3.3.3 Changement de variable

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1 3. Primitives: Techniques de clcul des rimitives Chngement de vrible Si F est une rimitive de f et si g est une fonction, lors l formule de dérivtion diune fonction comosée donne quel dérivée de F g est égle à (F g)(x)g (x), insi l fonction F g est une rimitive de ( f g)g. L liction rtique de ce résultt à l recherche des rimitives se résente sous deux sects : I) Si f (x) eut se mettre sous l forme f (x) =j[u(x)]u (x) où j est une fonction continue dont F est une rimitive et si u est à dérivée continue, lors : f (x) = j(u)u (x). En osnt du = u (x) on obtient f (x) = j(u)du = F(u(x)) + C EXEMPLE.. Soit à clculer tn(x) = sin(x) cos(x). On ose u(x) =cos(x) dont l différentielle est du = Alors tn(x) =. Soit à clculer x x du sin(x). = u ln u(x) + C = ln cos x + C. On ose u(x) = x donc du = x. On obtient lors x = du» x u = u(x)+c = x + C. 3. Suosons que l on veuille clculer x + x. Nous llons fire un chngement de vrible : sser de l vrible x à l vrible u. Soit u = + x. L différentielle de u est du = x. On écrit udu= x + x = 3 u3/ + C = 3 (x + ) 3/ + C et on vérifie bien que l on obtient x x + en dérivnt cette exression. II) Pour obtenir une exression lus simle de l élément différentiel, il eut être utile d effectuer un chngement de vrible en osnt x = j(t) dont l différentielle est = j (t) dt dns ces conditions : f (x) = f (j(t))j (t) dt = g(t) dt où G est une rimitive de g EXEMPLE.. Soit à clculer = G(t)+C e x. On ose x = ln(t) vec t ], + [, l + ex différentielle s écrit = dt t et + ex = + t. Il s en suit : e x + e x = t ( + t)t dt = uisque t >. Comme x = ln(t), t = e x, Ainsi dt dt = ln( + t )+C = ln( + t)+c + t e x + e x = ln( + ex )+C.

2 3. Primitives: Notion d intégrle (définie) 34. Pour déterminer on ose x = sin t vec t ] x, s écrit = cos tdtet x = cos t = cos t. Il s en suit : cos(t) = x cos(t) dt = dt = t + C. L inverse de l fonction sin est rcsin, d où x = sin(t), t = rcsin(x), Ainsi = rcsin(x)+c. x [, l différentielle REMARQUE L méthode d intégrtion r chngement de vrible n d utre but que de remlcer une intégrle comliquée r une intégrle lus simle. L difficulté mjeure consiste à trouver le chngement de vrible qui convient. Il fut essyer de choisir u égl à une certine fonction qui rit sous le signe d intégrtion et dont l différentielle s y trouve ussi à un fcteur constnt rès. Ce n est s fcile, si le remier choix n est s le bon, en tenter d utres... En rtique on donner le chngement de vrible à effectuer Exercice Pr chngement de vrible, clculer : 3.4 Notion d intégrle (définie) x + x et + x + 5 x DÉFINITION On elle intégrle de à b d une fonction f continue sur un intervlle I, vec et b dns I, l différence F(b) F(), F étnt une rimitive quelconque de f sur I. Cette intégrle est notée f (x) Ainsi, r définition : f (x) = F(b) L écriture F(), ce que l on écrit ussi :On note f (x) =[F(x)] b = F(b) f (x) se lit hh intégrle (ou somme) de à b de f (x)ii REMARQUE. Vérifions que dns l définition de l intégrle ne déend s du choix de l rimitive. Soit G, une utre rimitive de f sur I, lors il existe une constnte C telle que G = F + C. D où G(b) G() =(F(b)+C) (F()+C) =F(b) F() = F(). f (x). Donc l définition de l intégrle est cohérente, elle est indéendnte de l rimitive choisie.. Cs où une borne de l intégrle est vrible Grâce à l définition récédente on ussi : x f (t)dt =[F(t)] x = F(x) F(). Dns ce cs, l intégrle dont une bome est x est une rimitive, en fit c est l rimitive de f qui s nnule en x =. ñ ô t EXEMPLE. (t 3 + t + )dt = t 3 4 dt + tdt + dt = 4 + t + t = /4 + / + = 7/4.

3 3. Primitives: Notion d intégrle (définie) Proriétés de l intégrle ) f (x) = f (x) = b f (x). ) Reltion de Chsles Avec, b, et c sur un intervlle I où l fonction f est continue, on f (x) = c f (x) + 3) Linérité de l intégrle : Soient et b des constntes, ( f (x) +bg(x)) = f (x) + b g(x) 4) Positivité de l intégrle et resect des inéglités : Si f (x) le g(x) sur [, b] vec b >, lors c f (x) le f (x) g(x) Ainsi l intégrtion resecte l inéglité, lorsque les bornes sont dns le sens croissnt. En rticulier : () f (x) sur [, b] vec b >, lors (b) f (x) le sur [, b] vec b >, lors EXEMPLE. ) Clculer t sin(t) dt f (x) f (x) le Fisons une intégrtion r rties en osnt u = t et v = sin t, d où u = et v = cos t. t sin tdt =[ t cos t] + cos tdt = cos()+[sin t] = cos() =. ) Clculer t e t dt. Intégrons r rties en osnt u = t et v = e t, d où u = t et v = t e t dt =[ t e t ] + te t dt = e + te t dt. Ce n est s fini : il fut encore fire bisser le degré de l uissnce de t dns l nouvelle intégrle : osons u = t et v = e t, d où u = et v = e t te t dt =[ te t ] + e t dt = [e t ] e = e +. Finlement t e t dt = e + ( e + ) = 5 e. 3) Déterminer une rimitive de l fonction ln sur R + qui s nnule en x =. Cel revient à clculer F(x) = x e t ln tdt. Il s git de l rimitive de ln qui s nnule our x =. Procédons à une intégrtion r rties en osnt u = ln t et v =. On en déduit u = /t et v = t. D où F(x) =[t ln t] x x ln x x +. x dt = x ln x [t] x =

4 3. Primitives: Notion d intégrle (définie) 36 / 4) Pour déterminer on ose x = sin t vec t ] x, [, l différentielle s écrit = cos tdtet x = cos t = cos t. Il s en suit : x = cos(t) cos(t) dt = dt = t + C. Comme x = sin t, les bornes de deviennent our x =, t = et our x = /, t = 6 Ainsi / x = 6 dt = EXEMPLE. de l introduction (suite). En un n l oultion à ugmenté de W() W() = R e.t dt = 3 [e,t ] = REMARQUE. Notion d ire lgébrique Géométriquement, l intégrle de à b de f rerésente l ire lgébrique de l ensemble des oints situés entre l courbe de f et l xe des bscisses dns un reère orthonormé. A l différence de l ire géométrique, toujours ositive, l ire lgébrique eut être ositive ou négtive. Pr définition, ire lgébrique est égle à l intégrle. Voici les qutre cs de figure : f sur [,b] et b > : f (x) = ire géométrique = ire lgébrique f le sur [, b] et b > : f (x) = -ire géométrique = ire lgébrique f sur [,b] et > b : f (x) = -ire géométrique = ire lgébrique f le sur [, b] et > b : f (x) = ire géométrique = ire lgébrique

5 3. Primitives: Notion d intégrle (définie) 37 Conséquence : lorsqu une fonction chnge de signe sur [, b] vec b >, l intégrle est toujours égle à ire lgébrique, et celle-ci est l somme des ires (géométriques) situées u-dessus de l xe des x, diminuée de celle des ires (géométriques) situées u- dessous de l xe des x. f (x) = ire rouge-ire verte. Le symbole fut introduit r Leibniz (686) ( et s elle intégrle ou somme). Il l forme d un S llongé justiffie r le fit qu une intégrle est l limite d une somme : nx f (x) = f (z i )(x i x i ) lim n!+ où x =, x n = b, x i = + i(b )/n (on eut choisir les x i utrement) et z i un oint quelconque de [x i, x i ] (r exemle z i = x i ). Cette somme orte le nom de somme de Riemnn. Si f est ositive, elle corresond à l somme des ires (géométrique) des rectngles de huteur f (z i ) et de lrgeur x i+ x i =(b )/n. i= y y=f(x) f( i ) O =x x x x 3 x n =b x i x i x n x i

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