Développement d un modèle TLM pour la modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain

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1 Développement d un modèle TLM pour la modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain Division ESA, Section AU Directeur de thèse : Judicaël PICAUT (LCPC) Co-directeur de thèse : Christophe AYAULT (LAUM) Comité de suivi : Guillaume DUTILLEUX (LPC Strasbourg) Isabelle SCHMICH (CSTB) Page 1/5

2 CONTEXTE prévision acoustique Logiciels de prévision Objectifs Contributions Limitations des logiciels de prévision acoustique basés sur des modèles énergétiques ou des notions géométriques ; restreints aux hautes fréquences ; applications en milieu ouvert (i.e. seulement quelques obstacles) ; pas de dépendance temporelle ; Ces logiciels ne sont pas réellement bien adaptés à la prévision acoustique en milieu urbain. Méthodes temporelles (e.g. FDTD a, TLM b ) a Finite-Difference Time-Domain method b Transmission Line Modeling basses et moyennes fréquences ; modélisation des phénomènes d interférences ; paramètres dépendants du temps et de la fréquence ; description à la fois temporelle et fréquentielle. Page /5

3 CONTEXTE prévision acoustique Logiciels de prévision Objectifs Contributions Limitations des logiciels de prévision acoustique basés sur des modèles énergétiques ou des notions géométriques ; restreints aux hautes fréquences ; applications en milieu ouvert (i.e. seulement quelques obstacles) ; pas de dépendance temporelle ; Ces logiciels ne sont pas réellement bien adaptés à la prévision acoustique en milieu urbain. Méthodes temporelles (e.g. FDTD a, TLM b ) a Finite-Difference Time-Domain method b Transmission Line Modeling basses et moyennes fréquences ; modélisation des phénomènes d interférences ; paramètres dépendants du temps et de la fréquence ; description à la fois temporelle et fréquentielle. Page /5

4 CONTEXTE objectif et état de l art Logiciels de prévision Objectifs Contributions Objectif de la thèse : modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain développement d un modèle numérique original et générique utilisation de la méthode TLM a. a Transmission Line Modeling État de l art propagation en fluide homogène et non-dissipatif : implicite ; propagation en fluide dissipatif : absorption atmosphérique a ; propagation en fluide inhomogène : effets météorologiques b ; conditions aux (parois) : coefficient de réflexion en pression ; conditions aux (sol) : condition d impédance a ; conditions aux limites du domaine de calcul (ciel) : développement de TAYLO du champ de pression c. a J. HOFMANN et K. HEUTSCHI, Applied Acoustics (007) b G. DUTILLEUX,Wind Turbine Noise (007) c S. EL-MASI et coll., Proc. of the Int. Conf. on Speech and Language Processing (1996) Page 3/5

5 CONTEXTE objectif et état de l art Logiciels de prévision Objectifs Contributions Objectif de la thèse : modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain développement d un modèle numérique original et générique utilisation de la méthode TLM a. a Transmission Line Modeling État de l art propagation en fluide homogène et non-dissipatif : implicite ; propagation en fluide dissipatif : absorption atmosphérique a ; propagation en fluide inhomogène : effets météorologiques b ; conditions aux (parois) : coefficient de réflexion en pression ; conditions aux (sol) : condition d impédance a ; conditions aux limites du domaine de calcul (ciel) : développement de TAYLO du champ de pression c. a J. HOFMANN et K. HEUTSCHI, Applied Acoustics (007) b G. DUTILLEUX,Wind Turbine Noise (007) c S. EL-MASI et coll., Proc. of the Int. Conf. on Speech and Language Processing (1996) Page 3/5

6 CONTEXTE contributions Logiciels de prévision Objectifs Contributions Contributions proposition d une formulation générale générique D/3D ; conditions aux (sol et façades) : nouvelle formulation d une condition d impédance ; conditions aux limites du domaine de calcul : développement de couches absorbantes adaptées. Page 4/5

7 SOMMAIE 1 Principe de la méthode TLM Propagation en milieu homogène et non-dissipatif Propagation en milieu inhomogène et dissipatif Analogie avec l équation des ondes Condition d impédance complexe Condition aux absorbantes 3 Application Perspectives Page 5/5

8 MÉTHODE TLM 1 Principe de la méthode TLM Propagation en milieu homogène et non-dissipatif Propagation en milieu inhomogène et dissipatif Analogie avec l équation des ondes Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Condition d impédance complexe Condition aux absorbantes 3 Application Perspectives Page 6/5

9 MÉTHODE TLM principe Principe homogène et non-dissipatif Principe de HUYGENS (1690) Un front d onde peut être décomposé en un ensemble de sources secondaires émettant des ondelettes sphériques de fréquence, d amplitude et de phase identiques. inhomogène et dissipatif Équation des ondes Adaptation numérique en électromagnétisme a a P. JOHNS et. BEULE,Proceedings IEEE (1971) les sources secondaires sont assimilées à des nœuds ; la «diffusion» du champ entre nœuds est réalisée par l intermédiaire de lignes de transmission. Page 7/5

10 MÉTHODE TLM propagation en milieu homogène et non-dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Cas simple en D S A Impulsion incidente Cas général en D 3 t I 1 t I 3 1. t I t I 4 4 A T A S T A T A Impulsions diffusées par le nœud 3 t S 1 t S 3 1. t S t S 4 4 Coefficients de réflexion et de transmission nodaux : = Z T Z L Z T + Z L, < 0 Z T T = 1 + = Z T + Z L Z T : impédance de la terminaison Z L : impédance de la ligne de transmission incidente ( ici, Z L =Z 0 et Z T =Z 0 /3, donc = 1 et T = 1 ) elation matricielle : t S = D t I, [ où t I = t I 1, t I, t I 3, t I 4] T, t [t S = S 1, t S, t S 3, t S 4] T, T T T et D = T T T T T T. T T T Page 8/5

11 MÉTHODE TLM propagation en milieu homogène et non-dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Cas simple en D S A Impulsion incidente Cas général en D 3 t I 1 t I 3 1. t I t I 4 4 A T A S T A T A Impulsions diffusées par le nœud 3 t S 1 t S 3 1. t S t S 4 4 Coefficients de réflexion et de transmission nodaux : = Z T Z L Z T + Z L, < 0 Z T T = 1 + = Z T + Z L Z T : impédance de la terminaison Z L : impédance de la ligne de transmission incidente ( ici, Z L =Z 0 et Z T =Z 0 /3, donc = 1 et T = 1 ) elation matricielle : t S = D t I, [ où t I = t I 1, t I, t I 3, t I 4] T, t [t S = S 1, t S, t S 3, t S 4] T, T T T et D = T T T T T T. T T T Page 8/5

12 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Modélisation en milieu inhomogène et dissipatif elation matricielle : t S (i,j) = t D (i,j) t I (i,j), Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes [ où I t (i,j) = I 1 t ; t I ; t I 3 ; t I 4 ; t I 5] T, [ S t (i,j) = S 1 t ; t S ; t S 3 ; t S 4 ; t S 5] T, a η et D 1 a 1 1 η t (i,j) = η + ζ a 1 η, t (i,j) t (i,j) a η b t (i,j) 1 ( 6 Z 6 = Z ) 0 ζ ( Z0 ) ( Z0 ) 4 ( Z0 ) ( Z0 ) (Z 5 = Z 0 η ) 5 avec t a (i,j) = ( t η (i,j) + tζ (i,j) + 1 ) et t b (i,j) = tη (i,j) ( t ζ (i,j) 3 ) +. Page 9/5

13 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 t S (i 1,j) (i 1, j) (i, j) S I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ). Page 10/5

14 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 S (i 1, j) (i, j) t+ t I (i,j) 1 I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ). Page 10/5

15 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 t S (i+1,j) 1 (i, j) S (i + 1, j) t+ t I (i,j) ). Page 10/5

16 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 t+ t I 3 (i,j) (i, j) S (i, j 1) I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ) t S 4 (i,j 1). Page 10/5

17 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 t+ t I 4 (i,j) (i, j + 1) S (i, j) I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ) t S 3 (i,j+1). Page 10/5

18 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ). Page 10/5

19 MÉTHODE TLM propagation en milieu inhomogène et dissipatif Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Diffusion dans le réseau de lignes de transmission Lois de connexion entre nœuds : t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) t+ t I 5 (i,j) = t S 5 (i,j) Définition de la pression nodale t p (i,j) = t η (i,j) + t ζ (i,j) + 4 ( 4 t I 1 (i,j) t I 3 (i,j) S I t (i,j) n + η I 5 t (i,j) t (i,j) n=1 ) t I 4 (i,j) t I (i,j). Page 10/5

20 MÉTHODE TLM analogie avec l équation des ondes Principe homogène et non-dissipatif inhomogène et dissipatif Équation des ondes Analogie avec l équation des ondes Combinaison de la relation matricielle, des lois de connexion et de la définition de la pression nodale : η (i,j) + 4 t l tt p (i,j) { }} { t+ t p (i,j) t p (i,j) + t t p (i,j) t t p (i,j) { }} { t +ζ (i,j) t+ t p (i,j) t t p (i,j) = l t t p (i+1,j) t p (i,j) + t p (i 1,j) l + t p (i,j+1) t p (i,j) + t p (i,j 1) l. }{{}}{{} xx p (i,j) yy p (i,j) Équation des ondes en milieu inhomogène et dissipatif : [ ( ω + j ω )] t ζ (i,j) t c 0 l p (i,j) = 0, avec c TLM = t η (i,j) +4 c 0. c TLM Page 11/5

21 MODÉLISATION DES FONTIÈES 1 Principe de la méthode TLM Propagation en milieu homogène et non-dissipatif Propagation en milieu inhomogène et dissipatif Analogie avec l équation des ondes Condition d impédance Conditions absorbantes Condition d impédance complexe Condition aux absorbantes 3 Application Perspectives Page 1/5

22 MODÉLISATION DES FONTIÈES modélisation TLM des Condition d impédance Conditions absorbantes dans un modèle TLM : cas du sol Définition de la pression sur la frontière : ( p t + t ) = t S 3 (i,j) + t S(i,j 1) 4 ; Définition de la vitesse particulaire normale à la frontière : ( v n t + t ) = t S 3 (i,j) t S (i,j 1) 4 ρ 0 c 6 (i, j) 1 4 t S (i,j) t S (i,j 1) 4 (i, j 1) 1 c TLM = t η (i,j) + 4 c 0 c = t η (i,j) + 4 c Page 13/5

23 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe généralités Condition d impédance Conditions absorbantes Frontière définie par une condition d impédance complexe Définition de la pression sur la frontière : dans le domaine fréquentiel : P (b) (ω) = Z (ω).v n(b) (ω) ; dans le domaine temporel : + p (b) (t) = z (t) v n(b) (t) = z ( t ) (.v n(b) t t ) dt, où [ ] p (b) (t) = F 1 P (b) (ω), [ ] v n(b) (t) = F 1 V n(b) (ω), z (t) = F 1 [Z (ω)]. Page 14/5

24 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe représentation par une somme de systèmes linéaires Condition d impédance Conditions absorbantes eprésentation de l impédance par une somme de systèmes linéaires du 1 er ordre Y. EYMEN et coll., 1 th AIAA/CEAS (006) Écriture de l impédance : dans le domaine de FOUIE (réponses de K systèmes linéaires) : Z (ω) = où γ k sont des pôles réels (γ k > 0) ; K k=1 a k γ k jω, dans le domaine temporel (somme de K réponses impulsionnelles) : K z (t) = a k e γ k t H (t), k=1 où H (t) est la fonction de HEAVISIDE. Page 15/5

25 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe modèle d impédance de ZWIKKE et KOSTEN Condition d impédance Conditions absorbantes Application au modèle d impédance de ZWIKKE et KOSTEN Modèle d impédance de ZWIKKE et KOSTEN (1949) : 1 jωτ Z (ω) = Z jωτ, avec τ = ρ 0q γ une constante de temps S Ω et Z = ρ 0c 0 q l impédance à la limite ωτ Ω ( s : résistance au passage de l air, q : tortuosité et Ω : porosité). Transposition dans le domaine temporel (OSTASHEV et coll ) : z (t) = Z [δ (t) + 1 τ f ( t )], où t = t/τ. Approximation de la réponse impulsionnelle f ( t ) : f ( t ) ( ) ( )] = [I e t/ t t 1 + I 0 H ( t ) K = a k e γ k t H ( t ). k=1 Page 16/5

26 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe définition de la pression pariétale Condition d impédance Conditions absorbantes Pression sur la frontière méthode de convolution récursive p (b) (t) }{{} t S 3 (i,j) + t S 4 (i,j 1) = z (t) }{{} [ Z δ(t)+ τ 1 K k=1 ] a k e γ k t H(t) }{{} ψ k (t t) calcul de l impulsion diffusée t S(i,j 1) 4 par le nœud virtuel. v n(b) (t) }{{} t S 3 (i,j) t S 4 (i,j 1) ρ 0 c 6 4 (i, j) 1 t S (i,j) t S (i,j 1) 4 1 (i, j 1) 3 5 Page 17/5

27 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe sol plan homogène Sol plan homogène : modèle d impédance de ZWIKKE et KOSTEN source sonore : impulsion gaussienne à f=1500 Hz ; discrétisation spatiale : L = cm ; pas de temps : t = s ; H S =1 m, H = m et x =0 m. H S S. x.. H Condition d impédance Conditions absorbantes sol herbeux chaussée poreuse ( S = 100 kn.s.m -4, q = 10 et Ω =0.5) ( S = 10 kn.s.m -4, q = 3.5 et Ω =0.) Page 18/5

28 MODÉLISATION DES FONTIÈES condition d impédance complexe sol plan discontinu Condition d impédance Conditions absorbantes Sol plan discontinu : modèle d impédance de ZWIKKE et KOSTEN source sonore : impulsion gaussienne à f=1500 Hz ; discrétisation spatiale : L = cm ; pas de temps : t = s ; H S =0. m, H =1.5 m et x =0 m. H S S. Chaussée poreuse x D x.. H Sol herbeux x D =1 m x D = m Page 19/5

29 MODÉLISATION DES FONTIÈES couches absorbantes Condition d impédance Conditions absorbantes Couches absorbantes adaptées : modélisation d un espace «infini» Introduction de couches absorbantes en amont des limites du domaine de calcul ; Application d un facteur d amortissement F (z) croissant au fur et à mesure de la progression dans la couche absorbante F (z) = 1 e ( ) z B, 0 < F (z) 1 où z est la distance dans la couche absorbante et B est une constante d affaiblissement. Page 0/5

30 MODÉLISATION DES FONTIÈES couches absorbantes Condition d impédance Conditions absorbantes Couches absorbantes adaptées : application à la TLM Modification des lois de connexion : cas du ciel t+ t I 1 (i,j) = t S (i 1,j) t+ t I (i,j) = t S 1 (i+1,j) t+ t I 3 (i,j) = F (i,j 1) t S 4 (i,j 1) t+ t I 4 (i,j) = t S 3 (i,j +1) Page 1/5

31 CONCLUSION 1 Principe de la méthode TLM Propagation en milieu homogène et non-dissipatif Propagation en milieu inhomogène et dissipatif Analogie avec l équation des ondes Application Perspectives Condition d impédance complexe Condition aux absorbantes 3 Application Perspectives Page /5

32 CONCLUSION application urbaine Application à la modélisation de la propagation acoustique en milieu urbain façades et toits végétalisés ; sol : chaussée poreuse ; ciel et extrémités «ouvertes» du domaine : couches absorbantes adaptées ; source stationnaire à H S =0.5 m (f 3 e mode de résonance transversal) Application Perspectives Page 3/5

33 CONCLUSION perspectives Application Perspectives Perspectives pour la fin de thèse applications urbaines. Perspectives du modèle parallélisation du code de calcul ; discrétisation spatiale par le biais d un maillage tétraédrique ; couplage avec un modèle de traffic routier (sources mobiles). Page 4/5

34 Application Perspectives Merci de votre attention Page 5/5