Analyse numérique des équations différentielles

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1 Analse numérique des équaions différenielles Grégor Vial mars Le bu de ces quelques pages es de monrer commen programmer facilemen e efficacemen les schémas classiques de résoluion numérique des équaions différenielles à l aide de malab. On me en évidence leurs ordres de convergence respecifs sur un eemple simple. Cependan, un ordre de consisance élevé n es pas oujours la garanie d une bonne approimaion, noammen dans le cas de problèmes raides ou de ssèmes hamilonniens. Le problème de Cauch On s inéresse à l équaion différenielle avec condiion iniiale suivane : { = f,, T, =, où f : [, T ] R d R d es une foncion régulière e R d. Programmaion des méhodes classiques Pour l approimaion numérique, on noe h le pas de la subdivision uniforme n N n= de l inervalle [, T ] : n = nh e n es une approimaion de n pour n N. On a choisi de présener ici les cinq méhodes ci-dessous. Euler eplicie n+ = n + hf n, n Heun n+ = n + h Runge-Kua RK4 [ ] f n, n + f n+, n + hf n, n k n = f n, n k n = f n + h, n + h kn k n = f n + h, n + h kn k4 n = f n+, n + hk n n+ = n + h 6 k n + kn + kn + kn 4 Euler implicie n+ = n + hf n+, n+ Cranck-Nicolson n+ = n + h f n + h, n+ n+ = n + hf n + h, n+

2 Les foncions malab suivanes définissen ces méhodes : % Méhode d Euler eplicie funcion =eule,h,t; =[];=; N=floorT/h;=; for i=:n, =+h*f,; =[,];=+h; % Méhode de Heun funcion =heun,h,t; =[];=; N=floorT/h;=; for i=:n, =+h/*f, +F+h,+h*F,;; =[,];=+h; % Méhode RK4 funcion =RK4,h,T; =[];=; N=floorT/h;=; for i=:n, k=f,; k=f+h/,+h/*k; k=f+h/,+h/*k; k4=f+h,+h*k; =+h/6*k+*k+*k+k4; =[,];=+h; % Méhode d Euler implicie funcion =euli,h,t; =[];=; N=floorT/h;=; for i=:n, =newon,h,; =[,];=+h; % Méhode de Cranck-Nicolson funcion =CN,h,T; =[];=; N=floorT/h;=; for i=:n, =newon+h/,h/,; =+h/*f+h/,; =[,];=+h; Les rois premières méhodes son eplicies : la déerminaion de n+ à parir de n es un simple calcul. Les deu dernières, en revanche, son implicies : il es nécessaire de résoudre une équaion à chaque iéraion. Si f es non-linéaire, cee équaion es nonlinéaire ; c es pourquoi on a programmé une méhode de Newon. funcion =newon,h,n =n+h*f,n; err=;eps=e-9; while err>eps, b=-phi,,h,n; A=DPhi,,h; =A\b; =+; err=norm; % Foncions annees funcion =Phi,,h,n; =-h*f,-n; funcion =DPhi,,h =eelengh-h*df,; Précision des méhodes : ordre de convergence Pour chacune des cinq méhodes présenées au paragraphe précéden, une éude de l erreur de consisance perme de monrer l esimaion suivane on suppose C p+. ma n n Ch p n N sup T p+.

3 Méhode p Euler eplicie Heun RK4 4 Euler implicie Cranck-Nicolson Tab. Ordres de convergence des méhodes. Le nombre p es appelé ordre de convergence ; le ableau ci-dessus précise sa valeur pour les méhodes décries plus hau. Pour plus de déails pour l analse des schémas, on pourra se reporer à []. Afin de mere en évidence la différence de précision enre les différenes méhodes, on les a appliquées sur l eemple suivan : = avec =. Le scrip suivan perme de comparer les viesses de convergence de la quanié en foncion de h. ma n n n N funcion =DF,; =-; funcion =F,; =-; T=5; =; nn=::; err=zeros5,lenghnn; k=; for n=nn k=k+; h=/n; =:h:t; e=*ep-; err,k=normeule,h,t-e, inf ; err,k=normheun,h,t-e, inf ; err,k=normrk4,h,t-e, inf ; err4,k=normeuli,h,t-e, inf ; err5,k=normcn,h,t-e, inf ; end N=[]; for i=:5 N=[N;nn]; pene=polfilognn,logerri,:,; pene end plologn,logerr grid on legend Euler eplicie, Heun, RK4, Euler implicie, Cranck Nicolson label Enier n el que h=/n label log erreur ile Erreurs en coordonnées logarihmiques La figure représene les courbes obenues pour les cinq schémas avec T = 5 e h =., ainsi que la soluion eace. Afin d observer les ordres de convergence des méhodes, on a racé en coordonnées logarihmiques la norme de h en foncion de h h désigne la soluion approchée pour la valeur h du pas.

4 Soluion eace e soluions approchées Soluion eace Euler eplicie Heun RK4 Euler implicie Cranck Nicolson Fig. Approimaion de la soluion de =. Le graphe de la figure perme d esimer les ordres de convergence, qui coïnciden avec les ordres héoriques donnés dans le ableau. Précisémen la commande polfi, qui effecue une régression linéaire, donne les ordres suivans : Ordre héorique 4 Ordre esimé Erreurs en coordonnées logarihmiques -5 log erreur - -5 Euler eplicie Heun RK4 Euler implicie Cranck Nicolson Enier n el que h=/n Fig. Ordres de convergence des différenes méhodes. 4

5 Nécessié de méhodes implicies : problèmes raides Le paragraphe précéden a monré que les méhodes uilisées n éaien plus ou moins précises. Cependan, il ne fau pas croire que la méhode RK4 es oujours la plus performane des cinq méhodes décries. Considérons en effe le problème de Cauch suivan : don la soluion eace es donnée par = λ + + λ avec =, = + e λ. Le ableau ci-dessous consigne les erreurs enre la soluion eace e la soluion approchée pour λ = 5 e h =.. Méhode ma n n n N pas h =. h =. Euler eplicie.99e+.58 Heun 7.759e RK4.98e+ 5.88e-4 Euler implicie.5.56 Cranck-Nicolson Tab. Performance des méhodes pour le ssème avec λ = 5 e h =. e h =.. On observe ici que seules les méhodes implicies fournissen une approimaion raisonnable de la soluion pour le pas h =.. L eemple es erai de [] ; on peu éudier le comporemen des méhodes d Euler sur cee équaion. Noons e n e i n les suies respecivemen consruies par les méhodes d Euler eplicie e implicie. Par définiion, e n+ = e n + hλ n e n + ; i n+ = + λh i n + λh n+ + h. Comme λ es grand, la soluion es rapidemen proche de ; on cherche à savoir si cee propriéé es conservée par les schémas. Il es facile de voir que, pour h fié, la quanié i n+ es proche de n+ pour les grandes valeurs de λ. En revanche, si on suppose que e n es proche de n, alors e n n es proche de n+ que si hλ. Cee condiion impose un choi du pas h rès pei si l on veu approcher correcemen la soluion de, une elle équaion es appelée raide. Il es difficile de donner une définiion de la raideur ; on reiendra que la soluion d un problème raide me en jeu des phénomènes : l un es len e régulier erme dans le second es rapide e a un effe à emps cour erme e λ. Les problèmes raides inerviennen souven dans les applicaions où différenes échelles coeisen réacions chimiques avec des viesses caracérisiques rès différenes, voir [4] par eemple. Les méhodes eplicies doiven êre uilisées avec un pas de emps rès pei pour êre efficaces ce que monren les résulas du ableau pour h =., c es pourquoi on leur préfère les méhodes implicies pour la résoluion numérique des problèmes raides. 5

6 Méhodes smpleciques : ssèmes hamilonniens On a vu dans le paragraphe précéden qu une méhode implicie d ordre pouvai êre plus performane qu une méhode eplicie d ordre 4 dans le cas d un problème raide. Inéressons-nous mainenan au problème linéaire suivan : { = 4 avec = e =. = La soluion es donnée par [ = cos, = sin ] e la rajecoire dans la plan de phase es le cercle unié. La quanié H = + es consane ; on la nomme hamilonnien du ssème 4. Euler implicie Heun Valeur de l'hamilonnien au cours du emps.5 Valeur de l'hamilonnien au cours du emps.5.5 H.5 H RK Valeur de l'hamilonnien au cours du emps H Euler implicie Cranck-Nicolson Valeur de l'hamilonnien au cours du emps.5 Valeur de l'hamilonnien au cours du emps.5.5 H.5 H Fig. Trajecoire e hamilonnien pour les cinq méhodes. 6

7 On observe sur la figure les soluions obenues avec les différenes méhodes pour h =. e T = 4π. On a représené la rajecoire dans le plan de phase ainsi que l évoluion de l hamilonnien H au cours du emps. Les méhodes d Euler eplicie e implicie ne conserven pas l hamilonnien, alors que les rois aures méhodes le garden presque consan. Précisémen, on peu vérifier que Euler eplicie n+ + n+ = + h n + n ; Heun n+ + n+ = RK4 n+ + n+ = + h4 4 n + n ; h6 7 + h8 576 n + n ; Euler implicie n+ + n+ = + h n + n ; Cranck-Nicolson n+ + n+ = n + n ; ce qui eplique les comporemens obenus sur la figure. Remarquons que seule la méhode de Cranck-Nicolson conserve eacemen l hamilonnien : elle es die smplecique ; les méhodes de Heun e RK4 son dies asmpoiquemen smpleciques. Pour plus de déails sur les méhodes smpleciques, voir []. On reiendra que dans le cas de ssèmes du pe 4, où une quanié es conservée au cours du emps, il es crucial que le schéma uilisé conserve au moins approimaivemen cee quanié. On rouve un eemple pique d applicaion conduisan à un ssème hamilonnien dans le modèle proie-prédaeur de Loka-Volerra. Les méhodes numériques on des comporemen voisins dans le cas linéaire éudié ici il es à noer que l hamilonnien n es plus consan, même pour la méhode de Cranck-Nicolson, pour laquelle il oscille auour de sa valeur héorique. Références [] M. Crouzei, A. L. Migno. Analse numérique des équaions différenielles. Collecion mahémaiques appliquées pour la maîrise. Masson, Paris 984. [] K. Dekker, J.-G. Verwer. Sabili of Runge-Kua mehods for siff nonlinear differenial equaions. CWI Monographs. Norh-Holland, Amserdam 984. [] E. Hairer, S. P. Nørse, G. Wanner. Solving ordinar differenial equaions. I. Springer-Verlag, Berlin, second ediion 99. Nonsiff problems. [4] E. Hairer, G. Wanner. Solving ordinar differenial equaions. II, volume 4 of Springer Series in Compuaional Mahemaics. Springer-Verlag, Berlin, second ediion 996. Siff and differenial-algebraic problems. 7