Exercice sur la théorie du portefeuille : portefeuille optimal et actif certain

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1 Exercice sur la théorie du portefeuille : portefeuille optimal et actif certain Philippe Bernard Ingénierie Economique & Financière Université Paris-Dauphine Février 006

2 On considère un univers de titres constitué de deux titres risqués dont les rendements nets, les volatilités (écart-types), et les coefficients de corrélation sont les suivants : titres rend. volatilité growth value espérés (%) (%) stocks stocks growth stocks value stocks L univers comprend également un actif monétaire supposé sans risque dont le rendement est égal à %.. Déterminer l ensemble des portefeuilles efficients de cet univers. Donner l équation de la frontière des portefeuilles efficients.. On suppose désormais que l actif monétaire est risqué mais non corrélé avec les autres titres. On note σ son écart-type. Calculer à nouveau l ensemble des portefeuilles efficients. Quel sera l impact de l écart-type sur les choix optimaux de portefeuille? Représenter graphiquement l impact du risque de l actif monétaire sur la frontière des portefeuilles efficients en prenant comme volatilité σ =%. Calculer une des "bases de portefeuilles" (= deux portefeuilles ici) que l on doit combiner pour obtenir un portefeuille optimal. () L ensemble des portefeuilles efficients lorsque l actif monétaire est sans risque. La première étape consiste à calculer la matrice de covariance. Comme les données sont : titres rend. volatilité growth value espérés (%) (%) stocks stocks growth stocks value stocks la matrice de covariance est : 6 0 σ = (0 4 ) et donc on obtient : σ = (0 4 )

3 Les portefeuilles efficients sont donnés par la minimisation du risque sous la contrainte que le rendement espéré excédentaire dépasse un certain niveau : min σ p = x x sous la contrainte : r p = 8 x br 4 Le lagrangien associé à ce programme peut s écrire : L = σ p + λ (br E [er p ]) où λ est le multiplicateur associé au programme. Lesconditionsmarginalescaractérisantleschoixoptimauxsont: ½ σ.x + σ. r σ.x + σ. r où r j est le rendement espéré du titre j, σ ij la covariance entre le titre i et le titre j, σ i la variance du titre i. Sous forme matricielle, le système à vérifier est donc : x r σ r Numériquement le système est donc : x 8 4 Ce système (paramétré par λ)peutêtrerésolusoitparlaméthode decramer, soit en calculant directement l inverse de la matrice. Comme l inverse de la matrice de covariance est : σ = x x La contrainte de rendements excédentaire : 8x +4 = br

4 nous donne la valeur de λ : λ λ = br λ =.6br et donc : :Par conséquent : x = br =0.065br = br =0.50br = 0.065br br = 0.875br Le portefeuille risqué que doit détenir chaque agent est donc : z = z = x = x + 3 = x + 3 Connaissant les quantités (paramétrées) des actifs risqués, on peut alors évaluer la variance : σ p = br =.6br Dans l espace volatilité (= écart-type) - rendement espéré, l enveloppe des portefeuilles efficients est donc donné par : σ p =.65 r p puisque le rendement espéré du portefeuille est le rendement certain augmenté de la prime de risque br. Evidemment l ensemble des portefeuilles efficients est la partie supérieure de cette enveloppe : σ p =.65(r p ) () Si l actif monétaire est risqué mais non corrélé alors : σ = σ σ 3

5 σ = σ Comme désormais la variance du portefeuille est définie par rapport à, iln estpluspossiblederéduirecommeauparavantleprogrammeécritplus haut. Le programme définissant le choix optimal de portefeuille : min σ p sous les contraintes : +0x +6 br + x + = dontlesconditionsmarginalespeuventêtreécrites: σ =λ µ 56x 5.6 =0λ µ 5.6x +64 =6λ µ ou sous forme matricielle : x σ µ En raison de la nullité des covariances entre l ractif monétaire et les autres, le système peut être résolu par partie : σ =λ µ µ Comme à la première question, on peut notamment résoudre ce dernier système par la méthode de Cramer ou en utilisant directement l inverse de la matrice de covariance (déjà calculée plus haut). x σ 0 6 µσ Numériquement : σ = = σ = =

6 Par conséquent en fusionnant les conditions obtenues pour d une part, et pour x et d autre part, on obtient l expression suivante : x µ σ σ Cette expression du portefeuille optimal est paramétré par λ et µ, lesquelles dépendent de l objectif br. Pour σ =%, l écriture précédente est donc : x µ Pour expliciter le portefeuille optimal en fonction de br, il convient d utiliser les contraintes du programme d optimisation : x 0 6 = br x x = Comme : et : 0 6 x x =5.88 λ.64 4µ =.64 4λ.036µ le système à résoudre est : ½ 5.88 λ.64 4µ = br.64 4λ.036µ = ½ 5.88 λ.64 4µ =.64 4λ.036µ = λ = br µ = br

7 En remplaçant λ et µ par leurs expressions, on trouve le portefeuille solution en fonction du rendement exigé : x = x = r r r La variance est alors : σ p = x T σ x =.635 6r 6.97 r L enveloppe ainsi obtenue détermine l ensemble de portefeuilles efficients, la partie supérieure de l enveloppe dont le premier portefeuille est celui de variance minimale. r σ p = 0 (.635 6)r 6.97 = 0 r min =.4 5% σ min =.6356(.4 5) 6.97 (.4 5) = Le fichier Excel accompagnant ce fichier illustre graphiquement les effets d une variation de la volatilité de l actif monétaire. 6