et MODELES MIXTES M2 Agronomie-AgroEcologie STATISTIQUES

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Pascal Labrie
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1 PLAN d EXPERIENCES et MODELES MIXTES M2 Agronomie-AgroEcologie STATISTIQUES

2 Plans d expériences Définitions Etapes de la planification Une expérience est une étude qui génère des données en vue de répondre à une question La planification expérimentale est l activité qui consiste à organiser l expérience La réussite de l expérience dépend de la qualité de sa planification Définir la question Définir la population d intérêt Déterminer la taille des échantillons Définir le plan d expérience Organiser la logistique Fisher (1931) : répétitions, randomisation, controle local

3 Effet de la taille de l échantillon Variance Estimateur de la moyenne pour une v.a. X Var(X) = Var(X) n Puissance Test sur la différence de deux moyennes Puissance = 1 - prob(erreur type 2) = Prob(conclure à une différence qui existe) Dépend de : la différence δ à mettre en évidence la précision σ des mesures le nombre n de mesures

4 Puissance d un test Puissance du testd égalité des moyennes n 1 = n 2 Puissance en fonction de l'écart et de la taille Proba n=2 n=4 n=8 n=16 n=32 n= δ σ

5 Plan d expérience Comment répartir les expériences lorsqu on veut étudier l effet d un ou plusieurs facteurs comportant plusieurs niveaux. Estimer aussi précisément que possible les effets des facteurs d intérêt Limiter les risques de confusion entre les effets des différents facteurs Variété 1 Variété 1 Dose engrais 1 Dose engrais 1 Variété 2 Variété 2 Dose engrais 2 Dose engrais 2 Variété 1 Variété 1 Dose engrais 2 Dose engrais 1 Variété 2 Variété 2 Dose engrais 1 Dose engrais 2 Variété 1 Variété 1 Dose engrais 2 Dose engrais 1 Variété 2 Variété 2 Dose engrais 2 Dose engrais 1 Sol profond Sol superficiel

6 Dispositifs Modèle croisé à deux facteurs A = (A 1,... A I ), B = (B 1,..., B J ): B 1 B 2 B 3 A 1 * * ** A 2 * ** Complet : si le nombre de répétitions n ij 1 est non nul pour tout couple (i, j) Avec répétitions : si n ij > 1 pour au moins un couple (i, j). Orthogonal : si n ij = n +jn i+ n ++. Equirépété : les n ij > 1 sont tous égaux = orthogonal.

7 Controles Pas de controle de l hétérogénéité: randomisation totale un facteur pas de répétitions: démonstration répétitions plusieurs facteurs: plans factoriels pas de répétitions répétitions plans 2 p : p facteurs à 2 modalités (p=4, 16 modalités) Controle de l hétérogénéité Pour diminuer la variabilité résiduelle on prend en compte un facteur (effet bloc) responsable d une partie de l hétérogénéité. Inconvénient perte de degrés de liberté

8 Blocs Regroupements des expériences en blocs. Les blocs peuvent correspondre à parcelles contiguës (agronomie) sexe ou age (malades) unités traitées dans les mêmes conditions (expérience de laboratoire) Notations n nombre d unités de l expérience t nombre de traitements r nombre de répétitions de chaque traitement b nombre de blocs k nombre d unités expérimentales par blocs

9 Randomisation totale 1 bloc contenant les k = rt = n unités expérimentales. On tire au hasard sans remise r unités pour le premier traitement, r pour le second,... Exemple: 4 traitements administrés à 20 malades individu traitement individu traitement

10 Plan en blocs complets Les n = r t unités expérimentales sont regroupées en r = b blocs homogènes de taille k = t. Dans chaque bloc on alloue indépendamment une unité à un traitement de façon aléatoire. Exemple On veut comparer 4 traitements à l aide de 12 rats de laboratoire. On suppose qu ils ont tous le même sexe et on les regroupe par poids : les 4 plus légers forment le bloc 1, les 4 suivants le bloc 2 et les 4 derniers le bloc 3. Dans chaque bloc le traitement est administré au hasard à un rat exactement. individu bloc traitement

11 Carrés Latins Principe : 2 controles d hétérogénéité : un facteur ligne et un facteur colonne chacun à t niveaux. Un facteur étudié à t niveaux est répété t fois de sorte qu un niveau ne se trouve qu une fois dans chaque ligne et chaque colonne. Les interactions sont supposées nulles. Exemple : on veut comparer 4 traitements sur une parcelle divisée en 16 sous-parcelles (4 lignes, 4 colonnes). Effet ligne : exposition ouest-est, effet colonne : exposition nord-sud. C1 C2 C3 C4 L1 T4 T3 T1 T2 L2 T2 T1 T3 T4 L3 T1 T4 T2 T3 L4 T3 T2 T4 T1

12 Cross Over Principe Un facteur traitement et un facteur période : les différents traitements sont appliqués aux mêmes unités expérimentales à différentes périodes. Avantages Conditions de validité Diminution de la variabilité expérimentale: les traitements sont comparés sur la même unité expérimentale Coût moindre: moins d unités expérimentales effets des traitements rapides l effet des traitements ne modifie pas la courbe de réponse de l unité expérimentale pas d interaction unité expérimentale période: les unités expérimentales doivent répondre de la même manière aux traitements quelque soit la période.

13 Cross Over Exemple : on veut comparer 3 traitements, pendant 3 périodes de lactation sur 3 animaux. Animal 1 Animal 2 Animal 3 Période 1 Trait1 Trait2 Trait3 Période 2 Trait3 Trait1 Trait2 Période 3 Trait2 Trait3 Trait1 Effet arrière d ordre k effet résiduel du traitement appliqué k périodes précédentes. Modèle avec effet arrière d ordre 1 Y ijk = µ + α i + β j + γ k + δ i(j 1) + ε ijk

14 Plan en blocs incomplets Objectif Restreindre la taille des blocs pour un meilleur controle de σ 2. Les traitements ne sont pas tous présents dans un bloc. Equilibré on a toujours t r = b k Indice de concurrence λ: nombre de fois où deux traitements se retrouvent ensemble dans un bloc r(k 1) = λ(t 1) Par exemple : 9 traitements à comparer sur 36 unités réparties en 12 blocs de taille 3.

15 Plan en blocs incomplets Plan lattice (r, p 2 ): plan pour p 2 traitements (p nombre premier, ou puissance de nombre premier), avec r répétitions de rp blocs contenant chacun p unités. Exemple : (3,4) Blocs traitement unité 1 traitement unité

16 Plan en blocs incomplets Plan circulant : plan pour t traitements en t blocs de taille t 1 (t 1 répétitions). Pour construire les blocs, on élimine tour à tour chacun des traitements. Un plan circulant est toujours équilibré, son indice de concurrence λ vaut t 2. Exemple: plan circulant à 5 traitements traitement traitement traitement traitement Blocs unité 1 unité 2 unité 3 unité

17 Plan confounding Si la taille des blocs est trop petite pour que tous les traitements soient représentés au moins une fois dans chaque bloc les facteurs d intérêt ou leurs modalités sont trop nombreux Un des effets étudiés peut être confondu avec l effet bloc: Bloc1 Bloc2 A1 A1 A2 A2 B2 B1 B1 B2 Confusion Blocs et A Bloc1 Bloc2 A1 A2 A1 A2 B1 B2 B2 B1 Confusion Blocs et A*B

18 Plan split-plot Principe on confond volontairement un facteur étudié peu important avec un facteur de controle d hétérogénéité. Plan pour deux facteurs traitements le premier traitement A (peu important), possède t niveaux et le second B possède s niveaux. 1. On construit pour le premier facteur un plan en blocs complets à r t grandes unités avec sa randomisation. 2. Ensuite chaque grande unité est divisée en s sous-unités auxquelles sont affectées dans un ordre aléatoire les s valeurs du traitement B.

19 Split-plot Exemple facteur traitement A: 6 variétés facteur traitement B: 3 traitements (témoin, inoculation, apport d azote) facteur bloc: 4 niveaux chaque bloc est divisé en 6 grandes parcelles divisées en 3 sous-parcelles loc Traitements 1 A2 A1 A3 A5 A5 A6 B2, B1, B3 B2, B3, B1 B1, B3, B2 B2, B1, B3 B3, B1, B2 B1, B3, B2 2 A6 A4 A3 A2 A5 A1 B3, B1, B2 B1, B2, B3 B2, B1, B3 B1, B3, B2 B2, B1, B3 B1, B3, B2 3 A4 A2 A6 A3 A1 A5 B2, B3, B1 B2, B3, B1 B2, B1, B3 B3, B1, B2 B2, B1, B3 B2, B1, B3 4 A1 A5 A6 A3 A4 A2 B1, B2, B3, B2, B1, B3 B3, B1, B2 B1, B3, B2 B1, B3, B2 B2, B3, B1

20 Effets aléatoires Lorsque un facteur est le résultat d un échantillonnage : parcelles dans une région individus dans une population produits dans une fabrique... 2 sources de variabilité la variabilité due au facteur (inter) la variabilité à l intérieur du facteur (intra) Conséquences la précision des estimations est diminuée la précision est le plus souvent sur-estimée les tests et les intervalles de confiance sont incorrects

21 Modèle à un effet aléatoire Décomposition de la variance phénotypique Y = µ + G + E Y : valeur du caractère quantitatif µ: valeur moyenne du caractère dans la population E: part de variabilité non controlée E N (0, σe 2 ) i.i.d. G: variabilité génétique G N (0, σg 2 ) i.i.d. Facteur G: aléatoire Question: comparer σ 2 G et σ2 E

22 Ecriture du modèle pour l individu j de la modalité j Y ij = µ + G i + E ij forme matricielle Y = Xθ + ZG + E Var ( ) ( ) G σ 2 = G I I 0 ε 0 σ 2 I n Var(Y ) = ZVar(G)Z + σ 2 I n σ cov(y ij, Y i j ) = G 2 + σ2 si i = i et j = j σ 2 G si i = i et j j 0 si i i

23 Modèle mixte Ecriture générale : Y N (Xθ, Σ) Estimation des paramètres Si la structure de covariance est connue θ = (X Σ 1 X) 1 X Σ 1 Y Si la structure de covariance contient des paramètres à estimer, il faut avoir recours à des algorithmes d optimisation spécifiques. Applications Moyenne de mesures correlées Données longitudinales (mesures répétées) Données spatialisées Planification d expériences: split-plot

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