f κ _ κ = b a f κ _ κ éq Déerminaion de loéraeur angen Au ours des iéraions de l algorihme de Newon-Rahson, il es néessaire de aluler la marie de raideur angene. La onsruion de elle-i joue un rôle imoran dans la sabilié, la raidié e la réision de la méhode de résoluion. Pour onserver es roriéés, la marie de raideur angene doi êre onsruie à arir dun oéraeur lian linrémen de onraine à linrémen de déformaion Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

43 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 43/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 de façon réise à la fin du roessus de reour sur les surfaes de harge. La marie de Hooke, ainsi que les déformaions hermiques inerviennen omme des onsanes lors de la déerminaion de loéraeur angen ohéren, onsrui à la fin de liéraion dans linrémen onerné. Le alul de loéraeur de omoremen angen ohéren rend en ome les déformaions lasiques. Pour des raisons de simliié, nous avons hoisi de aluler loéraeur de omoremen angen en viesse Oéraeur angen en viesse ave un seul rière aif Dans le as dun seul rière aif, ar exemle, le rière en omression, le alul de loéraeur de omoremen angen en viesse es le suivan : On uilise don les équaions en viesse, en harge élasolasique : H f om =0 éq f om T f om =0 éq L oéraeur angen en viesse es défini ar : =D ε éq En idenifian [éq ] ave [éq ] e [éq ], on rouve lassiquemen : D=H 1 H f T om f om H éq ave : = f om Oéraeur angen en viesse ave deux rières aifs T H f om f om éq κ Dans le as où les deux rières son aivés, le rière en omression e le rière en raion, le alul de loéraeur de omoremen angen en viesse es le suivan : On ar de : H f om f ra =0 éq On aboui à : D=H H [ f om f om f om f ra T T T f om f ra f ra T =0 éq =0 éq f ra f om T T f ra ] éq = ave : f om T H f om f om κ f ra f ra T T H f ra f ra κ H f ra f ra κ f om T H f ra f ra T H f om éq Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

44 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 44/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 f T om H f ra = T f om H f om f f T om ra H f ra κ f ra κ f T om H f ra f T ra H f om éq = f om T H f om f om f ra T f ra T H f om H f ra f ra f om T H f ra f ra T H f om é q Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

45 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 45/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 = f om T H f om f om κ f ra f om T T H f om f om κ H f ra f ra κ f om T H f ra f ra T H f om éq Lexression semble oûeuse à exrimer en erme de roduis de marie e de alul. Mais, lorsque les oéraions son faies dans lordre qui onvien, il suffi de aluler eu de ermes. De lus, e son les mêmes ermes qui inerviennen à lusieurs rerises. Il fau aluler les dérivées des rières ar raor à la onraine, e ar raor aux muliliaeurs lasiques, uis les sommes e les roduis ave les valeurs réelles, our erminer ar la onsiuion des maries e leurs sommes. Enfin, la marie résulane à lavanage dêre symérique, e qui onvien à la résoluion sandard ave le Code_Aser Dérivées suessives des rières en raion e en omression Dérives suessives des rières ar raor à la onraine Les dérivées des omosanes =[ isoroes e déviaoriques de la onraines ar raor au enseur de onraines sexrimen de la façon suivane : 1 0] 1 En définissan le veeur les dérivées des rières ar raor au enseur de onraines sexrimen de la façon suivane : f om = s 2 b a eq 3b 0 f ra = s 2d eq 3d Dérives suessives des rières ar raor aux muliliaeurs lasiques Dérivée du rière de omression dans le as dune ourbe os-i linéaire : f om = 4. κ 3. f 1 κ si κ 2 κ κ e e κ e f om 1 = f. si κ κ κ u κ e e κ u κ Dérivée du rière de omression dans le as dune ourbe os-i non linéaire : f om = 4 κ f om κ =2. f. 1 κ 2 κ e κ e 3. f. κ κ e κ u κ e 2 si κ κ e si κ e κ u κ Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

46 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 46/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Dérivée du rière de raion dans le as dune ourbe os-i linéaire : f ra = f si u u Dérivée du rière de raion dans le as dune ourbe os-i exonenielle : f ra =f 5.6 Variables inernes du modèle a u e- Nous monons ii les variables inernes sokées en haque oin de Gauss dans l imlémenaion du modèle Numéro de variable inerne Sens hysique 1 : déformaion lasique umulée en omression 2 : déformaion lasique umulée en raion 3 : eméraure maximum aeine au oin de gauss 4 Indiaeur de lasiié 5.7 Organigramme général de résoluion L organigramme omrend les différenes éaes de la résoluion, ave le raiemen des rojeions aux sommes des ônes de omression e de raion de la façon suivane : en débu d algorihme, on effeue une rojeion au somme du ône de raion : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a riori en raion, lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a riori en omression e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, on effeue une rojeion simulanée aux sommes des ônes de raion e de omression : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a riori en omression e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, e que la rojeion au somme du ône de raion n a as donné de soluion valide, on effeue une rojeion au somme du ône de omression : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a riori en omression e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, e que la rojeion au somme du ône de raion n a as donné de soluion valide, e que la rojeion simulanée aux sommes des deux ônes n a as donné de soluion valide, en milieu d algorihme, on effeue une, deux ou rois résoluions sandards ave rojeion sur le rière de omression ou sur le rière de raion ou sur les deux rières à la fois, e en fin d algorihme, lorsque que les résoluions sandards ave l aivaion d un rière (raion ou omression) ou des deux rières à la fois n on as donné de soluion, on effeue une rojeion au somme du ône de raion : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a oseriori en raion, lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a oseriori en omression (e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, a. u Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

47 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 47/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 on effeue une rojeion simulanée aux sommes des ônes de raion e de omression : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a oseriori en omression e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, e que la rojeion au somme du ône de raion n a as donné de soluion valide, on effeue une rojeion au somme du ône de omression : lorsque la rédiion élasique vérifie la ondiion de rojeion a oseriori en omression e que les sommes des ônes de raion e de omression se son inerveris sur l axe hydrosaique, e que la rojeion au somme du ône de raion n a as donné de soluion valide, e que la rojeion simulanée aux sommes des deux ônes n a as donné de soluion valide. A l issue de haque résoluion ayan onvergé, on effeue les vérifiaions de onformié de la soluion suivane : validié de la soluion ar raor au seond rière, lorsque la résoluion a éé faie ave un seul rière. Dans ous les as, il suffi de vérifier que les deux rières alulés ave la onraine finale, son négaifs ou nuls, onformié de la soluion : on alule en ours de résoluion la onraine équivalene finale. Il arrive arfois que la soluion se siue au delà du somme du ône qui s éroui, e qui ondui à une onraine équivalene «négaive». Numériquemen, ela se radui ar un rière final sriemen osiif. Pour vérifier la onformié de la soluion, il suffi de vérifier que les deux rières alulés ave la onraine finale, son négaifs ou nuls, validié des rojeions aux sommes des ônes. Il fau vérifier qu arès résoluion, lorsqu on onnaî l érouissage du rière, la ene de la droie relian la rédiion élasique à la rojeion es inférieure à la ene de la direion de rojeion. (ondiion de rojeion a oseriori au somme des ônes). Dans le as onraire, ela signifie qu il exise une soluion ave résoluion sandard. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

48 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 48/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

49 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 49/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://

50 Tire : Loi de omoremen BETON_DOUBLE_DP à double riè[...] Dae : 04/02/2011 Page : 50/56 Resonsable : François HAMON Clé : R Révision : 5522 Remarque : Dans le as des rojeions aux sommes des ônes, on ommene sysémaiquemen ar la rojeion au somme du ône de raion. Si ee soluion es valide, on onserve elle-i. Dans le as onraire, si le rière de raion es aivé, on effeue une résoluion ave rojeion aux sommes des deux ônes. Si la nouvelle soluion es valide, on onserve elle-là. Sinon, on effeue une résoluion ave rojeion au somme du ône de omression seule. Fasiule r7.01 : Modélisaions our le Génie Civil e les géomaériaux Coyrigh 2015 EDF R&D - Doumen diffusé sous liene GNU FDL (h://